直線與圓的方程的應(yīng)用課件(2)

1、4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用 抗日戰(zhàn)爭時期，虎子擔任我軍的交通員，在一次抗日戰(zhàn)爭時期，虎子擔任我軍的交通員，在一次送情報中，遇上一個鬼子兵的追捕當虎子跑到一個送情報中，遇上一個鬼子兵的追捕當虎子跑到一個大的圓形池塘邊時，鬼子兵看著無路可走的虎子就猛大的圓形池塘邊時，鬼子兵看著無路可走的虎子就猛撲上去虎子急中生智，縱身跳到池塘里鬼子兵不撲上去虎子急中生智，縱身跳到池塘里鬼子兵不會游泳，只好盯住虎子沿塘邊跟著虎子跑動，打算在會游泳，只好盯住虎子沿塘邊跟著虎子跑動，打算在虎子爬上岸時抓住他如果鬼子兵跑動的速度是虎子虎子爬上岸時抓住他如果鬼子兵跑動的速度是虎子游泳速度的游泳速度的2.52.5倍，問

2、虎子用怎樣的方法才能擺脫鬼倍，問虎子用怎樣的方法才能擺脫鬼子兵的追捕？子兵的追捕？ 通過直線與圓的方程，可以確定直線與圓、圓和通過直線與圓的方程，可以確定直線與圓、圓和圓的位置關(guān)系，對于生產(chǎn)、生活實踐以及平面幾何中圓的位置關(guān)系，對于生產(chǎn)、生活實踐以及平面幾何中與直線和圓有關(guān)的問題，我們可以建立直角坐標系，與直線和圓有關(guān)的問題，我們可以建立直角坐標系，通過直線與圓的方程，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決通過直線與圓的方程，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決. .對此，我們必須掌握此類解決問題的基本思想和方法對此，我們必須掌握此類解決問題的基本思想和方法. . 一般地一般地, ,已知直線已知直線ax+by+c=0(

3、a,bax+by+c=0(a,b不同時為零不同時為零) )和圓和圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,則圓心則圓心(a,b)(a,b)到此直線的距離為到此直線的距離為22|aabbcdabdrdrdrd d與與r r的大小關(guān)系的大小關(guān)系2 2個個1 1個個0 0個個交點個數(shù)交點個數(shù)圖形圖形相交相交相切相切相離相離位置位置rdrdrd則則求圓心坐標及半徑求圓心坐標及半徑r r（配方法）（配方法） 圓心到直線的距離圓心到直線的距離d d （點到直線距離公式）（點到直線距離公式）2220()()xaybraxbyc 消去消去y y20pxqxt 0:0:相相交

4、交= 0:= 0:相相切切0:0:相相離離d r:d r:d r:相相離離幾何方法幾何方法代數(shù)方法代數(shù)方法判斷直線和圓的位置關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系1.1.理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì). .（重點）（重點）2.2.利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系. .（難點）（難點）3.3.會用會用“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想解決問題的數(shù)學思想解決問題知識探究：直線與圓的方程在實際生活中的應(yīng)用知識探究：直線與圓的方程在實際生活中的應(yīng)用 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預(yù)

5、報：臺風中心位于輪船正西象臺的臺風預(yù)報：臺風中心位于輪船正西70 km70 km處，處，受影響的范圍是半徑長為受影響的范圍是半徑長為30km30km的圓形區(qū)域的圓形區(qū)域. . 已知已知港口位于臺風中心正北港口位于臺風中心正北40 km40 km處，如果這艘輪船不處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？解：解：以臺風中心為原點，以臺風中心為原點，東西方向為東西方向為x x軸，建立軸，建立如圖所示的直角坐標系，如圖所示的直角坐標系，（其中，?。ㄆ渲?，取10 km10 km為單位為單位長度）這樣，受臺風影響長度）這樣，受臺風影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的

