高考數(shù)學一輪復習第5節(jié)　直線與橢圓的位置關系

1、1 / 22 第 5 節(jié) 直線與橢圓的位置關系 知 識 梳 理 1點與橢圓的位置關系 設 m(x0，y0)，橢圓標準方程為：x2a2y2b21(ab0)，則x20a2y20b21點在橢圓外 2直線與橢圓的位置關系 將直線方程 ykxb(或 xmyn)代入橢圓方程x2a2y2b21(ab0)，整理得到關于 x(或 y)的一個一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc0)，則 b24ac0直線與橢圓相交； b24ac0直線與橢圓相切； b24acb0)相交于 a，b 兩點，弦長公式： |ab|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2或|ab|11k2|y1y2|11k2（y1y2）24

2、y1y2. 焦點弦：若弦過圓錐曲線的焦點叫焦點弦 1以橢圓x2a2y2b21(ab0)內(nèi)的點 m(x0，y0)為中點的直線的斜率 kb2a2x0y0. 2以橢圓y2a2x2b21(ab0)內(nèi)的點 m(x0，y0)為中點的直線的斜率 ka2b2x0y0. 3若已知直線 l：ymxn過橢圓內(nèi)一點，則直線與橢圓相交 診 斷 自 測 1判斷下列說法的正誤 (1)直線與橢圓聯(lián)立消元后所得方程一定是一元二次方程( ) (2)在過橢圓中心的直線所截得的弦中，長軸最長，短軸最短( ) (3)在過橢圓的焦點弦中，與長軸垂直的弦(也叫通徑)最短( ) (4)橢圓x24y231 在點(1，32)處的切線的斜率為12

3、. 2 / 22 答案 (1) (2) (3) (4) 2橢圓 ax2by21(a0，b0)與直線 y1x 交于 a，b兩點，過原點與線段ab中點的直線的斜率為32，則ba的值為( ) a.32 b.2 33 c.9 32 d.2 327 答案 b 解析 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則 ax21by211，ax22by221， 即 ax21ax22(by21by22)，by21by22ax21ax221， b（y1y2）（y1y2）a（x1x2）（x1x2）1，ba(1)321， ba2 33，故選 b. 3橢圓x2a2y2b21(ab0)中，f 為右焦點，b 為上頂點，o 為坐

4、標原點，直線 ybax 交橢圓于第一象限內(nèi)的點 c，若 sbfosbfc，則橢圓的離心率為( ) a.2 217 b.2 217 c.2 213 d. 21 答案 a 解 析 聯(lián) 立 直 線 y bax 與 橢 圓x2a2y2b2 1 ， 得 在 第 一 象 限 的 交 點 為c22a，22b ，又因為 sbfosbfc，所以直線 bf 與直線 ybax 的交點為線段oc 的中點，即線段 oc 的中點24a，24b 在直線 bf：xcyb1 上，則24ac24bb1，化簡得橢圓的離心率 eca2 217，故選 a. 4已知 f1(1，0)，f2(1，0)是橢圓 c 的兩個焦點，過 f2且垂直于

5、 x 軸的直線交 c于 a，b兩點，且|ab|3，則 c的方程為_ 3 / 22 答案 x24y231 解析 依題意，設橢圓 c：x2a2y2b21(ab0) 過點 f2(1，0)且垂直于 x 軸的直線被曲線 c 截得弦長 |ab|3， 點 a1，32必在橢圓上，1a294b21. 又由 c1，得 1b2a2. 由聯(lián)立，得 b23，a24. 故所求橢圓 c的方程為x24y231. 5設 f1，f2分別為橢圓x24y2m(m0)的左、右焦點，a，b 在該橢圓上，且f1a2f2b，則 f1a所在的直線的斜率為_ 答案 232 解析 由橢圓方程知 f1( 3m，0)，從而設直線 f1a 的方程為 x

6、ty 3m，a(x1，y1)，b(x2，y2)為直線 f1a 與橢圓的另一個交點，由橢圓的對稱性及f1a2f2b知 b(x2，y2)，從而有 y12y2. 由xty 3m，x24y2m，(t24)y22 3mtym0y1y22 3mtt24，y1y2mt24，y12y2，212mt2（t24）2mt24 t2423，故 f1a所在直線的斜率 k232. 6若直線 l 與直線 xy10 垂直，其縱軸截距 b 3，橢圓 c 的兩個焦點f1(1，0)，f2(1，0)，且與直線 l 相切，則直線 l 的方程為_，橢圓 c的標準方程為_ 答案 yx 3 x22y21 解析 因為直線 l 與直線 xy10

