數(shù)學(xué)建模論文2004年飲酒駕車

1、第九篇飲酒駕車者三思2004 年 C 題 飲酒駕車據(jù)報(bào)載， 2003 年全國(guó)道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372 萬(wàn)，其中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)?shù)谋壤?。針?duì)這種嚴(yán)重的道路交通情況，國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局 2004 年 5 月 31 日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克百毫升，小于 80 毫克百毫升為飲酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是小于 100

2、 毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克百毫升為醉酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是大于或等于 100 毫克百毫升）。大李在中午 12 點(diǎn)喝了一瓶啤酒，下午 6 點(diǎn)檢查時(shí)符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時(shí)又喝了一瓶啤酒，為了保險(xiǎn)起見他呆到凌晨 2 點(diǎn)才駕車回家，又一次遭遇檢查時(shí)卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會(huì)不一樣呢？請(qǐng)你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，并討論以下問(wèn)題：1.對(duì)大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了

3、 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反上述標(biāo)準(zhǔn)，在以下情況下回答：酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的；酒是在較長(zhǎng)一段時(shí)間（比如 2 小時(shí)）內(nèi)喝的。3.怎樣估計(jì)血液中的酒精含量在什么時(shí)間最高；4.根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？5.根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)寫一篇短文，給想喝一點(diǎn)酒的司機(jī)如何駕車提出忠告。參考數(shù)據(jù)1.人的體液占人的體重的 65%至 70%，其中血液只占體重的 7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2.體重約 70kg 的某人在短時(shí)間內(nèi)喝下

4、 2 瓶啤酒后，隔一定時(shí)間測(cè)量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數(shù)據(jù)如表 9-1。表 9-1喝兩瓶啤酒后的時(shí)間的血液中酒精含量（毫克百毫升）時(shí)間(小時(shí))0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量時(shí)間(小時(shí))酒精含量30   68   75   82  82  77  68  68  58  51  50

5、  416    7    8    9   10  11  12  13  14  15  1638   35   28   25  18  15  12&#

6、160; 10   7   7   4化的彈性系數(shù)成線性下降的趨勢(shì)建立了微分方程模型：dx(t )    = (a - bt )。我們用 mathematica 軟件，飲酒駕車者三思 *摘要：本文討論了不同飲酒方式、飲酒數(shù)量情況下血液中酒精含量的變化規(guī)律。我們假設(shè)喝完酒后血液中的酒精含量達(dá)到峰值的時(shí)間相同，任意時(shí)刻血液中的酒精含量與飲酒量成正比，通過(guò)散點(diǎn)圖作曲線擬合得到血液中酒

7、精濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系： x(t) = 71.199 te-t / 2 ；根據(jù)酒精在人體內(nèi)變x(t )dtt并利用表 9-1 中的數(shù)據(jù)，求出該微分方程的解： x(t ) = 44.1141t 0.464667 e-0.264028t ，該解為血液中酒精濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。利用上述兩種函數(shù)關(guān)系對(duì)題目中提出的所有問(wèn)題進(jìn)行解答，結(jié)果如下：?jiǎn)栴} 1：大李碰到的情況是：第一次測(cè)量的酒精含量低于 20 毫克

8、/百毫升，第二次測(cè)量的酒精含量超過(guò) 20 毫克/百毫升。問(wèn)題 2：3 瓶啤酒在短時(shí)間內(nèi)喝完后，在 0.038 小時(shí)至 9.7731 小時(shí)內(nèi)開車違反標(biāo)準(zhǔn)，3 瓶酒在 2小時(shí)內(nèi)喝完，喝完酒后的 14.49 個(gè)小時(shí)內(nèi)開車違反標(biāo)準(zhǔn)。.問(wèn)題 3：血液中的酒精含量何時(shí)達(dá)到峰值與飲酒方式有關(guān)，與飲酒量無(wú)關(guān)。問(wèn)題 4：一天喝一次酒，當(dāng) 0 £ N < 0.55 時(shí)，不影響開車；當(dāng) 0.5

