2014版挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題詳解(115頁)(2)

1、目錄第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例12013年上海市中考第24題例22012年蘇州市中考第29題例32012年黃岡市中考第25題例42010年義烏市中考第24題例52009年臨沂市中考第26題例62008年蘇州市中考第29題1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例 1 2013 年上海市虹口區(qū)中考模擬第25 題例2例3例4例5例6例7201220122011201120102009年揚州市中考第 年臨沂市中考第 年湖州市中考第 年鹽城市中考第 年南通市中考第 年江西省中考第27 題26 題24 題28 題27 題25 題1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例120

2、13年山西省中考第26 題例22012年廣州市中考第24 題例32012年杭州市中考第22 題例42011年浙江省中考第23 題例52010年北京市中考第24 題例62009年嘉興市中考第24 題例72008年河南省中考第23 題1.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例 1 2013 年上海市松江區(qū)中考模擬第24題例22012年福州市中考第21題例32012年煙臺市中考第26題例42011年上海市中考第24題例52011年江西省中考第24題例62010年山西省中考第26題例72009年江西省中考第24題1.5 因動點產(chǎn)生的梯形問題例 1 2012 年上海市松江中考模擬第24 題例 2 2012 年

3、衢州市中考第24 題例 4 2011 年義烏市中考第24 題5例52010年杭州市中考第24題例72009年廣州市中考第25題1.6 因動點產(chǎn)生的面積問題例12013年蘇州市中考第29題例22012年菏澤市中考第21題例32012年河南省中考第23題例42011年南通市中考第28題例52010年廣州市中考第25題例62010年揚州市中考第28題例72009年蘭州市中考第29題1.7 因動點產(chǎn)生的相切問題例 1 2013 年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25 題例22012年河北省中考第25題例32012年無錫市中考第28題1.8 因動點產(chǎn)生的線段和差問題例12013年天津市中考第25題例22012年濱

4、州市中考第24題例32012年山西省中考第26題第二部分圖形運動中的函數(shù)關系問題2.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題例 1 2013 年寧波市中考第26 題例 2 2012 年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25 題例 3 2012 年連云港市中考第26 題例 4 2010 年上海市中考第25 題2.2 由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關系問題例12013年菏澤市中考第21 題例22012年廣東省中考第22 題例32012年河北省中考第26 題例42011年淮安市中考第28 題例52011年山西省中考第26 題例62011年重慶市中考第26 題第三部分圖形運動中的計算說理問題3.1 代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問

5、題例1 2013 年南京市中考第26 題例 2 2013 年南昌市中考第25 題3.2 幾何證明及通過幾何計算進行說理問題例 1 2013 年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題例 2 2013 年江西省中考第24 題第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例如圖1 ,在平面直角坐標系動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 點B的右側(cè)，有兩種情況， 請打開超級畫板文件名“ 點B的右側(cè)，有兩種情況， 準確位置。13上海24” ,拖動點 ABC與MOM相似.13上海24” ,拖動點 ABC與 AOM相似.C在x軸上運動，可以體驗到，點C在x軸上運動，可以體驗到，點 點擊按鈕的左部和中部，可

6、到達相似的思路點撥1.第(2)題把求/ AOM的大小，轉(zhuǎn)化為求/ I2,因為/ BOM = /ABO=30° ,因此點 C在點3 .根據(jù)夾角相等對應邊成比例，分兩種情況討論滿分解答(1)如圖2,過點A作AHy軸，垂足為H.在 RtAAOH 中，AO = 2, Z AOH = 30° , 所以 AH = 1, OH =3 .所以 A (1, J3).因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，BOM的大小.設 y = ax(x - 2),代入點 A (-1,73),可得3 a =.3圖2的右側(cè)時，恰好有/ ABC=/AOM.ABC與 AOM相似.所以拋物線的表達式為y=&quo

