檢測技術(shù) 第二章：誤差分析與數(shù)據(jù)處理

1、第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差的基本概念測量不確定度測量數(shù)據(jù)的表述方法及線性回歸初步測量數(shù)據(jù)處理誤差的分類本章內(nèi)容本章內(nèi)容第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量的目的是為了獲得被測量的真實(shí)值。但是，由于種種原因如測量方法、測量儀表、測量環(huán)境等的影響，任何被測量的真實(shí)值都無法得到。本章所介紹的誤差分析與數(shù)據(jù)處理就是希望通過正確認(rèn)識誤差的性質(zhì)和來源，正確地處理測量數(shù)據(jù)，以得到最接近真值的結(jié)果。同時合理地制定測量方案，科學(xué)地組織試驗(yàn)，正確地選擇測量方法和儀器，以便在條件允許的情況下得到最理想的測量結(jié)果。 2.1 測量誤差的基本概念 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理真值，是指在一定的時間及空間(位置或狀態(tài))條件

2、下，被測量所體現(xiàn)的真實(shí)數(shù)值。通常所說的真值可以分為“理論真值”、“約定真值”和“相對真值”。一 真值 理論真值又稱為絕對真值，是指在嚴(yán)格的條件下，根據(jù)一定的理論，按定義確定的數(shù)值。例如三角形的內(nèi)角和恒為180一般情況下，理論真值是未知的。約定真值是指用約定的辦法確定的最高基準(zhǔn)值，就給定的目的而言它被認(rèn)為充分接近于真值，因而可以代替真值來使用。如：基準(zhǔn)米定義為“光在真空中1/299792458s的時間間隔內(nèi)行程的長度”。測量中，修正過的算術(shù)平均值也可作為約定真值。相對真值也叫實(shí)際值，是指將測量儀表按精度不同分為若干等級，高等級的測量儀表的測量值即為相對真值。例如，標(biāo)準(zhǔn)壓力表所指示的壓力值相對于普

3、通壓力表的指示值而言，即可認(rèn)為是被測壓力的相對真值。通常，高一級測量儀表的誤差若為低一級測量儀表的1/3到1/10即可認(rèn)為前者的示值是后者的相對真值。相對真值在誤差測量中的應(yīng)用最為廣泛。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 二測量誤差及其表示方法二測量誤差及其表示方法 測量結(jié)果與被測量真值之差稱為測量誤差。在實(shí)際測試中真值無法確定，因測量結(jié)果與被測量真值之差稱為測量誤差。在實(shí)際測試中真值無法確定，因此常用約定真值或相對真值代替真值來確定測量誤差。測量誤差可以用以下此常用約定真值或相對真值代替真值來確定測量誤差。測量誤差可以用以下幾種方法表示。幾種方法表示。1絕對誤差絕對誤差絕對誤差絕對誤差是指測量結(jié)果的

4、測量值與被測量的真值之間的差值，即是指測量結(jié)果的測量值與被測量的真值之間的差值，即0 xx 式中式中 絕對誤差；絕對誤差；真值，其可為相對真值或約定真值；真值，其可為相對真值或約定真值；測量值。測量值。 絕對誤差說明了系統(tǒng)示值偏離真值的大小，其值可正可絕對誤差說明了系統(tǒng)示值偏離真值的大小，其值可正可負(fù)，具有和被測量相同的量綱。負(fù)，具有和被測量相同的量綱。0 xx第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2相對誤差相對誤差相對誤差相對誤差定義為絕對誤差與真值之比定義為絕對誤差與真值之比的百分?jǐn)?shù)，即的百分?jǐn)?shù)，即01 0 0 %x相對誤差 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理0100kgx 10.1kg 20.2kg 0=1

5、0kgy30.1kg 通常，用絕對誤差來評價(jià)相同被測量測量精度的高低; 用相對誤差來評價(jià)不同被測量測量精度的高低。例如，用兩種方法測量質(zhì)量為的物體，其絕對誤差分別為 和顯然第一種測量方法的精度高些。若用第三種方法測量一質(zhì)量為的物體，其絕對誤差為，此時要判斷三種測量的精度，用絕對誤差就不好判斷了，因?yàn)楸粶y量不同。為判斷測量的精度，計(jì)算三者的相對誤差分別為第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理1100.1100%100%0.1%100 x 2200.2100%100%0.2%100 x 3300 .11 0 0 %1 0 0 %1 %1 0y 顯然，第一種方法最好，第二種次之，第三種最差。第二章 誤差分析與數(shù)