9、5 < N < 8.57 時(shí)，一天中的部分時(shí)間可以開車；當(dāng) N ³ 8.57 時(shí)，一天中的各個(gè)時(shí)刻都不能開車。一天喝兩次，當(dāng) 0 £ N < 0.5003時(shí)，一天中的各個(gè)時(shí)刻都能開車；當(dāng) 0.5 < N < 3.4 時(shí)，一天中的部分時(shí)間可以開車；當(dāng) N ³ 3.4 時(shí)一天中的各個(gè)時(shí)刻都不能開車。對(duì)于

10、一天喝 n 次酒還能否開車的問(wèn)題我們也進(jìn)行了討論。本文對(duì)所建模型進(jìn)行了評(píng)價(jià)，最后對(duì)飲酒駕車者提出了忠告。關(guān)鍵詞：飲酒駕車；微分方程模型； mathematica9.1問(wèn)題的重述9.1.1背景知識(shí)據(jù)報(bào)載，2003 年全國(guó)道路交通事故死亡人數(shù)為 10.4372 萬(wàn)，其中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)?shù)谋壤ａ槍?duì)這種嚴(yán)重的道路交通情況，國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局 2004 年 5 月 31 日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量

11、大于或等于 20 毫克百毫升，小于 80 毫克百毫升為飲酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是小于 100 毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克百毫升為醉酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是大于或等于 100 毫克百毫升）。9.1.2參考數(shù)據(jù)人的體液占人的體重的 65%至 70%，其中血液只占體重的 7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。體重約 70kg 的某人在短時(shí)間內(nèi)喝下 2 瓶啤酒后，隔一定時(shí)間測(cè)量他的血液中酒精

12、含量（毫克本文獲 2004 年全國(guó)二等獎(jiǎng)。隊(duì)員：蘇警，胡曉娟，高玉娜；指導(dǎo)教師：裴崇峻，吳禮斌。109 / 10百毫升），得到數(shù)據(jù)如表 9-1。9.1.3具體案例大李在中午 12 點(diǎn)喝了一瓶啤酒，下午 6 點(diǎn)檢查時(shí)符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時(shí)又喝了一瓶啤酒，為了保險(xiǎn)起見他呆到凌晨 2 點(diǎn)才駕車回家，又一次遭遇檢查時(shí)卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會(huì)不一樣呢？請(qǐng)你參考前面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，并討論以

13、下問(wèn)題：9.1.4要解決的具體問(wèn)題1問(wèn)題一：對(duì)大李碰到的情況做出解釋；2問(wèn)題二：在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反上述標(biāo)準(zhǔn)，在以下情況下回答：酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的；酒是在較長(zhǎng)一段時(shí)間（比如 2 小時(shí)）內(nèi)喝的。3問(wèn)題三：怎樣估計(jì)血液中的酒精含量在什么時(shí)間最高；4問(wèn)題四：根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？5問(wèn)題五：根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)寫一篇短文，給想喝一點(diǎn)酒的司機(jī)如何駕車提出忠告。9.2模型的假設(shè)1不同年齡段，不同性別，不同種族的人的酒精代謝功能大致相同；2喝的都是同一種酒，酒精含量相同；3血液中的酒精含量與在

14、短時(shí)間內(nèi)喝下的啤酒中的實(shí)際酒精含量成正比；4大李的體重大約為 70kg；5假設(shè)血液的密度為 1g/ml；6酒精在血液中的含量與在體液中的含量大體相同。9.3符號(hào)的說(shuō)明x  (t )序號(hào)1234567891011符號(hào)Grm1m2abtnA(n)TM意義飲酒者的體重血液占體重的比例酒精的密度血液的密度血液中酒精含量的變化率與單位時(shí)間內(nèi)的酒精含量的比例系數(shù)酒精含量的消失率飲酒后的時(shí)間表示在短時(shí)間喝下 n 瓶酒后， t 時(shí)刻血液中的酒精含量表示積分常數(shù) C 隨著飲酒量變化的系數(shù)飲酒消耗的時(shí)間飲

