第三章零息債券與附息債券Ⅱ(固定收益證券北大姚長輝)

1、 第三章第三章 零息債券與附息債券零息債券與附息債券 第一節(jié)第一節(jié) 關(guān)于到期收益曲線關(guān)于到期收益曲線 的理論闡釋的理論闡釋 第二節(jié)第二節(jié) 債券合成債券合成 第三節(jié)第三節(jié) 尋找套利機會尋找套利機會 第四節(jié)第四節(jié) 時間效應(yīng)時間效應(yīng) 第五節(jié)第五節(jié) 再投資收益率風險分析再投資收益率風險分析第一節(jié)第一節(jié) 關(guān)于到期收益曲線關(guān)于到期收益曲線 的理論闡釋的理論闡釋 理論可以解釋理論可以解釋: 到期收益曲線在某一時點的形狀到期收益曲線在某一時點的形狀 到期收益曲線的變化到期收益曲線的變化 未來怎樣未來怎樣 傳統(tǒng)理論傳統(tǒng)理論 市場分割理論市場分割理論/偏好理論偏好理論 無偏預(yù)期理論無偏預(yù)期理論 流動偏好理論流動偏

2、好理論現(xiàn)代理論現(xiàn)代理論 市場分割理論市場分割理論 某些投資者某些投資者/借款人喜歡長期投資借款人喜歡長期投資/借款（例如，借款（例如，壽險公司與退休基金）壽險公司與退休基金） 其他投資者喜歡短期投資其他投資者喜歡短期投資/借款（例如，商業(yè)借款（例如，商業(yè)銀行）銀行） 市場中供給與需求的力量決定了各自的市場利市場中供給與需求的力量決定了各自的市場利率率偏好理論偏好理論 是指投資者對投資期限有一定的偏好，但如果是指投資者對投資期限有一定的偏好，但如果預(yù)期收益之間的差別特別大，他們也會改變偏預(yù)期收益之間的差別特別大，他們也會改變偏好好 通常情況下，市場分割理論通常情況下，市場分割理論/偏好理論在解釋

3、偏好理論在解釋到期收益曲線時沒有預(yù)期理論或者流動偏好理到期收益曲線時沒有預(yù)期理論或者流動偏好理論來得重要。論來得重要。無偏預(yù)期理論無偏預(yù)期理論 投資者在選擇投資組合時，決策標準是預(yù)期收投資者在選擇投資組合時，決策標準是預(yù)期收益最大。因此，在一定的持有期間內(nèi)，供求的益最大。因此，在一定的持有期間內(nèi)，供求的力量會使得投資任何證券都獲得相同的收益，力量會使得投資任何證券都獲得相同的收益，不管期限怎樣。不管期限怎樣。無偏預(yù)期理論無偏預(yù)期理論 例例 3-1: 某投資者投資期有兩年，以下投資都某投資者投資期有兩年，以下投資都給他帶來相同的期望收益：給他帶來相同的期望收益： 1) 購買購買1年期證券，到期后

4、再投資于另一個年期證券，到期后再投資于另一個1年年期證券；期證券； 2）直接購買一個）直接購買一個2年期證券年期證券 3）購買一個）購買一個5年期證券，年期證券，2年后賣掉。年后賣掉。無偏預(yù)期理論無偏預(yù)期理論 該理論的含義該理論的含義:由到期收益曲線所暗含的遠期利率等于未來在由到期收益曲線所暗含的遠期利率等于未來在該短時間上的即期利率該短時間上的即期利率，與此同時，該理論也，與此同時，該理論也說明長期證券收益率等于當期短期利率以及預(yù)說明長期證券收益率等于當期短期利率以及預(yù)期短期利率的幾何平均期短期利率的幾何平均。無偏預(yù)期理論無偏預(yù)期理論)(ntntYEf 應(yīng)用應(yīng)用: “無套利無套利”總收益總收