6、據(jù)處理3引用誤差引用誤差相對誤差可以評價(jià)不同被測量的測量精度，卻不能用來評價(jià)相對誤差可以評價(jià)不同被測量的測量精度，卻不能用來評價(jià)不同儀表不同儀表的質(zhì)量的質(zhì)量。因?yàn)橥粌x表在整個測量范圍內(nèi)的相對誤差不是定值，由相。因?yàn)橥粌x表在整個測量范圍內(nèi)的相對誤差不是定值，由相對誤差的定義可知，在絕對誤差相同的情況下，隨著被測量的減小，對誤差的定義可知，在絕對誤差相同的情況下，隨著被測量的減小，相對誤差逐漸增大。為合理的評價(jià)儀表的測量質(zhì)量，引入引用誤差的相對誤差逐漸增大。為合理的評價(jià)儀表的測量質(zhì)量，引入引用誤差的概念。概念。引用誤差引用誤差定義為絕對誤差與測量儀表的滿量程的百分比，即定義為絕對誤差與測量儀表

7、的滿量程的百分比，即100%rArr-引用誤差 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理在測量領(lǐng)域，檢測儀器的精度等級是由引用誤差大小劃分的。通常用最大引用誤在測量領(lǐng)域，檢測儀器的精度等級是由引用誤差大小劃分的。通常用最大引用誤差去掉正負(fù)號和百分號后的數(shù)字來表示精度等級，精度等級用符號差去掉正負(fù)號和百分號后的數(shù)字來表示精度等級，精度等級用符號G表示。為統(tǒng)表示。為統(tǒng)一和方便使用，國家標(biāo)準(zhǔn)一和方便使用，國家標(biāo)準(zhǔn)GB 77676電測量指示儀表通用技術(shù)條件電測量指示儀表通用技術(shù)條件規(guī)定，規(guī)定，測測量指示儀表的精度等級量指示儀表的精度等級G分為分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七個等級，這也

8、是七個等級，這也是工業(yè)檢測儀器常用的精度等級。工業(yè)檢測儀器常用的精度等級。檢測儀器的精度等級由生產(chǎn)廠商根據(jù)其最大引用檢測儀器的精度等級由生產(chǎn)廠商根據(jù)其最大引用誤差的大小并以誤差的大小并以“選大不選小選大不選小”的原則就近套用上述精度等級得到。例如一個電的原則就近套用上述精度等級得到。例如一個電壓表，其滿量程為壓表，其滿量程為100V，若其最大誤差出現(xiàn)在，若其最大誤差出現(xiàn)在50V處且為處且為0.12V，則可以確定儀表，則可以確定儀表等級為等級為0.2級。級。0.12100%100%0.12100rA在選儀表時在選儀表時,為什么應(yīng)根據(jù)被測值的大小為什么應(yīng)根據(jù)被測值的大小,在滿足被測量數(shù)值范圍的前提

9、下在滿足被測量數(shù)值范圍的前提下,盡可能盡可能選擇量程小的儀表，并使測量值大于所選儀表滿刻度的三分之二。在滿足使用要選擇量程小的儀表，并使測量值大于所選儀表滿刻度的三分之二。在滿足使用要求時，滿量程要有余量，一般余量三分之一，為了裝拆被測工件方便。求時，滿量程要有余量，一般余量三分之一，為了裝拆被測工件方便。 （同一精度，量程越大，誤差越大，故量程要小，但留余量）第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理三測量誤差的來源三測量誤差的來源 1方法誤差方法誤差方法誤差是指由于方法誤差是指由于測量方法不合理測量方法不合理所引起的誤差。如用電壓表測量電壓時，所引起的誤差。如用電壓表測量電壓時，沒有正確的估計(jì)電壓表的內(nèi)阻

10、對測量結(jié)果的影響而造成的誤差。在選擇測沒有正確的估計(jì)電壓表的內(nèi)阻對測量結(jié)果的影響而造成的誤差。在選擇測量方法時，應(yīng)考慮現(xiàn)有的測量設(shè)備及測量的精度要求，并根據(jù)被測量本身量方法時，應(yīng)考慮現(xiàn)有的測量設(shè)備及測量的精度要求，并根據(jù)被測量本身的特性來確定采用何種測量方法和選擇哪些測量設(shè)備。正確的測量方法，的特性來確定采用何種測量方法和選擇哪些測量設(shè)備。正確的測量方法，可以得到精確的測量結(jié)果，否則還可能損壞儀器、設(shè)備、元器件等。可以得到精確的測量結(jié)果，否則還可能損壞儀器、設(shè)備、元器件等。2理論誤差理論誤差理論誤差是由于理論誤差是由于測量理論本身不夠完善測量理論本身不夠完善而采用近似公式或近似值計(jì)算測量而采用