15、酒的次數(shù)12t0血液中酒精含量達(dá)到峰值的時(shí)刻x  (t, T , k )13n表示在 T 時(shí)間內(nèi)第 k 次喝下酒后到 t 時(shí)刻血液中的酒精含量14N飲酒的瓶數(shù)9.4問(wèn)題的分析眾所周知，司機(jī)酒后駕車的危險(xiǎn)性非常大，我國(guó)道路交通事故中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)比例，如何抑制？找出飲酒后酒精在血液中的變化規(guī)律至關(guān)重要。我們可以根據(jù)題目所給的參考數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，找出血液中酒精含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；我們也可以由相應(yīng)的醫(yī)學(xué)、化學(xué)，以及數(shù)學(xué)知識(shí)，建立微分方程，找出血液中酒精含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)

16、系。由這些函數(shù)關(guān)系分析解決如何控制飲酒、安全駕車的問(wèn)題。9.5模型的建立與求解9.5.1模型的建立從某人喝下 2 瓶啤酒后血液中的酒精含量表 9-1 中所給的數(shù)據(jù)可分析出，并不是喝下 2 瓶啤酒后血液中的酒精含量立即達(dá)到 2 瓶啤酒中實(shí)際的酒精含量。通過(guò)查閱醫(yī)學(xué)資料可知，自飲酒后 2-5分鐘酒精開始入血液，隨著身體對(duì)酒精的吸收，血液中酒精含量逐漸上升，在某一時(shí)刻達(dá)到了峰值，由于人體內(nèi)時(shí)刻進(jìn)行著代謝，所以在達(dá)到某一峰值之后血液中的酒精含量將會(huì)衰減并逐漸趨向于 0。某體重 70kg

17、0;的人喝下 2 瓶啤酒，通過(guò)查閱資料知 1 瓶啤酒的酒精含量為 3.5%-4%，容量為 640ml，酒精的密度為 0.8kg/L。在喝下 2 瓶啤酒后血液中的實(shí)際酒精含量代入數(shù)據(jù)得 203 毫克/百毫升，所給數(shù)據(jù)的酒精含量都小于 203 毫克/百毫升，因此所給數(shù)據(jù)符合由于體內(nèi)酒精代謝而導(dǎo)致酒精含量變化的規(guī)律，所以給出的血液中的酒精含量的數(shù)據(jù)可信性較高。1模型一：基于假設(shè) 3，體重約 70kg 的某人在短時(shí)間內(nèi)喝下 1

18、0;瓶啤酒后，隔一定時(shí)間血液中的酒精含量如表 9-2。表 9-2某人灑后一定時(shí)間間隔內(nèi)體內(nèi)血液中的酒精含量變化表時(shí)間(小時(shí))酒精含量時(shí)間(小時(shí))酒精含量0.25   0.5    0.75    1    1.5    2     2.5    3   3.5 

19、;   415    34    37.5    41   41   38.5    34   34   29   25.56     7      

20、8     9    10    11     12   13   14    1519    17.5    14    12.5   9  

21、60; 7.5     6    5   3.5   3.54.525162520.5基于表 9-2 所給出的數(shù)據(jù)，運(yùn)用 Excel 可作出中作出酒精含量散點(diǎn)圖，見圖 9-1。454035量含精酒中液血30252015飲酒后時(shí)間10500.251.252.253.254.255.256.257.258.259.2510.25   11.2512.25

22、0;  13.2514.25   15.25圖 9-1酒精含量散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖猜測(cè)血液中酒精含量 x(t ) 與時(shí)間 t 的關(guān)系為x(t) = B te-t / 2其中 B 為常數(shù)。為了確定模型（9-1）中的常數(shù) B ，對(duì)（9-1）式兩邊取對(duì)數(shù)，得：111 / 10（9-1）11ln x(t) = ln B +ln t

23、 -t22我們用表 9-2 中的數(shù)據(jù)通過(guò) mathematica 計(jì)算出 B = 71.199 ，這樣得到x(t) = 71.199 te-t / 2（9-2）我們分別將不同的時(shí)刻帶入模型（9-2），可以求得不同時(shí)間間隔內(nèi)血液中的酒精含量，見表9-3。表 9-3血液中的酒精含量變化表時(shí)間(小時(shí))酒精含量時(shí)間(小時(shí))酒精含量0.2531690.539760.7542841    1.5  