7、t;x(x2)=(2)由 y = 3 x232,33x =(x-1)2 -3、33，得拋物線的頂點 M的坐標為(1,-.所以 tan BOM1 2013年上海市中考第24題xOy中，頂點為 M的拋物線y=ax2+bx (a> 0)經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點 B, AO=BO = 2, /AOB=120° .(1)求這條拋物線的表達式；(2)連結OM,求/ AOM的大小；(3)如果點 C在x軸上，且 ABC與 AOM相似，求點 C的坐標.所以/ BOM =30° ,所以/ AOM = 150° .(3)由 A(1,向)、B(2,0)、M(1,-得 tan/AB

8、O=立，AB =2陰，om =延. 33所以/ABO=30° , _OA_=73.OM因此當點 C在點B右側(cè)時，/ ABC=/AOM = 150° . ABC與AOM相似，存在兩種情況：如圖3,當空=也=弗時，BC=ba=1=2.此時C(4,0). BC OM,33如圖 4,當毀=_OA = J3 時，BC =J3BA = J3x2j3 = 6 .此時 C(8,0).BA OMMM圖3圖4考點伸展在本題情境下，如果 ABC與 BOM相似，求點C的坐標.如圖5,因為 BOM是30°底角的等腰三角形，/ ABO = 30° ,因此 ABC也是底角 為30&#

9、176;的等腰三角形，AB=AC,根據(jù)對稱性，點 C的坐標為（一4,0）.例2 2012年蘇州市中考第29題如圖1,已知拋物線y=1x2 1（b+1）x+b （b是實數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交 444于點A、B （點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點 C.（1）點B的坐標為，點C的坐標為 （用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且4PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點 P的坐標；如果不存在，請說 明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點 Q,使得 QCO、AQOA和4QAB中的 任意兩個

10、三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.17動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到， 點P到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻.雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B,可以體驗到，存在/ OQA = Z B的時刻，也存在/ OQ'A= / B的時刻.思路點撥1 .第（2）題中，等腰直角三角形 PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等.2 .聯(lián)結OP,把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含 b的式子 表本.3 .第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺

11、這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點 A與x軸垂直的直線上.滿分解答（1） B的坐標為（b, 0）,點C的坐標為（0, b ）.4（2）如圖2,過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為 D、E,那么PDBPEC. 因此PD=PE.設點P的坐標為（x, x）.如圖3,聯(lián)結OP.cc , c 1b 1 .5.所以S 四邊形 pcob = Spco + Sapbo = x x + Mb x = bx = 2b.解得x=16.所以點P的坐標為（ ,）.(3)由 y = 1 x2 _ 1 (b +1)x + b = 1 (x _1)(x b),得 A(1,0), OA= 1 .444 4如圖4

12、,以OA、OC為鄰邊構造矩形 OAQC,那么 OQC0QOA.當 a=空 即 QA2=BAOA時，BQAsqoa.QA OA所以(b)2=b_1.解得b=8±4j3.所以符合題意的點 Q為(1,2+J3).4如圖5,以OC為直徑的圓與直線 x= 1交于點Q,那么/ OQC=90°。 因此 OCQs qoa.當 於=絲 時，BQAsQOA.此時/ OQB = 90° .QA OA考點伸展第（3）題的思路是，A、C、。三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而/ QOA 與/ QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況.這樣，先根據(jù) QOA與 QO

13、C相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應成比 例確定點B的位置.如圖中，圓與直線 x= 1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點 B的位置距離點 A很近，這與OB=4OC矛盾.例3 2012年黃岡市中考模擬第25題i如圖1,已知拋物線的萬程 C1: y = _，(x+2)(xm) (m>0)與x軸交于點B、C,與y m軸交于點E,且點B在點C的左側(cè).(1)若拋物線C1過點M(2, 2),求實數(shù)m的值；(2)在(1)的條件下，求 BCE的面積；(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H,使得BH + EH最小，求出點H的坐標；(4)在第四象限內(nèi)，拋物線

14、 C1上是否存在點F,使得以點B、C、F為頂點的三角形 與 BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，請說明理由.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12黃岡25"，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可 以體驗到，EC與BF保持平行，但是/ BFC在無限遠處也不等于 45。.觀察右圖，可以體 驗到，/ CBF保持45° ,存在/ BFC = /BCE的時刻.思路點撥1 .第(3)題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH+EH最小.2 .第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF,作/ CBF = / EBC = 45° ,或者彳BF/EC.再用含m

