高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六 第6講圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題

1、 第第 6 講講 定點(diǎn)問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題 母題 已知橢圓 c：x24y21，點(diǎn) p(0,1)，設(shè)直線 l不經(jīng)過(guò) p 點(diǎn)且與 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，若直線 pa與直線 pb 的斜率的和為1，求證：l過(guò)定點(diǎn) 思路分析 l斜率 k存在時(shí)寫出 l的方程 聯(lián)立 l，c 的方程，設(shè)而不求 計(jì)算 kpa，kpb并代入 kpakpb1 分析直線方程，找出定點(diǎn) 證明 設(shè)直線 pa 與直線 pb 的斜率分別為 k1，k2.如果 l 與 x 軸垂直，設(shè) l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0. 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則 x1x28km4k21，x1x24m244k21. 而 k1k2y11x1y21x

2、2 kx1m1x1kx2m1x2 2kx1x2(m1)(x1x2)x1x2. 由題設(shè) k1k21， 故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0， 即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210， 解得 km12. 當(dāng)且僅當(dāng) m1 時(shí)，0，于是 l：ym12xm， 即 y1m12(x2)，所以 l過(guò)定點(diǎn)(2，1) 子題 1 已知拋物線 c：y24x 的焦點(diǎn)為 f，直線 l與拋物線 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，o 是坐標(biāo)原點(diǎn)若點(diǎn) e(2,0)，直線 l不與坐標(biāo)軸垂直，且aeobeo，求證：直線 l過(guò)定點(diǎn) 證明 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，由題意可設(shè)直線 l的方程為 xnyb(n0)，

3、 由 xnyb，y24x，得 y24ny4b0， 則 y1y24n，y1y24b. 由aeobeo，得 keakeb， 即y1x12y2x22， 整理得 y1x22y1x1y22y20， 即 y1(ny2b)2y1(ny1b)y22y20， 整理得 2ny1y2(b2)(y1y2)0， 即8bn4(b2)n0，得 b2， 故直線 l的方程為 xny2(n0)， 所以直線 l過(guò)定點(diǎn)(2,0) 子題 2 (2020 湖南四校聯(lián)考)已知拋物線 c：y24x 與過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線 l交于 m，n 兩點(diǎn)，若mp12mn，pqy 軸，垂足為 q，求證：以 pq 為直徑的圓過(guò)定點(diǎn) 證明 由題意可知，直線

4、l的斜率不為 0，設(shè)其方程為 xmy2(mr)， 將 xmy2代入 y24x，消去 x 可得 y24my80， 顯然 16m2320，設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)， 則 y1y24m，y1y28， 因?yàn)閙p12mn，所以 p是線段 mn的中點(diǎn)， 設(shè) p(xp，yp)，則 xpx1x22m(y1y2)422m22， ypy1y222m， 所以 p(2m22,2m)， 又 pqy軸，垂足為 q，所以 q(0,2m)， 設(shè)以 pq 為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(x0，y0)， 則ap(2m22x0,2my0)， aq(x0,2my0)， 所以ap aq0，即x0(2m22x0)(2my0)20，

5、化簡(jiǎn)可得(42x0)m24y0mx20y202x00， 令 42x00，4y00，x20y202x00，可得 x02，y00， 所以當(dāng) x02，y00時(shí)，對(duì)任意的 mr，式恒成立， 所以以 pq為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0) 規(guī)律方法 動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法 (1)動(dòng)直線 l 過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為 ykxt，由題設(shè)條件將 t 用 k表示為 tmk，得 yk(xm)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(m,0) (2)動(dòng)曲線 c 過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€ c 的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn) 跟蹤演練 1(2020 北京東城區(qū)模擬)已知

6、橢圓 c：x26y221 的右焦點(diǎn)為 f，直線 l：ykxm(k0)過(guò)點(diǎn) f，且與橢圓 c 交于 p，q 兩點(diǎn)，如果點(diǎn) p 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 p，求證：直線 pq過(guò) x軸上的定點(diǎn) 證明 c 622，f(2,0)， 直線 l：ykxm(k0)過(guò)點(diǎn) f， m2k，l：yk(x2) 由 x23y26，yk(x2)，得(3k21)x212k2x12k260. 依題意 0，設(shè) p(x1，y1)，q(x2，y2)， 則 x1x212k23k21，x1x212k263k21. 點(diǎn) p關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 p，則 p(x1，y1) 直線 pq 的方程可以設(shè)為 yy1y2y1x2x1(xx1)， 令 y