11、近似公式或近似值計(jì)算測量結(jié)果時所引起的誤差。例如，傳感器輸入輸出特性為非線性但簡化為線性結(jié)果時所引起的誤差。例如，傳感器輸入輸出特性為非線性但簡化為線性特性，傳感器內(nèi)阻大而轉(zhuǎn)換電路輸入阻抗不夠高，或是處理時采用略去高特性，傳感器內(nèi)阻大而轉(zhuǎn)換電路輸入阻抗不夠高，或是處理時采用略去高次項(xiàng)的近似經(jīng)驗(yàn)公式，以及簡化的電路模次項(xiàng)的近似經(jīng)驗(yàn)公式，以及簡化的電路模 型等都會產(chǎn)生理論誤差。型等都會產(chǎn)生理論誤差。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理3測量裝置誤差測量裝置誤差測量裝置誤差是指測量裝置誤差是指測量儀表本身以及儀表組成元件不完善測量儀表本身以及儀表組成元件不完善所引入的誤差。如所引入的誤差。如儀表刻度不準(zhǔn)確或非

12、線性，測量儀表中所用的標(biāo)準(zhǔn)量具的誤差，測量裝置本儀表刻度不準(zhǔn)確或非線性，測量儀表中所用的標(biāo)準(zhǔn)量具的誤差，測量裝置本身電氣或機(jī)械性能不完善，儀器、儀表的零位偏移等。為了減小測量裝置誤身電氣或機(jī)械性能不完善，儀器、儀表的零位偏移等。為了減小測量裝置誤差應(yīng)該不斷地提高儀表及組成元件本身的質(zhì)量。差應(yīng)該不斷地提高儀表及組成元件本身的質(zhì)量。4環(huán)境誤差環(huán)境誤差環(huán)境誤差是測量儀表的環(huán)境誤差是測量儀表的工作環(huán)境與要求條件不一致工作環(huán)境與要求條件不一致所造成的誤差。如溫度、所造成的誤差。如溫度、濕度，大氣壓力，振動，電磁場干擾，氣流擾動等引起的誤差。濕度，大氣壓力，振動，電磁場干擾，氣流擾動等引起的誤差。5人身誤

13、差人身誤差人身誤差是由于測量者本人人身誤差是由于測量者本人不良習(xí)慣、操作不熟練或疏忽大意不良習(xí)慣、操作不熟練或疏忽大意所引起的誤差。所引起的誤差。如念錯讀數(shù)、讀刻度示值時總是偏大或偏小等。如念錯讀數(shù)、讀刻度示值時總是偏大或偏小等。在測量工作中，對于誤差的來源必須認(rèn)真分析，采取相應(yīng)措施，以減小誤差在測量工作中，對于誤差的來源必須認(rèn)真分析，采取相應(yīng)措施，以減小誤差對測量結(jié)果的影響。對測量結(jié)果的影響。 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.2 誤差的分類 為了便于誤差的分析和處理，可以按為了便于誤差的分析和處理，可以按誤差的規(guī)律性誤差的規(guī)律性將其分為三將其分為三類，即系統(tǒng)誤差，隨機(jī)誤差和粗大誤差。類，即系統(tǒng)

14、誤差，隨機(jī)誤差和粗大誤差。一一. 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在相同的條件下，對同一物理量進(jìn)行多次測量，如果在相同的條件下，對同一物理量進(jìn)行多次測量，如果誤差按照一定規(guī)律出現(xiàn)誤差按照一定規(guī)律出現(xiàn)，則把這種誤差，則把這種誤差稱為系統(tǒng)誤差稱為系統(tǒng)誤差(system error)，簡稱系差。系統(tǒng)誤差可分為定值系統(tǒng)誤差，簡稱系差。系統(tǒng)誤差可分為定值系統(tǒng)誤差(簡稱定值系差簡稱定值系差)和變和變值系統(tǒng)誤差值系統(tǒng)誤差(簡稱變值系差簡稱變值系差)。數(shù)值和符號都保持不變的系統(tǒng)誤差稱為定值系差。數(shù)值和符號均。數(shù)值和符號都保持不變的系統(tǒng)誤差稱為定值系差。數(shù)值和符號均按照一定規(guī)律性變化的系統(tǒng)誤差稱為變值系差。變值系差按其變化規(guī)