24、   2     2.5    343    41    37    32    279    10    11    12    132  

25、;   2    0.9    0.6   0.43.523140.2419150.24.516160.1513從表 9-3 中看出擬合的數(shù)據(jù)并不理想，運(yùn)用此模型也不能夠合理解釋問(wèn)題 1，所以此模型不夠合理，我們將進(jìn)一步改進(jìn)。=    (1 - t) ，而    /2模型二：受模型一的啟發(fā)，并注意到模型一中的 

26、;x(t ) 滿足dx(t)  x(t) dx(t ) x(t )dt    2t           dt    t是表示血液中酒精含量關(guān)于時(shí)間的彈性，這一彈性并非像模型一給出的   (1 - t) 。事實(shí)上，酒精在血液12中含量的變化的規(guī)律是這樣的：剛開始喝酒的時(shí)候

27、時(shí)間變化 1%，血液中酒精含量變化的百分?jǐn)?shù)較大，但喝下酒后較長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)候血液中酒精含量變化的百分?jǐn)?shù)較小。也就是酒精在人體內(nèi)變化的彈性系數(shù)是線性下降的變化趨勢(shì)，所以假設(shè)x¢(t )x(t )t= a - bt從而可得模型dx(t)x(t)= (a - bt)dtt其中 a,b 為大于 0 的常數(shù)。（9-3）是一階微分方程，其通解為：x(t ) = Ct a e-bt（9-3）（9-4）其中 C

28、60;為積分常數(shù)。為了確定（9-4）式中的常數(shù) a,b, C ，對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得： ln x(t ) = ln C + a ln t - bt利用表 9-2 中數(shù)據(jù)，用最小二乘法擬合出常數(shù) ln C, a, b ；可決系數(shù) R 2 達(dá)到了 0.9789， a, b 兩參數(shù)的 t 統(tǒng)計(jì)量

29、的值分別為：8.5056 和-20.7408，是高度顯著的。得：C=44.1141,a=0.464667,b=0.264028代入（9-4）得：x(t ) = 44.1141 t 0.464667 e-0.264028t（9-5）我們將擬合的圖形與實(shí)際的散點(diǎn)圖相比較如圖 9-2 所示。3模型三我們認(rèn)為由模型二確定的常數(shù) a,b 對(duì)于飲酒量來(lái)說(shuō)是不變的，為了表示喝 n 瓶酒后血液中酒精變化的規(guī)律，我們讓模型二中的積分常數(shù) C 隨著飲酒量的變化而變化

30、，記為 A(n) ，又假設(shè)在短時(shí)間內(nèi)喝下 n 瓶酒，這樣得ïìx (t ) = A(n)t 0.464667e-0.264028tí 2îïxn (0.25) = 15n（9-6）（9-6）式是一個(gè)方程組，其中 x (0.25) = 15n 表示在喝完 n 瓶酒后 0.25 小時(shí)時(shí)血液的酒精含量，其中 x (

31、t) 表示在短時(shí)間內(nèi)喝下 n 瓶酒時(shí)血液中的酒精含量。nn從而得 A(n) 應(yīng)滿足方程15n = A(n)0.250.464667 e -0.264028´0.25（9-7）403020200150100圖 9-2擬合曲線與對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖             圖 9-3 在 2 小時(shí)內(nèi)喝完酒后 t 

32、;時(shí)刻血液中的酒精含量走勢(shì)圖10502.557.51012.5152.557.51012.5154模型四模型三中沒有考慮酒是在一段時(shí)間內(nèi)喝下的，這與實(shí)際情況不符，我們?cè)谀Ｐ腿幕A(chǔ)上，建立在0,T時(shí)間內(nèi)連續(xù)喝下 n 瓶酒后血液中的酒精變化規(guī)律模型，其中假設(shè)在0,T時(shí)間內(nèi)分 M 次喝完n 瓶啤酒，每次間隔的時(shí)間為 T / M ，每次喝下后進(jìn)入到血液中的酒精含量為 x(T / M )n / M ，第 k 次喝下酒后血液中

33、的酒精含量滿足下列方程：ìx  (t, T , k ) = A(n, T , k )t 0.464667e-0.264028tx  (T / M , T , k ) = x  (2T / M , T , k - 1) + x(T&

