車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型.doc

1、車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型柯文鋒、歐杰泉、賴金花柯文鋒、歐杰泉、賴金花摘要摘要:本文應(yīng)用光學(xué)知識(shí)與空間解析幾何知識(shí)，對(duì)提出的車(chē)燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了分析，把空間立體問(wèn)題轉(zhuǎn)變成平面問(wèn)題，找到了照到 B 點(diǎn)和 C 點(diǎn)拋物面光區(qū)區(qū)域，對(duì)拋物面上按照照到 B 點(diǎn)和 C點(diǎn)的可能性劃分成了 4 個(gè)區(qū)域,并給出了 B、C 點(diǎn)的光照度函數(shù)，建立了線光源功率問(wèn)題的非線性規(guī)劃模型和離散分析模型。應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件 Maple 編程進(jìn)行近似求解得出了線光源長(zhǎng)度，分別為 3.316mm 和3.5mm。并對(duì)此線光源長(zhǎng)度在有標(biāo)度的測(cè)試屏上畫(huà)出了近似于橢圓的亮區(qū)區(qū)域。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：光功率; 線光源;

2、 光照度1 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出汽車(chē)的車(chē)燈為一旋轉(zhuǎn)拋物面，現(xiàn)以拋物面的焦點(diǎn) F 為中心對(duì)稱地放置一與拋物面的對(duì)稱軸垂直的水平線光源,線光源發(fā)出的光線通過(guò)拋物面反射到距焦點(diǎn)正前方 25m 遠(yuǎn)的一個(gè)屏幕上。通過(guò)屏幕與拋物面對(duì)稱軸的交點(diǎn) A 點(diǎn)作一與水平面平行的直線,并在 A 的同側(cè)取點(diǎn)B。C，要求 AC=2AB,且 C 點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值,B 點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩倍.在滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的情況下請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)線光源長(zhǎng)度，使線光源的功率最小，得到線光源長(zhǎng)度后,在有坐標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫(huà)出屏幕上的亮區(qū).并討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性.2 模型的假設(shè)模型的假設(shè) 拋物面為白體,即光射向拋物面時(shí),它不會(huì)吸收光，全部

3、反射到屏幕上。12 光在空氣中的傳播沒(méi)有損失。3 射到屏幕上的光只考慮經(jīng)過(guò)拋物面一次反射而得。3 符號(hào)的約定符號(hào)的約定dt-線光源上的點(diǎn)微元； d-拋物面的線微元;ds-屏幕上的面微元;h- 線光源長(zhǎng)度的一半;b-AC 的長(zhǎng)度, b=2a， b=2。6m; a-AB 的長(zhǎng)度；a=1.3m；R-拋物面開(kāi)口半徑,R=36mm；d-拋物面深度，d=21。6mm；-單位長(zhǎng)度線光源在單位平面角內(nèi)發(fā)出的光流常數(shù)；-線光源在 B 點(diǎn)的光照度(相當(dāng)題目中的光強(qiáng)度概念);BE-線光源在 C 點(diǎn)的光照度；CEP-線光源的光功率；K-線光源的光學(xué)特性;4 問(wèn)題的分析問(wèn)題的分析本題是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，現(xiàn)要確定線光源

4、長(zhǎng)度，使其功率最小。由于單位長(zhǎng)度線光源在單位平面角內(nèi)發(fā)出的光流常數(shù)(由立體角的類(lèi)似意義)與功率正比,所以此問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)由光流數(shù)決定,而這又與線光源的長(zhǎng)度成正比,所以最終要解決的問(wèn)題就是對(duì)線光源長(zhǎng)度的優(yōu)化。5 模型的建立與求解模型的建立與求解以旋轉(zhuǎn)拋物面（如圖 1）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立三維直角坐標(biāo)系 oxyz，設(shè)旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為y +z =2px（p0） -22- （1）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 F（，0，0)。2p把 y=36,x=21.6，z=0 代入上式解得:p=30，則 F 的坐標(biāo)為（15,0，0） 。即旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為 y +z =60 x,把旋轉(zhuǎn)拋物面的方程式寫(xiě)成參數(shù)方程,則有:22 -si

