高數(shù)下要點(diǎn)含微分方程——自己整理的

1、第六章微分方程一、一階微分方程一階線性方程dy dxP(x)yQ(x)2、伯努利方程dydxP(x)yQ(x)yn (n 0,i)i ni d yi n dxP(x)yi nQ(x).令 z yi n.二、可降階的高階方程i . y(n)f(X)n次積分2. y"f(x,y')不顯含y令y' p(x)，化為一階方程p' f(x, p)3. y"f(y,y')不顯含自變量d2ydp令y'p(y),2 P ，化為一階方程。 dxdy三、線性微分方程y(n) ai(x)y(n1)ani(x)y a.(x)yf(x)，f (x)0時稱為齊次的

2、,f (x)0稱為非齊次的1.二階線性齊次線性方程y P(x)y Q(x)y 0(1)如果函數(shù)yi(x)與y2(x)是方程的兩個解，則y Clyl(x) C2 y2 (x)也是的解，其中Ci ,C2是任意常數(shù)如果yi (x)與y2 (x)是方程的兩個線性無關(guān)的特解，則y Gyi(x)C2y2(x) (Ci，C2是任意常數(shù))是(1)的通解.兩個函數(shù)yi(x)與y2(x)線性無關(guān)的充要條件為%(x)而C (常數(shù))2 .二階線性非齊次線性方程設(shè)y (X)是二階線性非齊次線性方程y P(x)y Q(x)y f (x)的一個特解，丫(x)是它對應(yīng)的齊次方程(1)的通解，則y Y(x) y*(x)是該方程

3、的通解 設(shè)y； (x)與y；(x)分別是二階線性非齊次方程y P(x)y Q(x)y f；(x)與 y P(x)y Q(x)y f2(x)的兩個特解。則y；(x)y2(x)是的特解。(疊加原理)3.二階線性常系數(shù)齊次方程y” py' qy 02特征方程r pr q 0，特征根r； , D特征方程的根1,2y py qy 0的通解兩個不相等的實(shí)根1,2兩個相等的實(shí)根 12一對共軛復(fù)根1,2i4 二階線性常系數(shù)非齊次方程y py qy f (x)i)如果 f (x)Pm(x)ex,則二階線性常系數(shù)非齊次方程具有形如y x Qm(x)e的特解其中，Pm(x)是m次多項(xiàng)式，Qm(x)也是系數(shù)待

4、定的 m次多項(xiàng)式； k 0,1,2依照 為特征根的重?cái)?shù)而取值.xi) 如果 f(x) e P(x)cos x Pn(x)sin x ,則二階線性常系數(shù)非齊次方程的特解可設(shè)為其中Rm)(x), Rm2)(x)是系數(shù)待定的m次多項(xiàng)式,m max l,n ,k0,1依照i特征根的重?cái)?shù)取值.四、歐拉方程cos三、一階歐拉方程x ypxyqyf(x) t.,dydydt1 dy作變換x e，則有dxdtdxx dt ,原方程變?yōu)槎A線性常系數(shù)方程d2y.2(p 1)，其中d2ydx2第七章1、II I II Isin,其中向量積滿足下列運(yùn)算律:反交換律結(jié)合律 (左分配律右分配律巴qydta2b2a3ba

5、aibia3jbsa1, a2, as0 ,則ai2 2a2a3,cos , cos1、旋轉(zhuǎn)面方程yoz平面上的曲線C：軸的旋轉(zhuǎn)面方程為f (y,方程.2、柱面方程aibia2b2的方向余弦.f(y,z)x 0；x2z2)p ,q為常數(shù).1 d2yx2 dt2空間解析幾何與的夾角;)，其中是數(shù)量i jai a2D b2稱為a3baf)。單位化向量，并有cos ,cos ,cosdy dt 。I I 0.此時其中0繞z軸的旋轉(zhuǎn)面方程為f ( x2 y2 , z) 0 ;繞y0 .類似可得其它坐標(biāo)面上的曲線繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)面以xoy平面上的曲線C :f（x0y）z 00為準(zhǔn)線，母線平行于 z軸的柱面

6、方程為f(x,y) 0 .同理方程 g(y,z) 0和 h(x,z)0分別表示母線平行于x軸和y軸的柱面.3、曲線在坐標(biāo)面上的投影在空間曲線的方程C：；1：,；） 0中，經(jīng)過同解變形分別消去變量x，y，z，則可得到在 yoz、xoz、xoy平面上的投影曲線，分別為:F(y,z) 0 ； G(x,z) 0 ；x 0； y 0；H (X, y)z 0四、1、平面方程點(diǎn)法式：過點(diǎn)F0(x0,y0,z)，法向量 n AB,C的平面方程A(x Xo)B(y yo) C(z zo)2) 一般式：Ax By Cz其中A,B,C不全為零.x y z3)截距式：a b c 14）兩個平面之間的關(guān)系設(shè)兩個平面n