7、 垂直，其縱軸截距 b 3，所以直線 l 的4 / 22 方程為 yx 3.設橢圓 c 的標準方程為x2a2y2b21(ab0)，與直線 l 的方程聯(lián)立，消去 y 得(a2b2)x22 3a2x3a2a2b20，則 (2 3a2)24(a2b2)(3a2a2b2)0，化簡得 a2b23 ，又因為橢圓的兩個焦點的坐標為f1(1，0)，f2(1，0)，所以 a2b21 ，聯(lián)立解得 a22，b21，所以橢圓的標準方程為x22y21. 考點一 直線與橢圓位置關系的判斷 【例 1】 當實數(shù) m 分別取何值時，直線 l：yxm 與橢圓 9x216y2144 相交、相切、相離？ 解 將直線和橢圓的方程聯(lián)立，

8、 得關于 x 的一元二次方程 25x232mx16m21440， 因為 576(25m2)， 所以當(1)0，即5m5時，直線 l 與橢圓相交； (2)0，即 m5或 m5 時，直線 l 與橢圓相切； (3)0，即 m5 時，直線 l 與橢圓相離 感悟升華 判斷直線與橢圓的位置關系的方法： (1)用判別式法； (2)利用直線上的特殊點與橢圓的關系 【訓練 1】 判斷直線 ykx1與下列橢圓的位置關系： (1)x23y221；(2)x23y21. 解 直線 ykx1 過定點(0，1)， (1)因為定點(0，1)在橢圓x23y221內(nèi)部， 直線 ykx1 與橢圓x23y221相交 (2)因為定點(

9、0，1)為橢圓x23y21 短軸的下頂點，由數(shù)形結合可知： 當 k0 時，直線與橢圓相切； 當 k0 時，直線與橢圓相交 5 / 22 考點二 中點弦問題 【例 2】 (2020 天津卷)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的一個頂點為 a(0，3)，右焦點為 f，且|oa|of|，其中 o 為原點 (1)求橢圓的方程； (2)已知點 c滿足 3ocof，點 b在橢圓上(b異于橢圓的頂點)，直線 ab與以 c為圓心的圓相切于點 p，且 p 為線段 ab的中點，求直線 ab 的方程 解 (1)由已知可得 b3.記半焦距為 c，由|of|oa|可得 cb3. 又由 a2b2c2，可得 a218.

10、所以橢圓的方程為x218y291. (2)因為直線 ab與以 c為圓心的圓相切于點 p，所以 abcp. 依題意，直線 ab和直線 cp的斜率均存在 設直線 ab的方程為 ykx3.由方程組ykx3，x218y291， 消去 y，可得(2k21)x212kx0， 解得 x0或 x12k2k21. 依題意，可得點 b的坐標為12k2k21，6k232k21. 因為 p為線段 ab的中點，點 a的坐標為(0，3)， 所以點 p的坐標為6k2k21，32k21. 由 3ocof，得點 c的坐標為(1，0)， 故直線 cp 的斜率為32k2106k2k21132k26k1. 又因為 abcp，所以 k

11、32k26k11， 整理得 2k23k10，解得 k12或 k1. 6 / 22 所以直線 ab的方程為 y12x3 或 yx3. 感悟升華 處理中點弦問題常用的求解方法 (1)點差法：即設出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率 (2)根與系數(shù)的關系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由根與系數(shù)的關系求解 注意，若已知弦中點在橢圓內(nèi)，不必再檢驗判別式 【訓練 2】 (1)過橢圓x216y241 內(nèi)一點 m(2，1)作橢圓的弦，點 m 恰為該弦

12、的中點，則該弦所在直線 l 的方程為_ (2)已知定點 c(1，0)及橢圓 x23y25，過點 c 的動直線與橢圓相交于 a，b兩點若線段 ab中點的橫坐標是12，則直線 ab的方程為_ 答案 (1)x2y40 (2)x 3y10或 x 3y10 解析 (1)設 l：y1k(x2)交橢圓于點 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 因為點 a，b都在橢圓上，則得 x214y2116，x224y2216， 經(jīng)觀察知這兩個式子除了字母的下標不同外，其余都相同，將兩式相減，得 (x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， 可以知道式中的 x1x24，y1y22， 那么得 4(x1x2)8(y