5、n60cos60602zyx- （2）其中為參數(shù)。,下面我們得出下面的一個(gè)重要結(jié)論：5。1 命題命題 線光源上任一點(diǎn)發(fā)出的光流經(jīng)過(guò)與水平面成夾角的旋轉(zhuǎn)拋物面的切)0(面（即一個(gè)拋物線）后不會(huì)反射到 B,C 點(diǎn)。證明證明 如圖 2,設(shè) m（15，t，0)是線光源上任意一點(diǎn)， q （60是旋轉(zhuǎn)拋物面的任意一點(diǎn):)sin60,cos60,2圖 1 圖 2兩點(diǎn)的直線的方向矢量為=qm,aqmsin60,cos60,60152t通過(guò)點(diǎn)的法矢量為q2 ,2 ,60zyn則，使，且|=|bnanaa即)(22nan于是t )cos(26015411則反射光線的方向矢量為： ,即:qBqBna,cos)cos

6、(26015)cos(60)(41 (41,21)cos(26015)6015)(41 (4122222ttt15;sin)cos(26015sin)41 (22t則的參數(shù)方程為:qBwtzwttywtx)sin)cos(26015sin)41 (15(sin60)cos()cos(26015)cos60)(41 (41cos60)21)cos(26015)6015)(41 (41(6022222222該方程經(jīng)過(guò) B 點(diǎn)，即： -0)sin)cos(26015sin)41 (15(sin601300)cos()cos(26015)cos60)(41 (41cos6025015)21)cos(2

7、6015)6015)(41 (41(6022222222wtwttwt- （3）解得:. 或0當(dāng)時(shí)有 z=60，也就是說(shuō)線光源的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面反射到 或00sinB 點(diǎn)時(shí),任何情況下都有 z=0,即 n 點(diǎn)只在拋物面（y）的一個(gè)拋物線xz6022（y =60 x）上，同理可證得線光源的光線只有經(jīng) y =60 x 的拋物線反射后才會(huì)經(jīng)過(guò) C 點(diǎn)， 22至此,命題得證.這樣要求線光源發(fā)出的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面某一點(diǎn)反射到 B ,C 點(diǎn)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求線光源發(fā)出的光線經(jīng)水平拋物線的某一點(diǎn)反射后照到 B，C 點(diǎn)的問(wèn)題.那么空間中立體的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為平面圖上的問(wèn)題。5。2 非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模

8、型 下面建立線光源一點(diǎn) m 經(jīng)拋物面上點(diǎn) q 反射到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，t、y 的關(guān)系:在拋物線 y =60 x（如圖 3)上一點(diǎn) q在線光源上取點(diǎn) m（15,t)2),60(2yy易得：t 0,hh30 h設(shè) mq 兩點(diǎn)的距離為，則有=2222)()1560(tyy矢量=mqtyy,15602則的單位向量=mq| mqmqi tyy,15602sin,cos|qF|, mF|。2222)1560(yy22t由余弦定理,得t2|222qFrcos| qF即cos (4）22222222222222)1560()()1560(2)()1560(2|2|yytyytytyyqFtqF由反射定律知DqB=

9、,圖 3且 602501513002yytg。. （5)由(4)（5）兩式連解得:cos=211sec1tg 即2211costg于是,可化簡(jiǎn)為 1602501513001)1560()()1560(4)()1560(22222222222222yyyytyytytyy.。 （6）由（6)解得 t 關(guān)于 y 的函數(shù):t=6000 (-36) )(yByyyyyyy136081000014982004680000)0166666666. 015)(150001170013(422236 y。.。 (7）同理對(duì) C 得到 t 關(guān)于 y 的函數(shù)：t= (3612000)(yCyyyyyyy13608