34、#160;/ M )ïînï nínnM(k = 1,2,3,L , M )        （9-8）其中 x (t,T , k ) 表示在 T 時(shí)間內(nèi)第 k 次喝下酒后到 t 時(shí)刻血液中的酒精含量。n根據(jù)題目中的具體情況，假設(shè) T=2 小時(shí)，M=8，

35、0;x(T / M ) = 15 ，代入（9-8）得：ìx  (t,2, k ) = A(n,2, k )t 0.464667 e -0.264028tïîn8ï nx (0.25,2, k ) = x (0.5,2, k - 1) +ní 45(k 

36、;= 1,2,3,L , M )                   （9-9）在 2 小時(shí)內(nèi)喝完酒后 t 時(shí)刻血液中的酒精含量走勢(shì)圖見圖 9-3。9.5.2模型的求解1問(wèn)題 1 的求解由模型二的解（9-5）式，我們求出喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的擬合值見表 9-4。表 9-4&

37、#160;喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的擬合值時(shí)間（小時(shí)）0.250.5   0.75    1     1.5     2     2.5     3     3.5酒精含量時(shí)間（小時(shí)）酒精含量時(shí)間（小時(shí)）酒精含量21.18  28.01  

38、;31.65  33.87  35.83  35.90  34.89  33.28  31.334     4.5     5     6     7     8     9

39、60;    10    1129.21  27.04  24.88  19.91  17.16  14.02  11.37  9.17   7.3612    13    14    15   &#

40、160;165.88   4.69   3.78   2.95   2.34從表 9-4 中可得出：大李在中午 12 點(diǎn)喝了一瓶啤酒，到下午 6 點(diǎn)時(shí)血液中的酒精含量為 19.91毫克/百毫升，血液中的酒精含量小于 20 毫克/百毫升，所以在檢查時(shí)符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)在 6 點(diǎn)鐘又喝一瓶啤酒，此時(shí)血液里不僅含有第 2 瓶啤酒的酒精，同時(shí)第 

41、;1 瓶的酒精仍然存113 / 10含量 x (t) 為： x (t ) = 85.6978e0.066007 -0.264028 t t 0.464667當(dāng) x (t ) = 20 ，即 85.6978e0.066007 -0.264028t t 0.464667 = 20 時(shí)，解得： t 

42、60;= 0.0387, t  = 9.7731（小時(shí)）在，并且同時(shí)進(jìn)行著酒精代謝。這時(shí)大李從喝第 2 瓶酒后的 t 時(shí)刻，血液中的酒精含量 x (t) 應(yīng)滿足：2ïìx (t ) = At 0.464667e-0.264028tí 2îï x2 (0.25) = x(6.25) + 15其中由（9-5）式算

43、出 x(6.25) = 19.847 ，從而解出常數(shù) A = 66.3625。因此大李從喝第 2 瓶酒后的 t 時(shí)刻，血液中的酒精含量x (t ) = 66.3625t 0.464667 e0.066007-0.264028t（9-10）2大李在凌晨 2 點(diǎn)接受檢查時(shí)，從喝第 2 瓶酒后已經(jīng)過(guò)了 8 小時(shí)，將 t=8 帶入（9-10）式，得x

44、60;(8) = 22.53712結(jié)果表明：此時(shí)血液中的酒精含量為 22.5371 毫克/百毫升，超過(guò)了 20 毫克/百毫升，所以檢查出他是飲酒駕車。2問(wèn)題 2 的求解當(dāng) 3 瓶 啤 酒 是 在 較 短 的 時(shí) 間 內(nèi) 喝 下 時(shí) ， 此 時(shí) n=3 ， 代 入 （ 9-7

45、60;） 式 ， 得 ：45 = A(3)0.250.464667 e-0.264028´0.25 。解得 A(3) = 85.6978 ，所以在短時(shí)間內(nèi)喝完 3 瓶酒后血液中的酒精33312結(jié)果表明：如果在短時(shí)間內(nèi)喝下 3 瓶啤酒，那么在酒后 0.0387 小時(shí)至 9.7731 小時(shí)血液中的酒精含量超過(guò)了 20%，即在這一段時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反標(biāo)準(zhǔn)。討論 3 