13、1y2)0，得直線斜率為12， 故所求直線方程為 x2y40. (2)依題意，直線 ab 的斜率存在，設直線 ab 的方程為 yk(x1)，將 yk(x1)代入 x23y25，消去 y 整理得(3k21)x26k2x3k250. 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則36k44（3k21）（3k25）0， x1x26k23k21. 7 / 22 由線段 ab 中點的橫坐標是12，得x1x223k23k2112，解得 k33，適合. 所以直線 ab的方程為 x 3y10或 x 3y10. 考點三 直線與橢圓位置關系的應用 【例 3】 (2021 浙江新高考訓練二)過橢圓x22y21的左焦點

14、 f作斜率為 k1(k10)的直線交橢圓于 a，b 兩點，m 為弦 ab 的中點，直線 om 交橢圓于 c，d 兩點 (1)設直線 om 的斜率為 k2，求 k1k2的值； (2)若 f，b分別在直線 cd的兩側，|mb|2|mc| |md|，求fcd 的面積 解 (1)由題意知橢圓的左焦點 f的坐標為(1，0)， 將直線 ab的方程 yk1(x1)代入橢圓方程x22y21， 整理得(12k21)x24k21x2k2120， (4k21)24(12k21)(2k212)8k2180， 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)， 則 x1x24k2112k21，x1x22k212

15、12k21， 因為點 m 為弦 ab的中點， 所以 x0 x1x222k2112k21，y0k1(x01)k112k21， 因為 k2kom12k1，所以 k1k212. (2)由(1)可得|ab| 1k21|x1x2| 1k212 2 1k2112k212 2（1k21）12k21， 將 yk2x 代入x22y21， 8 / 22 得 xd212k22，xc212k22， 則|mc| |md| 1k22|x0212k22| 1k22|x0212k22| (1k22)|x20212k22| (1k22)|2k2112k212212k22|. 因為|mb|2|mc| |md|， 所以14|ab|

16、2|mc| |md|， 所以2（1k21）2（12k21）2(1k22)|2k2112k212212k22|， 解得 k2112， 所以k1，k222，22， 由直線的對稱性，不妨設 k122，k222， 所以直線 cd的方程為 2x2y0， 點 f到直線 cd距離 df33， |cd| 1k22|xcxd| 1k222 212k22 6， 所以fcd 的面積為12|cd| df22. 感悟升華 解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立、消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題 【訓練 3】 (2021 溫州中學模擬)已知直線 l：ykxm 與

17、橢圓x2a2y2b21(ab0)恰有一個公共點 p，l 與圓 x2y2a2相交于 a，b兩點 9 / 22 (1)求 k 與 m的關系式； (2)點 q與點 p關于坐標原點 o 對稱若當 k12時，qab 的面積取到最大值a2，求橢圓的離心率 解 (1)聯(lián)立ykxm，x2a2y2b21，消去 y 得(a2k2b2)x22a2kmxa2(m2b2)0， 則 (2a2km)24a2(a2k2b2)(m2b2)0， 化簡整理得 m2a2k2b2. (2)因為點 q 與點 p 關于坐標原點 o 對稱，連接 pq，則 o 是 pq 的中點，點 q到 ap的距離是點 o 到 ap的距離的 2倍， 所以qa

18、b 的面積是oab的面積的兩倍， 所以當 k12時，oab 的面積取到最大值a22，|oa|ob|a，此時oaob， 在等腰直角oab中，坐標原點 o到直線 l 的距離 da2. 又 d|m|k21，所以m2k21a22. 由(1)得a2k2b2k21a22，則 k212b2a2. 又 k12，故 k212b2a214，即b2a238， 所以 e2c2a21b2a258， 所以橢圓的離心率 e104. 基礎鞏固題組 10 / 22 一、選擇題 1直線 ykxk1與橢圓x29y241的位置關系為( ) a相交 b相切 c相離 d不確定 答案 a 解析 直線 yk(x1)1 過定點(1，1)，又點