15、的式子表示點F的坐標.然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應成比例列關 于m的方程.滿分解答1一 1. 一(1)將 M(2, 2)代入 y =(x+2)(x-m),得 2 =-一父4(2 -m).解得 m=4. mm11 c 1一.(2)當 m=4 時，y =一(x+2)(x4) =-x2+x+2 .所以 C(4, 0), E(0, 2).4421 1所以 SAbceBC OE =一父6父2 =6 .2 2(3)如圖2,拋物線的對稱軸是直線x= 1,當H落在線段EC上時，BH+EH最小.設對稱軸與x軸的交點為P,那么 吧=里CP CO因此HP =2.解得HP =3 .所以點H的坐標為(1,2) . 342

16、2(4)如圖3,過點B作EC的平行線交拋物線于 F,過點F作FF。x軸于F'.由于/ BCE=Z FBC ,所以當2巨=股CB BF設點F的坐標為(x,l(x+2)(xm), m解得 x=m + 2.所以 F'(m+2, 0).,即 BC2 =CE BF 時， BCEA FBC.1 ，c、，、(x 2)( x - m)FF-二 EO,得 mBF' COx 2由 CO=BL 徨 mm+4 所以 bf (m+4Nm2+4CE BF 'm7 - BFm由 BC2 =CE BF ,得(m +2)2 = VmT4M (m 44* “+4 . m整理，得0=16.此方程無解

17、.圖2圖3圖4如圖4,作/ CBF = 45°交拋物線于 F,過點F作FFx軸于F由于/ EBC=/ CBF ,所以 BE =BC-,即 BC2 =BE BF 時， BCEA BFC.BC BF在 RtBFF 中，由 FF = BF',彳# 1(x+2)(xm) =x +2 . m解得 x=2m.所以 F'(2m,0).所以 BF = 2m+ 2, BF=V2(2m+2).由 BC2=BE BF ,得(m+2)2 =2V2xT2(2m+2) .解得 m = 2±2&.綜合、，符合題意的 m為2+2J2.考點伸展第(4)題也可以這樣求 BF的長：在求得

18、點 F'、F的坐標后，根據(jù)兩點間的距離公式 求BF的長.例4 2010年義烏市中考第24題如圖1,已知梯形 OABC,拋物線分別過點 O (0, 0)、A (2, 0)、B (6, 3).(1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線 OA、CB以相同的速度同時向上平移， 分別交拋物線于點 。1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設梯形O1A1B1C1的面積 為S, Ar B1的坐標分別為 , y1)、依，y/.用含S的代數(shù)式表示X22,并求出當S=36 時點A1的坐標；(3)在圖1中，設點D的坐標為(1, 3),動

19、點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的 速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段 DM運動.P、 Q兩點同時出發(fā)，當點 Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動.設 P、Q兩點的運動時間 為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線 PQ、直線AB、 拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗 到，X2-X1隨S的增大而減小.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗 到，如果/ GAF = /GQE,那么 GA

20、F與4GQE相似.思路點撥1 .第(2)題用含S的代數(shù)式表示X2-X1,我們反其道而行之，用X1, X2表示S.再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2-y1=3.通過代數(shù)變形就可以了.2 .第(3)題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位 置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證.3 .第(3)題的示意圖，不變的關系是：直線 AB與x軸的夾角不變，直線 AB與拋物 線的對稱軸的夾角不變.變化的直線 PQ的斜率，因此假設直線 PQ與AB的交點G在x軸 的下方，或者假設交點 G在x軸的上方.滿分解答1 c 11(1)拋物線的對稱軸為直線 X =1 ,斛析式為y

21、 = - x2 X ,頂點為M (1,.848(2) 梯形 O1A1B1C1 的面積 S = 2(X1 -1 *x2。父' =3(X1 +x2)6 ,由此得到 2S_1 2 1121一. 一Xi +X2 =+2.由于V2一3=3 ,所以y2- y1 = - X2 X2-Xi+ Xi= 3 .整理，得38 4841172(x2x1) .(x2+x1)= 3 .因此得到 x2 -x1 =.當S=36時，+X1 -14,解得廣一6,此時點Ai的坐標為(6, 3).x2 - x1 = 2.x2 = 8.(3)設直線AB與PQ交于點G,直線AB與拋物線的對稱軸交于點巳直線PQ與x軸交于點F,那么