46、;瓶啤酒是在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)喝下的情況：如果在較短的時(shí)間內(nèi)喝下 3 瓶啤酒就不需考慮喝酒的過(guò)程中酒精在體內(nèi)的代謝，但此問(wèn)題要求在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)喝下 3 瓶啤酒，所以在喝酒的過(guò)程中就需考慮酒精在體內(nèi)的代謝。解決此問(wèn)題時(shí)。我們將 2 小時(shí)以 0.25 小時(shí)為單位分成 8 個(gè)時(shí)間段，假設(shè)每次喝酒的量為 3/ 8 瓶，每隔 0.25 小時(shí)喝一次，喝 8 次。由（9-9）式求解得：當(dāng) k=8 時(shí)，即在 2

47、0;小時(shí)內(nèi)喝完酒后 t 時(shí)刻血液中的酒精含量為x (t,2,8) = 248.01e0.066007 -0.264028t t 0.4646673計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng) t £ 14.4911時(shí)血液中的酒精含量超過(guò)了 20%，也即說(shuō)明，在 2 小時(shí)內(nèi)喝完 3瓶酒后在 14.4911 小時(shí)內(nèi)血液中的酒精含量超過(guò)了 20%，即在這一段時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反標(biāo)準(zhǔn)。注：此模型只給出了大概的時(shí)間范圍，如果給出一個(gè)比0.25&#

48、160;更小的單位來(lái)劃分不同時(shí)刻，那么得出的時(shí)間范圍會(huì)更為精確。問(wèn)題 3 的求解：血液中的酒精含量何時(shí)達(dá)到峰值與飲酒方式有關(guān)，與飲酒量無(wú)關(guān)，因此不同的飲酒方式使得血液中的酒精含量達(dá)到峰值的時(shí)間不同。針對(duì)本問(wèn)題我們只考慮喝一次酒后血液中的酒精含量達(dá)到峰值的時(shí)間。此時(shí)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求x(t ) 的最大值，根據(jù)模型一， x(t ) 的導(dǎo)數(shù)為：  dx(t)x(t)= (a - bt)dtt。= (a - bt)   

49、60;= 0 ，得 x(t ) 的唯一駐點(diǎn) t  = ，又 x¢¢(t ) = -b  0    < 0 ，所以由求極值的tdt          t         

50、60;                b令0 0dx(t)        x(t) a x(t )0時(shí) x(t ) 達(dá)到最大值。因此，在喝酒后血液中的酒精含量達(dá)到最大值的時(shí)刻為 。理論知，當(dāng) t = t =0a ab &

51、#160;                                                 &

52、#160;             b將數(shù)據(jù)帶入 a=0.464667,b=0.264028，求得t = 1.769 （小時(shí)）即為血液中酒精含量達(dá)到最高的時(shí)0刻。計(jì)算結(jié)果表明：喝完酒后血液中的酒精含量基本上都在 t = 1.769 小時(shí)達(dá)到峰值，這與文獻(xiàn)1中0給出了大多數(shù)飲酒者在飲完酒后 30120 分鐘血液中的酒精濃度達(dá)到峰值結(jié)論是相符的。問(wèn)題 4

53、0;的求解問(wèn)題 4 要求我們用以上建立的模型論證：天天喝酒，是否還能開車。并未作出具體要求，但此問(wèn)題的解決需要考慮到一天喝酒的次數(shù)和每次飲酒量。對(duì)此我們做以下詳細(xì)分析。首先我們假設(shè)一天只喝一次酒并且在短時(shí)間內(nèi)喝完，設(shè)喝下的量為 N 瓶。第一種情況：喝完酒后，一天中的每個(gè)時(shí)刻都能開車。也就是使 Nx(t) 的峰值小于 20。此時(shí)根據(jù)問(wèn)題 3 所估算出的 x(t ) 達(dá)到峰值時(shí)的時(shí)刻 t ，將 t = t 代入方程