19、(1，1)在橢圓x29y241 內(nèi)部，故直線與橢圓相交 2經(jīng)過橢圓x22y21 的一個焦點作傾斜角為 45 的直線 l，交橢圓于 a，b 兩點，設 o 為坐標原點，則oa ob等于( ) a3 b13 c13或3 d13 答案 b 解析 依題意，當直線 l 經(jīng)過橢圓的右焦點(1，0)時，其方程為 y0tan 45 (x1)，即 yx1，代入橢圓方程x22y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x43，所以兩個交點坐標分別為(0，1)，43，13，oa ob13，同理，直線 l經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得oa ob13. 3已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左焦點為 f，c 與過

20、原點的直線相交于 a，b 兩點，連接 af，bf.若|ab|10，|bf|8，cos abf45，則 c 的離心率為( ) a.35 b.57 c.45 d.67 答案 b 解析 如圖，設|af|x，則 cosabf82102x2281045.解得 x6，afb90 ，由橢圓及直線關于原點對稱可知|af1|8，faf1fabfba90 ，faf1是直角三角形，所以|f1f|10，故 2a8614，2c10，ca57. 11 / 22 4已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的右焦點為 f(3，0)，過點 f 的直線交 e 于a，b兩點若 ab的中點坐標為(1，1)，則 e的方程為( ) a

21、.x245y2361 b.x236y2271 c.x227y2181 d.x218y291 答案 d 解析 kab013112，由 kabb2a2x0y0b2a2得b2a212，即 a22b2，結合 a2b232解得a218，b29，e的方程為x218y291. 5(2021 嘉興期末)已知 a，b 是橢圓 c：y23x21 短軸的兩個端點，點 o 為坐標原點，點 p 是橢圓 c 上不同于 a，b 的動點，若直線 pa，pb 分別與直線 x4 交于點 m，n，則omn面積的最小值為( ) a24 3 b12 3 c6 5 d12 5 答案 d 解析 由題意不妨設點 a(1，0)，b(1，0)設

22、點 m(4，y1)，n(4，y2)，p(x0，y0)因為 n，p，b 三點共線，m，a，p 三點共線，所以y25y0 x01，y13y0 x01，所以y1y215y20 x2013，所以 y1y245，所以 smon124|y1y2|2|y1y2|2|y145y1|4 4512 5，當且僅當 y1 3 5時等號成立，故選 d. 6已知橢圓x24y221 的左、右焦點分別為 f1，f2，過 f1且傾斜角為 45 的直線l 交橢圓于 a，b 兩點，以下結論：abf2的周長為 8；原點到 l 的距離為1；|ab|83.其中正確結論的個數(shù)為( ) a3 b2 c1 d0 答案 a 解析 由橢圓的定義，

23、得|af1|af2|4，|bf1|bf2|4，又|af1|bf1|12 / 22 |ab|，所以abf2的周長為|ab|af2|bf2|8，故正確；由條件，得f1( 2，0)，因為過 f1且傾斜角為 45 的直線 l 的斜率為 1，所以直線 l 的方程為 yx 2，則原點到 l 的距離 d| 2|21，故正確；設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由yx 2，x24y221，得 3x24 2x0，解得 x10，x24 23，所以|ab|11 |x1x2|83，故正確故選 a. 二、填空題 7(2021 湖州期末質檢)已知直線 xmy2(mr)與橢圓x29y251 相交于 a，b兩點，則|ab

24、|的最小值為_；若|ab|307，則實數(shù) m的值是_ 答案 103 1 解析 聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去 x 化簡得(5m29)y220my250.設點a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 y1y220m5m29，y1y2255m29，則|ab|1m220m5m2924255m2930（1m2）5m29309103，所以|ab|的最小值為103.當|ab|30（1m2）5m29307時，解得 m1. 8(2021 山水聯(lián)盟考試)設橢圓 m 的標準方程為x2a2y2b21(ab0)，若斜率為 1的直線與橢圓 m 相切同時亦與圓 c：x2(yb)2b2(b 為橢圓的短半軸)相切，記橢圓的離心率為

25、 e，則 e2_ 答案 3 22 解析 設直線方程為 yxm.因為直線與橢圓相切，所以代入橢圓方程可得(b2a2)x22a2mxa2m2a2b20，所以由 0 可得 m2a2b2.又因為直線與圓相切，所以圓心(0，b)到直線的距離為|bm|2b，解得 m(1 2)b，所以(113 / 22 2)2b2a2b2.又 b2a2c2，所以(2 21)a2(2 22)c2，解得 e2c2a22 212 223 22. 9(2021 溫州適考)已知橢圓x22y21 與 y 軸交于點 m，n，直線 yx 交橢圓于a1，a2兩點，p 是橢圓上異于 a1，a2的點，點 q 滿足 qa1pa1，qa2pa2，則

26、|qm|qn|_ 答案 2 2 解析 依題意，不妨作出示意圖如圖所示，則 m(0，1)，n(0 ， 1) 聯(lián) 立yx，x22y21，解 得a163，63. 因 為qa1pa1，qa2pa2，所以點 q 為橢圓x22y21與圓 x2y243的交點，聯(lián)立二者 方 程 ， 解 得 q63，63， 所 以 |qm| |qn| 632163263216322 632 2. 10(2021 名校仿真訓練五)已知橢圓x210y261，傾斜角為 60 的直線與橢圓分別交于 a，b 兩點且|ab|8 309，點 c 是橢圓上不同于 a，b 的一點，則abc 面積的最大值為_ 答案 16 309 解析 設點 a(

27、x1，y1)，b(x2，y2)，直線 ab 的方程為 y 3xm，與橢圓方程聯(lián)立消去 y 得 18x2103mx5(m26)0，則 x1x25 3m9，x1x25（m26）18，則|ab|1（ 3）2（x1x2）24x1x22 15936m28 309，解得 m 2.作直線 lab，不妨設直線 l的方程為 y 3xn，則當直線l 與橢圓相切，且 m 與 n 異號時，切點 c 到直線 ab 的距離最大，此時abc 的面積最大，聯(lián)立直線 l 與橢圓方程消去 y 得 18x210 3nx5(n26)0，由直線14 / 22 與橢圓相切得 (10 3n)24185(n26)0，解得 n 6，所以abc

28、的面積的最大值為128 309|6（2）|12（ 3）216 309. 三、解答題 11(2019 天津卷)設橢圓x2a2y2b21(ab0)的左焦點為 f，上頂點為 b.已知橢圓的短軸長為 4，離心率為55. (1)求橢圓的方程； (2)設點 p 在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點 m 為直線 pb 與 x 軸的交點，點 n 在 y 軸的負半軸上，若|on|of|(o 為原點)，且 opmn，求直線 pb的斜率 解 (1)設橢圓的半焦距為 c，依題意，2b4，ca55，又 a2b2c2，可得 a5，b2，c1. 所以橢圓的方程為x25y241. (2)由題意，設 p(xp，yp)(xp0)

29、，m(xm，0)， 直線 pb的斜率為 k(k0)， 又 b(0，2)，則直線 pb 的方程為 ykx2，與橢圓方程聯(lián)立ykx2，x25y241，整理得(45k2)x220kx0， 可得 xp20k45k2，代入 ykx2得 yp810k245k2， 進而直線 op的斜率為ypxp45k210k. 在 ykx2中，令 y0，得 xm2k. 由題意得 n(0，1)，所以直線 mn的斜率為k2. 由 opmn，得45k210kk21，化簡得 k2245， 15 / 22 從而 k2 305(滿足 (20k)24(45k2)0) 所以直線 pb的斜率為2 305或2 305. 12(2021 北京通

30、州區(qū)期末)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)過點 a(0，1)，且橢圓的離心率為63. (1)求橢圓 c的方程； (2)斜率為 1 的直線 l 交橢圓 c 于 m(x1，y1)，n(x2，y2)兩點，且 x1x2，若直線 x3 上存在點 p，使得pmn 是以pmn為頂角的等腰直角三角形，求直線 l 的方程 解 (1)由題意得b1，ca63，a2b2c2.解得 a23， 所以橢圓 c的方程為x23y21. (2)設直線 l的方程為 yxm，p(3，yp)， 由x23y21，yxm，得 4x26mx3m230， 令 36m248m2480，得2m2，x1x232m，x1x234(m21)，

31、 因為pmn是以pmn 為頂角的等腰直角三角形， 所以 np平行于 x 軸， 過 m 作 np的垂線，則垂足 q為線段 np的中點， 設點 q的坐標為(xq，yq)，則 xqxmx1x232， 由方程組x1x232m，x1x234（m21），x1x232，解得 m22m10， 即 m1， 16 / 22 而 m1(2，2)，所以直線的方程為 yx1. 17 / 22 能力提升題組 13已知直線 l：ykx2 過橢圓x2a2y2b21(ab0)的上頂點 b 和左焦點 f，且被圓 x2y24 截得的弦長為 l，若 l4 55，則橢圓離心率 e 的取值范圍是( ) a.0，55 b.0，2 55 c

32、.0，3 55 d.0，4 55 答案 b 解析 依題意知 b2，kc2. 設圓心到直線 l 的距離為 d，則 l2 4d24 55， 解得 d2165.又因為 d21k2，所以11k245， 于是 e2c2a2c2b2c211k2，所以 0e245，解得 0e2 55.故選 b. 14已知橢圓 m：x2a2y2b21(ab0)的一個焦點為 f(1，0)，離心率為22，過點f 的動直線交 m 于 a，b 兩點，若 x 軸上的點 p(t，0)使得apobpo 總成立(o為坐標原點)，則 t( ) a2 b2 c 2 d. 2 答案 b 解析 在橢圓中 c1，eca22，得 a 2，b1，故橢圓的

33、方程為x22y21.設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由題意可知，當直線斜率不存在時，t 可以為任意實數(shù) ； 當 直 線 斜 率 存 在 時 ， 可 設 直 線 方 程 為 y k(x 1) ， 聯(lián) 立 方 程 組yk（x1），x22y21， 得(12k2)x24k2x2k220， x1x24k212k2，x1x22k2212k2， 18 / 22 使得apobpo 總成立，即使得 pf 為apb 的角平分線，即直線 pa 和 pb的斜率之和為 0， 即y1x1ty2x2t0， 由 y1k(x11)，y2k(x21)， 代入整理得 2x1x2(t1)(x1x2)2t0， 由根與系數(shù)的關系

34、，可得4k2412k2(t1)4k212k22t0， 化簡可得 t2，故選 b. 15(2021 浙江新高考仿真五)直線 l 與橢圓x26y231 相交于 a，b 兩點，且與圓x2y22相切于點 h，則|ha|2|hb|2的最小值為_ 答案 4 解析 當直線 ab 的斜率不存在時，不妨設直線 ab 的方程為 x 2，此時h( 2，0)，易求得|ha|2|hb|24；當直線 ab 的斜率存在時，設直線 ab 的方程為 ykxb，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由直線 ab 與圓相切，得|b|1k2 2，即b22(1k2) 由ykxb，x26y231消去 y 得(12k2)x24kb2b260

35、， x1x24kb12k2，x1 x22b2612k2， |ha|2|hb|2|oa|22|ob|22x21y21x22y224x213x212x223x2224x21x2222（x1x2）22x1x2228k416k22（12k2）22， 令 t12k2，則 t1， |ha|2|hb|22t24t4t224t24t44， 當且僅當 t1 時取等號 |ha|2|hb|2的最小值為 4. 19 / 22 16(2021 杭州二中仿真模擬)(一題多解)已知直線 mn 過橢圓x22y21 的左焦點f，與橢圓交于 m，n 兩點，直線 pq 過原點 o 與 mn 平行，且與橢圓交于 p，q兩點，則|pq

36、|2|mn|_ 答案 2 2 解析 法一 特殊化，設 mnx 軸， 則|mn|2b2a22 2，|pq|24， |pq|2|mn|422 2. 法二 由題意知 f(1，0)，當直線 mn 的斜率不存在時，|mn|2b2a 2，|pq|2b2，則|pq|2|mn|2 2；當直線 mn的斜率存在時，設直線 mn的斜率為 k， 則 mn方程為 yk(x1)，m(x1，y1)，n(x2，y2)， 聯(lián)立方程yk（x1），x22y21， 整理得(2k21)x24k2x2k220. 由根與系數(shù)的關系，得 x1x24k22k21，x1x22k222k21， 則|mn| 1k2 （x1x2）24x1x2 2 2（k21）2k21. 直線 pq的方程為 ykx，p(x3，y3)，q(x4，y4)， 則ykx，x22y21，解得 x2212k2，y22k212k2， 則|op|2x2y22（1k2）12k2，又|pq|2|op|， 所以