大學(xué)物理課件：3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、靜力學(xué)靜力學(xué)：研究物體平衡的條件：研究物體平衡的條件運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究物體位置隨時(shí)間的變化：研究物體位置隨時(shí)間的變化動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)：研究各類運(yùn)動(dòng)發(fā)生的原因：研究各類運(yùn)動(dòng)發(fā)生的原因第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）3.1 剛體的運(yùn)動(dòng)3.2 剛體的運(yùn)動(dòng)定律3.3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系 3.4 剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)定律在剛體平面運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用3.6 旋進(jìn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）3第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）3.1 剛體的定軸運(yùn)動(dòng)3.2

2、 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系 3.4 剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）4 剛剛體體的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)學(xué)學(xué)描述轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線量描述各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線量角位移角位移 速度速度 v角速度角速度 切向加速度切向加速度 a 法向加速度法向加速度 an 角加速度角加速度 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）5 剛剛體體的的動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)牛頓定律牛頓定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 機(jī)械能機(jī)械能守恒守恒 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)定定律律 角動(dòng)量角動(dòng)量定理定理角動(dòng)量角動(dòng)量力矩

3、力矩 角動(dòng)量角動(dòng)量守恒守恒剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）6第第 三三 章章 剛剛 體體 的的 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng)均相同平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)物體上各點(diǎn)av,基本研究方法：基本研究方法：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律微積分微積分剛體基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律剛體基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律（大量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總效應(yīng)）（大量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總效應(yīng)）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）7M參參考考方方向向xo一、特征：一、特征：、各點(diǎn)都有相同的. 12. （標(biāo)量）：剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)：剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)：剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)3.角量與線量2rararvrSntr=vvr3. 1 剛體的定軸運(yùn)動(dòng)剛

4、體的定軸運(yùn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）8二、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)二、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng))( 為常量)(22102020200ttt剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）9 一、力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因一、力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因 1. 力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)FrMdjFrMF=Mdsin= F rj定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：M（標(biāo)量）（標(biāo)量）：剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)：剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)：剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)3. 2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）10FM=rF=12r

5、F)(+ 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中，如不討論軸上受力，所考在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中，如不討論軸上受力，所考慮的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力慮的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。矩。轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面平面 2. 力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)FrFF21變形，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)。變形，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)。F 只能引起軸的只能引起軸的1rF+=21rrF剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）11oo 二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律ifiri mii對(duì)對(duì)m質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律：應(yīng)用牛頓第二定律：iF外力外力if內(nèi)力內(nèi)力FiijFfiiiiiisinsin+= m atj（1）切向：

6、切向：rmcosiiiiiiFf=cos2j（2）法向：法向：并考慮到并考慮到得到：得到：iri=ar式式(1)ti2Ffiiiiiisinsin+= m rjriri剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）12整個(gè)剛體：整個(gè)剛體：2Ffiiiiiisinsin+= m rjriri0MJ轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律：JM 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（J）maF 平動(dòng)：JM 轉(zhuǎn)動(dòng)：是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度J的大小與轉(zhuǎn)軸的位置質(zhì)量的分布物體的質(zhì)量有關(guān)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）13miiidefdmrmrJ質(zhì)量連續(xù)分

7、布質(zhì)量非連續(xù)分布22為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離r1.定義式:dm質(zhì)量元dxdm線分布：dsdm面分布：dVdm體分布：2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算示例轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算示例1.均勻細(xì)棒m,l(1).繞過中心與棒軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ox解解: :dm=dxx= x2 dxdJ= x2dm 2/2/2llOdxxJ2/2/331llx3121l2121ml剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）14A(2).繞過棒端與棒軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量xdm=dxxlAdxxJ02lx0331331l231ml，且二軸平行軸間距軸與2ldAO2222)2(12131mdlmmlmlJJOA平行軸定理平行軸定理:2md

8、JJO其中其中: JO:剛體對(duì)過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JA:剛體對(duì)平行于過質(zhì)心軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量d:兩平行軸間的距離剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）152.2.均勻園環(huán)均勻園環(huán)m,RdlRdmRdJ22 RmRRRmRdlRJ2022222解解: :(1)(1)繞過中心與環(huán)面繞過中心與環(huán)面 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量R(2)(2)繞沿直徑繞沿直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dldrRdRdcRdmrdJ22222coscos2cos22023mRdRJdm=dldl剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）163.均勻盤m,R繞過中心與環(huán)

9、面軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rdrrdsrdmrdJ22222040321212mRrdrrJRRdm=2rdrrdr剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）17maTmg)21(2MRTR Ra例題例題已知：已知：M=2Kg,m=5Kg,R=0.1m,0=10rad/s, (1)求、 (2)=0時(shí),m上升h、(3)m回到原位置時(shí),求。MmR 0解:(1) M,m受力如圖所示mgTT2/22MRmRmgR2/7 .81srad(2)00t2021ttRhmh21012. 6(3)從靜止態(tài)回到原位置22022srad/10剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid

10、 Body ）18解：解：列方程)2() 1 (22221111amTgmamgmTa1a2)3()2121(2222111122RMRMRTRT)5()4(2211RaRa已知:m1 = m2 , M1,R1 M2,R2求：、 T1 、T2例題例題 (課本p127，3-11)M1,R1M2,R2m1m2T2受力分析如圖所示T1m1 gT1m2 gT2由（1）（2）（3）（4）（5）解得： 、T1、T2剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）19一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能ivOiri mi質(zhì)元質(zhì)元 的動(dòng)能：的動(dòng)能：im剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