15、律又可分為線性系統(tǒng)誤按照一定規(guī)律性變化的系統(tǒng)誤差稱為變值系差。變值系差按其變化規(guī)律又可分為線性系統(tǒng)誤差，周期性系統(tǒng)誤差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。如圖差，周期性系統(tǒng)誤差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。如圖2.1所示，其中所示，其中1為定值系差，為定值系差，2 為線為線性系統(tǒng)誤差，性系統(tǒng)誤差，3為周期系統(tǒng)誤差，為周期系統(tǒng)誤差，4為按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。為按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差示意圖 系統(tǒng)誤差的來源包括儀表制造、安裝或使用方法不正確，系統(tǒng)誤差的來源包括儀表制造、安裝或使用方法不正確，測量設(shè)備的基本誤差、讀數(shù)方法不正確以及環(huán)境誤差等。測量設(shè)備的基本誤差、讀數(shù)方法不正確以及環(huán)境誤差等。系統(tǒng)

16、誤差是一種有規(guī)律的誤差，故可以通過理論分析采系統(tǒng)誤差是一種有規(guī)律的誤差，故可以通過理論分析采用修正值或補(bǔ)償校正等方法來減小或消除。用修正值或補(bǔ)償校正等方法來減小或消除。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2021年11月30日星期二21時57分19秒按誤差出現(xiàn)的規(guī)律分，下列誤差屬于系統(tǒng)誤差的有（ ）A. 儀表本身材料，零件工藝上的缺陷；B. 測量者不良讀數(shù)習(xí)慣引起的誤差；C. 測試工作中使用儀表的方法不正確；D. 電子線路中的噪聲干擾；E. 壓力表的零點(diǎn)偏高；答案：ABCF,其中D屬于隨機(jī)誤差第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 二. 隨機(jī)誤差 當(dāng)對某一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測量時，若誤差出現(xiàn)的大小和符號均以不可預(yù)知

17、的方式變化，則該誤差為隨機(jī)誤差(random error)。隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因比較復(fù)雜，雖然測量是在相同條件下進(jìn)行的，但測量環(huán)境中溫度、濕度、壓力、振動、電場等總會發(fā)生微小變化，因此，隨機(jī)誤差是大量對測量值影響微小且又互不相關(guān)的因素所引起的綜合結(jié)果。(1) 對稱性：絕對值相等、符號相反的誤差對稱性：絕對值相等、符號相反的誤差在多次重復(fù)測量中出現(xiàn)的可能性相等。在多次重復(fù)測量中出現(xiàn)的可能性相等。(2) 有界性：在一定測量條件下，隨機(jī)誤差有界性：在一定測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會超出某一限度。的絕對值不會超出某一限度。(3) 單峰性：絕對值小的隨機(jī)誤差比絕對值單峰性：絕對值小的隨機(jī)誤差比絕對值大

18、的隨機(jī)誤差在多次重復(fù)測量中出現(xiàn)的機(jī)大的隨機(jī)誤差在多次重復(fù)測量中出現(xiàn)的機(jī)會多。會多。(4) 抵償性：隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨測量抵償性：隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨測量次數(shù)的增加而趨于零。次數(shù)的增加而趨于零。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理三三. 粗大誤差粗大誤差 明顯超出規(guī)定條件下的預(yù)期值的誤差稱為粗大誤差(abnormal error)。粗大誤差一般是由于操作人員粗心大意、操作不當(dāng)或?qū)嶒?yàn)條件沒有達(dá)到預(yù)定要求就進(jìn)行實(shí)驗(yàn)等造成的。如讀錯、測錯、記錯數(shù)值、使用有缺陷的測量儀表等。含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值，所有的壞值在數(shù)據(jù)處理時應(yīng)剔除掉。 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理四四. 測量精度測量精度 測量精度是

19、從另一角度評價(jià)測量誤差大小的量，它與誤差大小相對應(yīng)，即誤差測量精度是從另一角度評價(jià)測量誤差大小的量，它與誤差大小相對應(yīng)，即誤差大，精度低；誤差小，精度高。測量精度可細(xì)分為準(zhǔn)確度、精密度和精確度。大，精度低；誤差小，精度高。測量精度可細(xì)分為準(zhǔn)確度、精密度和精確度。1準(zhǔn)確度表明測量結(jié)果偏離真值的程度，它反映系統(tǒng)誤差的影響，系統(tǒng)誤差小，表明測量結(jié)果偏離真值的程度，它反映系統(tǒng)誤差的影響，系統(tǒng)誤差小，則準(zhǔn)確度高。則準(zhǔn)確度高。2精密度表明測量結(jié)果的分散程度，它反映隨機(jī)誤差的影響，隨機(jī)誤差小，則表明測量結(jié)果的分散程度，它反映隨機(jī)誤差的影響，隨機(jī)誤差小，則精密度高。精密度高。3精確度精確度反映測量中系統(tǒng)誤差和