7、i與口2的法向量依次為niABi,Ci和 n2A,B2,C2. ni 與n 的夾角規(guī)定為它們法向量的夾角（取銳角）.此時con4In1 | |n21| A1 A22 2 / 2B1C1” A2B1 B2 C1 C2 I2 2B2 C2若直線L經(jīng)過點(diǎn)P0（X0,y°,Z0）且與方向向量vl,m,n0平行，則L的方程為xi）對稱式：-X。yy0zz°x x0 Itii）參數(shù)式：y y。mt,t.z zo nt3）兩條直線之間的關(guān)系設(shè)兩條直線Li和L2方向向量分別為Wli,mnd ,V2I2E2g，Li與L2的夾角規(guī)定為它們方向向量的夾角（取銳角）.于是3、直線與平面的關(guān)系設(shè)直線

8、L的方向向量為v l,m,n,平面n的法向量為n A,B,C . L與n的夾角規(guī)定為L與它在n上投影直線L'的夾角（銳角）.這時sin|v|v?n |lA mB nC I| n | 一 l2 m2 n2 x A2B2 C2L與n垂直的充要條件是L與n平行的充要條件是lA mBnC 0五、1、橢圓拋物面：z2x-2a2y_b2，其中a0,b0 （圖 3）.例如zx2x2y2 等.2、橢圓錐面:2x2a2b2，其中a 0, b 0（圖 4）.k 2例如，圓錐面zzy-xO 圖34圖圖52 2 23、單葉雙曲面 令占勺 1,a b c其中 a 0,b 0,c0 （圖 5）., 2 2 2例如

9、X y z 1 .4、雙葉雙曲面其中a 0,b2(圖6).例如Z一、1 .偏導(dǎo)數(shù)6)對某一個自變量求偏導(dǎo)數(shù)，就是將其余的自變量看作常數(shù)，對這個變量求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2 .高階偏導(dǎo)數(shù)Zx x2z2fxx(x,y)fn(x, y)，或 fn，乙1 ;xzy x2fxy(x,y)f12(X, y)，或 f12，乙2 ；x y二元函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)fxy(x,y)及fyx(x,y)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)3、全微分二元函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分三元函數(shù)u f (x, y,z)的全微分，并有4、可微、可導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系在多元函數(shù)中，可微、可導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系與一元函數(shù)的情況有所不同.

10、在多元函數(shù)1 )可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定可微;2)可微必連續(xù)，連續(xù)不一定可微;3 )可導(dǎo)不一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)5、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)下列函數(shù)都可微，則有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式(鏈?zhǔn)椒▌t)a. 若 z f(u,v)， u (x)， v (x)，則復(fù)合函數(shù)z f (x), (x)的導(dǎo)數(shù)為dz二上 du + 上 a ；dx u dx v dx 'b. 若 z f (u,v)， u (x, y)，v (x, y)，則復(fù)合函數(shù)z f (x, y), (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)z z u z vz z u z v «匚一匚二+匚匚，匚=L + n;6、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1 )方程F(x,y) 0所

11、確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為字 學(xué)dx Fy2 )方程F(x,y,z) 0所確定隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為zFxzFyxFz，yF? 、1、取得極值的必要條件如果函數(shù)zf (x, y)在點(diǎn)P0(xo,yo)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且在該點(diǎn)函數(shù)取得極值,則 fx(x°,y。)o ，fy(xo,y°) o 可導(dǎo)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，但極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn).2 .取得極值的充分條件設(shè)z f(x, y)在駐點(diǎn)(xo, yo)的某個鄰域內(nèi)有二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).令 A fxx(xo, yo) ,B f xy(xo , yo),2Cfyy(xo,yo) ,B AC，于是有1 )如果 0，則點(diǎn)(X0,y。)是函數(shù)的極值

12、點(diǎn).當(dāng)A 0時，f (xo, yo)是極大值 ，當(dāng)A 0時，f(xo,y。)是極小值.2 )如果 0,則點(diǎn)(Xo,y。)不是函數(shù)的極值點(diǎn).3)如果 0,貝愜數(shù)z f(x, y)在點(diǎn)(X0,y°)有無極值不能確定，需用其它方法判 另I.3條件極值1 )求二元函數(shù)zf(x,y)在約束條件(x,y)=0下的極值，可以按照如下步驟進(jìn)行:i)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y)f (x,y)(x, y)；fx(x, y)Xx(x, y) 0ii)解方程組fy(x, y)yy(x, y) 0.(x,y)0若0,X0,y。是方程組的解，則(x°,y°)是該條件極值問題的可疑極值點(diǎn).三、