22、要探求相似的 GAF與 GQE ,有一個公共角/ G.在4GEQ中，/ GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值.在4GAF中，/ GAF是直線 AB與x軸的夾角，也為定值，而且/ GEQw/ GAF . 因此只存在/ GQE = /GAF 的可能， GQEsGAF.這時/ GAF = /GQE=/ PQD.3DQ t3 t 20由于tanNGAF = , tanZPQD =二，所以一二 解得t =一 .4QP 5-t4 5-t7考點伸展第（3）題是否存在點 G在x軸上方的情況？如圖 4,假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的. 事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖， 實際的圖形

23、更接近圖 3.例5 2009年臨沂市中考第26題如圖1,拋物線經(jīng)過點 A(4, 0)、B (1, 0)、C (0, 2)三點.(1)求此拋物線的解析式；(2) P是拋物線上的一個動點，過 P作PM，x軸，垂足為M,是否存在點P,使得以 A、P、M為頂點的三角形與 OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不 存在，請說明理由；(3)在直線AC上方的拋物線是有一點 D,使得 DCA的面積最大，求出點D的坐標.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到， PAM 的形狀在變化，分別雙擊按鈕“ P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“ P在A右側(cè)”，

24、可以顯 示 PAM與 OAC相似的三個情景.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時， DCA的面積最大.思路點撥1 .已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設交點式比較簡便.2 .數(shù)形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長.3 .按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程.4 .把 DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于 OA.滿分解答(1)因為拋物線與x軸交于 A(4, 0)、B (1, 0)兩點，設拋物線的解析式 為 -1 一，y =a(x 1)(x -4)，代入點C

25、的 坐標(0, 2),解得a =.所以拋物線的解析式為21 1 2 5-y =(x1)(x4) = 一一x + x2.2 22 1(2)設點 P 的坐標為(x,-(x-1)(x-4).21 ,如圖 2,當點 P 在 x 軸上萬時，1vx<4, PM = -(x-1)(x-4) AM =4 x.2AM AO ,如果=2 ,那么PM CO站田AM AO 1如果=一,那么PM CO 2此時點P的坐標為(2, 1).1 (x-1)(x-4)'=2 .解得x = 5不合題意.4 - x1-(x-1)(x-4)12=.解得x = 2 .4 -x 21如圖3,當點P在點A的右側(cè)時，x>4

26、, PM =_(x 1)(x 4) , AM 21-(x-1)(x-4)解方程2x -41-(x-1)(x-4)解方程2x -4=2,得x =5 .此時點P的坐標為(5,2) .1r=1 ,得x = 2不合題意.21如圖4,當點P在點B的左側(cè)時，xv 1, PM =1(x 1)(x 4) , AM 21(x -1)(x - 4)解方程2=2,得x = 4 .此時點P的坐標為(3,14).4 - x1(x -1)(x - 4)1解方程2=1,得x = 0 .此時點P與點O重合，不合題意.4 -x 2=4 x .圖2圖3圖41 人(3)如圖5,過點D作x軸的垂線交AC于E.直線AC的解析式為y =

27、 -x-2 . 2綜上所述，符合條件的點P的坐標為(2, 1)或(-3,-14)或(5,-2).1 o 5設點D的橫坐標為m(1 < m < 4),那么點D的坐標為(m,-一 m + m - 2)點e的2 21195119坐標為(m, m -2).所以 DE =(m + m -2) -(一 m - 2) = - - m + 2m.222221122因此 S Dac( m 2m) 4 = -m22圖52 一+ 4m = -(m -2) +4 .圖6當m = 2時， DCA的面積最大，此時點考點伸展第(3)題也可以這樣解：如圖6,過D點構造矩形 OAMN,那么 DCA的面積等于直角梯形

