2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(廣東卷) (2)

1、1 / 6 2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東廣東卷卷) 數(shù)學(xué)(理科) 本試卷共 4 頁(yè),21 小題,滿分 150 分.考試用時(shí) 120 分鐘. 注意事項(xiàng): 1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上,用 2b 鉛筆將試卷類型(a)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”. 2.選擇題每小題選出答案后,用 2b 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上. 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答.答案必須寫在答

2、題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效. 4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用 2b 鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無效. 5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回. 參考公式:樣本數(shù)據(jù) x1,x2,xn的方差 s2=1(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中表示樣本均值. 一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,滿分 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2015 廣東,理 1)若集合 m=x|(x+4)(x+

3、1)=0,n=x|(x-4)(x-1)=0,則 mn=( ) a.1,4 b.-1,-4 c.0 d. 答案:d 解析:由題意知集合 m=-4,-1,n=4,1,m 和 n 沒有相同的元素.故 mn=. 2.(2015 廣東,理 2)若復(fù)數(shù) z=i(3-2i)(i 是虛數(shù)單位),則= ( ) a.2-3i b.2+3i c.3+2i d.3-2i 答案:a 解析:因?yàn)?z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以=2-3i. 3.(2015 廣東,理 3)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( ) a.y=1 + 2 b.y=x+1 c.y=2x+12 d.y=x+ex 答案:d 解

4、析:根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義,易知函數(shù) y=1 + 2,y=2x+12為偶函數(shù),y=x+1為奇函數(shù),所以排除選項(xiàng) a,b,c.故選d. 4.(2015 廣東,理 4)袋中共有 15 個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有 10 個(gè)白球,5 個(gè)紅球.從袋中任取 2 個(gè)球,所取的 2 個(gè)球中恰有 1 個(gè)白球,1 個(gè)紅球的概率為( ) a.521 b.1021 c.1121 d.1 答案:b 解析:從 15 個(gè)球中任取 2 個(gè)球,其中白球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布,根據(jù)超幾何分布的概率公式,得所取的 2 個(gè)球中恰有 1 個(gè)白球,1 個(gè)紅球的概率為c101c51c152=105157=1021. 5.(2015 廣東

5、,理 5)平行于直線 2x+y+1=0 且與圓 x2+y2=5 相切的直線的方程是( ) a.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 b.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 c.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 d.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 答案:a 解析:設(shè)與直線 2x+y+1=0 平行的直線方程為 2x+y+m=0(m1), 因?yàn)橹本€ 2x+y+m=0 與圓 x2+y2=5 相切,即點(diǎn)(0,0)到直線 2x+y+m=0 的距離為5, 所以|5= 5,|m|=5. 故所求直線的方程為 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 6.(2015 廣東,理 6)若變量 x,

6、y滿足約束條件4 + 5 8,1 3,0 2,則 z=3x+2y 的最小值為( ) 2 / 6 a.4 b.235 c.6 d.315 答案:b 解析:作出題中約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示,由 z=3x+2y 可得 y=-32x+2. 2指的是直線 y=-32x+2在 y 軸上的截距, 根據(jù)圖形可知當(dāng)直線 y=-32x+2通過點(diǎn) a時(shí),可使2取得最小值,即 z 取得最小值. 易知點(diǎn) a的坐標(biāo)為(1,45), 所以 zmin=31+245=235. 7.(2015 廣東,理 7)已知雙曲線 c:2222=1 的離心率 e=54,且其右焦點(diǎn)為 f2(5,0),則雙曲線 c 的方程為( )

7、 a.2423=1 b.29216=1 c.21629=1 d.2324=1 答案:c 解析:因?yàn)殡p曲線 c 的右焦點(diǎn)為 f2(5,0),所以 c=5. 因?yàn)殡x心率 e=54, 所以 a=4. 又 a2+b2=c2,所以 b2=9. 故雙曲線 c 的方程為21629=1. 8.(2015 廣東,理 8)若空間中 n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù) n 的取值( ) a.至多等于 3 b.至多等于 4 c.等于 5 d.大于 5 答案:b 解析:特殊值法.當(dāng) n=3 時(shí),正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)之間兩兩距離相等,故 n=3 符合; 當(dāng) n=4 時(shí),聯(lián)想正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)之間兩兩距離相等,故 n=4

8、符合. 由此可以排除選項(xiàng) a,c,d.故選 b. 二、填空題:本大題共 7 小題,考生作答 6小題,每小題 5分,滿分 30 分. (一)必做題(913 題) 9.(2015 廣東,理 9)在(-1)4的展開式中,x 的系數(shù)為 . 答案:6 解析:該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為 tr+1=c4()4-r(-1)r,當(dāng) x 的指數(shù)為 1 時(shí),4-r=2,解得 r=2. 故 t3=c42()2(-1)2=6x,即 x 的系數(shù)為 6. 10.(2015 廣東,理 10)在等差數(shù)列an中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,則 a2+a8= . 答案:10 解析:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得 a3+a4+a5+a

