高等數(shù)學課件：12-5第一類曲面積分

1、第一類曲面積分第五節(jié) 第十二十二章 一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)二、第一類曲面積分的計算法二、第一類曲面積分的計算法三、五類積分的統(tǒng)一表述及其共性三、五類積分的統(tǒng)一表述及其共性一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)1. 問題引入問題引入非均勻曲面形構件的質(zhì)量非均勻曲面形構件的質(zhì)量采用采用kkkkS ),( nk 10lim M “大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, oxyz 表示表示 n 小塊曲面的直徑的最大小塊曲面的直徑的最大值值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). 求極限求極限

2、”的方法，可得的方法，可得,),(表示連續(xù)的面密度表示連續(xù)的面密度其中其中zyx),(kkkiiiiSf ),(作乘積作乘積設函數(shù)設函數(shù) f (x, y, z) 在分片光滑在分片光滑,i2. 定義定義 10.3的曲面的曲面 上有界上有界. . 將將 任意分成任意分成 n 小塊小塊，的面積為的面積為iS niiiiiSf1.),(時時，和和0并作黎曼和并作黎曼和如果當各小塊曲面直徑的最大值如果當各小塊曲面直徑的最大值的極限總存在的極限總存在, 即極限值和曲面即極限值和曲面 的分法及點的分法及點記第記第i 小塊小塊), 2, 1(ni 上上小塊曲面小塊曲面在第在第ii),iiiiM （任取一點任取

3、一點 在曲面在曲面 上上的的第一類曲面積分第一類曲面積分或或?qū)γ娣e的曲面對面積的曲面積分積分，記作，記作被積函數(shù)被積函數(shù)積積分分曲曲面面積分和式積分和式面面積積元元素素被被積積表表達達式式即即,d),( Szyxf niiiiiSfSzyxf1.0),(limd),(的的取取法法無無關關，iM則稱該極限值為函數(shù)則稱該極限值為函數(shù) f (x, y, z) 注注1 當當函數(shù)函數(shù) f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上連續(xù)連續(xù)時時, 2 曲面形構件的質(zhì)量可以表示為曲面形構件的質(zhì)量可以表示為存在存在.曲面積分曲面積分 Szyxfd),( Szyxd),(3 當被積函數(shù)為常數(shù)當被積函數(shù)為常數(shù) 1 時

4、時, 曲面積分曲面積分 的面積的面積曲面曲面 Sd4 當積分曲面為封閉曲面時當積分曲面為封閉曲面時, 曲面積分可表示為曲面積分可表示為 Szyxfd),(線性性質(zhì)：線性性質(zhì)：)1(可加性：可加性：)2(1R ，3. 性質(zhì)性質(zhì) Szyxgzyxfd),(),( SzyxgSzyxfd),(d),(組成組成和和由由曲面曲面21 Szyxfd),( 1d),(Szyxf 2d),(Szyxf(3) 對稱性：對稱性：，對對面面積積的的曲曲面面積積分分 Szyxfd),(.重重積積分分對對稱稱性性的的利利用用類類似似于于三三則則面面對對稱稱，關關于于上上連連續(xù)續(xù)，在在如如：若若yozzyxf ),( )

5、,(),(,d),(2),(),(, 0d),(1zyxfzyxfSzyxfzyxfzyxfSzyxf.0:1的部分的部分在在 x Md Azd n曲面的面積曲面的面積xyzSO設光滑曲面設光滑曲面:( , ),( , )S zf x yx yD則面積則面積A可看成曲面上各點可看成曲面上各點( , , )M x y z處小切平面的面積處小切平面的面積d A無限積累而成無限積累而成. . 設它在設它在D 上的投影為上的投影為 d d , ,dcosd A221cos1( , )( , )xyfx yfx y 22d1( , )( , ) dxyAfx yfx y ( (稱為稱為面積元素面積元素)

6、 )則則 Mnd 故有曲面面積公式故有曲面面積公式221( , )( , ) dxyDAfx yfx y 221()()ddDzzAxyxy 若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為221()()d dyzDxxAyzyz ( , ),( , ),yzxg y zy zD則有則有即即221()() d dzxDyyAzxzx 若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為 ( , ),( , ),z xyh z xz xD若光滑曲面方程為隱式若光滑曲面方程為隱式( , , )0,F x y z 則則則有則有,( , )yxx yzzFFzzx yDxFyF xyDA 222xyzzFFFF0,zF d dxy且且2

