2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)文

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學(xué)(文科)本試卷分第卷和第卷兩部分.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.參考公式:如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b).第卷(共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014山東,文1)已知a,br,i是虛數(shù)單位,若a+i=2-bi,則(a+bi)2=().a.3-4ib.3+4ic.4-3id.4+3i答案:a解析:a+i=2-bi,a+bi=2-i.即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.2.(2014山東,文2)設(shè)集合a=x|

2、x2-2x<0,b=x|1x4,則ab=().a.(0,2b.(1,2)c.1,2)d.(1,4)答案:c解析:由已知可得a=x|0<x<2.又b=x|1x4,ab=x|1x<2.3.(2014山東,文3)函數(shù)f(x)=1log2x-1的定義域?yàn)?).a.(0,2)b.(0,2c.(2,+)d.2,+)答案:c解析:f(x)有意義,log2x-1>0,x>0.x>2,f(x)的定義域?yàn)?2,+).4.(2014山東,文4)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是().a.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根b

3、.方程x3+ax+b=0至多有一個實(shí)根c.方程x3+ax+b=0至多有兩個實(shí)根d.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實(shí)根答案:a解析:“至少有一個”的否定為“沒有”.5.(2014山東,文5)已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax<ay(0<a<1),則下列關(guān)系式恒成立的是().a.x3>y3b.sin x>sin yc.ln(x2+1)>ln(y2+1)d.1x2+1>1y2+1答案:a解析:0<a<1,ax<ay,x>y.x3>y3.6.(2014山東,文6)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a0)的圖象如

4、圖,則下列結(jié)論成立的是().a.a>1,c>1b.a>1,0<c<1c.0<a<1,c>1d.0<a<1,0<c<1答案:d解析:由圖象可知y=loga(x+c)的圖象是由y=logax的圖象向左平移c個單位得到的,其中0<c<1.再根據(jù)單調(diào)性易知0<a<1.7.(2014山東,文7)已知向量a=(1,3),b=(3,m),若向量a,b的夾角為6,則實(shí)數(shù)m=().a.23b.3c.0d.-3答案:b解析:cos<a,b>=a·b|a|·|b|,cos6=3+3m2&#

5、215;32+m2,解得m=3.8.(2014山東,文8)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn).所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kpa)的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,第五組.如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為().a.6b.8c.12d.18答案:c解析:設(shè)樣本容量為n,由題意得n·(0.24+0.16)=20,n=50.第三組的頻數(shù)為50×0.36=18人.則第三組中有療效的人數(shù)為

6、18-6=12.9.(2014山東,文9)對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a0,使得x取定義域內(nèi)的每一個值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是().a.f(x)=xb.f(x)=x2c.f(x)=tan xd.f(x)=cos(x+1)答案:d解析:由f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)的定義可知,若f(x)的圖象關(guān)于x=a(a0)對稱,則f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù),在d中f(x)=cos(x+1)的圖象關(guān)于x=k-1(kz)對稱,故選d.10.(2014山東,文10)已知x,y滿足約束條件x-y-10,2x-y-30,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)在該約

7、束條件下取到最小值25時(shí),a2+b2的最小值為().a.5b.4c.5d.2答案:b解析:約束條件x-y-10,2x-y-30滿足可行域如圖所示.由圖可知目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取最小值時(shí),最優(yōu)解為(2,1),即2a+b=25,b=25-2a.a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=(5a-4)2+4.當(dāng)a=455時(shí),a2+b2取最小值為4.第卷(共100分)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2014山東,文11)執(zhí)行下面的程序框圖,若輸入的x的值為1,則輸出的n的值為. 答案:3解析:輸入x=1,12-4+30,

8、執(zhí)行是,x=2,n=1;返回22-8+30,執(zhí)行是,x=3,n=2;返回32-12+30,執(zhí)行是,x=4,n=3;返回42-16+3>0,執(zhí)行否,輸出n=3.12.(2014山東,文12)函數(shù)y=32sin 2x+cos2x的最小正周期為. 答案:解析:原式=32sin 2x+1+cos2x2=sin2x+6+12.周期t=22=.13.(2014山東,文13)一個六棱錐的體積為23,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為. 答案:12解析:根據(jù)題意得底面正六邊形面積為63,設(shè)六棱錐的高為h,則v=13sh,13×63h=23,解得h

9、=1.設(shè)側(cè)面高為h',則h2+(3)2=h'2,h'=2.正六棱錐的側(cè)面積為6×12×2×2=12.14.(2014山東,文14)圓心在直線x-2y=0上的圓c與y軸的正半軸相切,圓c截x軸所得弦的長為23,則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 答案:(x-2)2+(y-1)2=4解析:圓心在直線x-2y=0上,可設(shè)圓心為(2a,a).圓c與y軸正半軸相切,a>0,半徑r=2a.又圓c截x軸的弦長為23,a2+(3)2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).圓c的圓心為(2,1),半徑r=2.圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.15

10、.(2014山東,文15)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點(diǎn)為a,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為f,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c,且|fa|=c,則雙曲線的漸近線方程為. 答案:y=±x解析:由已知得|oa|=a,|af|=c,|of|=|af|2-|oa|2=c2-a2=b2=b,b=p2.拋物線的準(zhǔn)線y=-p2=-b.把y=-b代入雙曲線x2a2-y2b2=1得x2=2a2,直線y=-p2被雙曲線截得的線段長為22a,從而22a=2c.c=2a,a2+b2=2a2,a=b,漸近線方程為y=±

11、x.三、解答題:本大題共6小題,共75分.16.(本小題滿分12分)(2014山東,文16)海關(guān)對同時(shí)從a,b,c三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測,從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)abc數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自a,b,c各地區(qū)商品的數(shù)量;(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.分析:(1)利用分層抽樣在各層中的抽樣比等于在總體中的抽樣比求解.(2)先利用列舉法求出在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件的總的基本事件個數(shù)及所抽取的2件商品來自相同地區(qū)

12、的基本事件個數(shù),進(jìn)而利用古典概型的概率公式即可求解.解:(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個體數(shù)的比是650+150+100=150,所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是:50×150=1,150×150=3,100×150=2.所以a,b,c三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自a,b,c三個地區(qū)的樣品分別為:a;b1,b2,b3;c1,c2.則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為:a,b1,a,b2,a,b3,a,c1,a,c2,b1,b2,b1,b3,b1,c1,b1,c2,b2,b3,b2,c1,b2,c2,b3,c1,b3,c2,c1,

13、c2,共15個.每個樣品被抽到的機(jī)會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件d:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”,則事件d包含的基本事件有b1,b2,b1,b3,b2,b3,c1,c2,共4個.所以p(d)=415,即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為415.17.(本小題滿分12分)(2014山東,文17)abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.已知a=3,cos a=63,b=a+2.(1)求b的值;(2)求abc的面積.分析:(1)在abc中,已知cos a=63,b=a+2,相當(dāng)于已知角a,b,又已知邊a,故可利用asina=bsinb求b.(2)由已知及(1)可知a,b,故

14、根據(jù)sabc=12absin c,只需求sin c,在abc中,由c=-(a+b),可求sin c.解:(1)在abc中,由題意知sin a=1-cos2a=33,又因?yàn)閎=a+2,所以sin b=sina+2=cos a=63.由正弦定理可得b=asinbsina=3×6333=32.(2)由b=a+2得cos b=cosa+2=-sin a=-33.由a+b+c=,得c=-(a+b),所以sin c=sin-(a+b)=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=33×-33+63×63=13.因此abc的面積s=12absin c=12&#

15、215;3×32×13=322.18.(本小題滿分12分)(2014山東,文18)如圖,四棱錐p-abcd中,ap平面pcd,adbc,ab=bc=12ad,e,f分別為線段ad,pc的中點(diǎn).(1)求證:ap平面bef;(2)求證:be平面pac.分析:(1)要證ap平面bef,由線面平行的判定定理知,只需在平面bef內(nèi)找到一條直線與ap平行即可,而已知f為pc的中點(diǎn).“由中點(diǎn)找中點(diǎn)”,故考慮利用三角形的中位線定理求解,即找ac的中點(diǎn),由已知可通過證明四邊形abce為菱形而達(dá)到目的.(2)要證be平面pac,由線面垂直的判定定理知:只需證be垂直于平面pac內(nèi)的兩條相交直線