28、 CAMN的面積減去 CDN和4ADM的面積.設點D的橫坐標為(m, n) (1 <m < 4),那么- 11 ,-1 ,.、八 .S = (2n +2)父4 一一 m(n +2) n(4 m) = -m + 2n + 4 .222一 125- 一 一 2由于 n =m +m2,所以 S =m + 4m .2221例6 2008年蘇州市中考第29題女唯Lit物蝮。(工+1)。5與工的交點為Ita j-*x + 6與工軸交于 內(nèi) 2。人與V軸交F仁A Ji的點在宜城方上I AO =HO -yj.AOTBfZ D為綴段MN的中點。H為©OPC斜邊上的高.(DOH的長度等于 7

29、 ik =2 A -(團是否存在實數(shù)口,使湖攤物線y*0*+l)a5)上育一點E.足以D.N百為覆點的 三角般與火。"相似？若不存在,說明理由；若存在,求所有將合條件的物線的解析式,同時探索所求得的 物戢上整番還打符合條件的E點(漪裳說明理由打井送一器探索對符合條件的每一個動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 08蘇州29”，拖動表示a的點在y軸上運動，可以體驗到，當 拋物線經(jīng)過點 E1和£3時，直線NE1、NE3和直線AB交于同一個點 G,此時 POBA PGN.當 拋物線經(jīng)過點E2和E4時，直線NE2、NE4和直線AB交于同一個點 G,可以體驗到，這個點 G在點N右側(cè)較遠處.

30、思路點撥1 .求等腰直角三角形 OAB斜邊上的高 OH,解直角三角形 POH求k、b的值.2 .以DN為邊畫正方形及對角線，可以體驗到，正方形的頂點和對角線的交點中，有 符合題意的點E,寫出點E的坐標，代入拋物線的解析式就可以求出a.3 .當 E在x軸上方時，/ GNP = 45° , POBspgn,把PB'PG轉(zhuǎn)化為 PO PN =14 .4 .當E在x軸下方時，通過估算得到 PB FG大于10 J2.滿分解答(1) OH =1 ,k 二蟲，b="(2)由拋物線的解析式 y = a(x+1)(x5),得點M的坐標為(1,0)，點N的坐標為(5,0).因此MN的中

31、點D的坐標為(2, 0), DN = 3.因為 AOB是等腰直角三角形， 如果4DNE與 AOB相似，那么 DNE也是等腰直角 三角形.如圖2,如果DN為直角邊，那么點 E的坐標為Ei (2, 3)或E2 (2, 3).1將 Ei (2, 3)代入 y =a(x+1)(x5),求得 a =.112 45此時拋物線的斛析式為 y = -(x+1)(x-5) = -x十一x + -. 33331將 E2 (2, 3)代入 y =a(x + 1)(x -5),求得 a =, 3112 45此時拋物線的解析式為 y = -(x+1)(x-5)=-x2 -4x-.333311,、11如果DN為斜邊，那么

32、點 E的坐標為E3(3,1)或E4(3-,-1-).2 222,112將 E3(3,1 2)代入 y =a(x+1)(x -5),求得 a = 一一 .2 2922c 810此時拋物線的解析式為y = 2(x+1)(x5) = £ x2+8x + 10 .99991. 12將 E4(3,1)代入 y =a(x + 1)(x5),求得 a = .229此時拋物線的解析式為y = 2(x+1)(x5)=2x2 -8x-10 .9999圖2圖3 11對于點£為£(2, 3)和E3(3-,1-),直線NE是相同的，/ ENP=452 2又/ OBP = 45°

33、, / P = / P,所以 POBA PGN.因此 PB PG = PO PN =2父7 = 14<10'萬.一，一，_、，_ _11對于點E為E2 (2, 3)和E4(3-,-1-),直線NE是相同的.22此時點G在直線x =5的右側(cè)，PG A14 J3 .3一 4 一14-4 一 4 一又 PB > J3 ,所以 PB PG >一。3父一？3 =14父一 >102 .3333考點伸展在本題情景下，怎樣計算 PB的長？如圖 3,作 AFXAB 交 OP 于 F,那么 OBCOAF , OF = OC = -V3 ,PF= 2-4333'PA= PF

