2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(課標(biāo)全國Ⅰ卷)文 (2)

1、1 / 13 課標(biāo)全國課標(biāo)全國文科文科 注意事項(xiàng): 1.本試題分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,第卷 1至 3 頁,第卷 3至 5頁. 2.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置. 3.全部答案在答題卡上完成,答在本試題上無效. 4.考試結(jié)束后,將本試題和答題卡一并交回. 第卷 一、選擇題:本大題共 12小題,每小題 5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2013 課標(biāo)全國,文 1)已知集合 a=1,2,3,4,b=x|x=n2,na,則 ab=( ). a.1,4 b.2,3 c.9,16 d.1,2 答案:a 解析:b=x|x=n2

2、,na=1,4,9,16, ab=1,4. 2.(2013 課標(biāo)全國,文 2)1+2i(1-i)2=( ). a.-1-12i b.-1+12i c.1+12i d.1-12i 答案:b 解析:1+2i(1-i)2=1+2i-2i=(1+2i)i2=-2+i2=-1+12i. 3.(2013 課標(biāo)全國,文 3)從 1,2,3,4中任取 2 個(gè)不同的數(shù),則取出的 2 個(gè)數(shù)之差的絕對值為 2的概率是( ). a.12 b.13 c.14 d.16 答案:b 解析:由題意知總事件數(shù)為 6,且分別為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),滿足條件的事件數(shù)是 2,所以所求

3、的概率為13. 2 / 13 4.(2013 課標(biāo)全國,文 4)已知雙曲線 c:2222=1(a0,b0)的離心率為52,則 c 的漸近線方程為( ). a.y=14x b.y=13x c.y=12x d.y= x 答案:c 解析:e=52,=52,即22=54. c2=a2+b2,22=14.=12. 雙曲線的漸近線方程為 y=x, 漸近線方程為 y=12x.故選 c. 5.(2013 課標(biāo)全國,文 5)已知命題 p:xr,2x3x;命題 q:xr,x3=1-x2,則下列命題中為真命題的是( ). a.pq b.pq c.pq d.pq 答案:b 解析:由 20=30知,p 為假命題.令 h

4、(x)=x3-1+x2, h(0)=-10, x3-1+x2=0 在(0,1)內(nèi)有解. xr,x3=1-x2,即命題 q 為真命題.由此可知只有pq 為真命題.故選 b. 6.(2013 課標(biāo)全國,文 6)設(shè)首項(xiàng)為 1,公比為23的等比數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn,則( ). a.sn=2an-1 b.sn=3an-2 c.sn=4-3an d.sn=3-2an 答案:d 解析:sn=1(1-)1-=1-q1-=1-231-23=3-2an,故選 d. 3 / 13 7.(2013 課標(biāo)全國,文 7) 執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的 t-1,3,則輸出的 s屬于( ). a.-3,4 b.-5

5、,2 c.-4,3 d.-2,5 答案:a 解析:當(dāng)-1t0,排除 a. 當(dāng) x(0,)時(shí),f(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1. 令 f(x)=0,得 x=23. 故極值點(diǎn)為 x=23,可排除 d,故選 c. 10.(2013 課標(biāo)全國,文 10)已知銳角abc 的內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c,23cos2a+cos 2a=0,a=7,c=6,則 b=( ). a.10 b.9 c.8 d.5 答案:d 解析:由 23cos2a+cos 2a=0,得 cos2a=125. a(0,2),cos a=15. cos a=36+2-492

6、6,b=5 或 b=-135(舍). 故選 d. 11.(2013 課標(biāo)全國,文 11) 5 / 13 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ). a.16+8 b.8+8 c.16+16 d.8+16 答案:a 解析:該幾何體為一個(gè)半圓柱與一個(gè)長方體組成的一個(gè)組合體. v半圓柱=12224=8, v長方體=422=16. 所以所求體積為 16+8.故選 a. 12.(2013 課標(biāo)全國,文 12)已知函數(shù) f(x)=-2+ 2x,x 0,ln( + 1), 0.若|f(x)|ax,則 a的取值范圍是( ). a.(-,0 b.(-,1 c.-2,1 d.-2,0 答案:d 解析:可

7、畫出|f(x)|的圖象如圖所示. 當(dāng) a0 時(shí),y=ax與 y=|f(x)|恒有公共點(diǎn),所以排除 b,c; 當(dāng) a0時(shí),若 x0,則|f(x)|ax 恒成立. 若 x0,則以 y=ax與 y=|-x2+2x|相切為界限, 由 = , = 2-2x,得 x2-(a+2)x=0. =(a+2)2=0,a=-2. a-2,0.故選 d. 6 / 13 第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第 13題第 21 題為必考題,每個(gè)試題考生都必須做答.第 22題第24 題為選考題,考生根據(jù)要求做答. 二、填空題:本大題共 4小題,每小題 5分. 13.(2013 課標(biāo)全國,文 13)已知兩個(gè)單位向量 a,b

8、的夾角為 60 ,c=ta+(1-t)b.若 b c=0,則 t= . 答案:2 解析:bc=0,|a|=|b|=1,=60 ,ab=1112=12. bc=ta+(1-t)bb=0, 即 tab+(1-t)b2=0. 12t+1-t=0. t=2. 14.(2013 課標(biāo)全國,文 14)設(shè) x,y滿足約束條件1 3,-1 - 0,則 z=2x-y 的最大值為 . 答案:3 解析:畫出可行域如圖所示. 畫出直線 2x-y=0,并平移,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) a(3,3)時(shí),z取最大值,且最大值為 z=23-3=3. 15.(2013 課標(biāo)全國,文 15)已知 h是球 o的直徑 ab上一點(diǎn),ahhb=12

9、,ab平面 ,h為垂足,截球 o 所得截面的面積為 ,則球 o的表面積為 . 答案:92 解析:如圖, 設(shè)球 o的半徑為 r, 7 / 13 則 ah=23, oh=3. 又eh2=,eh=1. 在 rtoeh 中,r2=(3)2+12,r2=98. s球=4r2=92. 16.(2013 課標(biāo)全國,文 16)設(shè)當(dāng) x= 時(shí),函數(shù) f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則 cos = . 答案:-255 解析:f(x)=sin x-2cos x=5sin(x-), 其中 sin =255,cos =55. 當(dāng) x-=2k+2(kz)時(shí),f(x)取最大值. 即 -=2k+2(kz),=2

10、k+2+(kz). cos =cos(2+ )=-sin =-255. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.(2013 課標(biāo)全國,文 17)(本小題滿分 12分)已知等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和 sn滿足 s3=0,s5=-5. (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列12-12+1的前 n項(xiàng)和. 解:(1)設(shè)an的公差為 d,則 sn=na1+(-1)2d. 由已知可得31+ 3d = 0,51+ 10d = -5, 解得 a1=1,d=-1. 故an的通項(xiàng)公式為 an=2-n. (2)由(1)知12-12+1=1(3-2)(1-2)=12(12-3-12-1), 從而數(shù)列

11、12-12+1的前 n 項(xiàng)和為 8 / 13 12(1-1-11+11-13+ +12-3-12-1) =1-2. 18.(2013 課標(biāo)全國,文 18)(本小題滿分 12分)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為 a 藥,b藥)的療效,隨機(jī)地選取 20 位患者服用 a 藥,20位患者服用 b 藥,這 40 位患者在服用一段時(shí)間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位:h).試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下: 服用 a藥的 20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.

12、4 服用 b藥的 20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),從計(jì)算結(jié)果看,哪種藥的療效更好? (2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好? 解:(1)設(shè) a藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,b 藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為. 由觀測結(jié)果可得 =120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =

13、2.3, =120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上計(jì)算結(jié)果可得 ,因此可看出 a 藥的療效更好. (2)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖: 從以上莖葉圖可以看出,a 藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有710的葉集中在莖 2,3上,而 b藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有710的葉集中在莖 0,1 上,由此可看出 a藥的療效更好. 9 / 13 19.(2013 課標(biāo)全國,文 19)(本小題滿分 12分)如圖,三棱柱 abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=aa1,baa1=60 .

14、 (1)證明:aba1c; (2)若 ab=cb=2,a1c=6,求三棱柱 abc-a1b1c1的體積. (1)證明:取 ab 的中點(diǎn) o,連結(jié) oc,oa1,a1b. 因?yàn)?ca=cb, 所以 ocab. 由于 ab=aa1,baa1=60 , 故aa1b 為等邊三角形, 所以 oa1ab. 因?yàn)?ocoa1=o,所以 ab平面 oa1c. 又 a1c平面 oa1c,故 aba1c. (2)解:由題設(shè)知abc 與aa1b都是邊長為 2 的等邊三角形, 所以 oc=oa1=3. 又 a1c=6,則 a1c2=oc2+o12, 故 oa1oc. 因?yàn)?ocab=o,所以 oa1平面 abc,oa