5、益思路思路: 利用到期收益曲線所暗含的遠期利率來利用到期收益曲線所暗含的遠期利率來估計總收益估計總收益.無偏預(yù)期理論無偏預(yù)期理論 例例 3-2: 投資于投資于 3年期，票面利率年期，票面利率7%（半年付息）的債（半年付息）的債券，價格為券，價格為 $960.33 ($1,000面值面值) 。該債券的到期收益。該債券的到期收益率為率為 8.53% (b.e.b.). 投資者打算投資者打算2年后賣掉該債券，問年后賣掉該債券，問期望無套利的總收益是多少期望無套利的總收益是多少? t 即期收益曲線即期收益曲線 單期遠期利率（單期遠期利率（t-1) (1 period = 6 個月個月; 收益率是收益率

6、是6個月有效收益率個月有效收益率)1 3.25% 3.25%2 3.50% 3.75%3 3.70% 4.10%4 4.00% 4.91%5 4.20% 5.00%6 4.30% 4.80%0.00%1.00%2.00%3.00%4.00%5.00%6.00%012345spotforward例例 3-2 1. 求求2年后債券的出賣價格年后債券的出賣價格: 所以投資者預(yù)期資本利得為所以投資者預(yù)期資本利得為:$973.90 - $960.33 = $13.57 2. 求累積利息求累積利息:$35(1.0375)(1.0410)(1.0491) + $35(1.0410)(1.0491) +35(

7、1.0491) + $35 = $149.60 3. 總預(yù)期收益金額總預(yù)期收益金額=$13.57 + $149.60 = $163.179 .973)048. 1)(05. 1 (103505. 1352P例例 3-2 平均收益率平均收益率 (on a b.e.b.) = 比比 8.52% 的到期收益率少很多，為什么的到期收益率少很多，為什么?%82133.96017.16333.9604/ 1預(yù)期理論與經(jīng)濟周期分析預(yù)期理論與經(jīng)濟周期分析 觀察觀察在經(jīng)濟擴張一開始，到期收益曲線斜率趨于增大，在經(jīng)濟擴張一開始，到期收益曲線斜率趨于增大，而在經(jīng)濟擴張的末尾到期收益曲線斜率趨于降低而在經(jīng)濟擴張的末尾

8、到期收益曲線斜率趨于降低 需求方需求方 在擴張期投資大，貨幣需求的期望增大，促使真實在擴張期投資大，貨幣需求的期望增大，促使真實利率抬高利率抬高 如果預(yù)期經(jīng)濟走向低谷，預(yù)期遠期利率下降，因為如果預(yù)期經(jīng)濟走向低谷，預(yù)期遠期利率下降，因為投資需求將趨緩。投資需求將趨緩。 供給方供給方 人們更愿意均衡消費。如果預(yù)期經(jīng)濟衰退，人們將人們更愿意均衡消費。如果預(yù)期經(jīng)濟衰退，人們將更不愿意花錢，這也促使利率走低。更不愿意花錢，這也促使利率走低。主要發(fā)現(xiàn)主要發(fā)現(xiàn) “The Term Structure and World Economic Growth”, Campbell R. Harvey 主要發(fā)現(xiàn)主要發(fā)

9、現(xiàn): 長短期利率之差，在很多國家都是長短期利率之差，在很多國家都是GNP增增長率的好的預(yù)測指標長率的好的預(yù)測指標 Model: TS = 90天國庫券收益率與天國庫券收益率與5年期以上債券收益率之差年期以上債券收益率之差 在美國和加拿大這一回歸方程可以解釋幾乎在美國和加拿大這一回歸方程可以解釋幾乎50%的的GNP增長。增長。55)()ln()ln(tTttuTSbaGNPGNP多個強假設(shè)多個強假設(shè) 1) 投資者目標是最大期望收益，而不考慮風險投資者目標是最大期望收益，而不考慮風險 2) 預(yù)期絕對能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期絕對能夠?qū)崿F(xiàn) 3）沒有交易成本）沒有交易成本 4）不同期限的證券間完全可以相互替代）不同