34、= (2 _2向)=J31,所以 PB = V3+1 . 2231.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第 25題如圖 1 ,在 RtAABC 中，/ A = 90° , AB=6, AC=8,點 D 為邊 BC 的中點，DEBC交邊AC于點E,點P為射線AB上的一動點，(1)求ED、EC的長；(2)若BP=2,求CQ的長；(3)記線段PQ與線段DE的交點為F,點Q為邊AC上的一動點，且/ PDQ = 90°若 PDF為等腰三角形，求 BP的長.備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名 與 QDN保持相似.觀察 DF = DP的情況.請打開超級畫板文件

35、名 與 QDN保持相似.觀察“13虹口 25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，4PDM PDF,可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在“13虹口 25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，4PDMPDF,可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DF = DP的情況.思路點撥1 .第(2)題BP = 2分兩種情況.2 .解第(2)題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關系.3 .第(3)題探求等腰三角形 PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三 角形CDQ.滿分解答(1)在 RtAABC 中， AB=6, AC=8,所以 BC = 10

36、.3 1525在 RtCDE 中，CD = 5,所以 ED =CD tan/C =5父± =15 , EC =臼.4 44(2)如圖2,過點 D作DMAB, DN XAC,垂足分別為 M、N,那么 DM、DN是 ABC的兩條中位線， DM=4, DN = 3.由/PDQ = 90° , / MDN =90° ,可得/ PDM = / QDN . 因此 PDMA QDN.圖2圖3圖4如圖3,當BP = 2, P在BM上時，PM=1.33 3 19此時 QN =一 PM =.所以 CQ =CN +QN =4 +- =一 .444 4如圖4,當BP = 2, P在MB的

37、延長線上時， PM = 5./ 15 31=4 -= 一315此時QN u-PM=一.所以CQ=CN QN 44（3）如圖 5,如圖 2,在 RtAPDQ 中，tan/QPD = QD = DN = 3 .PD DM 4BA 3在 RUABC 中，tan/C =BA=3 .所以/ qpd = /C.CA 4由/PDQ = 90° , / CDE = 90°，可得/ PDF =Z CDQ .因此 PDFA CDQ .當 PDF是等腰三角形時， CDQ也是等腰三角形.如圖 5,當 CQ = CD = 5 時，QN = CQ-CN=5-4=1 （如圖 3 所示）.444 5此時

38、PM =±QN =-.所以 BP =BM -PM =3- =5 .333 3CH5 4 25如圖6,當QC=QD時，由cosC=CH,可得CQ =5*2=*5.CQ2 5 8257所以 QN = CNCQ= 4_25=：（如圖 2 所示）.此時 PM =4QN 7-,所以 BP =BM +PM =3+7 =25 . 3666不存在 DP = DF的情況.這是因為/ DFP >Z DQP>Z DPQ （如圖5,圖6所示）.考點伸展如圖6,當4CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰25二角形，PB = PD ,在 BDP中可以直接求解 BP =256

39、例2 2012年揚州市中考第27題如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的 對稱軸.(1)求拋物線的函數(shù)關系式；(2)設點P是直線l上的一個動點，當 PAC的周長最小時，求點 P的坐標；(3)在直線l上是否存在點 M ,使 MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.#圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12揚州27”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗 到，當點P落在線段BC上時，PA+ PC最小， PAC的周長最小.拖動點 M在拋物線的對 稱軸上運動，觀察 MAC的三個頂點與對邊的

40、垂直平分線的位置關系，可以看到，點M有1次機會落在 AC的垂直平分線上；點 A有2次機會落在 MC的垂直平分線上；點 C有2次 機會落在MA的垂直平分線上，但是有 1次M、A、C三點共線.思路點撥1 .第(2)題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時 PAC的周長最小.2 .第(3)題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性.滿分解答(1)因為拋物線與 x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設y=a(x+1)(x3),代入點C(0 ,3),得3a=3.解得a=- 1.所以拋物線的函數(shù)關系式是y= (x+ 1)(x 3) = -x2+2x+3.(2)如圖2,拋物線的對稱軸是直線 x= 1.