11、：22221)(21 JrmEEiiiikik222221)(2121iiiiiikirmrmvmE 二、力矩的功二、力矩的功zOrFddsj)90cos(cos0jFrdFdsdAjMddFr sin21:21MddAA3. 3 剛體剛體剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）20三、三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中動(dòng)能定理20221212121210JJdJddtdJdJMdA合外合外力矩力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量四、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒四、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒1。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中只有保守力作功的剛體 其機(jī)械能（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+

12、重力勢(shì)能）守恒2。對(duì)于剛體、彈簧、質(zhì)點(diǎn)的混合系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能 守恒條件為整個(gè)系統(tǒng)只有保守力作功整個(gè)系統(tǒng)只有保守力作功！21PPEEAA保守力保守力矩剛體的重力勢(shì)能：Ep=mghc其中：hc為剛體質(zhì)心到參照面的距離剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）21圖(1)例題例題已知均質(zhì)棒已知均質(zhì)棒m,l,半徑忽略的小球半徑忽略的小球m組成組成圖示圖示系統(tǒng)，系統(tǒng)，求圖求圖(1) ;圖圖(2)棒中心棒中心at,an, 60圖(2)mg mg解(1)mgllmgM2mgl232231mlmlJ234mlJ/Mlg89II態(tài)I態(tài)mgmg(2) I態(tài)II態(tài),E守恒21EE

13、0022602603421sinlmgsinmgl)ml(lg839剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）220030302sinmglsinlmgMmgl43J/Mlg1692lat329g)(22lan1639g一般情況：一般情況：求：求：用用M=J 用動(dòng)能定理或用動(dòng)能定理或E守恒定律守恒定律 at、an、v用線量和角量關(guān)系式用線量和角量關(guān)系式圖(2)II態(tài)mgmg60lg839 234mlJ 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）23一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量zOirivi mi單個(gè)質(zhì)點(diǎn)im：iL2

14、iiiiiirmrvmL方向：沿Z軸正向整個(gè)剛體：iLLJrmrvmLiiiiii)(2方向：沿Z軸正向J即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量矩為繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量矩為繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度矢量之積矢量之積3. 4 剛體剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）24二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：)(vmrdtddtLdM）（剛體：JdtddtdLM定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：dtdJdtdJJdtddtdLM）（1）若質(zhì)點(diǎn)系為剛體（J為常數(shù)）轉(zhuǎn)動(dòng)定律則：JdtdJM2）若質(zhì)點(diǎn)

15、系不是剛體（J變化）成立（不成立但則：JdtdMJM剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）25剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理(積分式積分式)21212112)(JJdJJdMdttt沖量距其中：21ttMdt作用于剛體上沖量矩等于剛體動(dòng)量矩增量作用于剛體上沖量矩等于剛體動(dòng)量矩增量三、角三、角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒由角動(dòng)量定理可知，當(dāng)M=0，則：J=J0 0 即若系統(tǒng)的合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。即若系統(tǒng)的合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。討論：討論：1. J、 均不變， J =常數(shù)2. J、 都改變， 但 J 不變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Ro

16、tation of Rigid Body ）26 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過改變身體姿態(tài)花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員通過改變身體姿態(tài) 即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來改變轉(zhuǎn)速即改變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來改變轉(zhuǎn)速剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）27解：由角動(dòng)量守恒得：解：由角動(dòng)量守恒得：JJJ=+12211J2JJJJ=+111222)( 例例 若對(duì)接前兩輪的角速度分別為若對(duì)接前兩輪的角速度分別為1、 2求：求：1.對(duì)接后共同的角速度對(duì)接后共同的角速度 2.對(duì)接過程中的機(jī)械能損失對(duì)接過程中的機(jī)械能損失1221JJJ=+2(J JJ122)11201+1)(1JJ22Ek11222(JJ12222)=摩擦力

17、矩作負(fù)功，摩擦力矩作負(fù)功，有機(jī)械能損失。有機(jī)械能損失。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）28, 例例2 人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J0 , 啞鈴的質(zhì)量為啞鈴的質(zhì)量為m，初始轉(zhuǎn)速為初始轉(zhuǎn)速為1。求：雙臂收縮由。求：雙臂收縮由r1變?yōu)樽優(yōu)閞2時(shí)的時(shí)的角速度及機(jī)械能增量。角速度及機(jī)械能增量。rr12mmJ01解：解：由角動(dòng)量守恒由角動(dòng)量守恒1220210222）（）（解得：mrJmrJ2220121022）（）（mrJmrJ2121022220221221）（）（mrJmrJEk012222122021021210mrJmrJmrJ）（非保守內(nèi)力

18、作正功非保守內(nèi)力作正功剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）293.系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的條件:a).系統(tǒng)中各物體均繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)條件: M外力=0b).系統(tǒng)中各物體均繞不同轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)條件: M外力=0, 且M內(nèi)力=04.角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律中各角速度或速度均需相對(duì)同一慣性參照系。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation of Rigid Body ）30 例例3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)桿子處于鉛直狀態(tài)?，F(xiàn)有平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)桿子處于鉛直狀態(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和桿子發(fā)生完全非和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。彈性碰撞并且和桿子粘在一起