10、1000014982009360000)0166666666. 015)(750001170013(4222) （8）36 y對(duì)（7）進(jìn)行函數(shù)分析，我們可由范圍內(nèi), 分別作出由點(diǎn) m 發(fā)出的光線經(jīng)30,30t拋物線上一點(diǎn) q 反射到達(dá) B 點(diǎn)的光路圖（如圖 4） ，而這個(gè)劃分依據(jù)是由 y 的值來(lái)劃分，即以下四個(gè)區(qū)域:A 區(qū)域: B 區(qū)域: C 區(qū)域： D 區(qū)域： 36,30(y)30, 0y0 ,30(y)30,36y各個(gè)區(qū)域的光路圖如圖 4A 區(qū)域B 區(qū)域C 區(qū)域D 區(qū)域而對(duì)于 C 點(diǎn)，光路圖是一樣,故不再作圖,但是 B 點(diǎn)與 C 點(diǎn)各個(gè)區(qū)域的（yt)函數(shù)的曲線合成為如圖 5：（a) B 點(diǎn)

11、的（y-t）函數(shù)的曲線圖 (b） C 點(diǎn)的（yt)函數(shù)的曲線圖圖 4圖 5對(duì)式（5）進(jìn)行分析，并結(jié)合圖 5（a）中 B 點(diǎn)的（yt）函數(shù)的曲線圖，得出當(dāng) y=0 時(shí)， t= 0.7795322806; 當(dāng) y=27.2 時(shí)，t= 29.59927288。線光源在范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=60 x 上 y7795322806. 0,59927288.29t2y反射后到達(dá) B 點(diǎn).范圍內(nèi))27, 0(當(dāng) y=36 時(shí)，t=8.045235675; 當(dāng) y=30 時(shí),t=30線光源在范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=60 x 上 y30,045235675. 8t2y反射后到達(dá) B 點(diǎn)。 范圍內(nèi))27, 0

12、(當(dāng) y=36 時(shí)，t=15。31443969; 當(dāng) y=-33。62 時(shí),t=29。8713133線光源在 t(15。31443969，29.87813133）范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=60 x 上 y2y反射后到達(dá) B 點(diǎn)。范圍內(nèi))62.33,36(當(dāng) y=30 時(shí),t=30; 當(dāng) y= 0 時(shí),t=0。7795322806線光源在 t(-30， 0。7795322806)范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=60 x 上 y2y反射后到達(dá) B 點(diǎn).范圍內(nèi))0 ,30(圖 6 圖 7由上述分析：故在 m 點(diǎn)處取微元 dt，由系數(shù)的意義,dt 向全平面(平面角為)發(fā)射2的光量為.設(shè) B 處對(duì)應(yīng)的微元為

13、ds，由于 ds 的法線與 qB 線的夾角為.dt求解微元 ds,d，dt 的關(guān)系(如圖 6):己知拋物線方程為：y0602x則： =60,2y=230,yn單位法向量： =nsin,cos30,3022yy則 ds，d的關(guān)系：dscos (以 qB 為軸線）)cos( d)cos(cosdsd于是由圖 7 可得出 dt 與 d的關(guān)系：dtcos)cos( d對(duì) m 點(diǎn)處的微元所接受光照度的為:=dtdsdtd)cos(cos)cos()cos()cos(dt (9) 因?yàn)榫€光源發(fā)出的光流到達(dá)拋物線的某一點(diǎn)的距離，比該點(diǎn)到 B 點(diǎn)的距離小很多,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,式中的 r 為該點(diǎn)到 B 點(diǎn)的距離，

14、 q,B 兩點(diǎn)的距離.42299820093600000002258784810601yyyqBB qC 兩點(diǎn)的距離=CqC601yyy187200002998200000227703681042 )|cos)()(BytBBrdyydy (10） )|cos)()(CytCCCrdyydy。. （11)線光源在范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=60 x 上 y7795322806. 0,59927288.29t2y反射后到達(dá) B 點(diǎn).范圍內(nèi)對(duì) B 的光照度范圍內(nèi))27, 0(7795322806. 0,59927288.29tEB的貢獻(xiàn)為（)dy.1BE01ByBy線光源在范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=