7、0，xx2y1x1y1y1y2x1x2y1x1y2y1y2 kx2(x12)kx1(x22)k(x1x24)2x1x22(x1x2)x1x24 212k263k21212k23k2112k23k2143. 直線 pq 過(guò) x軸上的定點(diǎn)(3,0) 2已知 p(0,2)是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)，c 的離心率 e33. (1)求橢圓的方程； (2)過(guò)點(diǎn) p 的兩條直線 l1，l2分別與 c 相交于不同于點(diǎn) p 的 a，b兩點(diǎn)，若 l1與 l2的斜率之和為4，則直線 ab 是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由 解 (1)由題意可得 b2，ca33，a2b2

8、c2， 解得 a 6，b2，c 2，橢圓的方程為x26y241. (2)當(dāng)直線 ab的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 ab的方程為 ykxt(t2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 聯(lián)立 ykxt，x26y241，消去 y 并整理， 可得(3k22)x26ktx3t2120， 36(kt)24(3k22)(3t212)0， 即 24(6k2t24)0， 則 x1x26kt3k22，x1x23t2123k22， 由 l1與 l2的斜率之和為4， 可得y12x1y22x24， 又 y1kx1t，y2kx2t， y12x1y22x2kx1t2x1kx2t2x2 2k(t2)(x1x2)x1x22k(t2)

9、6kt3k223t2123k224， t2，化簡(jiǎn)可得 tk2， ykxk2k(x1)2， 直線 ab經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1，2) 當(dāng)直線 ab的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線 ab 的方程為 xm，a(m，y1)，b(m，y2)， y12my22my1y24m4， 又點(diǎn) a，b均在橢圓上， a，b關(guān)于 x軸對(duì)稱，y1y20，m1， 故直線 ab的方程為 x1，也過(guò)點(diǎn)(1，2)， 綜上直線 ab 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為(1，2) 專題強(qiáng)化練專題強(qiáng)化練 1已知橢圓 c：x22y21，設(shè)直線 l 與橢圓 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，d(0，1)，若直線 ad與直線 bd的斜率之積為16.證明：直線 l恒過(guò)定點(diǎn) 證明 當(dāng)直線 l

10、斜率不存在時(shí)，設(shè) l：xm，a(m，ya)，b(m，ya)， 因?yàn)辄c(diǎn) a(m，ya)在橢圓x22y21上， 所以m22y2a1，即 y2a1m22， 所以 kad kbdya1mya1m1y2am2m22m21216，不滿足題意 當(dāng)直線 l斜率存在時(shí)，設(shè) l：ykxb(b1)， a(x1，y1)，b(x2，y2)， 聯(lián)立 ykxb，x22y220，整理得 (12k2)x24kbx2b220， 依題意得，0， 所以 x1x24kb12k2，x1x22b2212k2， 則 kad kbdy11x1y21x2 (kx1b)(kx2b)k(x2x1)2b1x1x2 k2x1x2(kbk)(x1x2)b

11、22b1x1x2. 將 x1x24kb12k2，x1x22b2212k2， 代入上式化簡(jiǎn)得，kad kbdy11x1y21x2(b1)22(b1)(b1)16，即b1b113，解得 b2. 所以直線 l恒過(guò)定點(diǎn)(0，2) 2已知點(diǎn) h 為拋物線 c：x24y的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過(guò) h作拋物線 c 的兩條切線 ha，hb，切點(diǎn)為 a，b，證明直線 ab 過(guò)定點(diǎn)，并求hab 面積的最小值 解 設(shè)點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，h(t，1)， 由 c：x24y，即 y14x2，得 y12x， 所以拋物線 c：x24y 在點(diǎn) a(x1，y1)處的切線 ha 的方程為 yy1x12(xx1)，即 yx12x12x21y1， 因?yàn)?y114x21，所以 yx12xy1， 因?yàn)?h(t，1)在切線 ha上，所以1x12ty1， 同理1x22ty2， 綜合得，點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)的坐標(biāo)滿足方程 1x2ty，即直線 ab恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn) f(0,1)， 當(dāng) t0 時(shí)，此時(shí) h(0，1)，可知 hfab， |hf|2，|ab|4，shab12244