13、多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用1 .空間曲線的切線與法平面x x(t)給定空間曲線 L: y y(t)，其中的三個函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)不同時為z z(t)零(光滑曲線).L上的點(diǎn)P0(X0,y°,Z0)對應(yīng)的參數(shù)為to 貝y曲線L在點(diǎn)P0(X0,y°,Z0) 處的切向量為 x'(to), y'(to),z'(to)，此時的切線方程為X Xo y yoz Zox'(to)y'(to) 73 .曲線L在點(diǎn)Po(Xo, yo, Zo)的法平面方程為2 .曲面的切平面與法線給定曲面的方程F(x,y,z) 0，函數(shù)F(x,y,z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且三個偏

14、導(dǎo)數(shù)不同時為零(光滑曲面).點(diǎn)Po(Xo,yo,Zo)是 上的一個點(diǎn).貝V曲面 在點(diǎn)Po(Xo, yo,zo)處 的法向量為Fx(Xo, yo ,Zo), Fy(Xo , yo, Zo) , Fz(Xo , yo, Zo),此時的切平面方程為Fx(Xo,yo,zo)(x Xo) Fy(Xo,yo,zo)(y y°) Fz(Xo, yo,zo)(z zo) o,曲面 在點(diǎn)Po(Xo , yo，zo)的法線方程為x Xoy yoz zoFx(xo, yo, zo) Fy(xo, yo, zo) Fz(xo,yo,z°) °四.方向?qū)?shù)與梯度1 .若函數(shù)u f(x,y,

15、z)在點(diǎn)P(x, y, z)可微，方向1的方向余弦為cos , cos , cos ,則函數(shù)在點(diǎn)P(x,y,z)沿方向1的方向?qū)?shù)為 UUcosUcoslxyu cos .z2 .設(shè)函數(shù)uf(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)可微，則函數(shù)在點(diǎn)Po(xo, yo, zo)處的梯度定義為一個向量grad f (x0, y0,z0)=fx(Xo,yo, zo)ify(Xo,yo, z°)jfz(x),y。, zo)k .梯度方向是函數(shù)變化率最大的方向.在梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù)取得最大值|gradf (Xo, yo,zo)| .第九章重積分二重積分的計(jì)算1 .直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算1 )若積分區(qū)

16、域可以表示為D: a x b, 心)y 2(x)，貝U2 )若積分區(qū)域可以表示為 D : c y d,心)x2(y),則d2(y)f (x, y)dxdydy f (x, y)dx .ci(y)D2極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系為x r cosy r sin0r02此時面積元素為 drdrd 或 dxdy rdrd若在極坐標(biāo)下積分區(qū)域可以表示為f (x, y)dxdyf (rcos ,r sin )rdrdDD分的計(jì)算1dvdv | |，| |表示 的體積.D : , 1( ) r 2( ) ，則d f (r cos ,r sin )rdr 二、三重積 1( )1 直角坐標(biāo)下三重

17、積分的計(jì)算1)“先一后二”法若積分區(qū)域可表示為:a x b, y1(x) y y2(x), z1(x, y) z z2(x,y) ，則其中Dxy是 在xoy坐標(biāo)面上的投影.2) “先二后一”法設(shè)積分區(qū)域 在z軸上的投影區(qū)間為c, d.用平面z z (常數(shù))去截 ，截面為 Dz .則df (x, y,z)dxdydz c dz f(x,y,z)dxdy其中 f(x,y,z)dxdy 是將 Dz 投影DzDz到 xoy 坐標(biāo)面上所做的二重積分.2 .柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算xr cos0r直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為yrsin ,02zzzIrtrFrpn -“iiiidxdydz rdrddz.則

18、體積元素為 dv rdrd dz 或若積分區(qū)域在柱面坐標(biāo)下可表示為面積微元 dS . 1 fx2(x,y) f；(x,y)dxrcossino ryrsinsin,ozrcos02或dxdydz r2sindrd df (x,y,z)dxdydz f(rcos , rsin , z)rdrd dzr2( )Z2(r,)d dr f(rcos , rsin , z)rdz ri( )z(r,)3 .球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為體積元素為dv r.質(zhì)量 3sin drd d如果積分區(qū)域在球面坐標(biāo)下可表示為:,i()2( ),ri( , ) r 以，)f (x, y, z)dxd

