高中數(shù)學(xué)必修一 第4章 4.2 第1課時　指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)

1、1 / 8 4.2 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 第第 1 課時課時 指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法(重點、難點) 2能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象說明指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(重點) 1.通過學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 2借助指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng). 1指數(shù)函數(shù)的概念 一般地，函數(shù) yax(a0，且 a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域是 r. 2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a 的范圍 a1 0a1 圖象 性質(zhì) 定義域 r 值域 (

2、0，) 過定點 (0,1)，即當(dāng) x0時，y1 單調(diào)性 在 r 上是增函數(shù) 在 r 上是減函數(shù) 奇偶性 非奇非偶函數(shù) 2 / 8 對稱性 函數(shù) yax與 yax的圖象關(guān)于 y軸對稱 思考 1：指數(shù)函數(shù) yax(a0 且 a1)的圖象“升”“降”主要取決于什么？ 提示：指數(shù)函數(shù) yax(a0且 a1)的圖象“升”“降”主要取決于字母 a.當(dāng) a1 時，圖象具有上升趨勢；當(dāng) 0a0 且 a1)，則由 f(3)8得 a38，a2，f(x)2x，故選 b. 4函數(shù) yax(a0且 a1)在 r 上是增函數(shù)，則 a的取值范圍是_ (1，) 結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，若 yax(a0且 a1)在 r r 上

3、是增3 / 8 函數(shù)，則 a1. 指數(shù)函數(shù)的概念 【例 1】 (1)下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是( ) y(8)x；y2x21；yax； y2 3x. a1 b2 c3 d0 (2)已知函數(shù) f(x)為指數(shù)函數(shù)，且 f3239，則 f(2)_. (1)d (2)19 (1)中底數(shù)80且 a1時，才是指數(shù)函數(shù)； 中 3x前的系數(shù)是 2，而不是 1，所以不是指數(shù)函數(shù)，故選 d. (2)設(shè) f(x)ax(a0且 a1)，由 f3239得 a3239，所以 a3，又f(2)a2，所以 f(2)3219. 1判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)，要牢牢抓住三點： (1)底數(shù)是大于 0且不等于 1 的常數(shù)； (2

4、)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上； (3)ax的系數(shù)必須為 1. 2求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法 1已知函數(shù) f(x)(2a1)x是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 4 / 8 12，1 (1，) 由題意可知 2a10，2a11，解得 a12，且 a1， 所以實數(shù) a的取值范圍是12，1 (1，) 指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用 【例 2】 (1)函數(shù) f(x)axb的圖象如圖所示，其中 a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( ) aa1，b1，b0 c0a0 d0a1，b0，且 a1)的圖象過定點_ (1)d (2)(3,4) (1)由于 f(x)的圖象單調(diào)遞減，所以 0a1， 又 0f(0

5、)1，所以 0ab0，b0，且 a1)的圖象過定點(3,4) 指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧 (1)抓住圖象上的特殊點，如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點. (2)利用圖象變換，如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移). (3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.奇偶性確定函數(shù)的對稱情況，單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢. 2已知 f(x)2x的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由 yf(x)的圖象通過怎樣的變化得到： (1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2x1； (4)y2x；(5)y2|x|. 解 (1)y2x1的圖象是由 y2x的圖象向左平移 1個單位得到 5 / 8 (2)y2x1的圖象是由 y2x的圖象向右平移 1個單

6、位得到 (3)y2x1的圖象是由 y2x的圖象向上平移 1 個單位得到 (4)y2x與 y2x的圖象關(guān)于 y軸對稱，作 y2x的圖象關(guān)于 y 軸的對稱圖形便可得到 y2x的圖象 (5)y2|x|為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于 y軸對稱，故先作出當(dāng) x0時，y2x的圖象，再作關(guān)于 y軸的對稱圖形，即可得到 y2|x|的圖象 指數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題 探究問題 1函數(shù) y2x21的定義域與 f(x)x21的定義域什么關(guān)系？ 提示：定義域相同 2如何求 y2x21的值域？ 提示：可先令 tx21，則易求得 t 的取值范圍為1，)，又 y2t在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，故 2t2，所以 y2x21的值域為2，

7、) 【例 3】 求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y 13x； (2)y12x22x3； (3)y4x2x12. 思路點撥 函數(shù)式有意義 原函數(shù)的定義域 指數(shù)函數(shù)的值域原函數(shù)的值域 解 (1)要使函數(shù)式有意義，則 13x0，即 3x130，因為函數(shù) y3x在 r 上是增函數(shù)，所以 x0，故函數(shù) y 13x的定義域為(，0 因為 x0，所以 03x1，所以 013x0， 函數(shù) y12x22x3的值域為(0,16 (3)因為對于任意的 xr，函數(shù) y4x2x12都有意義，所以函數(shù) y4x2x12 的定義域為 r.因為 2x0，所以 4x2x12(2x)222x2(2x1)21112， 即函數(shù) y4

8、x2x12的值域為(2，) 1若本例(1)的函數(shù)換為“y13x1”，求其定義域 解 由13x10得13x130，x0，即函數(shù)的定義域為(，0 2若本例(3)的函數(shù)增加條件“0 x2”，再求函數(shù)的值域 解 0 x2，12x4，y4x2x12(2x)222x2(2x1)21. 令 2xt，則 t1,4，且 f(t)(t1)21， 易知 f(t)在1,4上單調(diào)遞增， f(1)f(t)f(4)，即 5f(t)26， 即函數(shù) y4x2x12的值域為5,26 1函數(shù) yaf(x)的定義域與 yf(x)的定義域相同 2函數(shù) yaf(x)的值域的求解方法如下： (1)換元，令 tf(x)； (2)求 tf(x

9、)的定義域 xd； (3)求 tf(x)的值域 tm； (4)利用 yat的單調(diào)性求 yat，tm的值域 3形如 yf(ax)的值域，要先求出 uax的值域，再結(jié)合 yf(u)確定出 y7 / 8 f(ax)的值域 1判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)只需判定其解析式是否符合 yax(a0且a1)這一結(jié)構(gòu)形式 2指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系：在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小；在 y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無論在 y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大 3由于指數(shù)函數(shù) yax(a0 且 a1)的定義域為 r，所以函數(shù) yaf(x)(a0且 a1

10、)與函數(shù) f(x)的定義域相同，求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，要考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 1思考辨析 (1)yx2是指數(shù)函數(shù)( ) (2)函數(shù) y2x不是指數(shù)函數(shù)( ) (3)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在 x軸的上方( ) 答案 (1) (2) (3) 2如圖是指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖象，則 a，b，c，d與 1 的大小關(guān)系是( ) aab1cd bba1dc c1abcd dab1dc b 作直線 x1，與四個圖象分別交于 a，b，c，d四點，則 a(1，a)，b(1，b)，c(1，c)，d(1，d)，由圖可知 ba1dc，故選 b. 8 / 8 3函數(shù) y112x的定義域是_ 0，) 由 112x0得12x1120，x0， 函數(shù) y112x的定義域為0，) 4設(shè) f(x)3x，g(x)13x. (1)在同一坐標(biāo)系中作出 f(x)，g(x)的圖象； (2)計算 f(1)與 g(1)，f()與 g()，