數(shù)列解答題的解法PPT

1、數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是與大學(xué)銜接的內(nèi)容，由于在測試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維水平，以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用，所以在歷年高考中占有重要地位，近幾年更是有所加強. 數(shù)列解答題大多以數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容為工具，綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運用遞推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，其難度屬于中檔難度. 試題特點試題特點數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法試題特點試題特點 1.考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、以及數(shù)學(xué)歸納法等基本知識、基本技能.

2、 2.常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識相結(jié)合，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習和研究過程中知識的遷移、組合、融會，進而考查學(xué)生的學(xué)習潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 3.常以應(yīng)用題或探索題的形式出現(xiàn)，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識和發(fā)揮創(chuàng)造能力提供廣闊的空間.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 1.熟練掌握并靈活運用數(shù)列的基本知識是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ). (1)等差、等比數(shù)列的判定：利用定義判定；anan2=2an1 an是等差數(shù)列，anan2=a2n1(an0) an是等比數(shù)列； an=anb(a,b為常數(shù)) an是等差數(shù)列；Sn=an2bn(a,b為常 數(shù)，Sn是數(shù)列an的前n項和) an是等差數(shù)列. (2)等差、等比數(shù)列的性

3、質(zhì)的應(yīng)用：注意下標、奇、偶項的特點等. 應(yīng)試策略應(yīng)試策略數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法52.求通項公式的常見類型(1)已知an與Sn的關(guān)系或Sn與n的關(guān)系,利用公式(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項或轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列求通項.(3)由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通項.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通項.63.數(shù)列求和的常用方法(1)公式法:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.(2)錯位相減法:適合求數(shù)列anbn的前n項和Sn,其中an,bn一個是等差數(shù)列,另一個是等比數(shù)列.(3)裂項相消法:即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和,通過累加抵消中間若

4、干項的方法.(4)拆項分組法:先把數(shù)列的每一項拆成兩項(或多項),再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列,最后分別求和.(5)并項求和法:把數(shù)列的兩項(或多項)組合在一起,重新構(gòu)成一個數(shù)列再求和,適用于正負相間排列的數(shù)列求和.74.數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方法(1)求最大(小)項時,可利用:數(shù)列的單調(diào)性;函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù).(2)求參數(shù)范圍時,可利用:作差法;同號遞推法;先猜后證法. 4.數(shù)列不等式問題的解決方法(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性.(2)放縮法:先求和后放縮;先放縮后求和,包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和,或者放縮后裂項相消再求和.等差、等比數(shù)列的問題等差、等比數(shù)列的問題例1已知

5、an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通項公式;(2)求bn的前n項和.解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得a1=2.所以數(shù)列an是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,通項公式為an=3n-1.9解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.10例2已知數(shù)列an滿足an+1=2an+n-1,且a1=1.(1)求證:數(shù)列an+n為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.所以數(shù)列an+n是首項為2,公

6、比為2的等比數(shù)列.(2)解 由(1)得,an+n=22n-1=2n,所以an=2n-n.11解題心得1.判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法.(1)定義法:對于n1的任意自然數(shù),驗證an+1-an 為同一常數(shù).(2)通項公式法:若an=kn+b(nN*),則an為等差數(shù)列;若an=pqkn+b(nN*),則an為等比數(shù)列.(3)中項公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),則an為等差數(shù)列;若 =an-1an+1(nN*,n2),則an為等比數(shù)列.2.對已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系,證明an為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路是:由an與Sn的關(guān)系遞推出n+1時的關(guān)系式,兩個關(guān)系式相減

7、后,進行化簡、整理,最終化歸為用定義法證明.12對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1(2017全國,文17)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解得q=-2,a1=-2.故an的通項公式為an=(-2)n.故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列. 13求數(shù)列的通項及錯位相減求和求數(shù)列的通項及錯位相減求和例2(2017天津,文18)已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通項公式;(2)求數(shù)

8、列a2nbn的前n項和(nN*).解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因為q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,an的通項公式為an=3n-2,bn的通項公式為bn=2n.14(2)設(shè)數(shù)列a2nbn的前n項和為Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-

9、2)2n+1,上述兩式相減,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,數(shù)列a2nbn的前n項和為(3n-4)2n+2+16.15解題心得求數(shù)列通項的基本方法是利用等差、等比數(shù)列通項公式,或通過變形轉(zhuǎn)換成等差、等比數(shù)列求通項;如果數(shù)列an與數(shù)列bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,那么數(shù)列anbn的前n項和采用錯位相減法來求.16對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(2017山西太原二模,文17)已知數(shù)列an的前n項和Sn= ,數(shù)列bn滿足bn=an+an+1(nN*).(1)求數(shù)列bn的通項公式;當n=1時也成立,an=n.bn

10、=an+an+1=n+n+1=2n+1.17數(shù)列cn的前n項和Tn=22+223+324+n2n+1.2Tn=23+224+(n-1)2n+1+n2n+2,Tn=(n-1)2n+2+4. 18求數(shù)列的通項及裂項求和求數(shù)列的通項及裂項求和例3(2017全國,文17)設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通項公式;解 (1)因為a1+3a2+(2n-1)an=2n,故當n2時,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).兩式相減得(2n-1)an=2.19解題心得對于已知等式中含有an,Sn的求數(shù)列通項的題目,一般有兩種解題思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求