20、隨機(jī)誤差綜合影響的程度，簡稱精度。精確度反映測量中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合影響的程度，簡稱精度。精度高，說明準(zhǔn)確度與精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。精度高，說明準(zhǔn)確度與精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量的準(zhǔn)確度與精密度的區(qū)別，由圖可知，若靶心為真實(shí)值，圖中黑點(diǎn)為測量值，則圖(a)表示準(zhǔn)確卻不精密的測量，圖(b)表示精密卻不準(zhǔn)確的測量，圖（c)表示既準(zhǔn)確又精密的測量。一切測量都應(yīng)同時兼顧準(zhǔn)確度和精密度，力求既準(zhǔn)確又精密，才能成為精確的測量。一般來說，工程測量中，占主要地位的是系統(tǒng)誤差，應(yīng)力求準(zhǔn)確度高，所以人們習(xí)慣上又把精度稱為準(zhǔn)確度。而在精密測量中由

21、于已經(jīng)采取一定的措施(如改進(jìn)測量方法，改善測量條件)減小或消除了系統(tǒng)誤差，因而隨機(jī)誤差是主要的。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.3 測量數(shù)據(jù)處理 測量數(shù)據(jù)處理是對測量所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行深入的分析，找出變量之間相互制約、相互聯(lián)系的依存關(guān)系，有時還需要用數(shù)學(xué)解析的方法，推導(dǎo)出各變量之間的函數(shù)關(guān)系。只有經(jīng)過科學(xué)的處理，才能去粗取精、去偽存真，從而獲得反映被測對象的物理狀態(tài)和特性的有用信息，這就是測量數(shù)據(jù)處理的最終目的。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理一一. 測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù) 測量數(shù)據(jù)總是存在誤差的，而誤差又包含著各種因素產(chǎn)生的分量，如系測量數(shù)據(jù)總是存在誤差的，而誤差又包含著各種因素產(chǎn)生的分

22、量，如系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差等。顯然一次測量是無法判別誤差的統(tǒng)計(jì)統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差等。顯然一次測量是無法判別誤差的統(tǒng)計(jì)特性，只有特性，只有通過足夠多次的重復(fù)測量才能由測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析獲得誤通過足夠多次的重復(fù)測量才能由測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析獲得誤差的統(tǒng)計(jì)特性差的統(tǒng)計(jì)特性。而實(shí)際的測量是有限次的，因而測量數(shù)據(jù)只能用樣本的統(tǒng)計(jì)量作為而實(shí)際的測量是有限次的，因而測量數(shù)據(jù)只能用樣本的統(tǒng)計(jì)量作為測量測量數(shù)據(jù)總體特征量的估計(jì)值數(shù)據(jù)總體特征量的估計(jì)值。測量數(shù)據(jù)處理的任務(wù)就是求得測量數(shù)據(jù)的樣。測量數(shù)據(jù)處理的任務(wù)就是求得測量數(shù)據(jù)的樣本統(tǒng)計(jì)量，以得到一個既接近真值又可信的估計(jì)值以及它偏離真值程度本統(tǒng)計(jì)量

23、，以得到一個既接近真值又可信的估計(jì)值以及它偏離真值程度的估計(jì)。的估計(jì)。誤差分析的理論大多基于測量數(shù)據(jù)的誤差分析的理論大多基于測量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布正態(tài)分布，而實(shí)際測量由于受各種，而實(shí)際測量由于受各種因素的影響，使得測量數(shù)據(jù)的分布情況復(fù)雜。因此，測量數(shù)據(jù)必須經(jīng)過因素的影響，使得測量數(shù)據(jù)的分布情況復(fù)雜。因此，測量數(shù)據(jù)必須經(jīng)過消除系統(tǒng)誤差、正態(tài)性檢驗(yàn)和剔除粗大誤差消除系統(tǒng)誤差、正態(tài)性檢驗(yàn)和剔除粗大誤差后，才能作進(jìn)一步處理，以后，才能作進(jìn)一步處理，以得到可信的結(jié)果。得到可信的結(jié)果。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 二二 隨機(jī)誤差及其處理隨機(jī)誤差及其處理隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的來源和性質(zhì)不同，所以處理的方法也不同。由