9、6+a7=5a5=25,解得 a5=5. 又 a2+a8=2a5,所以 a2+a8=10. 11.(2015 廣東,理 11)設(shè)abc 的內(nèi)角 a,b,c 的對(duì)邊分別為 a,b,c.若 a=3,sin b=12,c=6,則 b= . 答案:1 解析:由 sin b=12解得 b=6或 b=56. 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,舍去 b=56, 所以 b=6,a=23. 根據(jù)正弦定理sin=sin,得3sin23=sin6,解得 b=1. 12.(2015 廣東,理 12)某高三畢業(yè)班有 40 人,同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了 條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答) 答案:1 560 3

10、/ 6 解析:該問題是一個(gè)排列問題,故共有a402=4039=1 560 條畢業(yè)留言. 13.(2015 廣東,理 13)已知隨機(jī)變量 x服從二項(xiàng)分布 b(n,p).若 e(x)=30,d(x)=20,則 p= . 答案:13 解析:根據(jù)二項(xiàng)分布的均值、方差公式,得() = = 30,() = (1 ) = 20,解得 p=13. (二)選做題(14-15 題,考生只能從中選做一題) 14.(2015 廣東,理 14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 2sin( 4) = 2,點(diǎn) a的極坐標(biāo)為a(22,74),則點(diǎn) a到直線 l 的距離為 . 答案:522 解析:2sin

11、( 4) = 2,即 2sin cos4-2cos sin4= 2,將其化為直角坐標(biāo)方程為 y-x=1. 又點(diǎn) a的直角坐標(biāo)為(22cos74,22sin74)=(2,-2),所以點(diǎn) a(2,-2)到直線 y-x=1 的距離 d=52=522. 15.(2015 廣東,理 15)(幾何證明選講選做題)如圖,已知 ab 是圓 o 的直徑,ab=4,ec 是圓 o 的切線,切點(diǎn)為c,bc=1,過圓心 o 作 bc 的平行線,分別交 ec 和 ac 于點(diǎn) d 和點(diǎn) p,則 od= . 答案:8 解析:設(shè) od 交劣弧于點(diǎn) m,由 opbc,得 op=12,p為 ac 的中點(diǎn),pm=32. 由切割線定

12、理得 dc2=dm (dm+4). 在abc 中,ac 為直角邊,且 ac=2 2= 42 12= 15, 所以 cp=152. 在 rtdcp 中,dc2=(dm+pm)2+cp2, 聯(lián)立可求得 dm=6,所以 od=8. 三、解答題:本大題共 6 小題,滿分 80 分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.(本小題滿分 12 分)(2015 廣東,理 16)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,已知向量 m=(22,22),n=(sin x,cos x),x(0,2). (1)若 mn,求 tan x 的值; (2)若 m 與 n 的夾角為3,求 x 的值. 解:(1)m=(22,22)

13、,n=(sin x,cos x),且 mn, m n=(22,22) (sin x,cos x) =22sin x-22cos x=sin( 4)=0. 又 x(0,2),x-4 (4,4). x-4=0,即 x=4. tan x=tan4=1. (2)由(1)和已知得 cos3=| =sin(4)(22)2+(22)2sin2+cos2 =sin( 4) =12, 又 x-4 (4,4), x-4=6,即 x=512. 17.(本小題滿分 12 分)(2015 廣東,理 17)某工廠 36 名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表: 4 / 6 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡

14、1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1)用系統(tǒng)抽樣法從 36 名工人中抽取容量為 9 的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為 44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù); (2)計(jì)算(1)中樣本的均值和方差 s2; (3)36

15、 名工人中年齡在-s 與+s 之間有多少人?所占的百分比是多少(精確到 0.01%)? 解:(1)依題意知所抽取的樣本編號(hào)是一個(gè)首項(xiàng)為 2,公差為 4 的等差數(shù)列,故其所有樣本編號(hào)依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34,對(duì)應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為 44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)可得其樣本的均值 =44+40+36+43+36+37+44+43+379=40, 方差 s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=194

16、2+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2=1009. (3)由(2)知 s=103, 所以-s=3623,+s=4313. 因?yàn)槟挲g在-s 與+s 之間共有 23 人, 所以其所占的百分比是233663.89%. 18.(本小題滿分 14 分)(2015 廣東,理 18)如圖,三角形 pdc 所在的平面與長(zhǎng)方形 abcd 所在的平面垂直,pd=pc=4,ab=6,bc=3,點(diǎn) e是 cd 邊的中點(diǎn),點(diǎn) f,g 分別在線段 ab,bc 上,且 af=2fb,cg=2gb. (1)證明:pefg; (2)求二面角 p-ad-c 的正切值; (3)求直線 pa與直線

