公開課平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義實用教案

1、第1頁/共30頁第一頁，共31頁。第2頁/共30頁第二頁，共31頁。向量向量(xingling)的夾角的夾角OAB OABab0 ,當(dāng)OAB baab記作已知兩個非零向量 和 ，作 ， ，則 叫做向量 和 的夾角夾角OAa OBb AOB)1800( abababab與 同向OABab180 ,當(dāng)ab與 反向ab與 垂直90 ,當(dāng), a b 記作第3頁/共30頁第三頁，共31頁。問問 題題sF 一個(y )物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？為此，我們引入向量(xingling)“數(shù)量積”的概念。 功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟示，能否把

2、“功”看成(kn chn)是這兩個向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？其中是 F 與 s 的夾角 .W = |F|s| cos第4頁/共30頁第四頁，共31頁。問題(wnt)：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角(ji jio)(ji jio)余弦的乘積。| a|bcosba功是力與位移的大小及其夾角(ji jio)余弦的乘積；第5頁/共30頁第五頁，共31頁。平面向量的數(shù)量平面向量的數(shù)量(shling)積的定義積的定義規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 00a （1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是(b shi)向量，符號由夾角決定. （3）

3、在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時，一定(ydng)要注意兩向量夾角的范圍是 0，180說明說明： 已知非零向量 與 ，我們把數(shù)量 叫作 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作 ，即規(guī)定 |cosa bababa b |cosa ba b （2） a b中間的“ ”在向量的運(yùn)算中不能省略，也不能寫 成ab ，ab 表示向量的另一種運(yùn)算（外積）第6頁/共30頁第六頁，共31頁。思考(sko)：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？| co sabab 當(dāng)當(dāng)0 90時時 為正；為正；a b 當(dāng)當(dāng)90 180時時 為負(fù)。為負(fù)。a b 當(dāng)當(dāng) =90時時 為零。為零。a b 數(shù)量(shling)積符號由c

4、os的符號所決定第7頁/共30頁第七頁，共31頁。問題問題(wnt)(wnt)：向量的數(shù)量積運(yùn)算與實數(shù)同向量積的線性運(yùn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算與實數(shù)同向量積的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？算的結(jié)果有什么不同？實數(shù)同向量(xingling)積的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量(xingling)兩向量(xingling)的數(shù)量積是一個實數(shù)，是一個數(shù)量當(dāng)當(dāng)a與與b同向時，同向時，abab；當(dāng)當(dāng)a與與b反向時，反向時，abab；aaa2a2或或a .aa問題：設(shè)問題：設(shè)a與與b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，則，則ab等于多少？等于多少？反之成立嗎？反之成立嗎？ ab ab0問題：當(dāng)問題：當(dāng)a與與b同向時，同向時，

5、ab等于什么？當(dāng)?shù)扔谑裁?？?dāng)a與與b反向時，反向時，ab等于什么？特別地，等于什么？特別地，aa等于什么？等于什么？ 第8頁/共30頁第八頁，共31頁。. cosbaba 12, 9, 54 2,.ababab 例：已知求與的夾角212abaa bb 例：已知 ， 滿足：=9，求的取值范圍。問題：ab與ab的大小關(guān)系如何？為什么？ abab 問題：對于向量a，b，如何求它們的夾角？ 第9頁/共30頁第九頁，共31頁。向量(xingling)數(shù)量積的性質(zhì)a b 設(shè) ,都是非零向量,則1)0aba b 222,|,|a ba baba ba babaaaaa ）當(dāng)當(dāng)同同向向時時； 當(dāng)當(dāng)反反向向時時

6、； 特特別別的的或或3|abab ） 4|a ba bab ）c co os s= =為為 ， 的的夾夾角角| co sabab 第10頁/共30頁第十頁，共31頁。例例 、在、在ABCABC中中， 求求8,7,60abCBC CA ,00ABCABa ACba ba bABC 1、已知中，當(dāng)或時，試判斷的形狀。練習(xí)練習(xí): :,0ABCABa BCba bABC 變式：已知中，當(dāng)時，試判斷的形狀。例例 、已知、已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，求，求a ab b a a與與b b的夾角的夾角=120=120第11頁/共30頁第十一頁，共31頁。平面向量數(shù)量積的幾何(j h)意義向

7、量a在b方向上的投影是什么？ 投影(tuyng)一定是正數(shù)嗎？| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影OABab 1BbOBaOA ，作作，過點(diǎn)B作1BB垂直于直線OA，垂足為 ，則1B 1OB| b | cosacosC第12頁/共30頁第十二頁，共31頁。說明(shumng)：（2）投影也是一個數(shù)量(shling)，不是向量。（1）OABab 1BBOAab 1BOABab )(1B為銳角時，| b | cos0為鈍角時，| b | cos0為直角時，| b | cos=0當(dāng) = 0 時投影為|b|當(dāng) = 180 時投影為-|b|.第13頁/共30頁第十三頁，共31頁。問題：根據(jù)投影

8、的概念，數(shù)量積ab=a| |bcos的幾何意義是什么？ 數(shù)量積ab等于a的模與b在a方向上的投影bcos的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影acos的乘積. .第14頁/共30頁第十四頁，共31頁。練一練：練一練：第15頁/共30頁第十五頁，共31頁。abba )()()(bababa cbcacba )(交換律：對數(shù)(du sh)乘的結(jié)合律：分配律：則則，和實數(shù)和實數(shù)、已知向量已知向量 cba數(shù)量數(shù)量(shling)積積的運(yùn)算律的運(yùn)算律下面我們證明(zhngmng)運(yùn)算律（3）：第16頁/共30頁第十六頁，共31頁。cbcacba )(分配律：.OCAA1Ba b 1 2 證證：.cOC

