運用曲線系解曲線方程問題

1、運用曲線系解曲線方程問題張寬鎖在解析兒何中，有關(guān)求dli線方程的問題，大都采川待定系數(shù)法求解，而采取這種方 法有吋未知數(shù)多，解方程組比較麻煩，有些還要分類討論，因此，有沒有一些更簡便的方法 解決這些問題呢？本文就此談談曲線系方程的應用。引入：高中數(shù)學第二冊(上)p88第4題是：如果兩條曲線方程是fi(x, y) = 0和f2(x, y) = 0,它們的交點是p (xo, yo),求證：方程f】(x, y)+ x f2 (x, y) =0的曲線也經(jīng)過點p (入是任意常數(shù))。山此結(jié)論可得出：經(jīng)過兩曲線fi(x, y)=0和f2(x, y) =0交點的曲線 系方程為：斤(x, y) +xf2 (x,

2、 y) =0。利用此結(jié)論可得出相關(guān)曲線系方程。一.直線系概念：具有某種共同屬性的一類宜線的集合，稱為直線系。它的方程稱直線系方程。兒 種常見的直線系方程：(1) 過已知點p (xo，y0)的直線系方程yyo=k (xx() (k為參數(shù))(2) 斜率為k的直線系方程y=kx+b (b是參數(shù))(3) 與已知宜線ax + by+c=0平行的直線系方程ax+by+入=0 (入為參數(shù))(4) 與已知直線ax + by+c=o垂直的直線系方程bxay+入=0 (入為參數(shù))(5) 過直線h： ax+biy+c】 =0與® a2x+b2y+c2=0的交點的直線系方程:aix+biy+c+入(a2x

3、+ b?y+c2)=0 (入為參數(shù))【例1】已知直線li： x+y+2=0與i2： 2x3y3=0,求經(jīng)過的交點且與已知直線3x + y 1 =0平行的直線l的方程。解：設ft線l的方程為2x3y3+ 入(x+y+2) = 0o(入+2) x+(入一3)+2 x 3 0ol與直線3x+yl =0平行,.九+2 九一3 2九一3 ho31-1解得： o2所以直線l的方程為：15x+5y+16=()【例2】求證:m為任意實數(shù)時,直線(m l)x+(2m l)y=m5恒過一定點p,并求p點坐標。分析：不論m為何實數(shù)時，直線恒過定點，因此，這個定點就一定是直線系中任意兩直 線的交點。解：rh原方程得m

4、(x+2y1) (x + y 5)=0,即|x + 2y-1 = ° 解得$ = 9 ,x + y-5 = 0y = -4直線過定點p(9, -4)注：方程可看作經(jīng)過兩玄線交點的立線系。二圓系概念：具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。兒種常見的惻系方程：(1) 同心圓系:(xxo)2+ (yyo)2=r2, x()、yo為常數(shù)，i為參數(shù)。(2) 過兩已知圓 ci： fi (x, y) =x2+y2+d|x+eiy+f1 = 0o和c2： f2 (x, y) =x2+y2+d2x + e2y+f2=0的交點的圓系方程為：x2+y2 + d)x+ey+f + a. (x2 + y2+d

5、2x+e2y+f2) =0 (入工1)若入=1 時，變?yōu)?dd?) x+ (e)e?) y+f f2=0,貝ij表示過兩圓的交點的立線。其屮兩惻相交時，此直線表示為公共弦所在直線，當兩i員【相切時，此直線為兩i員i的公切 線，當兩i員相離時，此直線表示與兩圓連心線垂直的直線。(3) 過直線與圓交點的圓系方程：設直線l： ax+by+c=0與圓c： x2+y2 + dx+ey+f=0相交，則過直線l與圓c交 點的圓系方程為 x2+y2+dx+ey+f+ x (ax+by+c) =0?！纠?】高中數(shù)學第二冊(上)p82第8題是：求經(jīng)過兩gx2+y2+6x-4 = 0和x?+ y2+6y-28=0的

6、交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。解：根據(jù)(2)設所求圓的方程為：x2+y2 + 6x 4+ x (x2 + y2 + 6y28) = 0o即(1+入)x'+(l + 入)y' + 6x+6 入 y(4+28 入)= 0。其中圓心為（一，邑），1+九 1+九又該圓心在直線xy4 = 0上 即二l +亙_4 = 0,得x=-7c1 +九1 +九：所求圓方程為x2+y2x+7y32=0o【例4】高中數(shù)學第二冊（上）p72第9題是：求經(jīng)過兩條曲線x2+y2+3xy=0 和3x2+3y2+2x+y=0 交點的直線方程。分析：此題常規(guī)方法是聯(lián)立解方程組得交點處標，再用兩點式

7、寫出直線方程。若用（2） 中方法則非常簡單。解：先化為圓的一般式方程：2 1x2 + y2 + x + -v = 0（3）3 32 1由一得：（3）x + （ 1）y = 0即7x-4y=0o此為所求直線方程。【例5】求過直線2x+y+4=0和圓x2 + y2 + 2x -4y + 1 = 0的交點,口過原點的圓方程。解：根據(jù)（3）,設所求圓的方程為：x2 4- y2 + 2x - 4y + 1 + 入（2x + y + 4） = 0。即x?+y2+2（1 +九）x + （入一4）y + （l + 4入）=0 ,因為過原點，所以1+4九=0,得九=1o4故所求圓的方程為：x2 + y2 + x

8、 - y = 0 o24三.橢圓系? 2 2 2（1）與橢圓冷+當=1 （半焦距為c）共焦點的橢圓系方程：+ - = 1 （ x >c2） a2 b2x x-c2與橢圓$ +待1具有相同離心率的橢圓系方程為令+令眾（x >0）.【例6】求經(jīng)過點（2, -3）,且與橢圓9x2+4y2 = 36有共同焦點的橢圓方程。 解：因已知橢圓焦點在y軸上，且c2=5,2 2則可設所求橢圓方程為：+=1九 九+ 549乂經(jīng)過點（2, -3）,代入方程得：- + - = 1,解得：九=10或九=一2 （舍去）九九+ 52 2【例7】求與橢圓+厶=1有相同離心率冃經(jīng)過點（2, 侖）的橢圓的標準方程。

9、43解：由題意，設所求橢圓方程為2 2+=t（t>0）o4 3丁橢圓過點（2, y/i ）,故 1= （= 2。432 2故所求的橢圓方程是 二+l=1。8 6三.雙曲線系2 2x +c2 -x(0< x <c2=（1）與雙曲線罕-斗=1共焦點的雙曲線系方程: b_2 2 2 2（2）與雙曲線于計1共漸近線的雙曲線系方程為于計入（心°）（3）籌軸雙曲線系方程為：x2-y2= x （入h0）2 2【例8】求與雙曲線話_計1共漸近線且過點a （2心）的雙啊方程。分析：一般解法是分類討論，還需解方程組。利用(2)可簡化運算。解：設所求雙曲線方程為:- = x (心0)169因為過點a ( 23-3 ),1? qi丿斤以=九,九=o16 94所求雙曲線方程為：- =-1694即1。94后記：應用dli線系方程不當時也會失效。【例9求以圓x2+y2=5與拋物線y2=4x的公共弦為直徑的圓的方程。分析：常規(guī)解法是：x/y p解得 v2 = 4xx = 1yi =2llhx2=1y2 =-2得圓方程：(x 1) 2+y2=4若用曲線系方程思想，則可構(gòu)造方程為(x2+y25) + 入(y24x) =0 (*)即 x2+(l+ 入)y24x x5 = 0o則入=0時為圓方程，顯然為己知圓，不是所求圓。錯誤原因分析