7、22:,Dxya 2222(0)2xyaz azaxy 求求曲曲面面被被所所截截.下下部部分分的的面面積積,222ayxz 得得消消去去解解例例22azxy2a.)155(62a 222004ddaaa 221ddxyDAzzxy yxyxaDdd)(41222 DzOyxa222zaxy基本思路基本思路:計算二重積分計算二重積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化定理定理10.6),(zyxf設設是定義在光滑曲面是定義在光滑曲面求曲面積分求曲面積分二、第一類曲面積分的計算法二、第一類曲面積分的計算法 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù).，yxDyxyxzz ),(),(:),(yxzz 函數(shù)函數(shù)上具有連續(xù)的偏導數(shù)，上具有連續(xù)的

8、偏導數(shù)，在在yxD Szyxfd),( yxDyxzyxf),(,(yxyxzyxzyxdd),(),(122 則有下面的計算公式則有下面的計算公式 Szyxfd),( niiiiiSf10),(lim iSyxyxzyxzyxiDyxdd),(),(1)(22 yxiiiyiixzz)(),(),(122 證證 如圖所示如圖所示 Szyxfd),( nkkkkkzf10),(,(limyxkkkykkxzz)( ),(),(122 由連續(xù)性可知由連續(xù)性可知 nkkkkkzf10),(,(lim yxkkkykkxzz)( ),(),(122 yxyxzyxzyxzyxfyxDyxdd),()

9、,(1),(,(22 Szyxfd),( yzDzyzyzyxzyxzyzyxfdd),(),(1),),(22 Szyxfd),(注注則則，：若曲面若曲面yzDzyzyxx ),(),(1.dd),(,zxyyzzxyxfxzDzx 221 Szyxfd),(則則，：若曲面若曲面xzDzxzxyy ),(),(2,d zS其中其中 是球面是球面2222azyx 被平面被平面)0(ahhz 截出的頂部截出的頂部.解解,:222yxaz 2222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa 例例1 計算曲面積分計算曲面積分 zSd a20d.ln2haa yxDyxayxa222dd 220

10、22dhaa 22022)ln(212haaa ,:222yxaz 2222:hayxDyx yxyxaaSddd222 xyz例例2為拋物面為拋物面其中其中計算計算 ,dSzyx).10(22 zyxz依對稱性知：依對稱性知：解解 坐標面對稱，坐標面對稱，和和關于關于拋物面拋物面xozyozyxz22 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，和和關于變量關于變量yxxyz， 1d4dSxyzSxyz)(1為第一卦限部分曲面為第一卦限部分曲面其中其中 dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 1d4dSxyzSxyz22yxz ： 1d4Sxyz 1dd)2()2(1)(42222Dyxyxyx

11、xy0, 0, 1),( 221 yxyxyxD其中其中dxdyyxyxxyD2222)2()2(1)(41 Sxyzd d41sincosd41022220 d41d2sin2210502 令令241 u uuud)41(41251 .42015125 0, 0, 1),( 221 yxyxyxD例例3,d222 zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面之間的圓柱面之間的圓柱面.222Ryx Hzz ,0解解 (方法方法1)yzDzyyRx ),(,:22121 . 0,),(HzRyzyDyz yzDzyyRx ),(,:222oxyHzR 22dzRSI 122d2zRS 1 2yzOR

12、HDyzzyxxSzydd1d22 yzDzyyRx ),(,:221zyyRydd0)(1222 zyyRRdd22 122d2zRSIzyyRRzRyzDdd122222 zyyRRzRyzDdd122222 HRzzRyyRR022022d1d22yzORHDyzHRRzRRyR00arctan1arcsin4 .arctan2RH 例例4,22yxz 是錐面是錐面其中其中,d)1( SxyzI.)0(222的整個表面的整個表面面所圍空間立體面所圍空間立體及及圓柱面圓柱面xOyaaxyx 解解 3 2 1321 SSxyzIdd關于關于 zOx 面對稱面對稱關于關于y 奇函數(shù)奇函數(shù) 32

13、1dddSxyzSxyzSxyzxyz O 3d00dSxySxyz 321ddddSSSSI 的的面積面積. 0 xyDyxyxz ),(,:) 1(221yxzzSyxdd1d22 yxyxyyxxdd)()(1222222 yxdd2 3 2 1xyz O2a 1dS xyDyxdd22axyODxy22 a 3 2 1xyz O2a，222)2( 由對稱性，得由對稱性，得xzDzxxaxy ),(2:22，xzDzxxaxy ),(2:22， 22d2dSS(方法方法1)2axzO axyxyxz22222消去消去y axyxzaxz2)0(2222Dxzaxz2 3 2 1xyz O

14、2axzDzxxaxy ),(2:22，zxyySzxdd1d22 zxxaxadd22 22d2dSSzxxaxaxzDdd222 2axzODxzaxz2 2d SzxxaxaxzDdd222 axazxaxax20220d2d2 axxaxaxa202d222 aaxaxa202)2d(211)2()212(4202aaxa 28a (方法方法2) 3 2 1xyz O2a由第一類曲線積分的由第一類曲線積分的幾何意義，知幾何意義，知 2d S Lsyxd22L: 20,sincos ayaax dcos1220aa d2cos2202 a28a 321dddSSSI22 a .822aa