9、bABaOAO ，作作，任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)，如圖如圖方向上的投影等于方向上的投影等于在在即即cOBba)( 即即，方向上的投影的和方向上的投影的和在在、cba cos|ba21cos|cos| ba 21cos|cos|cos| bcacbac bcacbac )(.)(cbcacba B1c ab 第17頁/共30頁第十七頁，共31頁。想一想： 向量(xingling)數(shù)量積不滿足結(jié)合律 .向量的數(shù)量(shling)積滿足結(jié)合律嗎？說明(shumng)：()a bcc 表示一個與共線的向量，()ab ca 而表示一個與 共線的向量ca但與不一定共線，()()a bcab c )cb(ac)ba

10、( 即：成立嗎？第18頁/共30頁第十八頁，共31頁。應(yīng)用(yngyng)舉例NoImage 1100 2 0=03 0 = 4= 50, 0 6 =0 0 7aaBABAaba babababa ba 例 、判斷正誤，并簡要說明理由若則對任一非零向量 有若，則， 中至少有一個為 對任意向量 22 8 b cabcabca bab ，都有若 ，是兩個單位向量，則第19頁/共30頁第十九頁，共31頁。 22 1 23 4,005 67a b cacb caba ba bababa bababa ba bababb cacabc 例 、寫出下列正確命題的序號：已知 ，為非零不共線向量，則若=0,則

11、 若=0 則或若 ,則若,則-不與 垂直、 、 第20頁/共30頁第二十頁，共31頁。常用(chn yn)公式222(1)()2abaa bb 22(2)() ()ababab 第21頁/共30頁第二十一頁，共31頁。222| 6,| 4,b60,(2 ) (3 ),() ,|abaa bababababab 已知與 的夾角為，求已知與 的夾角為，求，當(dāng)且僅當(dāng)，不共線與且，例、已知)(4|3|baba？互相垂直與向量，為何值時bkabkak例、354,3k2kabababab:已知，向量 與 的夾角為，如果（）（）,求實數(shù) 的值.6332baababab4:已知，向量 與 的夾角為，且（） （

12、）=-72,求.練習(xí)1、練習(xí)1、第22頁/共30頁第二十二頁，共31頁。2222() 思考 是一個常用的結(jié)論，如何構(gòu)造一個圖形解釋這個公式的 幾何意義？9例5 已知=, =， 求 .利用平面向量(xingling)數(shù)量積求解長度問題|aa a 第23頁/共30頁第二十三頁，共31頁。1(2008)12,3,abababab例上海 :已知，向量 與 的夾角為，求變式：32,13ababababab若，求:(1)(2)與的夾角的余弦值.(2008)13,1205ababab練習(xí)江蘇 :已知，向量 與 的夾角為，求最??？時，取何值，問夾角為與練習(xí)題：btatbaba0120, 1第24頁/共30頁第

13、二十四頁，共31頁。利用平面(pngmin)向量數(shù)量積求解夾角問題|cosbaba 例： 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的夾角(2007)21,1b .abaaba 練習(xí)：上海 :已知，（）求，第25頁/共30頁第二十五頁，共31頁。課堂(ktng)小結(jié)：1、向量的數(shù)量(shling)積的定義已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角為，我們把數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量（或內(nèi)積,點(diǎn)乘），即abcosa b abcosa ba b 規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 0 0a2 2、向量數(shù)量(shling)(shling)積的幾何意義| cos

14、abba 數(shù)數(shù) 量量 積積等等 于于與與 投投 影影的的 乘乘 積積 。3、數(shù)量積運(yùn)算律(1)a bb a （交換律）(2)()()()aba bab （數(shù)乘結(jié)合律）(3)()abca cb c （分配律）第26頁/共30頁第二十六頁，共31頁。課堂(ktng)小結(jié)：4、向量數(shù)量(shling)積的性質(zhì)a b 設(shè), 都 是 非 零 向 量 ,則1)0aba b 222,|,|a ba baba ba babaaaaa ）當(dāng)當(dāng)同同向向時時； 當(dāng)當(dāng)反反向向時時； 特特別別的的或或3 |a bab ） 4|a ba bab ）c co os s= =為為 ， 的的夾夾角角5. 常用(chn yn)a

15、 求向量的模.常用(chn yn)求向量的夾角.a acosa bab第27頁/共30頁第二十七頁，共31頁。1、有四個式子：其中(qzhng)正確的個數(shù)為（ ）A、4個B、3個C、2個D、1個2、已知、都是單位向量，下列結(jié)論正確的是（ ）A、B、C、 D、3、有下列四個關(guān)系式：，其中(qzhng)正確的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、400 a00 a|baba ab1 ba22ba abab 0 ba000 )()(cbacba abba 00 acbcaba D DB BA A作業(yè)作業(yè)(zuy)第28頁/共30頁第二十八頁，共31頁。4.判斷下列命題正確與否：（1）若 a =0 ，則對任一向量 b ，有 ab=0 。 （2）若 a 0 ，則對任一非零向量 b ，有 ab0。（3）若 a 0 ，ab = 0 ，則 b = 0 。（4）若 ab = 0 ，則 a、b 中至少(zhsho)有一個為0 。（5）若 a 0 ，ab= ac ，則 b = c 。（6）若 ab= ac ，則 bc， 當(dāng)且僅當(dāng)a =0 時成立。（7）對任意向量 a，有 a2 = |a|2。（）（X）（X）（X）（X）（X）（）第29頁/共30頁第二十九頁，共31頁。謝謝您的觀看(gunkn