24、于隨機(jī)誤隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的來源和性質(zhì)不同，所以處理的方法也不同。由于隨機(jī)誤差是由一系列隨機(jī)因素引起的，因而隨機(jī)變量可以用來表達(dá)隨機(jī)誤差的取值差是由一系列隨機(jī)因素引起的，因而隨機(jī)變量可以用來表達(dá)隨機(jī)誤差的取值范圍及概率。若有一非負(fù)函數(shù)，其對任意實(shí)數(shù)有分布函數(shù)范圍及概率。若有一非負(fù)函數(shù)，其對任意實(shí)數(shù)有分布函數(shù)( )( )dxF xf xx( )f xx稱為的概率分布密度函數(shù) 211221()()( )dxxP xxxF xF xf xx為誤差在為誤差在 之間的概率，在測量系統(tǒng)中，若系統(tǒng)誤差已經(jīng)減小到可以忽略之間的概率，在測量系統(tǒng)中，若系統(tǒng)誤差已經(jīng)減小到可以忽略的程度后才可對隨機(jī)誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。

25、的程度后才可對隨機(jī)誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。12,xx第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理1. 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律實(shí)踐和理論證明，大量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。正態(tài)分布的曲線如圖所示。圖中的橫坐標(biāo)表示隨機(jī)誤差，縱坐標(biāo)為誤差的概率密度應(yīng)用概率論方法可導(dǎo)出隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線 2211()exp22xfx特征量 2()ixnn 標(biāo)準(zhǔn)差 n為測量次數(shù) P（）=68.3%； P（2）=95.4%； P（3）=99.7%第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 真實(shí)值與算術(shù)平均值真實(shí)值與算術(shù)平均值設(shè)對某一物理量進(jìn)行直接多次測量，測量值分別為設(shè)對某一物理量進(jìn)行直接多次測量，測量值分別為下下x1,x2,

26、xn,各次測量值的隨機(jī)誤差為各次測量值的隨機(jī)誤差為 。將隨機(jī)誤差相加。將隨機(jī)誤差相加0iixxx00111()nnniiiiiixxxxnx兩邊同除兩邊同除n得得01111nniiiixxxnn用用 代表測量列的算術(shù)平均值代表測量列的算術(shù)平均值x12111()nniixxxxxnn 011niixxxnx第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特征，即 11lim0ninixn 于是 可見，當(dāng)測量次數(shù)很多時，算術(shù)平均值趨于真實(shí)值，也就是說，算術(shù)平均值受隨機(jī)誤差影響比單次測量小。且測量次數(shù)越多，影響越小。因此可以用多次測量的算術(shù)平均值代替真實(shí)值，并稱為最可信數(shù)值。因此，減小隨機(jī)誤差的方法就

27、是增加測量次數(shù)0 xx第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理3. 隨機(jī)誤差的估算隨機(jī)誤差的估算 1) 標(biāo)準(zhǔn)差（多次n1000）201()niixxn它是一定測量條件下隨機(jī)誤差最常用的估計(jì)值。其物理意義為隨機(jī)誤差落在(，)區(qū)間的概率為68.3%。區(qū)間(，)稱為置信區(qū)間，相應(yīng)的概率稱為置信概率。顯然，置信區(qū)間擴(kuò)大，則置信概率提高。置信區(qū)間取(2，2) 、 (3，3)時，相應(yīng)的置信概率 P(2)=95.4%,P(3)=99.7%.定義3為極限誤差，其概率含義是在1000次測量中只有3次測量的誤差絕對值會超過3。由于在一般測量中次數(shù)很少超過幾十次，因此，可以認(rèn)為測量誤差超3出范圍的概率是很小的，故稱為極限誤差，一

28、般可作為可疑值取舍的判定標(biāo)準(zhǔn)。不同不同的概率密度曲線的概率密度曲線 值越小，曲線陡且峰值高，說明測量值的隨機(jī)誤差集中，小誤差占優(yōu)勢，各測量值的分散性小，重復(fù)性好。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理利用剩余誤差替代隨機(jī)誤差，得到的結(jié)果就是單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差，用利用剩余誤差替代隨機(jī)誤差，得到的結(jié)果就是單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差，用 表表示，它只是示，它只是的一個估算值。的一個估算值。 iixxix211()11nniiiixxnn這一公式稱為貝塞爾公式。 n較小時，必須采用貝塞爾公式計(jì)算的值。(n1000)2) 有限次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)（n1000）由于真值未知時，隨機(jī)誤差 不可求（不知道x0），可用各次測量值與算

