反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)

1、1 南京市鼓樓中等專業(yè)學校教案授課日期年月日 第周授課時數(shù)2 課型新授課課題8.3.2反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)教學目標知識目標 ：理解反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)的概念；掌握反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的定義域、值域；知道反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的圖象. 能力目標 ：能夠熟練計算特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值，并能用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角. 會用類比、數(shù)形結合等數(shù)學思想分析和思考問題. 情感目標 ：滲透應用意識，培養(yǎng)歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力 . 教學重點難點重點 ：理解反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念以及他們的符號的本質. 難點 ：能夠熟練計算特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值.

2、 板書設計8.3.2反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)1、 反余弦函數(shù)例 1 例 2 2、 反正切函數(shù)3、 圖象4、 求值學情分析由于學生剛剛學完反正弦函數(shù)，本節(jié)課在鞏固原有知識的基礎上，通過類比由學生自己來得出反余弦、反正切函數(shù)的概念，并仿照反正弦函數(shù)的圖象來探究反余弦、反正切函數(shù)的圖象. 教后記2 教學程序和教學內容（包括課外作業(yè)和板書設計）師生活動一、情境導入 1 、復習我們學習過反正弦函數(shù)，知道，對于函數(shù)y=sinx ， xr，不存在反函數(shù)；但在,22 存在反函數(shù) . 2 、思考： 那么余弦函數(shù)和正切函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？分析：因為對于任一余弦值y和正切值y都有無數(shù)個角值x與之對應 .余弦函數(shù)和正

3、切函數(shù)的自變量與因變量是多對一的. 故而不存在反函數(shù). 3 、討論：應該選取什么區(qū)間，使得xycos或 y=tanx 存在反函數(shù)呢？這個區(qū)間的選擇依據(jù)兩個原則：（1）xycos和 y=tanx 在所取對應區(qū)間上存在反函數(shù)；（2）能取到xycos的一切函數(shù)值1 , 1，y=tanx 一切函數(shù)值r. 可以選取閉區(qū)間0 ， ，使得xycos在該區(qū)間上存在反函數(shù)；可以選取閉區(qū)間（-2，2） ，使得 y=tanx 在該區(qū)間上存在反函數(shù)，這個反函數(shù)就是今天要學習的反余弦函數(shù)和反正切函數(shù).二、新課講解1、反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義：余弦函數(shù) y=cosx ， x 0 ， 的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作 y=

4、arccosx ，x-1 ，1 ；正切函數(shù)y=tanx ， x （ -2，2）的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作 y=arctanx ，x（ - ，）.（2）反正弦函數(shù)的性質：圖象 y=arccosx y= arctanx 定義域：函數(shù)y=arccosx的定義域是 -1 ，1 ；函數(shù) y= arctanx的定義域是r. 師：復習提問生：口答生討論，得出區(qū)間的選擇 . 生：仿照反正弦函數(shù)的定義給出反余弦、反正切函數(shù)的定義 .師：提示師：根據(jù)反函數(shù)的定義畫出兩個反函數(shù)的圖象. 3 教學程序和教學內容（包括課外作業(yè)和板書設計）師生活動值域：函數(shù)y=arccosx 的值域是 0 ， ；函數(shù) y= arcta

5、nx的值域是（ -2，2）. 奇偶性：函數(shù)y=arccosx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但有 arccos （ -x ）= -arccosx ，x-1 ，1 ；函數(shù) y= arctanx是奇函數(shù)，即arctan （-x ）=-arctanx. 單調性：函數(shù)y=arccosx是減函數(shù)；函數(shù)y= arctanx是增函數(shù) . 結論：函數(shù)y=cosx ，x0 ， 與函數(shù) y=arccosx ，x -1 ，1 的圖象關于直線xy對稱；函數(shù) y=tanx ，x（ -2，2）與函數(shù)y=arctanx ，xr 的圖象關于直線xy對稱 . 三、例題講解例 1求下列反三角函數(shù)的值：（1）arccos22； （2）a

6、rccos)21(； （3）arctan （-1 ）； （4）arctan3解：（ 1）因為在 0 ， 上， cos4=22，所以arccos22=4. （2）因為在 0 ， 上， cos32=21，所以arccos)21(=32. （3）因為在（ -2，2）上， tan （-4）=-1，所以 arctan （-1 ）=-4. （4）因為在（ -2，2）上， tan3=3，所以 arctan3=3. 例 2 用反余弦函數(shù)表示適合下列條件的角x（1）43cosx，,0 x（2）43cosx，2, 0 x解： （1）因為43cosx，,0 x，所以43arccosx（2）因為43cosx，2,0

7、x，所以,2x或23,x當,2x，)43arccos(x，當23,x，43arccosx. 生：觀察圖像得出兩個反三角函數(shù)的性質 .師：板書（1） （ 3）生：嘗試做（2）（4）師：x的范圍超出反函數(shù)的定義域，需要注意分類.4 教學程序和教學內容（包括課外作業(yè)和板書設計）師生活動例3已知等腰三角形的兩腰ab=ac=13cm，高 ad=12cm ，試用反正切函數(shù)表示各內角 . 解：如圖，在abc中，作高ad交 bc于 d 則512tanb，125tanbad512arctancb，125arctan22bada.四、鞏固練習1、教材 p82 練習 8.3.2 第 1、 2、3 2、求下列反三角函數(shù)的值：（1）arccos21；（ 2）arccos （-23）；（ 3）arccos0 ；（4）arctan1； （5）arctan（-33） .五、課堂