41、當點P落在線段BC上時，PA+PC最小， PAC的周長最小.設拋物線的對稱軸與 x軸的交點為H .由膽=電 bo=c。得 ph = bh=2.BO CO所以點P的坐標為(1,2).(3)點 M 的坐標為(1,1)、(1,遍)、(1,76)或(1,0).考點伸展第(3)題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m).在 MAC 中，AC2 = 10, MC2=1 + (m-3)2, MA2 = 4+m2.如圖 3,當 MA=MC 時，MA2=MC2.解方程 4+m2=1 + (m-3)2,得 m=1.此時點M的坐標為(1, 1).如圖 4,當 AM = AC 時，AM2 = AC2.解方程 4+

42、m2=10,得 m = ±J6 .此時點M的坐標為(1, J6)或(1, 46).如圖 5,當 CM = CA 時，CM2=CA2.解方程 1 + (m 3)2=10,得 m= 0 或 6.當M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0).25OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等如圖1,點A在x軸上，OA=4,將線段(1)求點B的坐標；(2)求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式;(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點 腰三角形？若存在，求點動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 12臨沂26”，拖動點P在拋物線

43、的對稱軸上運動，可以體驗P運動到到，。和。B以及OB的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當點。與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線.請打開超級畫板文件名“ 12臨沂26”，拖動點P,發(fā)現(xiàn)存在點 P,使得以點P、O、B 為頂點的三角形是等腰三角形思路點撥1 .用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的 距離公式列方程；然后解方程并檢驗.2 .本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起.滿分解答(1)如圖2,過點B作BC，y軸，垂足為 C.在 RtOBC 中，/ BOC = 30° , OB = 4,所以 BC = 2, OC=2V

44、3.所以點B的坐標為(-2,-273) -(2)因為拋物線與x軸交于0、A(4, 0),設拋物線的解析式為 y=ax(x-4),L 一一 C代入點 B(-2,-2V3) , -273 =2aq-6) .解得 a .所以拋物線的解析式為y =-遮x(x-4) =6(3)拋物線的對稱軸是直線 x = 2,設點P的坐標為(2, y).當 OP = OB=4 時，OP2=16.所以 4+y2=16.解得 y =±2J3 .當P在(2,2 73)時，B、0、P三點共線(如圖 2).當 BP = B0=4 時，BP2=16.所以 42+(y+2T3)2 =16.解得 y1 = y2 = 20.當

45、 PB = PO 時，PB2=PO2.所以 42+(y+26)2 =22+y2.解得 y=2J3.綜合、，點 P的坐標為(2,2*/3),如圖2所示.圖2考點伸展如圖3,在本題中，設拋物線的頂點為 角形.圖3D,那么 DOA與 OAB是兩個相似的等腰三由y = ®x(x _4)= 一且(x -2)2 +也，得拋物線的頂點為 663因此匕n/D0A =空所以/ DOA=30° , / ODA=120°如圖1,已知一次函數(shù)y=-x+7與正比仞函數(shù)y=4x的圖象交于點A,且與x軸交于 3點B.(1)求點A和點B的坐標；(2)過點A作AC，y軸于點C,過點B作直線l/y軸

46、.動點P從點。出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿 OCA=_"了.的路線向點 A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度 /'一向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R,交線段BA'、/或線段AO于點Q.當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動.在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒./ 當t為何值時，以 A、P、R為頂點的三角形的面積/為8?去了父是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖象中可以看到， APR的面積有一個時刻等于 8.觀察&am

47、p; APQ,可以體驗到，P在OC上時，只存在 AP = AQ的情況；P在CA上時，有三個時刻， APQ是等腰三角形.思路點撥1 .把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個問題.2 .求 APR的面積等于8,按照點P的位置分兩種情況討論. 事實上，P在CA上運動 時，高是定值4,最大面積為6,因此不存在面積為 8的可能.3 .討論等腰三角形 APQ,按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況.滿分解答y-x 7，x=3(1)解萬程組44 得3，所以點A的坐標是(3, 4).y =-x,y =4.令y =_x+7 =0,得x =7 .所以點B的坐標是(7, 0).(2)如圖2