11、出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把數(shù)列的通項拆成兩項之差,求和時中間的項能夠抵消,從而求得其和.注意抵消后所剩余的項一般前后對稱.20對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4(2017陜西渭南二模,文17)已知an為公差不為零的等差數(shù)列,其中a1,a2,a5成等比數(shù)列,a3+a4=12.(1)求數(shù)列an的通項公式;解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a1,a2,a5成等比數(shù)列,a3+a4=12,an=2n-1,nN*. 21故所求的n=1 009. 22涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和例4已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=2,S5=30.數(shù)列bn的前n項和為Tn,

12、且Tn=2n-1.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;(2)設(shè)cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求數(shù)列cn的前n項和.d=2,an=2n.對數(shù)列bn:當n=1時,b1=T1=21-1=1,當n2時,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,當n=1時也滿足上式.bn=2n-1.23(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,設(shè)數(shù)列(-1)nanbn的前n項和為An,數(shù)列(-1)nln Sn的前n項和為Bn,則An=1(

13、-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,則-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+124當n為偶數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);當n為奇數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+1)=-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).25對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練

14、5已知函數(shù)f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),f(an),2n+3(nN*)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;解 (1)4,f(a1),f(a2),f(an),2n+3成等比數(shù)列,其公比設(shè)為q,2n+3=4qn+2-1,解得q=2.26當n為偶數(shù)時,Sn=(c1+c3+c5+cn-1)+(c2+c4+cn) 數(shù)列求和的常見類型及方法(1)通項公式形如anknb或anpqknb(其中k，b，p，q為常數(shù))，用公式法求和(2)通項公式形如an(k1nb1)qk2nb2(其中k1，b1，k2，b2，q為常數(shù))，用錯位相減法zz數(shù)列與不等式、函數(shù)問題：數(shù)列與不等式、函數(shù)問題：z考題剖析考

15、題剖析例例2.（2007莆田四中）已知為銳角，且tan= 1，函數(shù) f(x)=x2tan2xsin(2 )，數(shù)列an的首項a1= ,an1=f(an). （1）求函數(shù)f(x)的表達式； （2）求證：an1an； （3）求證：2421*), 2(2111111121Nnnaaan 解析（1）tan2= =1 又為銳角 sin(2 )=1 f(x)=x2x22) 12(1) 12(2tan1tan24數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 （2）a1= a2,a3,an都大于0 0 an1an考題剖析考題剖析nnnnnnnaaaaaaa111)1 (1112111111nnnaaa21111nnaa（3

16、）由（2）知11111nnnaaa1322121111111111111nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法又n2時,an1an an1a31 12 21 2考題剖析考題剖析143)43(,4321)21(2322aa11nanaaa11111121 點評 在高考題中，數(shù)列一般與函數(shù)、不等式、三角綜合，本題中，表面上有三角函數(shù)，但可以通過對三角函數(shù)求值，將三角函數(shù)去掉.從而轉(zhuǎn)化為一個遞推數(shù)列的問題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 1.(2007東北四市長春、哈爾濱、沈陽、大連) 數(shù)列an的首項 a1=1，前n項和Sn與an之間滿足an= (n2).

17、 （1）求證：數(shù)列 的通項公式； （2）設(shè)存在正數(shù)k，使(1S1)(1S2)(1Sn)k 對一切nN*都成立，求k的最大值.1222nnSSnS112 n課堂練習課堂練習 解析（1）證明：n2，an=SnSn1SnSn1= ，(SnSn1)(2Sn1)=2S ，Sn1Sn=2SnSn1 =2(n2)， 數(shù)列 為首項，以2為公差的等差數(shù)列.考題剖析考題剖析1222nnSS111nnSS1111SSn是以數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法2n （2）由（1）知 =1(n1)2=2n1F(n)在nN*上遞增，要使F(n)k恒成立，只需F(n)minkF(n)min=F(1)= 考題剖析考題剖析nS1.

18、121,1211nSnSnn12)1 ()1)(1 ()(21nSSSnFn設(shè)3212)1 ()() 1(1nnSnFnFn則1384484)32)(12(2222nnnnnnn332332,3320maxkk 點評本小題考查等差數(shù)列通項與前n項和關(guān)系以及數(shù)列與不等式相結(jié)合的有關(guān)問題.數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法2 2.（2007浙江省五校模擬題） 已知函數(shù)f(x)=xln(1x),數(shù)列an滿足0a11, an1=f(an); 數(shù)列bn滿足 ,nN*.求證: （）0an1an1; （）an1ann!.考題剖析考題剖析nnbnbb) 1(21,211122na數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法

19、22 （2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即0ak1.則當n=k1時,因為0 x0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在0,1上連續(xù),所以f(0)f(ak)f(1),即0ak11ln21.故當n=k1時,結(jié)論也成立.即0an1對于一切正整數(shù)都成立.又由0an1,得an1an=anln(1an)an=ln(1an)0,從而an1an.綜上可知0an1an1.考題剖析考題剖析111xxx 解析 ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1,nN*. （1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立;數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法考題剖析考題剖析 ()構(gòu)造函數(shù)g(x)= 0 x0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g

20、(x)在0,1上連續(xù),所以g(x)g(0)=0.因為0an0,即 .,)1ln(2)(222xxxxfxxx122, 0)(2212nnnnaaafa從而數(shù)列解答題的解法數(shù)列解答題的解法 () 因為 b1= 所以bn0, ,所以由() 所以因為a1= , n2, 0an1anann!.考題剖析考題剖析,) 1(21,211nnbnb211nbbnn!21112211nbbbbbbbbnnnnnn2:2121nnnnnaaa，aa知,222121123121nnnnaaaaaaaaaaa222122222221111121nnnnnnaaaaaaa 點評本題考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)等知識，考查綜合運用知識