29、術(shù)平均值之差剩余誤差ix第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2i3n1nn 在測量中用算術(shù)平均值作為最可信賴值，它比有限次測在測量中用算術(shù)平均值作為最可信賴值，它比有限次測量得到結(jié)果可靠性高。由于測量次數(shù)有限，因此量得到結(jié)果可靠性高。由于測量次數(shù)有限，因此 也也不等于不等于 。也就是說，。也就是說， 還是存在隨機(jī)誤差的，可以證還是存在隨機(jī)誤差的，可以證明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 是單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差是單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差 的的 倍，倍，即即0 xx( )S x1n21()(1)niiS xn nn3) 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)上式表明，在上式表明，在n較小時，增加測量次數(shù)較小時，增加測

30、量次數(shù)n，可明顯減小測量結(jié)果，可明顯減小測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，提高測量的精密度。但隨著的標(biāo)準(zhǔn)差，提高測量的精密度。但隨著n的增大，減小的程度越的增大，減小的程度越來越??；當(dāng)來越小；當(dāng)n大到一定數(shù)值時大到一定數(shù)值時 就幾乎不變了。就幾乎不變了。()S x第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 4. 間接測量的標(biāo)準(zhǔn)差傳遞間接測量的標(biāo)準(zhǔn)差傳遞設(shè)間接測量值與各獨(dú)立的直接測量值設(shè)間接測量值與各獨(dú)立的直接測量值X1，X2，X3,Xn的函數(shù)關(guān)系為的函數(shù)關(guān)系為 12( ,)nyf x xx121212121212.nnnnynxxxnfffyxxxxxxxxxyfffyxyxyxyfffuuu 222222123123( )

31、()()()fffS YS xS xS xxxx上式不僅可以用來計(jì)算間接測量值y的標(biāo)準(zhǔn)差，而且還可以用來分析各直接測量值的誤差對最后結(jié)果的誤差的影響大小，從而為改進(jìn)實(shí)驗(yàn)提出了方向。在設(shè)計(jì)一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)時，誤差傳遞公式能為合理地組織實(shí)驗(yàn)、選擇測量儀器提供重要的依據(jù)。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 一些常用函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的傳遞公式見表一些常用函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的傳遞公式見表p26 標(biāo)準(zhǔn)差傳遞公式函數(shù)表達(dá)式12yxx1 2yx xnxy11sinyx1lnyxykx2212( )()()S yS xS x22222112( )()( )( )()S yxS xxS x1( ) | ( )S yk S x11()()Syn

32、Sxyx11( ) |cos| ( )S yxS x11()()SxSyx常用函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的傳遞公式 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理例題：計(jì)算系統(tǒng)誤差例題：計(jì)算系統(tǒng)誤差已知一平衡電橋，求測量熱電阻已知一平衡電橋，求測量熱電阻Rx的絕對誤差和相對誤差。的絕對誤差和相對誤差。假設(shè)電源假設(shè)電源E和檢流計(jì)和檢流計(jì)D引起的誤差忽略不計(jì)。引起的誤差忽略不計(jì)。Rx10歐姆，歐姆，R2100歐姆，歐姆，R3100歐姆，歐姆，R41000歐姆，歐姆， R20.1歐姆，歐姆， R30.01歐姆，歐姆， R41.0歐姆。歐姆。RxR2R3R4DE第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理解：當(dāng)電橋處于平衡時，有：解：當(dāng)電橋處于平衡時，有

33、：234234234323223424443242342340.10.0110.01%1001001000100.01%0.001xxxxxxxxxxxRRRRRRRdRdRdRdRRRRRR RRdRdRdRRRRdRdRdRdRRRRRRRRRRRdR第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 由于系統(tǒng)誤差對測量精度的影響較大，必須消除系統(tǒng)誤差的影響才能有效地提高測量精度，下面介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法。 1. 定值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1) 實(shí)驗(yàn)對比法實(shí)驗(yàn)對比法對于定值系統(tǒng)誤差，通常采用實(shí)驗(yàn)對比法發(fā)現(xiàn)和確定。實(shí)驗(yàn)對比法又可分為標(biāo)準(zhǔn)器件法對于定值系統(tǒng)誤差，通常采用實(shí)驗(yàn)對比法發(fā)現(xiàn)和