10、期限的證券間完全可以相互替代盡管有以上強的假定，大多數(shù)學者都認為期望盡管有以上強的假定，大多數(shù)學者都認為期望理論在解釋到期收益曲線問題上前進了一大步。理論在解釋到期收益曲線問題上前進了一大步。流動偏好理論流動偏好理論 流動偏好理論是說，投資者購買長期證券要索流動偏好理論是說，投資者購買長期證券要索取風險溢價。這就要修正對暗含遠期理論的理取風險溢價。這就要修正對暗含遠期理論的理解解。ntntntLYEf)(流動偏好理論流動偏好理論0.00%1.00%2.00%3.00%4.00%5.00%6.00%012345expectedforward第二節(jié)第二節(jié) 債券合成債券合成 附息債券是零息債券的合成

11、物附息債券是零息債券的合成物 零息債券是附息債券的合成物零息債券是附息債券的合成物 附息債券是零息債券與年金證券的合成附息債券是零息債券與年金證券的合成物物附息債券是零息債券的合成物附息債券是零息債券的合成物 純粹附息債券（純粹附息債券（Straight coupon bond） 任何現(xiàn)金流量都可以說是零息債券的合任何現(xiàn)金流量都可以說是零息債券的合成物成物零息債券是附息債券的合成物零息債券是附息債券的合成物例 3-3: 有三個附息債券 Time A B C 0 90.284 -103.004 111.197 1 5 10 15 2 5 10 115 3 105 110 0零息債券是附息債券的合

12、成物零息債券是附息債券的合成物 問題：如何構(gòu)建一個零息債券：面值100,1年期限，如何投資? 也就是如何決定附息債券的購買數(shù)量，使得組合的現(xiàn)金流量滿足以下要求:00110105011510510015105CBACBACBANNNNNNNNN零息債券是附息債券的合成物零息債券是附息債券的合成物 解方程115.243 .25CBANNN零息債券是附息債券的合成物零息債券是附息債券的合成物 A B C 價格 90.284 103.004 111.197 數(shù)量 -25.3 24.15 -1 總價值 -2284.2 2487.544 -111.197 零息債券價值 92.16零息債券是附息債券的合成物

13、零息債券是附息債券的合成物 問題問題1 1：如果計算出來的價格與折現(xiàn)因子不一：如果計算出來的價格與折現(xiàn)因子不一致致, ,怎么辦怎么辦? ? 問題問題2: 2: 合成需要賣空合成需要賣空, ,這是否現(xiàn)實這是否現(xiàn)實? ? 問題問題3: 3: 計算結(jié)果有小數(shù)點計算結(jié)果有小數(shù)點, ,怎么辦怎么辦? ?合成債券的一般方法合成債券的一般方法 QQQQQQQQQQWCNCNCNWCNCNCNWCNCNCN22112222212111212111附息債券是年金證券附息債券是年金證券與零息債券的合成物與零息債券的合成物 例 3-4.有三個債券A,B,C, 償還期都是3年,付息日相同,面值都是100.票面利率與價

14、格如下:bond bond 票面利率票面利率 價格價格 到期收益率到期收益率 A A 8 97.83 8 B B 6 85.707.83 C C 4 72.667.78應(yīng)該投資哪個證券?附息債券是年金證券附息債券是年金證券與零息債券的合成物與零息債券的合成物 基于到期收益率? 基于總收益分析? 債券債券 票面利率票面利率 再投資收益率再投資收益率 4% 6% 8%4% 6% 8% A A 8% 6.97% 8.0% 9.2% B B 6% 6.98% 7.87% 8.92% C C 4% 7.13% 7.82% 8.66%附息債券是年金證券附息債券是年金證券與零息債券的合成物與零息債券的合成物

15、 附息債券可以被分解為兩個部分:年金證券和零息債券101101101011010129.6417.25100466.72100883.97ttttttttddthendddd附息債券是年金證券附息債券是年金證券與零息債券的合成物與零息債券的合成物 而債券B的價格為85.70，相對于A、C而言，價格過高。23.8549.4729.66100610101ddVttB第三節(jié)第三節(jié) 尋找套利機會尋找套利機會 什么是套利？什么是套利？ 如何套利？如何套利？例3-5 在時點在時點0, t0, t有無風險債券有無風險債券A A和和B.B.債券債券 A A 在時點在時點1,2,31,2,3各支付各支付$1.

