《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固知識講解

1、知識網(wǎng)絡(luò)】要點(diǎn)梳理】數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固要點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本知識1、虛數(shù)單位 i ，規(guī)定它的平方等于 1，即 i 21.i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立2、形如 a bi （ a,b R ）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記作： za bi ( a,bR ）；當(dāng) b=0 時， z 是實(shí)數(shù) a ；當(dāng) b0 時， z 叫做虛數(shù)；當(dāng) a=0 且 b 0 時， z bi 叫做純虛數(shù) .3、兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件：若a,b,c,d R ，則 abi cdiacbd4、復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù) z a bi一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z（a,b）一一對應(yīng)平面向量OZ5、復(fù)數(shù)的模： 設(shè) OuuZ

2、ur a bia,bR ），則向量 OZ 的長度叫做復(fù)數(shù) za bi 的模，記作 |a bi |.即 |z| |uOuZur | a2 b20.要點(diǎn)詮釋：（1） i 的周期性：如果4n 4n 1 4n 2n N ，則有： i1， ii ， i4n 31，ii；2 2 2(3) z z (a bi) (a bi) a2 b2 z . 要點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算c diz1z2(abi)(c di) (ac)(bd)iz2z1(ca)(d b)iz1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iz1abi(abi)(cdi)acbdbc adz2cdi(cdi)(cdi)2 cd222 cdR)，則：

3、a,b,c,d設(shè) z1a bi ， z223，則1，1要點(diǎn)詮釋：( 1)設(shè) 123i2i，120 ，12 3n1， 3n 1(nN+) 等；復(fù)數(shù)求解計(jì)算時，要靈活利用i、的性質(zhì)，或適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于i、的計(jì)算問題2 1 i 比如 (1 i)22i ；1 i1i1i1ii；3)作復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時，有如下技巧：a bi b ai(a bi)i(b ai)i(a bi)i i a bi典型例題】類型一：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算例 1. 化簡下列式子：1)(1(2 2i)42)2010解析】1)(2 2i)4(1 3i)51 2 3i24(1 i)4( 2)5 12 23i2524(2i)213

4、i2221 23i1 3i；2) 2 3 i1 2 3i201021i( 2 3 i)i21005( 2 3 i) 1(1 2 3i)i ( 2i)1005i 2 3i1005i 1 i i 2ii13 【總結(jié)升華】靈活利用 (1 i)2及 i 的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算22舉一反三：變式 1】i 是虛數(shù)單位，計(jì)算 i i2 i3( )A-lB1C-iDi答案】 A變式 2】復(fù)數(shù)i(2i) 等于 ( )12iA iB-iC1D-1答案】 D解析】 i(2i)21 2i ( 1 2i)(1 2i) (2i)2 1 11 2i1 2i(12i)(12i)5變式3】已知復(fù)數(shù) z1 i ，則2z _z答案】-2i

5、22uuuuruuuur例 2.已知 z1 a3 (a5)i ，z2 a1 (a22a1)i ( aR)分別對應(yīng)向量 OZ1 ，OZ2 ( O 為原uuuur點(diǎn))，若向量 Z2Z1 所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求 a 的值uuuur解析】 設(shè)向量 Z2Z1 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z，uuuuruuuuruuuurZ2Z1OZ1OZ2 ，z z1z2a2 3(a5)i a 1(a2 2a 1)i2(a2 3)(a1) (a5)(a2 2a1)i(a2 a2) (2 aa6)iz 為純虛數(shù)，2 aa20，a2或a1，2 a即3且aa60，a2，1總結(jié)升華】 討論復(fù)數(shù) z 為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、非純虛數(shù)應(yīng)從定義入

6、手舉一反三：變式 1】設(shè) z2z1 iz1 (其中 z1表示 z1的共軛復(fù)數(shù) ) ，已知 z2的實(shí)部是 - 1，則 z2的虛部為答案】解析】z1x yi ， z21 bi， (x, y,b R)1 biyii(x yi)(x y)(y x)i ，由復(fù)數(shù)相等得 by x (x y) 1 變式2】設(shè) a， b 為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)1 2i1 2i 1 i ，則 ( a biA a3，2，Ba3，b lC a1，2，Da 1，b3答案】解析】1 2i a bi2i(1i)(abi)1 2i(a b)(ab)i1，b23，212故選 A類型二：復(fù)數(shù)的幾何意義例 3. 已知復(fù)數(shù) z1 1 2i ，z2i ，