15、 三、五類積分的統(tǒng)一表述及其共性三、五類積分的統(tǒng)一表述及其共性背景背景定積分定積分:第一類曲面積分第一類曲面積分: baxxfd)(二重積分二重積分: Dyxf d),(三重積分三重積分:vzyxfd),( 第一類曲線積分第一類曲線積分: Lsyxfd),( Szyxfd),(當當被被積積函函數(shù)數(shù)非非負負時時直桿構件質(zhì)量直桿構件質(zhì)量平面薄板質(zhì)量平面薄板質(zhì)量空間物體質(zhì)量空間物體質(zhì)量曲線構件質(zhì)量曲線構件質(zhì)量曲面構件質(zhì)量曲面構件質(zhì)量有共同的有共同的物理物理意義意義（1）對數(shù)量值函數(shù)的積分；）對數(shù)量值函數(shù)的積分；（2）數(shù)量值函數(shù)均定義在有界的幾何形體上；）數(shù)量值函數(shù)均定義在有界的幾何形體上；（3）定義

16、積分步驟相同：）定義積分步驟相同： 分割、近似、求和、取極限；分割、近似、求和、取極限；（4）均為黎曼和的極限）均為黎曼和的極限.因此可以給出上述五種積分定義的統(tǒng)一表述式因此可以給出上述五種積分定義的統(tǒng)一表述式.這這五類五類積分的積分的共性：共性：定義定義10.4直線段、直線段、體體中的一個有界的幾何形中的一個有界的幾何形是是設設(RnI平面閉區(qū)域、空間閉區(qū)域、曲線段或曲面平面閉區(qū)域、空間閉區(qū)域、曲線段或曲面)，是在是在x)f (在在I 上有定義并且有界的數(shù)量值函數(shù)。將上有定義并且有界的數(shù)量值函數(shù)。將 I 任意劃分為任意劃分為n 個個“子塊子塊”：,(,21面積面積長度長度的度量的度量并將并將

17、inIIII 。的直徑的直徑記記），（記作記作體積體積max,21)1iniiIniv 幾何形體的直徑可統(tǒng)一定義為該幾何形體中兩點之間幾何形體的直徑可統(tǒng)一定義為該幾何形體中兩點之間距離的最大值距離的最大值).,iixI 上任取一點上任取一點在每個在每個 作乘積作乘積,21)(），（nivxfii 并作黎曼和并作黎曼和 niiivxf1)(在，在，時，黎曼和的極限總存時，黎曼和的極限總存如果當如果當0即極限值與即極限值與I的取法無關，的取法無關，的劃分方法及點的劃分方法及點ix則稱此極限為則稱此極限為函數(shù)函數(shù)上的積分，上的積分，在幾何形體在幾何形體Ixf)(即即記作記作,d)( Ivxf nii

18、iIvxfvxf10)(limd)(積分區(qū)域積分區(qū)域被積表達式被積表達式被積函數(shù)被積函數(shù)當被積函數(shù)為密度函數(shù)時當被積函數(shù)為密度函數(shù)時, 五種積分表示幾何形體五種積分表示幾何形體I的質(zhì)量的質(zhì)量.I是閉區(qū)間是閉區(qū)間a, bI是平面閉區(qū)域是平面閉區(qū)域DI是空間閉區(qū)域是空間閉區(qū)域I是曲線是曲線 I是曲線是曲線 baxxfd)(yxfDd ),( vzyxfd ),( szyxfd),( Szyxfd),( 被積函數(shù)為常數(shù)被積函數(shù)為常數(shù)1時的幾何含義時的幾何含義a, b的長度的長度D的面積的面積的體積的體積的弧長的弧長的面積的面積內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 定義定義: Szyxfd),(iiiiSf ),(0

19、lim 2. 計算計算: ,),( , ),(:yxDyxyxzz 則則 Szyxfd),( yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd注意：注意：利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧簡化計算的技巧. . ni 12522 yx被柱面被柱面 ,d)(Szyx計算計算例例1-1其中其中 為平面為平面 y + z = 5所截得的部分所截得的部分.,5yz ：積分曲面積分曲面解解25),(22 yxyxDxy投影域：投影域：yxzzSyxdd1d22 yxyxdd2dd)1(012 備用題備用題 xyDyxyyxdd)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 Szyxd)(故故 計算計算dSzyx)(222 , 其中其中 為內(nèi)接于球面為內(nèi)接于球面2222azyx 的八面體的八面體azyx |表面表面. 積分曲面積分曲面 也具有對稱性也具有對稱性 , , 故故原原積積分分 18, , 被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx , , (