高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章 第3節(jié) 第1課時 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 (2)

1、1 / 11 三角恒等變換 考試要求 1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式. 2.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式. 3.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶) 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin_cos_ cos_sin_； (2)cos( )cos_cos_sin_sin_； (3)tan( )tan tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22

2、sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 22tan 1tan2. 提醒：(1)二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切公式中 的特殊情況 (2)二倍角是相對的，如2是4的 2倍，3 是32的 2 倍 3輔助角公式 asin bcos a2b2sin()其中sin ba2b2，cos aa2b2. 常用結(jié)論 1公式的常用變式 tan tan tan( )(1tan tan )； 2 / 11 sin 22sin cos sin2cos22tan 1tan2； cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2. 2降冪公式 sin2

3、1cos 22； cos21cos 22； sin cos 12sin 2. 3升冪公式 1cos 2cos22； 1cos 2sin22； 1sin sin 2cos 22； 1sin sin 2cos 22. 4半角正切公式 tan 2sin 1cos 1cos sin . 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)存在實(shí)數(shù) ，使等式 sin()sin sin 成立( ) (2)公式 asin xbcos x a2b2sin(x)中 的取值與 a，b的值無關(guān)( ) (3)cos 2cos22112sin22.( ) (4)當(dāng) 是第一象限角時，sin 21cos 2.( ) 答案

4、 (1) (2) (3) (4) 3 / 11 二、教材習(xí)題衍生 1已知 cos 35，是第三象限角，則 cos4 為( ) a210 b210 c7 210 d7 210 a cos 35， 是第三象限角， sin 1cos245. cos4 22(cos sin )22 3545 210.故選 a. 2(多選)若 tan 2xtanx45，則 tan x 的值可能為( ) a63 b62 c63 d62 bd 設(shè) tan xt，因?yàn)?tan 2xtanx42t1t2t11t2t(t1)21t2t21t215， 所以 t232， 故 tan xt62.故選 bd. 3計(jì)算：sin 108 c

5、os 42 cos 72 sin 42 _. 12 原式sin(180 72 )cos 42 cos 72 sin 42 sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 sin(72 42 ) sin 30 12. 4 / 11 4若 tan 13，tan()12，則 tan _. 17 tan tan()tan()tan 1tan()tan 12131121317. 第 1課時 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 考點(diǎn)一 公式的直接應(yīng)用 應(yīng)用公式化簡求值的策略 (1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律 例如兩角差的余弦公式可簡化為“同名相乘，符號相反” (2)注意與同角

6、三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 (3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用 典例 1 (1)(2020 全國卷)已知 (0，)，且 3cos 28cos 5，則sin ( ) a53 b23 c13 d59 (2)已知 ， 為銳角，tan 43，cos()55. 求 cos 2 的值； 求 tan()的值 (1)a 由 3cos 28cos 5，得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 23或 cos 2(舍去) 又(0，)，sin 0， sin 1cos2123253，故選 a. 5 / 11 (2)解 因?yàn)?tan 43， 所以 sin

7、43cos . 因?yàn)?sin2cos21，所以 cos2925， 因此 cos 22cos21725. 因?yàn)?， 為銳角，所以 (0，). 又因?yàn)?cos()55，所以 sin() 1cos2()2 55， 因此 tan()2. 因?yàn)?tan 43，所以 tan 22tan 1tan2247， 因此，tan()tan2()tan 2tan()1tan 2tan()211. 跟進(jìn)訓(xùn)練 1(2020 全國卷)已知 2tan tan 47，則 tan ( ) a2 b1 c1 d2 d 由已知得 2tan tan 11tan 7，得 tan 2. 2(2019 全國卷)已知 0，2，2sin 2co

8、s 21，則 sin ( ) a15 b55 c33 d2 55 b 由二倍角公式可知 4sin cos 2cos2. 0，2，cos 0， 2sin cos ，tan 12，sin 55.故選 b. 考點(diǎn)二 公式的逆用和變形 6 / 11 兩角和、差及倍角公式的逆用和變形的技巧 (1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式 (2)公式的一些常用變形 sin sin cos()cos cos ； cos sin sin()sin cos ； 1 sin sin 2 cos 22； sin 22sin cos sin2cos22tan tan21； cos 2cos2sin2c

9、os2sin21tan21tan2； tan tan tan( )(1tan tan ) 公式的逆用 典例 21 (1)(2020 全國卷)已知 sin sin31，則 sin6( ) a12 b33 c23 d22 (2)化簡sin 101 3tan 10_. (1)b (2)14 (1)由 sin sin31，得 sin sin cos 3cos sin 31， 整理得32sin 32cos 1， 即 332sin 12cos 1， 即 3sin61， sin633，故選 b. 7 / 11 (2)sin 101 3tan 10sin 10 cos 10cos 10 3sin 10 2si

10、n 10 cos 10412cos 10 32sin 10sin 204sin(30 10 )14. 點(diǎn)評：(1)注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)12，1，32， 3等這些數(shù)值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式 (2)tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題 公式的變形 典例 22 (1)若 0，則 (1sin cos )sin 2cos 222cos _. (2)化簡 sin26sin26sin2的結(jié)果是_ (1)cos (2)12 (1)由 (0，)，得 022，

11、cos 20， 22cos 4cos222cos 2. 又(1sin cos )sin 2cos 2 2sin 2cos 22cos22 sin 2cos 2 2cos 2sin22cos222cos 2cos ， 故原式2cos 2cos 2cos 2cos . (2)原式1cos2321cos232sin2 8 / 11 112cos23cos23sin2 1cos 2 cos 3sin2 1cos 221cos 2212. 跟進(jìn)訓(xùn)練 1設(shè) acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 ，b22(sin 56 cos 56 )，c1tan2391tan239，則 a，b，c

12、的大小關(guān)系是( ) aabc bbac ccab dacb d 由兩角和與差的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式，可得 acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 cos 50 cos 127 sin 50 sin 127 cos(50 127 )cos(77 )cos 77 sin 13 ，b22(sin 56 cos 56 )22sin 56 22cos 56 sin(56 45 )sin 11 ，c1tan2391tan2391sin239cos2391sin239cos239cos239 sin239 cos 78 sin 12 .因?yàn)楹瘮?shù) ysin x，x0，2為增函數(shù)，所以 s

13、in 13 sin 12 sin 11 ，所以 acb.故選 d. 2(多選)(2020 徐州期中)在abc中，c120 ，tan atan b2 33，下列各式正確的是( ) aab2c btan(ab) 3 ctan atan b dcos b 3sin a cd 在abc中，c120 ，所以 ab60 ， 所以 tan(ab)tan atan b1tan atan b2 331tan atan b 3，解得 tan atan b13. 由于 tan atan b2 33，tan atan b13. 9 / 11 所以 tan a和 tan b為方程 x22 33x130的兩個根， 所以

14、tan atan b33. 所以 cos b 3sin a. 故 ab錯誤，cd正確故選 cd. 考點(diǎn)三 利用“角的變換”求值 三角公式求值中變角的解題思路 (1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式； (2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角” 典例 3 (1)已知 cosx613，則 cos xcosx3( ) a32 b 3 c12 d33 (2)若 0，2，且 sin613，則 cos3_. (3)已知 sin6 14，則 cos232 _. (1)d (2)2 616 (3)

15、78 (1)法一：cos xcosx3cosx66cosx66 2cosx6cos633，故選 d. 法二：cos xcosx3cos xcos xcos 3sin xsin 332sin x32cos x 332cos x12sin x 3cosx6 33，故選 d. 10 / 11 (2)由于角 為銳角，且 sin613， 則 cos62 23， 則 cos3cos66 cos6cos 6sin6sin 6 2 233213122 616. (3)cos3 cos26 sin6 14， cos232 2cos23 12142178. 點(diǎn)評：常見的配角技巧：2()()，()，22，22，222 等 跟進(jìn)訓(xùn)練 1已知 sin4210，2， ， 則(1)cos _； (2)sin24_. (1)35 (2)17 250 (1)由 2， 知 434，54， cos41sin24121027 210， cos cos