16、A$1. A的價格為的價格為 $2.24$2.24。債券。債券 B B 在時點在時點1 1和和3 3支付支付 $1 $1 ，在時點，在時點2 2支付支付$0$0。B B的價的價格為格為$1.6.$1.6. 問題問題 1) 1) 計算計算2 2年期零息債券的到期收益率年期零息債券的到期收益率2 2）如果存在債券）如果存在債券C C，在時點，在時點2 2支付支付 $1 $1 ，價，價格為格為$0.74. $0.74. 如何獲得如何獲得$2$2的無風險收益。的無風險收益。A,B,CA,B,C都可以賣空。都可以賣空。例3-5 1）債券 A,B 和A-B的現(xiàn)金流量 time 0time 1 time 2

17、 time 3A 2.24 1 11B 1.60 1 01A-B 0.64 0 10%251)1(64.0222rr例3-5 2）如果賣空債券 C，買入 A-B，具體而言買入 A，賣空 B，賣空 C，你可以得到$0.1. 你一點風險沒有承擔。你可以放大交易20倍，就可以獲得$2的無風險收益。例 3-62、三種無風險證券A、B、C的價格和現(xiàn)金流量分別為012A901000B750100C155100100假定不允許賣空，那么1）是否有一組折現(xiàn)因子，與上述債券價格相對應(yīng)？2）張三想構(gòu)建一個組合，該組合在1時點產(chǎn)生200的現(xiàn)金流量，在2時點產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，他如何選擇，被選中的組合的成本是多少？

18、3）張三為了讓組合在1時點多產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，那么該額外增加的100的利率（年復(fù)利）是多少？如果額外現(xiàn)金流量發(fā)生在2時點，情況又怎樣？4）李四想構(gòu)建一個組合，該組合在1時點產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，在2時點產(chǎn)生200的現(xiàn)金流量，他如何選擇，被選中的組合的成本是多少？5）李四為了讓組合在1時點多產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，那么該額外增加的100的利率（年復(fù)利）是多少？如果額外現(xiàn)金流量發(fā)生在2時點，情況又怎樣？6）二人收益率差別的主要原因是什么？例 3-6答：1）如果存在一組折現(xiàn)因子，那么應(yīng)該有下面聯(lián)立方程很顯然，不存在與上述債券價格相匹配的一組折現(xiàn)因子。2）張三有兩個選擇，一是持有1個單位的A和1個單

19、位的C，二是持有2個單位的A和1個單位的B。第一種選擇成本是245，而第二種選擇的成本是255。因此，張三應(yīng)該選擇持有1個單位的A和1個單位的C。21211001001551007510090dddd例 3-63）張三應(yīng)該持有另外1個單位的A，價格是90。年收益率為11.11%。為了在2時點上產(chǎn)生額外100的現(xiàn)金流量，張三可以直接購買B（價格75），也可以出售A，然后購買C（價格65=155-90）。因此張三應(yīng)該出售A，然后購買C。收益率為 r=24.03%4）李四的組合在1時點產(chǎn)生100的現(xiàn)金流量，在2時點產(chǎn)生200的現(xiàn)金流量，他應(yīng)該持有1個單位的B和1個單位的C，成本為230。另一個選擇是