7、z32i ，它們在復(fù)平面的對應(yīng)點(diǎn)是一個正方形的三個頂點(diǎn)，求這個正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)解析】設(shè)復(fù)數(shù) z1、 z2、 z3所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、 C，正方形的第四個點(diǎn) D 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 x yi (x，yAD OD OA 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x yi) (1 2i) (x 1) (y 2)i ，uuurBCuuurOCuuurOB 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ( 12i)i)1 3i uuurADuuurBC ，( x 1) ( y2)i3i，即xy1 1，23，解得2，1.總結(jié)升華】D 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為i本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義利用uuurADuuurBC ，求點(diǎn) D 對應(yīng)的復(fù)數(shù)，也可利用原點(diǎn) O 恰好是正方

8、形 ABCD的中心來解舉一反三：變式】已知復(fù)平面上的 YABCD 中uuur， AC 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 6+8i， BD 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 - 4+6i，求向量 DA 對uuuruuur應(yīng)的復(fù)數(shù)【答案】如圖所示， YABCD中，設(shè)對角線 AC、BD的交點(diǎn)為 E，則點(diǎn) E為 AC、BD 的中點(diǎn)，由復(fù)數(shù)加減法 的幾何意義可得uuuruuur uuur1 uuur1 uuur1 uuur1 uuur1 uuuruuurDAEA ED1 CA1 BDAC1 BD(ACBD)22222所以uDuAur 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1(6 8i246i)1 7i ，uuur例 4. 復(fù)數(shù) z3(1 i)3(a bi) 且|z|1

9、i4 ， z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，若復(fù)數(shù)0， z， z 對應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的所以向量 DA 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 1 7i 三個頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a， b 的值解析】 z(12i)2 g(1 i )(a1ibi)2i gi ( a bi)2 a 2bi 22由|z| 4，得 a2 b2 4 復(fù)數(shù) 0，z， z對應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，| z z| |z|把 z 2z 2bi 代入上式化簡得 | b| 1 又 z 對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 .a<0，b< 0由得a b故所求值為 a 3， b 1 總結(jié)升華】要確定實(shí)數(shù) a，b 的值，需列出含a，b 的兩個方程條件| z| 4 易使用；對于正三角形這個

10、條件，使用方法較多，本題轉(zhuǎn)化為邊長相等，即|z|z| z z|舉一反三：變式 1】復(fù)數(shù)i 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于1iA第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限答案】 A解析】 z1ii(1 i) 11 i221i2復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為1，211 ，在第一象限故選 A 2變式 2】若 i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) Z表示復(fù)數(shù) z，則表示復(fù)數(shù) z 的點(diǎn)是 ( ) 1iAEB FCGDH答案】 D解析】 由題中圖示可知 z 3 i ，3i2 i ，再結(jié)合題中圖示知點(diǎn) H 表示 2-i，故選 D1 i 1 i類型三：復(fù)數(shù)與方程例 5. 已知 2+ai， b+i 是實(shí)系數(shù)一元二次方程 x2 px

11、 q 0 的兩根，求 p，q.Ap- 4，q5Bp 4， q 5Cp4，q- 5Dp-4，q-5解析】因?yàn)?2+ai，b+i) 是實(shí)系數(shù)一元二次方程 x2px q 0 的兩個根，思路點(diǎn)撥】抓住實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根時兩根互為共軛復(fù)數(shù)來解題 .所以 2+ai與 b+i互為共軛復(fù)數(shù)，所以 a -1，b 2，所以實(shí)系數(shù)一元二次方程x2 px q 0 的兩個根是 2±i，以及根與系數(shù)的關(guān)系所以 p-( 2+i) +( 2- i) -4，q(2+i)( 2-i)5總結(jié)升華】 本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根時兩根互為共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)，舉一反三：變式】在復(fù)數(shù)集中解方程2xx0.答案】 Qb24ac140，bi x1,22a3i2，原方程的根為 x132 i,x2例 6. 已知 Z C，解方程z gz 3iz1 3i 思路點(diǎn)撥】本題介紹對2z gz | z |2的熟練應(yīng)用，來求得 z.解析】zgz2|z|2 ，把方程變形為 z1 1 |3z|2 i ， 兩邊取模得 |z|2 122(1 |9z|2)2 |z|2整理得 |z|4 11| z|210 0 解得 | z|2 1或 |z|210將其代入得 z1或 z 1 3i z -1 或 z - 1+3i yi （x，yR） ，利用復(fù)數(shù)相等的條件. 本題可以也可以用方法求解 .【總結(jié)升華】對于含 z, z,| z |的方程，基本解法： （