17、 fg 所成角的余弦值. (1)證明:pd=pc,且點(diǎn) e為 cd 邊的中點(diǎn), pedc. 又平面 pdc平面 abcd,且平面 pdc平面 abcd=cd,pe平面 pdc, pe平面 abcd.又 fg平面 abcd, pefg. (2)解:四邊形 abcd 是矩形,addc. 又平面 pdc平面 abcd,且平面 pdc平面 abcd=cd,ad平面 abcd,ad平面 pdc. pd平面 pdc,adpd. pdc 即為二面角 p-ad-c 的平面角. 在 rtpde中,pd=4,de=12ab=3,pe=2 2= 7, tanpdc=73,即二面角 p-ad-c 的正切值為73. (

18、3)解:如圖所示,連接 ac, af=2fb,cg=2gb, 即=2, 5 / 6 acfg, pac 即為直線 pa與直線 fg 所成的角或其補(bǔ)角. 在pac 中,pa=2+ 2=5, ac=2+ 2=35. 由余弦定理可得 cospac=2+222=52+(35)2422535=9525, 直線 pa與直線 fg 所成角的余弦值為9525. 19.(本小題滿分 14 分)(2015 廣東,理 19)設(shè) a1,函數(shù) f(x)=(1+x2)ex-a. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)在(-,+)上僅有一個(gè)零點(diǎn); (3)若曲線 y=f(x)在點(diǎn) p 處的切線與 x 軸平行,且

19、在點(diǎn) m(m,n)處的切線與直線 op 平行(o 是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:ma 23-1. 解:(1)由題意可知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?r,f(x)=(1+x2)ex+(1+x2)(ex)=(1+x)2ex0, 故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+),無單調(diào)遞減區(qū)間. (2)a1, f(0)=1-a1+a2-a2a-a=a0. 函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,a)上存在零點(diǎn). 又由(1)知函數(shù) f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增, 函數(shù) f(x)在(-,+)上僅有一個(gè)零點(diǎn). (3)由(1)及 f(x)=0,得 x=-1. 又 f(-1)=2e-a,即 p(1,2e ), kop=2e010=a-2e.

20、 又 f(m)=(1+m)2em,(1+m)2em=a-2e. 令 g(m)=em-m-1,則 g(m)=em-1, 由 g(m)0,得 m0,由 g(m)0,得 m0. 函數(shù) g(m)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增. g(m)min=g(0)=0,即 g(m)0 在 r 上恒成立, 即 emm+1. a-2e=(1+m)2em(1+m)2(1+m)=(1+m)3, 即 2e31+m. 故 m 2e3-1. 20.(本小題滿分 14 分)(2015 廣東,理 20)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線 l 與圓 c1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的兩點(diǎn) a,b. (1)求圓 c1的圓心坐

21、標(biāo); (2)求線段 ab的中點(diǎn) m 的軌跡 c 的方程; (3)是否存在實(shí)數(shù) k,使得直線 l:y=k(x-4)與曲線 c 只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出 k 的取值范圍;若不存在,說明理由. 解:(1)由 x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4, 從而可知圓 c1的圓心坐標(biāo)為(3,0). (2)設(shè)線段 ab的中點(diǎn) m(x,y), 由弦的性質(zhì)可知 c1mab,即 c1mom. 故點(diǎn) m 的軌跡是以 oc1為直徑的圓, 該圓的圓心為 c(32,0),半徑 r=12|oc1|=123=32, 其方程為( 32)2+y2=(32)2, 即 x2+y2-3x=0. 又因?yàn)辄c(diǎn) m 為線段 ab

22、的中點(diǎn),所以點(diǎn) m 在圓 c1內(nèi), 所以( 3)2+ 253. 易知 x3,所以53x3. 所以線段 ab的中點(diǎn) m 的軌跡 c 的方程為 x2+y2-3x=0(53 3). (3)存在實(shí)數(shù) k 滿足題意. 6 / 6 由(2)知點(diǎn) m 的軌跡是以 c(32,0)為圓心,32為半徑的圓弧(如圖所示,不包括兩個(gè)端點(diǎn)), 且 e(53,253),f(53,253). 又直線 l:y=k(x-4)過定點(diǎn) d(4,0), 當(dāng)直線 l 與圓 c 相切時(shí),由|(324)0|2+1=32,得 k=34. 又 kde=-kdf=-0(253)453=257,結(jié)合上圖可知當(dāng) k34,34 257,257時(shí),直線 l:y=k(x-4)與曲