20、一個單位A，兩個單位B，但成本為240，因此舍棄。2)1 (65100r例 3-65）為了在1時點增加100的現(xiàn)金流量，李四可以額外持有1個單位的A，成本為90。李四的另一個做法是賣掉組合中的B，然后購買C。這樣成本為80（155-75）。當然，李四應(yīng)該選擇后一種做法。收益率為 r=25%為了在2時點增加100的現(xiàn)金流量，李四可以額外持有1個單位的B，成本為75。收益率為 r=15.47%6）張三和李四的收益率曲線差別大主要是由于C證券的低定價。當將C證券放入一個組合中，由于C的低定價，就會使得新組合的收益率增大。但只能用A、B來構(gòu)成組合時，收益率就偏低。由于張三和李四的組合不同，利用C證券的

21、方式也不同，因此其收益率曲線不同。)1 (80100r例3-7 假定到期收益曲線向下傾斜，有效年收益率如下： Y1 = 9.9%Y2 = 9.3%Y3 = 9.1%到期收益率是根據(jù)3個到期時間分別為1年、2年、3年的零息債券的價格計算出來的。已知票面利率11%期限3年的債券的價格為 $102 .是否存在套利機會，如何得到這一機會？是否存在套利機會，如何得到這一機會？例 3-7 債券價格 $102明顯低估!10269.104091. 1111093. 111099. 11132P例3-7 如何獲利如何獲利? 購買這一低估債券，出賣一組零息債券，該組零息債券的現(xiàn)金流量與所購買債券的現(xiàn)金流量相吻合：

22、賣面值 $11 的1年期零息債券，賣面值$11 2年期零息債券，賣面值$111的3年期零息債券，這樣你今天就可以得到$104.69。與此同時，你用$102購買價值被低估的債券。今天你得到 $2.69 。未來的現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出完全吻合，這$2.69就是無風險收益。第四節(jié)零息債券價格的時間效應(yīng)值 值的定義值反映的是到期收益率曲線不發(fā)生變化，零息債券價格變化的時間效應(yīng)。這一時間效應(yīng)可以理解為持有期無窮小時，零息債券的升值水平。值相當于折現(xiàn)函數(shù)在某一時期上的斜率，即dtdP值的近似求法 由于零息債券價值的瞬間變化難以計量，因此可以用近似的辦法 如果能夠得到間隔很短的到期收益率曲線，那么可以計算在那樣

23、短的時間內(nèi)零息債券價格的時間效應(yīng)，計算公式為tP2ttPP值的近似求法 舉例：一個零息債券將在12.5年后支付1元，利用前面的折現(xiàn)函數(shù)，求該12.5年的零息債券的值。03199.012132878.03198.0121321312ddddtt近似值的意義 價格風險可以量化，但時間效應(yīng)的量化很難找到合適的公式。期限 到期收益率折現(xiàn)因子 值1/3658.24%0.99980.08000.5 8.42%0.96040.07841 8.51%0.92160.07671.5 8.59%0.88370.07492 8.68%0.84670.07302.5 8.76%0.81070.07113 8.84%0

24、.77560.06914 8.99%0.70860.06505 9.14%0.64580.06076 9.28%0.58710.05657 9.41%0.53270.05238 9.54%0.48240.04829 9.66%0.43620.044310 9.77%0.39380.040511 9.87%0.35510.037012 9.97%0.31980.033613 10.05%0.28780.030414 10.13%0.25890.027515 10.21%0.23270.0248期限 到期收益率 折現(xiàn)因子 值16 10.27%0.2092 0.022317 10.33%0.1881

25、 0.020018 10.38%0.1691 0.018019 10.42%0.1521 0.016120 10.46%0.1369 0.014421 10.48%0.1233 0.012822 10.50%0.1111 0.011423 10.51%0.1003 0.010224 10.52%0.0907 0.009125 10.51%0.0822 0.008126 10.50%0.0745 0.007227 10.48%0.0678 0.006428 10.46%0.0618 0.005729 10.42%0.0564 0.005030 10.38%0.0517 0.0045幾何圖形值0.