48、,當P在OC上運動時，0Wt<4.由$ APR =S梯形COA S聲S跺=8, 得1 (3+7t)父41黑4 黑(4t)1勺(7 t) =8 整理，得 t28t412=0.解得t=2 或t=6222(舍去).如圖3,當P在CA上運動時， APR的最大面積為6.因此，當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8.圖2圖3圖4我們先討論 P在OC上運動時的情形，0W t<4.如圖 1,在 4AOB 中，/B=45° , / AOB>45° , OB=7, AB =472 ,所以 OB>AB.因 此/ OAB>Z AOB>Z B.如圖4,點

49、P由。向C運動的過程中， OP = BR=RQ,所以PQ/X軸.因此/ AQP = 45°保持不變，/ PAQ越來越大，所以只存在/ APQ = Z AQP的情況.此時點A在PQ的垂直平分線上， OR= 2CA= 6.所以BR= 1 , t= 1.我們再來討論 P在CA上運動時的情形，4< tv 7.在 4APQ 中，cos/A=3 為定值，AP=7_t, AQ =OA-OQ =OA -5OR = 5t -20 5333如圖5,當AP = AQ時，解方程7_t =5t_20 ,得t=色 .338如圖6,當 QP = QA時，點 Q 在PA的垂直平分線上，AP=2(OROP).解

50、方程7 t =2(7 t) (t -4),得 t =5 .AQPA = PQ 時，那么 cos/A =_2 AP因此AQ = 2 APcos/A 解方程5203-t - =2(7 -t)父一，倚 t33522643綜上所述，t=1或絲或5或226時， APQ是等腰三角形.43圖6圖7考點伸展當P在CA上，QP = QA時，也可以用 AP =2AQ cos/A來求解.如圖1,在矩形 ABCD中，AB=m （ m是大于0的常數(shù)），BC=8, E為線段BC上的動 點（不與 B、C重合）.連結DE,作EFXDE, EF與射線BA交于點F,設CE=x, BF=y.（1）求y關于x的函數(shù)關系式；（2）若m

51、=8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？412（3）若y =,要使 DEF為等腰三角形，m的值應為多少?動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 10南通27”，拖動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數(shù) 圖象，可以體驗到，y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下.對照圖形和圖象，可以看到， 當E是BC的中點時，y取得最大值.雙擊按鈕“ m=8”，拖動E至U BC的中點，可以體驗 到，點F是AB的四等分點.拖動點A可以改變m的值，再拖動圖象中標簽為“ y隨x”的點到射線y=x上，從圖 形中可以看到，此時 DCE/EBF.思路點撥1 .證明 DCEs EBF,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可以得到y(tǒng)關于x的

52、函數(shù)關系式.2 .第（2）題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值.3 .第（3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達.一段是說理，如果DEF為等腰三角形，那么得到x=y; 一段是計算，化簡消去m,得到關于x的一元二次方程，解出x的值； 第三段是把前兩段結合，代入求出對應的 m的值.滿分解答4 1）因為/ EDC與/ FEB都是/ DEC的余角，所以/ EDC = / FEB .又因為/ C=/B =5 一 DC EB 一 m 8-x »90° ,所以 dcesebf.因此石!"= 而，即 =整理，得y關于x的函數(shù)關玄*128系為y = 一一 x 十一 x .m m1

53、 21 ,.、 2（2）如圖2,當m= 8時，y = x2+x = （x4）2+2 .因此當x= 4時，y取得最大88值為2.12121 2 82（3）若 y =12 ,那么一 =x2 +x .整理，得 x2 8x + 12 = 0 .解得 x= 2 或 x= 6.要 mmm m使 DEF為等腰三角形，只存在 ED=EF的情況.因為 DCEsEBF,所以CE = BF ,即1212，x= y.將x= y = 2代入y =,得 m= 6 （如圖3）;將x= y = 6代入y =-,得 m= 2 （如 圖4）.考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：,1 981 O1916由第（1）題得到 y = ，x2+9x = 2（x28x） = （x4）2+16,m m mmm那么不論m為何值，當x=4時，y都取得最大值.對應的幾何意義是， 不論AB邊為多 長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值.第（2）題m=8是第（1）題一般性結論的一 個特殊性.再如，不論m為小于8的任何值， DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程128、,一 一八一、人，人，x=-x十一x總