15、60 x 上 y30,045235675. 8t2y反射后到達(dá) B 點(diǎn). 范圍內(nèi)對(duì) B 的光照度 EB的貢獻(xiàn)為范圍內(nèi))27, 0(30,045235675. 8t)dy.2BE2BEBy336By線光源在 t(15。31443969,29.87813133)范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=60 x 上 y2y反射后到達(dá) B 點(diǎn)。 t 在（15。3，29。87)范圍內(nèi)對(duì) B 點(diǎn)的貢獻(xiàn)：E范圍內(nèi))62.33,36(。ByBBdyy4363)(線光源在 t(30， 0。7795322806）范圍內(nèi)發(fā)生的光源經(jīng)拋物線=60 x 上 y2y反射后到達(dá) B 點(diǎn)。t 在（15.3,29.87)范圍內(nèi)對(duì) B 點(diǎn)的貢

16、獻(xiàn)：E范圍內(nèi))0 ,30(.044)(ByBBdyy以上四個(gè)區(qū)域?qū)?B 的光照度:B 的光照度等于所有線光源發(fā)出光流經(jīng)拋物反射后到 B 點(diǎn)光照度之和:+ BE1BE2BE3E4E。. （12）由（7)進(jìn)行分析可知線光源發(fā)出的光流經(jīng)過(guò)拋物線 y反射能夠照到 C 點(diǎn)，y 的取值x602范圍為（0,24.8)，(30,36),(-30，0） ， （-36,35),線光源發(fā)出的光線通過(guò)以上各個(gè)范圍的拋物線反射后對(duì) C 點(diǎn)的光照度貢獻(xiàn)分別為:E E011)cycCdyycycCdyy3362)E EcycCdyy4363)044)cycCdyyE 4321cccccEEEE (13）其中 y1B，y2B

17、,y3B，y4B 都等于 4(y）分別在(0，27.2),（30，36),（30,0） ，(-36,B33。65）范圍中求出：y1c,y2c,y3c,y4c 都等于分別在(0，24.8） ，(30，36)， （-)(Cy30，0)， （36，-35)范圍中求得輻射通量 d是單位時(shí)間輻射體發(fā)生的在某一范圍內(nèi)的輻射能流,光通量 dF 是它在同樣單位時(shí)間內(nèi)發(fā)出可見(jiàn)光的能量流，兩都有是光功率的單位量綱。現(xiàn)把問(wèn)題 1 中”線光源的功率”理解為光源消耗的電功率 P，顯然由于與反映線光源發(fā)射光的能力.而電能只有, hP 一部分用于發(fā)光,因此 P 與一般不成線性關(guān)系。根據(jù)物理學(xué)上關(guān)于物體外表面輻射能力的公式R

18、=4Te其中 e 為發(fā)射率，是普適常數(shù),T 為溫度.如認(rèn)為則,TP 41414,wTT于是可以合理地構(gòu)造線光源功率：P= （為一個(gè)小 1 的常數(shù)) h2. (14）建立非線性連續(xù)數(shù)學(xué)模型(I）:min h2E2BE1C10300 h用數(shù)學(xué)軟件 Maple 編程運(yùn)算，解得 h=1。658mm。5.3 離散分析模型離散分析模型(II）min hkP2st. 3002 hEECB模型說(shuō)明：1。系數(shù)說(shuō)明：為一常數(shù)與燈光（線光源）的性能有關(guān).而在這里，我們只須求滿足條件k時(shí)功率最小的線光源長(zhǎng)度的最小值。2。目標(biāo)函數(shù)說(shuō)明：功率為燈光的性能與長(zhǎng)度的乘積.kh23.條件說(shuō)明：為線光源經(jīng)過(guò)一次反射照到 B 點(diǎn)的