6、圓的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓方程為方程為 輪船航線所在直線輪船航線所在直線l l的方程為的方程為4x+7y-28=04x+7y-28=0問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為圓與直線圓與直線l l有無公共點的問題有無公共點的問題. .229xy.xoy港口港口.輪船輪船 直線直線y=kx+3y=kx+3與圓（與圓（x-3x-3）2 2+ +（y-2y-2）2 2=4=4相交于相交于m m，n n兩點，若兩點，若|mn|2|mn|2，則，則k k的取范圍是的取范圍是 （）（） a. b. a. b. c. d.c. d.3 3-,0-,04 434(- ,- (- ,- 3333-,-,203-, -, a a0,)【

7、即時訓練】【即時訓練】例例1.1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖. . 這個這個圓的圓拱跨度圓的圓拱跨度ab=20mab=20m，拱高，拱高op=4mop=4m，建造時每間，建造時每間隔隔4m4m需要用一根支柱支撐，求支柱需要用一根支柱支撐，求支柱a a2 2p p2 2的高度的高度（精確到（精確到0.01m0.01m）. .aba1a2a3a4opp2知識應(yīng)用知識應(yīng)用分析：分析：建立如圖所示建立如圖所示的直角坐標系，把實的直角坐標系，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題題求出圓拱橋所求出圓拱橋所在的圓的方程；然后解決這個實際問題在的圓的方程；然后解決這

8、個實際問題利用圓利用圓的方程求出點的方程求出點p p2 2的坐標，從而求線段的坐標，從而求線段a a2 2p p2 2的長，解釋的長，解釋實際意義實際意義圓拱形橋支柱的高圓拱形橋支柱的高a a2 2p p2 2. .aba1a2a3a4opp2yx解：解：建立如圖所示的建立如圖所示的直角坐標系，使圓心直角坐標系，使圓心在在y y軸上，設(shè)圓心的軸上，設(shè)圓心的坐標是（坐標是（0 0，b b），圓），圓的半徑為的半徑為r r，那么圓的方程為：，那么圓的方程為：x x2 2（y yb b）2 2r r2 2，點點p p（0,40,4），），b b（10,010,0）在圓上，所以有）在圓上，所以有aba

9、1a2a3a4opp2yx2222222222220 +(4-b) = r ,0 +(4-b) = r ,10 +b = r ,10 +b = r ,2210.5,14.5 , br解得：解得：222(10.5)14.5xy所以，圓的方程為：所以，圓的方程為：把把 的橫坐標的橫坐標 代入代入2p2x圓的方程得：圓的方程得：222( 2)(10.5)14.5y由題可知由題可知y y0 0，解得：，解得：y3.86(m)y3.86(m)答：支柱答：支柱a a2 2p p2 2的高度約為的高度約為3.86 m. 3.86 m. 思考：思考：不建立坐不建立坐標系標系, ,如何解決如何解決這個問題這個問

10、題? ?c cb b2p hop，作作222cacooa即即得得14.5.r在在2rtcp h中，中， 得得2222206.25chroa，又又14.5410.5,oc 在在rtcoa中中所以支柱所以支柱a a2 2p p2 2的高度約是的高度約是3.86m.3.86m.o oh h = = c ch h - - o oc c3 3. .8 86 6. .解法如下解法如下c chb b 某次生產(chǎn)中，一個圓形的零件損壞了，只剩下了如某次生產(chǎn)中，一個圓形的零件損壞了，只剩下了如圖所示的一部分現(xiàn)在陳師傅所在的車間準備重新做一圖所示的一部分現(xiàn)在陳師傅所在的車間準備重新做一個這樣的零件，為了獲得這個圓形