19、ydzf(rcos sin ,rsinsin ,rcos )r2sin drd d4. 簡算：對稱奇偶性，重心公式三、重積分的應(yīng)用1 .曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 Vf (x, y)dxdy.D密度為(x,y) 0，則平面板的質(zhì)量M (x, y)dxdy.D密度為 (x, y, z) 0則物體的質(zhì)量為M(x,y, z)dxdydz .設(shè)曲面的方程為z f(x,y) , (x,y) D，其中D是有界閉區(qū)域,f (x, y)在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則曲面的面積為S 1 f：(x, y) f；(x,y)d第十一章無窮級數(shù)1、a.收斂土收斂=收斂，收斂土發(fā)散=發(fā)散，發(fā)散土發(fā)散=斂散不定。b.收斂級數(shù)任意

20、加括號所得的級數(shù)仍收斂，且其和不變2、兩個重要級數(shù)及其斂散性1 ）幾何級數(shù)aqn 1 a aq aq2 Laqn 1 L （a 0）.n 1a當(dāng)q 1時該級數(shù)收斂，其和為；當(dāng)q 1時該級數(shù)發(fā)散1 q2） p-級數(shù)1p n 1 n1 11-L2p 3p1pL (p0).n當(dāng)p1時，該級數(shù)收斂；當(dāng)p1時，該級數(shù)發(fā)散1彳1 1,1 ,當(dāng)p1時稱級數(shù)1n 1 n2 3L n L為調(diào)和級數(shù)，它是一個發(fā)散級數(shù)、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法(nUn，Un0)11）（比較審斂法）設(shè)Un和vn都是正項(xiàng)級數(shù)，且Un%（門1,2丄）.n 1n 1若強(qiáng)級數(shù)Vn收斂，則弱級數(shù)Un收斂;n 1n 12)3)若弱級數(shù) 4發(fā)散，則強(qiáng)級數(shù)

21、n 1（比較審斂法的極限形式）設(shè)Un與V都是正項(xiàng)級數(shù).n 1n 1如果nim牛1vn則級數(shù)Un和級數(shù)n 1(若I0或I（比值審斂法）若正項(xiàng)級數(shù)Un滿足n 1(0<1<+),鉆圈子原理破記錄原理Vn同時收斂或同時發(fā)散.n 1如何？）.Un 1 lim -n u n則當(dāng) 1時，級數(shù)收斂;1時，級數(shù)發(fā)散;1時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（根值審斂法）若正項(xiàng)級數(shù)un滿足nim unn 1n則當(dāng)1時，級數(shù)收斂;1時，級數(shù)發(fā)散1時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.5. 交錯級數(shù)的萊布尼茲審斂法n 1設(shè)Un 0,則稱級數(shù)（1） ®為交錯級數(shù).n 1定理（萊布尼茲審斂法）n 1設(shè) （D Un為交錯級

22、數(shù).如果un滿足：n 11 ）對一切自然數(shù)n有un 1 un ；2）limUn 0，貝y（ 1）nUn 收斂，且其和 s 5.nn 16 .級數(shù)的絕對收斂和條件收斂如果級數(shù)Un收斂，則稱級數(shù)Un絕對收斂.n 1n 1如果 Un收斂，而Un|發(fā)散，稱級數(shù)Un條件收斂.n 1n 1n 1對任意項(xiàng)級數(shù)，如果它絕對收斂，則它必收斂.三、幕級數(shù)（an（X XoT，盼“）n 0n 01 .阿貝爾定理n2 .冪級數(shù)anXn 0收斂半徑0 R ；收斂區(qū)間（R, R）。收斂域：收斂區(qū)間加入收斂的端點(diǎn)收斂半徑的求法1）對于冪級數(shù)nan 1 |_ 1anX，如果 nim，則 R ；n 1an2）對于冪級數(shù)anX，如果 lim M an 1，則 R n 1n2.冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.（和函數(shù)連續(xù)性）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內(nèi)是連續(xù)的性質(zhì)2.（逐項(xiàng)積分）n設(shè)冪級數(shù)已門乂和函數(shù)S（X）在收斂區(qū)間可逐項(xiàng)積分n 0s(t)dtX0 (antn)dtn 0xantndt0 nn 0ann 1Xn 0 n 1逐項(xiàng)積分后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)3.（逐項(xiàng)求導(dǎo)）n冪級數(shù)anX的和函數(shù)s（x）在收斂區(qū)間內(nèi)有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式:n 0s（X） （ anXn）（anXn）n a.xn 1n 0n 0n 0逐項(xiàng)求導(dǎo)后的冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑3 .冪級數(shù)的運(yùn)算1 ）冪級數(shù)的加減法若收斂域