26、00000.02000.04000.06000.08000.1000期限12.55811141720232629值固定收益證券組合時間效應(yīng)值的計算 組合的時間效應(yīng)就是其所含零息債券時間效應(yīng)的加權(quán)總和，權(quán)數(shù)是單個零息債券的數(shù)量。即iipC組合的時間效應(yīng)舉例：一個固定收益證券組合由下列零息債券構(gòu)成：10個單位的2年期零息債券，5個單位的9年期零息債券，3個單位的30年期零息債券。組合中包括單一種類的負債，是7個單位的20年期零息債券。利率期限結(jié)構(gòu)如前所示。該組合的權(quán)益價值為：100.8467+50.4362+30.05169-70.1368=9.85資產(chǎn)的值為100.07303+50.0443+3

27、0.04458=0.9652負債是值為70.01437=0.1006權(quán)益的值為資產(chǎn)的值減去負債的值，即0.9652-0.1006=0.8646零息債券價格與利息率的關(guān)系零息債券價格與利息率的關(guān)系Lecture1Notes.pdf（20-2520-25）第五節(jié) 再投資收益率風險分析 在理論上，再投資收益率風險相當復(fù)雜。本文以零息債券為例，并利用前面給出的到期收益曲線來分析再投資收益率風險。再投資收益率風險分析第一，在到期收益曲線向右上方傾斜時，如果再投資收益率不上升，即按照現(xiàn)在收益曲線所對應(yīng)的收益率獲得收益，那么，投資于長期零息債券更為有利。例如，投資者的投資期為2年，該投資者有多種投資選擇，其

28、一是連續(xù)投資兩個1年期兩個零息債券，其二是直接購買2年期零息債券，其三是購買3年或3年以上的零息債券，在第二年年年底出售。在2年后，第一種投資選擇給投資者帶來的總收益是1.1773 （ ）；第二種選擇給投資者帶來的收益是1.1810 （ ）；第三種選擇機會有很多，結(jié)果也各不相同。以選擇5年期債券，2年后出售為例，投資者的收益為1.2011（ ） 。這說明，在到期收益率曲線向右上方傾斜而又不發(fā)生變化的情況下，投資長期債券會獲得更多的利益。2085056. 12086753. 135088377. 1/091404. 1再投資收益率風險分析 第二，在到期收益曲線向右上方傾斜時，即使未來再投資收益率

29、上升，但只要不超過一定的幅度，投資于長期證券還是相對有利。例如，2年后，到期收益率曲線平行上升，只要不上升幅度不超過0.6%，選擇5年期債券依然有利。因為即使利率平行上升0.6%，選擇5年期債券2年后出售的收益也還是1.1814 （ ）。而選擇2年期零息債券的收益為1.1810.35)006. 0088377. 1/(091404. 1再投資收益率風險分析 第三，如果到期收益曲線為水平狀，那么該曲線在未來向上移動，即再投資收益率上升，投資于長期證券的收益將低于短期證券。此時各種期限上的遠期利率或者說是均衡利率都相等，等于各種證券的到期收益率。由于遠期利率是兩種零息債券到期收益率的加權(quán)平均，既然

30、各期零息債券的收益率都相等，其加權(quán)平均值也必然等于這一收益率。如果到期收益率曲線是水平的，那么收益率向上移動，就會使得長期債券的收益低于短期債券。相反，到期收益率曲線向下移動會導(dǎo)致長期債券的收益率高于短期債券。再投資收益率風險分析第四，如果到期收益率曲線向下傾斜，要使長期債券獲得與短期債券相同的收益，市場利率必須下降。例如，1年、2年、3年期零息債券的到期收益率為8%、7%、6%。如果投資期為1年，那么持有1年期零息債券至償還期的收益率為8%。持有3年期零息債券共1年時間的收益率，取決于1年后該債券的出售價格為如果到期收益率曲線不變，那么2年期債券的收益率為7%，該3年期債券在1年后的出售價格為0.8734（ ）。而