高中數(shù)學(xué)必修一第四章 4.1.1

1、1 / 11 41 指指 數(shù)數(shù) 41.1 n 次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解 n 次方根、n 次根式的概念.2.能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值.3.學(xué)會根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化 知識點(diǎn)一 n次方根、n 次根式 1a的 n 次方根的定義 一般地，如果 xna，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n1，且 nn*. 2a的 n 次方根的表示 n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符號 a 的取值范圍 n 為奇數(shù) na ar n 為偶數(shù) na 0，) 3.根式 式子na叫做根式，這里 n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù) 知識點(diǎn)二 根式的性質(zhì) 1.n00(nn*，且 n1)

2、 2(na)na(a0，nn*，且 n1) 3.nana(n 為大于 1 的奇數(shù)) 4.nan|a| a，a0，a，a0，m，nn*，且 n1) 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 規(guī)定：1mnmnaa=1nam(a0，m，nn*，且 n1) 0 的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義 知識點(diǎn)四 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即： (1)arasars(a0，r，sq)； (2)(ar)sars(a0，r，sq)； (3)(ab)rarbr(a0，b0，rq) 1當(dāng) nn*時，(n3)n都有意義( ) 2()()634222.= ( ) 3a212a

3、a.( ) 4分?jǐn)?shù)指數(shù)冪mna可以理解為mn個 a相乘( ) 一、n 次方根的概念 例 1 (1)若 81 的平方根為 a，8 的立方根為 b，則 ab_. 答案 7或11 解析 81的平方根為9或 9， 即 a9 或 9， 8的立方根為2，即 b2， ab11 或 7. (2)若4x2有意義，求實數(shù) x 的取值范圍 解 4x2有意義， x20， x2， 3 / 11 即 x的取值范圍是2，) 反思感悟 (1)方根個數(shù)：正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)，任意實數(shù)的奇次方根只有一個 (2)符號：根式na的符號由根指數(shù) n 的奇偶性及被開方數(shù) a的符號共同確定 當(dāng) n 為偶數(shù)，且 a0 時，na為

4、非負(fù)實數(shù)； 當(dāng) n 為奇數(shù)時，na的符號與 a的符號一致 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)已知 x78，則 x 等于( ) a2 2 b.78 c78 d78 答案 b 解析 因為 7為奇數(shù)，8的 7次方根只有一個78. (2)若42x5有意義，則 x 的取值范圍是_； 若52x5有意義，則 x 的取值范圍是_ 答案 52， r 二、利用根式的性質(zhì)化簡或求值 例 2 化簡： (1)4(3)4； (2) (ab)2(ab)； (3)( a1)2 (1a)23(1a)3. 考點(diǎn) 根式的化簡 題點(diǎn) 根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡 解 (1)4(3)4|3|3. (2)ab， (ab)2|ab|ab. (3)由題意知 a

5、10，即 a1.原式a1|1a|1aa1a11aa1. 反思感悟 (1)n為奇數(shù)時nannana，a為任意實數(shù) (2)n 為偶數(shù)時，a0，nan才有意義，且nana； 而 a為任意實數(shù)時nan均有意義，且nan|a|. 4 / 11 跟蹤訓(xùn)練 2 化簡： (1)7(2)7； (2)4(3a3)4(a1)； (3)3a34(1a)4. 考點(diǎn) 根式的化簡 題點(diǎn) 根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡 解 (1)7(2)72. (2)a1，4(3a3)4|3a3|3|a1|33a. (3)3a34(1a)4a|1a| 1，a1，2a1，a1. 三、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 例 3 (1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確

6、的是( ) a x()12x(x0) b.6y213y(y0) d13x3x(x0) 答案 c 解析 x12x(x0)； 6y2126(| )y13y(y0)； 11331xx=31x(x0) (2)將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式(其中 a0，b0) 3a4a； aa a； 5 / 11 (3a)2 ab3. 解 3a4a1173412;aaa= 原式17118824;aaaa= 原式21713336222.aaba b= 反思感悟 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 (1)根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子 (2)在具體計算時，如果底數(shù)相同，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形

7、式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題 跟蹤訓(xùn)練 3 把下列根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為根式的形式： (1)34()ab(ab)； (2)3(x1)5； (3)13a2； (4)37() .ab 解 (1)34()ab14(ab)3； (2)3(x1)553(1) ;x (3)13a223;a (4)37()ab7(ab)3. 1已知 (ab)2ab，則( ) aab bab ca0. (1a)241a13|1a|34(1)a (a1)34(1)a14(1)a4a1. 1知識清單： (1)n 次方根的概念、表示及性質(zhì) (2)根式的性質(zhì) (3)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 2常見誤區(qū)

8、： 7 / 11 (1)根式中根指數(shù)要求 n1且 nn*. (2)對于na，當(dāng) n 為偶數(shù)時，a0. 1已知 m102，則 m 等于( ) a.102 b102 c. 210 d102 考點(diǎn) n次方根及根式概念 題點(diǎn) n次方根及根式概念 答案 d 解析 m102，m 是 2 的 10次方根 又10 是偶數(shù)，2的 10次方根有兩個，且互為相反數(shù) m102.故選 d. 2若 2a3，化簡 (2a)24(3a)4的結(jié)果是( ) a52a b2a5 c1 d1 考點(diǎn) 根式的化簡 題點(diǎn) 條件根式的化簡 答案 c 解析 2a0，a30，將a2a3a2表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是( ) a12a b56

9、a c76a d32a 答案 c 解析 a2a3a2223aa a253aa25 13 2aa a256a526a76a. 6若 x0，則|x| x2x2|x|_. 答案 1 解析 x0，原式|x|x|x|x|1. 7若 x22x1 y26y90，則(x2 019)y_. 答案 1 解析 因為 x22x1 y26y90， 所以 (x1)2 (y3)2|x1|y3|0， 所以 x1，y3. 所以(x2 019)y(1)2 0193(1)31. 8.614333830.125的值為_ 答案 32 9 / 11 解析 原式5223323312352321232. 9計算下列各式的值 (1)12121

10、；(2)126449；(3)3410 000；(4)2312527. 解 (1)11 (2)78 (3)11 000 (4)925 10計算： (1)481923；(2)2 33363； (3)54932102730.1251； (4)3(8)34( 32)43(2 3)3. 考點(diǎn) 根式的化簡 題點(diǎn) 根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡 解 (1)原式43432 123 2 43243+43143763. (2)原式2123133163211 123 63+ +6. (3)原式499364273181 734323. (4)原式8| 32|(2 3) 82 32 3 8. 11.已知二次函數(shù) f(x)ax2

11、bx0.1的圖象如圖所示，則4(ab)4的值為( ) aab b(ab) cab dba 答案 d 10 / 11 解析 由題圖知 f(1)ab0.10， ab0. 4(ab)4|ab|(ab)ba. 12若代數(shù)式 2x1 2x有意義，則 4x24x124(x2)4_. 答案 3 解析 2x1 2x有意義， 2x10，2x0，即 x12，x2， 12x2. 4x24x124(x2)4 (2x1)224(x2)4 |2x1|2|x2|2x12(2x)3. 13計算：319293 (3 23)( 3)4( 2)4( 3 2)0_. 答案 4 解析 原式1 23 (3 23)941 (1 2)(1 2)54. 14若 x14 xy0，則 x_，x2 019y2 020_. 答案 1 2 解析 依題意有 x10，xy0，得 x1，y1， x2 019y2 0202. 15設(shè) f(x) x24，若 0a1，則 f