19、光照度。BE為線光源經(jīng)過(guò)一次反射照到 C 點(diǎn)的光照度.CE是 B,C 點(diǎn)的光照度的比例，由題目條件知，其值必須大于等于 2。CBEE模型的解說(shuō):由于對(duì)于同性能的燈管（線光源)，它們之間的功率大小的比例只與長(zhǎng)度有光，也就是說(shuō)燈管的長(zhǎng)度越小,其功率也就越小。它們的關(guān)系可理解為:（正比關(guān)系)。而hP2上離散分析模型的決策變量為（半個(gè)線光源長(zhǎng)度） ，功率又與成正比,而為一定常數(shù)，hhk則原型其實(shí)是求在滿足的條件下的線光源的最小長(zhǎng)度.2CBEEs。tB 的光照度為E21cosrrrlclB可以從連續(xù)積分模型的分析過(guò)程中找到,即：coscos22222222222)1560()()1560(2)()156

20、0(2yytyytytyy它是關(guān)于（y,t）的函數(shù),而 t 可以用 y 來(lái)表示，而我們較難解出用 t 來(lái)表示 y 的函數(shù)，從中消去 y，但我們可以巧妙地從 t 這里著手。t,即 t 是指線光源上某一點(diǎn) m 的縱).(hh坐標(biāo)值，則我們?nèi)∫粋€(gè) t 的變化步長(zhǎng) t ，當(dāng) t 很小時(shí)，我們可以把線光源上的某一段sst，t+ t 看為一個(gè)點(diǎn)光源,然后就對(duì)點(diǎn)光源進(jìn)行單獨(dú)的分析，得出對(duì)于此點(diǎn)光源分別對(duì)于sB，C 點(diǎn)的亮度貢獻(xiàn)(光照度）E與 E。然后,把計(jì)算后的各個(gè)點(diǎn)光源對(duì) B、C 的光亮貢獻(xiàn)BC（即 B，C 點(diǎn)的光照度 E，E)，之后,我們把各個(gè) E，E量加起來(lái)得出線光源對(duì)BCBCB，C 點(diǎn)總的光亮貢獻(xiàn)（

21、，則當(dāng)時(shí)，則此時(shí)線光源長(zhǎng)度 h 即為最),CBEECEECB小長(zhǎng)度，至此模型的結(jié)果,即可求出.最小長(zhǎng)度為 1。75mm，即線光源的最小長(zhǎng)度minhl=2h=3。5m。求運(yùn)算過(guò)程,我們得出了相應(yīng) h 下的 B、C 相應(yīng)的光照度及它們之比. 此離散分析模型的求解過(guò)程中把線光源看成是很多個(gè)點(diǎn)的累加起來(lái)的總光源。在這里,我們?nèi)藶榈仉x散地把光源分成一段段等長(zhǎng)的光源段,而由于此時(shí)各光源段的長(zhǎng)度很小，所以可以看成是一個(gè)個(gè)的點(diǎn)光源.這里忽略了各光源段的長(zhǎng)度,故會(huì)產(chǎn)生了一定的誤差。當(dāng)步長(zhǎng)不同時(shí),得出相應(yīng)的最小長(zhǎng)度的值也不同.但是可以確信地是步長(zhǎng)越小，得出的值就越接近準(zhǔn)值。6 反射光線的亮區(qū)描繪反射光線的亮區(qū)描繪利用 3 式和離散化方法,對(duì) t，u 設(shè)定一系列的離散值，然后由(3)的第一式解出,以使象點(diǎn)落在屏上,則由（3）的 2、3 式可得到反、拋物面上的面圓周在屏上的象曲線，從而得出下圖：7 設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性評(píng)價(jià)該設(shè)計(jì)規(guī)范中主要有以下幾個(gè)規(guī)劃：(1） 焦點(diǎn)到測(cè)試屏的距離