16、即可.由(1)可知beac.又已知ap平面pcd,則ap垂直于平面pcd內(nèi)的所有直線,即apcd,故考慮通過證明becd來證明bepa,則由beac且bepa,可證be平面pac.證明:(1)設(shè)acbe=o,連接of,ec.由于e為ad的中點(diǎn),ab=bc=12ad,adbc,所以aebc,ae=ab=bc,因此四邊形abce為菱形,所以o為ac的中點(diǎn).又f為pc的中點(diǎn),因此在pac中,可得apof.又of平面bef,ap平面bef,所以ap平面bef.(2)由題意知edbc,ed=bc.所以四邊形bcde為平行四邊形,因此becd.又ap平面pcd,所以apcd,因此apbe.因?yàn)樗倪呅蝍bc

17、e為菱形,所以beac.又apac=a,ap,ac平面pac,所以be平面pac.19.(本小題滿分12分)(2014山東,文19)在等差數(shù)列an中,已知公差d=2,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=an(n+1)2,記tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求tn.分析:(1)已知等差數(shù)列an的公差d,要求其通項(xiàng)公式,只需求首項(xiàng)a1即可,由已知a22=a1·a4可求a1.(2)由(1)中所求an,可求bn,由tn的特點(diǎn),故考慮研究bn+1-bn的通項(xiàng).又(-1)n表示各項(xiàng)的符號,故需對n的奇偶性進(jìn)行討論.解:(1)由題意知(a1+d)2

18、=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n.(2)由題意知bn=an(n+1)2=n(n+1),所以tn=-1×2+2×3-3×4+(-1)nn·(n+1).因?yàn)閎n+1-bn=2(n+1),可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=n2(4+2n)2=n(n+2)2,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),tn=tn-1+(-bn)=(n-1)(n+1)2-n(n+1)=-(n+1)22.所以tn=-(n+1)22,n為奇數(shù),n(n+2)2,n為偶數(shù).20

19、.(本小題滿分13分)(2014山東,文20)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+x-1x+1,其中a為常數(shù).(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.分析:(1)由已知可求切點(diǎn)坐標(biāo),故只需利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率;則可求切線方程.(2)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x).通過判斷f'(x)的符號來求f(x)的單調(diào)區(qū)間.由于導(dǎo)數(shù)中含有參數(shù)a,所以要判斷其符號,需要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論.同時(shí),應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子區(qū)間,故需在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性.解:(1)由題意知當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x-1x+1,x(0,+).此

20、時(shí)f'(x)=2(x+1)2.可得f'(1)=12,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為x-2y-1=0.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+).f'(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2.當(dāng)a0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),當(dāng)a=-12時(shí),=0,f'(x)=-12(x-1)2x(x+1)20,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.當(dāng)a<-12時(shí),<

21、0,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.當(dāng)-12<a<0時(shí),>0.設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點(diǎn),則x1=-(a+1)+2a+1a,x2=-(a+1)-2a+1a.由x1=a+1-2a+1-a=a2+2a+1-2a+1-a>0,所以x(0,x1)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,x(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x(x2,+)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞

22、減.綜上可得:當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a-12時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;當(dāng)-12<a<0時(shí),f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+上單調(diào)遞減,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上單調(diào)遞增.21.(本小題滿分14分)(2014山東,文21)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,直線y=x被橢圓c截得的線段長為4105.(1)求橢圓c的方程;(2)過原點(diǎn)的直線與橢圓c交于a,b兩點(diǎn)(a,b不是橢圓c的頂點(diǎn)).點(diǎn)d在橢圓c上,且adab,直線bd與x軸、y軸分別交于m,n兩點(diǎn).設(shè)直線bd,am的斜率分別為k1,k2,證明存在常數(shù)使得k1=k2,并求出的值;求omn面積的最大值.分析:(1)要求橢圓方程,只需求a,b,由e=32可得a2-b2a=32.又直線y=x被橢圓c截得的線段長為4105,故聯(lián)立y=x與x2a2+y2b2=1求線段長,由線段長等于4105,可得a,b的另一關(guān)系式,故可求a,b,則橢圓方程可求.(2)要求的值,需求k1,k2,而直線bd的斜率k1由b,d兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定,直線am的斜率k2由a,m兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定,且a,b關(guān)于原點(diǎn)對