15、1為三棱柱 abc-a1b1c1的高. 又abc的面積 sabc=3,故三棱柱 abc-a1b1c1的體積 v=sabcoa1=3. 20.(2013 課標(biāo)全國,文 20)(本小題滿分 12分)已知函數(shù) f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線 y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)討論 f(x)的單調(diào)性,并求 f(x)的極大值. 解:(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 10 / 13 由已知得 f(0)=4,f(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 從而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-

16、x2-4x, f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(e-12). 令 f(x)=0得,x=-ln 2或 x=-2. 從而當(dāng) x(-,-2)(-ln 2,+)時(shí),f(x)0; 當(dāng) x(-2,-ln 2)時(shí),f(x)0. 故 f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln 2)上單調(diào)遞減. 當(dāng) x=-2時(shí),函數(shù) f(x)取得極大值,極大值為 f(-2)=4(1-e-2). 21.(2013 課標(biāo)全國,文 21)(本小題滿分 12分)已知圓 m:(x+1)2+y2=1,圓 n:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓 p與圓m 外切并且與圓 n 內(nèi)切,圓心 p 的軌跡為曲線

17、 c. (1)求 c 的方程; (2)l是與圓 p,圓 m都相切的一條直線,l與曲線 c交于 a,b兩點(diǎn),當(dāng)圓 p的半徑最長時(shí),求|ab|. 解:由已知得圓 m的圓心為 m(-1,0),半徑 r1=1;圓 n的圓心為 n(1,0),半徑 r2=3.設(shè)圓 p的圓心為 p(x,y),半徑為 r. (1)因?yàn)閳A p 與圓 m外切并且與圓 n 內(nèi)切, 所以|pm|+|pn|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4. 由橢圓的定義可知,曲線 c是以 m,n為左、右焦點(diǎn),長半軸長為 2,短半軸長為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為24+23=1(x-2). (2)對于曲線 c上任意一點(diǎn) p(x,y),由

18、于|pm|-|pn|=2r-22, 所以 r2,當(dāng)且僅當(dāng)圓 p的圓心為(2,0)時(shí),r=2. 所以當(dāng)圓 p的半徑最長時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4. 若 l的傾斜角為 90 ,則 l與 y 軸重合,可得|ab|=23. 若 l的傾斜角不為 90 ,由 r1r 知 l不平行于 x軸,設(shè) l與 x軸的交點(diǎn)為 q,則|=1,可求得 q(-4,0),所以可設(shè) l:y=k(x+4). 由 l與圓 m相切得|3|1+2=1,解得 k=24. 當(dāng) k=24時(shí),將 y=24x+2代入24+23=1,并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2=-4627, 11 / 13 所以|ab|=1 + 2|x2

19、-x1|=187. 當(dāng) k=-24時(shí),由圖形的對稱性可知|ab|=187. 綜上,|ab|=23或|ab|=187. 請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分,做答時(shí)請用 2b 鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑. 22.(2013 課標(biāo)全國,文 22)(本小題滿分 10分)選修 41:幾何證明選講 如圖,直線 ab 為圓的切線,切點(diǎn)為 b,點(diǎn) c 在圓上,abc的角平分線 be交圓于點(diǎn) e,db垂直 be 交圓于點(diǎn) d. (1)證明:db=dc; (2)設(shè)圓的半徑為 1,bc=3,延長 ce交 ab于點(diǎn) f,求b

20、cf 外接圓的半徑. (1)證明:連結(jié) de,交 bc于點(diǎn) g. 由弦切角定理得,abe=bce. 而abe=cbe, 故cbe=bce,be=ce. 又因?yàn)?dbbe, 所以 de 為直徑,dce=90 , 由勾股定理可得 db=dc. (2)解:由(1)知,cde=bde,db=dc, 故 dg是 bc 的中垂線, 12 / 13 所以 bg=32. 設(shè) de的中點(diǎn)為 o,連結(jié) bo,則bog=60 . 從而abe=bce=cbe=30 , 所以 cfbf, 故 rtbcf 外接圓的半徑等于32. 23.(2013 課標(biāo)全國,文 23)(本小題滿分 10分)選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線 c1的參數(shù)方程為 = 4 + 5cos, = 5 + 5sin(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線 c2的極坐標(biāo)方程為 =2sin . (1)把 c1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (2)求