11、零件的半徑，陳師傅個這樣的零件，為了獲得這個圓形零件的半徑，陳師傅在零件上畫了一條線段在零件上畫了一條線段 abab，并作出了，并作出了 ab ab 的垂直平分線的垂直平分線 mnmn，而且測得，而且測得 abab8 cm8 cm，mnmn2 cm2 cm根據(jù)已有數(shù)據(jù)，試根據(jù)已有數(shù)據(jù)，試幫陳師傅求出這個零件的半徑幫陳師傅求出這個零件的半徑abnm【變式練習】【變式練習】解：解：以以 ab ab 中點中點 m m 為原點，建立如為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，由已知有圖所示的平面直角坐標系，由已知有 a(a(4 4，0)0)，b(4b(4，0)0)，n(0n(0，2)2) 設(shè)過設(shè)過 a a

12、，b b，n n 的圓的方程為的圓的方程為 x x2 2y y2 2dxdxeyeyf f0 0，代入代入 a a，b b，n n 的坐標，可得的坐標，可得 16-4d+f =0，16-4d+f =0，16+4d+f =0，16+4d+f =0，4+2e+f =0，4+2e+f =0，解得解得 d =0，d =0，e = 6，e = 6，f = -16.f = -16.abnmxy因此所求圓的方程為因此所求圓的方程為x x2 2y y2 26y6y16160 0，化為標準方程是化為標準方程是x x2 2(y(y3)3)2 25 52 2，所以這個零件的半徑為所以這個零件的半徑為 5 cm5 c

13、mabnmxy例例2 2已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半一半. .分析分析: :1.1.解決解決平面幾何問題常利用平面幾何問題常利用“坐標法坐標法”，首，首先要考慮的問題是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，關(guān)鍵先要考慮的問題是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，關(guān)鍵是如何選取坐標系？是如何選取坐標系？x xy yo o提示：提示：如圖所示如圖所示2.2.如圖所示，設(shè)四邊形的四個頂點分別為如圖所示，設(shè)四邊形的四個頂點分別為a(aa(a，0)0)，b(0b(0，b)b)，c(cc(c，0)0)，

14、d(0d(0，d)d)，那么，那么bcbc邊的長為邊的長為多少？多少？yabcdmxoe22提示： bccb3.3.四邊形四邊形abcdabcd的外接圓圓心的外接圓圓心oo的坐標如何表示？的坐標如何表示？oabcdxyoenm,2omacxx2onbdyy,2eax,2edy過四邊形外接圓的圓心過四邊形外接圓的圓心oo分別作分別作acac、bdbd、adad的垂的垂線，垂足為線，垂足為m m、n n、e e，則，則m m、n n、e e分別為分別為acac、bdbd、adad的中點，由中點坐標公式，有：的中點，由中點坐標公式，有：提示：提示：證明：證明：以四邊形以四邊形abcdabcd互相垂直

15、的對角線互相垂直的對角線caca、bdbd所在直線分別所在直線分別為為x x軸、軸、y y軸，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)軸，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)a a（a a，0 0），），b b（0 0，b b），），c c（c c，0 0），），d d（0 0，d d），過四邊形外接圓的圓心），過四邊形外接圓的圓心oo分別作分別作acac、bdbd、adad的垂線，垂足為的垂線，垂足為m m、n n、e e，則，則m m、n n、e e分別為分別為acac、bdbd、adad的中點，的中點，第一步第一步: :建立坐建立坐標系，用坐標標系，用坐標表示有關(guān)的量表示有關(guān)的量. .oabcdxyoenm

16、由中點坐標公式，有：由中點坐標公式，有：,m mo o a a+ +c cx x = = x x= =2 2.n no o b b+ +d dy y = = y y= =2 2,e ea ax x = =2 2,e ed dy =y =2 2第二步第二步: :進行進行有關(guān)代數(shù)運算有關(guān)代數(shù)運算o o e e2 22 2d db b+ +d da aa a+ +c c= = ( (- -) ) + +( (- -) )2 22 22 22 22212bc ，由兩點間的距離公式，有：由兩點間的距離公式，有：bc22bc ，o e12bc ，所以所以即圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半即圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半. .第三步第三步: :把代數(shù)把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成運算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系幾何關(guān)系. .利用利用“坐標法坐標法”解決平面問題的解決平面問題的“三步曲三步曲”：第一步：