34、確定。實(shí)驗(yàn)對比法又可分為標(biāo)準(zhǔn)器件法(簡稱標(biāo)簡稱標(biāo)準(zhǔn)件法準(zhǔn)件法)和標(biāo)準(zhǔn)儀器法和標(biāo)準(zhǔn)儀器法(簡稱標(biāo)準(zhǔn)表法簡稱標(biāo)準(zhǔn)表法)兩種。兩種。標(biāo)準(zhǔn)器件法標(biāo)準(zhǔn)器件法就是用測量儀表對高精度的標(biāo)準(zhǔn)器件就是用測量儀表對高精度的標(biāo)準(zhǔn)器件(如標(biāo)準(zhǔn)砝碼如標(biāo)準(zhǔn)砝碼)進(jìn)行多次重復(fù)測量。如果定值系差進(jìn)行多次重復(fù)測量。如果定值系差存在則測量值與標(biāo)準(zhǔn)器件的差值為固定值。該差值的相反數(shù)即可作為儀表的修正值。存在則測量值與標(biāo)準(zhǔn)器件的差值為固定值。該差值的相反數(shù)即可作為儀表的修正值。標(biāo)準(zhǔn)儀器法標(biāo)準(zhǔn)儀器法是用精度等級高于被標(biāo)定儀器是用精度等級高于被標(biāo)定儀器(即需要檢驗(yàn)是否具有系統(tǒng)誤差的儀表即需要檢驗(yàn)是否具有系統(tǒng)誤差的儀表)的標(biāo)準(zhǔn)儀器和被的標(biāo)

35、準(zhǔn)儀器和被標(biāo)定儀器同時測量被測量。將標(biāo)準(zhǔn)儀器的測量值作為相對真值。若兩測量儀表的測量值存在固標(biāo)定儀器同時測量被測量。將標(biāo)準(zhǔn)儀器的測量值作為相對真值。若兩測量儀表的測量值存在固定差值則可判斷有定值系差，并將差值的相反數(shù)作為修正值。定差值則可判斷有定值系差，并將差值的相反數(shù)作為修正值。當(dāng)無法通過標(biāo)準(zhǔn)器件或標(biāo)準(zhǔn)儀器來發(fā)現(xiàn)并消除定值系差時，還可以通過多臺同類或相近的儀器當(dāng)無法通過標(biāo)準(zhǔn)器件或標(biāo)準(zhǔn)儀器來發(fā)現(xiàn)并消除定值系差時，還可以通過多臺同類或相近的儀器進(jìn)行相互對比，觀察測量結(jié)果的差異，以便提供一致性的參考數(shù)據(jù)。進(jìn)行相互對比，觀察測量結(jié)果的差異，以便提供一致性的參考數(shù)據(jù)。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2)

36、改變外界測量條件 有些檢測系統(tǒng)，一旦測量環(huán)境或被測參數(shù)值發(fā)生變化，其系統(tǒng)誤差往往也從一個固定值變化到另一個固定值。利用這一特性，可以有意識地改變測量條件，來發(fā)現(xiàn)和確定儀器在不同條件下的系統(tǒng)誤差。例如，更換測量人員或改變測量方法等。分別測出兩組或兩組以上數(shù)據(jù)，然后比較其差異，便可判斷是否含有定值系差，同時還可設(shè)法消除系統(tǒng)誤差。注意，在改變測量條件進(jìn)行測量時，應(yīng)該判斷在條件改變后是否引入新的系統(tǒng)誤差。3) 理論計(jì)算及分析 因測量原理或檢測方法等方面存在不足而引入的定值系差，可通過原理分析與理論計(jì)算來加以修正。對此需要有針對性地仔細(xì)研究和計(jì)算、評估實(shí)際值與理論值之間的差異，然后設(shè)法補(bǔ)償和消除系統(tǒng)誤差

37、。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 變值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 1) 殘差觀察法當(dāng)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差相比較大時，通過觀察測量數(shù)據(jù)的各個剩余誤差大小和符號的變化規(guī)律來判斷有無變值系統(tǒng)誤差。若剩余誤差數(shù)值有規(guī)律的遞增或遞減，且剩余誤差序列減去其中值后的新數(shù)列在以中值為原點(diǎn)的數(shù)軸上呈正負(fù)對稱分布，則說明測量存在累進(jìn)性的線性系統(tǒng)誤差。如果發(fā)現(xiàn)剩余誤差序列呈有規(guī)律交替重復(fù)變化，則說明測量存在周期性系統(tǒng)誤差。當(dāng)系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差小或相當(dāng)時，則不能通過觀察來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，必須通過專門的判斷準(zhǔn)則才能較好地發(fā)現(xiàn)和確定。這些判斷準(zhