高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題40 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（知識(shí)梳理）（文）（原卷版）

1、1 / 9 專題專題 40 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（知識(shí)梳理）空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（知識(shí)梳理） 一、證明空間平行的方法一、證明空間平行的方法 1、證明線線平行的方法：、證明線線平行的方法： (1)利用直線平行的傳遞性：31/ll，32/ll21/ll； (2)利用垂直于同一平面的兩條直線平行：1l，2l21/ll； (3)中位線法：選中點(diǎn)，連接形成中位線； (4)平行四邊形法：構(gòu)造平行四邊形； (5)利用線面平行推線線平行：2l=，1l，/1l21/ll。 2、證明線面平行的方法：、證明線面平行的方法： (1)利用線面平行的判定定理(主要方法)：1l，2l，21/ll/1l； (

2、2)利用面面平行的性質(zhì)定理：/，1l/1l； (3)利用面面平行的性質(zhì)：/，1l，/1l/1l。 3、證明面面平行的方法：、證明面面平行的方法： (1)利用面面平行的判定定理(主要方法：證明兩個(gè)平面內(nèi)的兩組相交直線相互平行)： 31/ll，42/ll，all=21，bll=43，21ll、，43ll、/； (2)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)：1l，1l/； (3)利用平面平行的傳遞性：/，/。 解決解決空間問題的關(guān)鍵是如何將空間問題的關(guān)鍵是如何將“空間問題空間問題”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“平面問題平面問題”的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 題型一、題型一、“線線平行線線平行”到到“

3、線面平行線面平行” 例 1-1如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐abcdp 中，acab ，pa平面abcd，且abpa=，點(diǎn)e是pd的中點(diǎn)。求證：/pb平面aec。 2 / 9 例 1-2如圖所示，在五面體abcdef中，點(diǎn)o是矩形abcd的對(duì)角線的交點(diǎn)，面cde是等邊三角形，棱bcef21/。求證：/fo平面cde。 題型二、題型二、“面面平行面面平行”到到“線面平行線面平行” 例 2-1如圖所示，長方體1111dcbaabcd 中，e、p分別是bc、11da的中點(diǎn)，m、n分別是ae、1cd的中點(diǎn)。求證：/mn平面11aadd。 例 2-2如圖，正三棱柱111cbaabc 中，d是bc的

4、中點(diǎn)，11= abaa。求證：/1ca平面dab1。 3 / 9 二二、證明空間垂直的方法、證明空間垂直的方法 1、證明線線垂直的方法、證明線線垂直的方法： (1)利用平行直線的性質(zhì)：31ll ，32/ll21ll ； (2)利用直面垂直的推理：1l，2l21ll ； (3)中線法：等腰三角形中選中點(diǎn)，三線合一； (4)利用勾股定理的逆定理：若222cba+=，則abc是直角三角形； 2、證明直線與平面垂直的方法：、證明直線與平面垂直的方法： (1)利用線面垂直的判定定理(主要方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直)： 21ll ，31ll ，all=32，32ll 、1l； (2)利用線面

5、垂直的推理： 若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面； 若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則它必垂直于另一個(gè)平面(客觀題常用)； (3)若兩平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面(常用方法)： ，2l=，1l，21ll 1l； (4)若兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面。 3、證明面面垂直的方法：、證明面面垂直的方法： (1)利用面面垂直的定義，即證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90； (2)可以考慮證線面垂直，即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線，再證這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行(常用

6、方法：即證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面)。 題型題型三三、“線線垂直線線垂直”到到“線面垂直線面垂直” 例 3-1如圖所示，四面體abcd中，o為bd的中點(diǎn)，2=bdcdbcac，2= adab，求證：ao平面bcd。 4 / 9 例 3-2已知直角梯形abcd中，dcad ，abad ，cde是邊長為2的等邊三角形，5=ab。沿ce將bce折起，使b至b處，且decb；然后再將ade沿de折起，使a至a處，且面dea面cde，ceb和dea在面cde的同側(cè)。求證：cb平面cde。 例 3-3如圖，在多面體pkabcd中，底面abcd是梯形，bcad /，adbc2=，45=abc

7、，pa底面abcd，dkpa/，22=dkpaacab，點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)。證明：de平面pac。 題型題型四四、“線面垂直線面垂直”到到“線線垂直線線垂直” 例 4-1如圖所示的三棱錐bcda中，側(cè)面abd、acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜邊，且3=ad，1= cdbd，另一個(gè)側(cè)面abc是正三角形。求證：bcad 。 5 / 9 例 4-2如圖所示，p是邊長為1的正六邊形abcdef所在平面外一點(diǎn)，1=pa，p在平面abc內(nèi)的射影為bf的中點(diǎn)o。證明bfpa。 例 4-3如圖所示，在四棱錐abcdp 中，底面為直角梯形，bcad /，90=bad，pa底面abcd，且bcabadap2

8、=，m、n分別為pc、pb的中點(diǎn)。求證：pbdm 。 三、三、等積法求三棱錐的體積及點(diǎn)到面的距離等積法求三棱錐的體積及點(diǎn)到面的距離 由于三棱錐是由4個(gè)三角形圍成的四面體，任何一個(gè)三角形都可以看成其底面。但在求體積時(shí)需要選擇合適的底和高，這就需要靈活換底面，但是三棱錐的體積保持不變。這種方法我們稱為“等積法”，它是三棱錐求體積的巧妙方法，也是其“專屬產(chǎn)品”。其他的，如四棱錐求體積就不能隨意換底，不能用等積法求體積。另外，等積法的優(yōu)越性還體現(xiàn)在求“點(diǎn)到平面的距離”中。 題型五、等積法求三棱錐的體積題型五、等積法求三棱錐的體積 注意：等積法求體積時(shí)，要謹(jǐn)記“先證后求”的原則，先作出或證明底面的高，再

9、計(jì)算三棱錐的體積。 例 5-1如圖所示，邊長為2的正方體1111dcbaabcd 中，cb1與1bc相交于點(diǎn)o。 (1)求證：/1cb平面ddaa11； (2)求證：1bc平面dcb1； (3)求四面體11bdcb 的體積。 6 / 9 例 5-2如圖所示，已知三棱錐bpca中，pcap ，bcac ，m為ab中點(diǎn)，d為pb中點(diǎn)，且pmb為正三角形。 (1)求證：/dm平面apc； (2)求證：平面apc平面abc； (3)若4=bc，20=ab，求三棱錐bcmd 的體積。 例 5-3如圖，在底面是菱形的四棱錐abcds 中，2= absa，22= sdsb。 (1)證明：bd平面sac； (

10、2)在側(cè)棱sd上是否存在點(diǎn)e，使得/sb平面ace？請(qǐng)證明你的結(jié)論； (3)若120=bad，求幾何體sbda的體積。 7 / 9 題型六、點(diǎn)到平面的距離題型六、點(diǎn)到平面的距離 求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用。 1、求點(diǎn)到面的距離主要方法：、求點(diǎn)到面的距離主要方法： (1)直接法：由定義作出垂線段并計(jì)算，用線面和面面垂直的判定及性質(zhì)來作。直接法：由定義作出垂線段并計(jì)算，用線面和面面垂直的判定及性質(zhì)來作。 例 6-1在棱長為a的正方體1111dcbaabcd 中求出下列距離： (1)點(diǎn)a到面ccbb11的距離； (2

11、)線段11db到面abcd的距離； (3)點(diǎn)a到面ddbb11的距離； (4)c到平面1bdc的距離。 (2)轉(zhuǎn)移法：若直線轉(zhuǎn)移法：若直線/ab平面平面，則直線，則直線ab上任意一點(diǎn)到平面的距離相等。上任意一點(diǎn)到平面的距離相等。 例 6-2棱長為1的正方體dcbaabcd中，e、f分別是棱aa 、bb 中點(diǎn)，求點(diǎn)b到平面efd的距離。 fecbaddcba8 / 9 例 6-3在棱長為1的正方體dcbaabcd中，e、f分別是棱bb 、cd的中點(diǎn)，求點(diǎn)f到平面eda的距離。 (3)等積法：用同一個(gè)三棱錐選不同底計(jì)算體積，再求高，即點(diǎn)到面的距離。等積法：用同一個(gè)三棱錐選不同底計(jì)算體積，再求高，即點(diǎn)到面的距離。 例 6-4如圖，在四棱錐abcdp 中，