54、60;Nx(t ) £ 20 中，求得 N 的最大值為000.55 瓶（352 毫升），即當(dāng) 0 £ N < 0.55 時(shí)，一天中的每個(gè)時(shí)刻都能開車。第二種情況：喝完酒后，一天中的各個(gè)時(shí)刻都不能開車。即在喝完酒后的 24 個(gè)小時(shí)內(nèi) Nx(t ) ³ 20 ，將 t = 24 代入方程 Nx(t 

55、;) ³ 20 ，求得 N 的最小值 8.57 瓶（5484.8 毫升）。即當(dāng) N ³ 8.57（5484.8 毫升）時(shí)，一天中的每個(gè)時(shí)刻都不能開車。第三種情況：一天之內(nèi)，有一段時(shí)間可以開車。此時(shí) 0.55 < N < 8.57 ，這時(shí)隨著 N 的增加，可以開車的時(shí)間逐漸減少。其次假設(shè)一天喝二次酒，每次的量相同為 N ，且每次間隔時(shí)間也相同，為&

56、#160;24 / 2 = 12 小時(shí)。此時(shí)也可分為三種情況。第一種情況：喝完酒后，一天中的各個(gè)時(shí)刻都能開車。由假設(shè)可看出，每天血液中的酒精含量的峰值一定出現(xiàn)在第二次飲酒后，其時(shí)刻仍為上述的 t，此時(shí)將 t = t 代入方程00Nx(t + 12) + Nx(t ) = 20 ，求出 N = 0.5003 瓶（320.192 毫升）。即一天飲兩次，且每次的量 

57、;0 £ N < 0.5003時(shí)，一天之內(nèi)，各個(gè)時(shí)刻都能開車。第二種情況：喝完酒后，一天中的各個(gè)時(shí)刻都不能開車。根據(jù)假設(shè)，可以看出每天血液中的酒精含量最低值應(yīng)在第 12 個(gè)小時(shí)。即第二次喝酒之前。些時(shí)將 t = 12 代入方程 Nx(t ) = 20 ，求出 N = 3.4（2176 毫升）。即當(dāng) N ³ 3.4 （2176 毫升）

58、時(shí)，一天之內(nèi)每時(shí)刻都不能開車。第三種情況：一天之內(nèi)，有一段時(shí)間可以開車，此時(shí) 0.5 < N < 3.4 ，即隨著 N 的增加，可以開車的時(shí)間逐漸減少。我們?cè)儆懻撘惶熘畠?nèi)喝 n 次酒、每次飲酒量相同為 N 的情況，且每次飲酒間隔時(shí)間相同為 24 / n ，此時(shí)也可分為三種情況。第一種情況：喝完酒后，一天中的每個(gè)時(shí)刻都能開車。此時(shí)將上述的 t 代入方程：0Nx(t +  24(

59、n -1) + Nx(t +       ) + L + Nx(t) = 20 (其中24(n - 2)24(n -1)nnn為最后一次飲酒時(shí)刻)。于是可從方程中解中 N = N 。即當(dāng) 0 £ N < N 時(shí)，一天之內(nèi)，每時(shí)刻都能開車。11第二種情況：喝完酒后，一天中的各

60、個(gè)時(shí)刻都不能開車?？梢钥闯雒刻炀凭谘褐泻康淖畹椭祽?yīng)在第二次飲酒之前的瞬時(shí)時(shí)刻，即 24/ n ，此時(shí)將 t = 24 / n 代入方程 Nx(t ) = 20 可求出 N = N 。2即當(dāng) N ³ N 時(shí)，一天之內(nèi)，每一時(shí)刻都不能開車。2第三種情況：一天之內(nèi)，有一段時(shí)間可以開車。此時(shí) N £ N £ N 。當(dāng) N 增加時(shí)，可以開車的12時(shí)間逐漸減少。但此問(wèn)題中的第三種情況并未考慮天與天之間酒精殘留量的積累。若考慮，則隨著115 / 10殘留量的積累，終有一天各個(gè)時(shí)刻都將不能開車。9.6模型的評(píng)價(jià)1采用散點(diǎn)圖方法擬合的模型一，簡(jiǎn)單、直觀，易于接受和掌握；2根據(jù)酒精在人體內(nèi)變化的彈性系數(shù)成線性下降的趨勢(shì)建立的微分方程模型二，有較充分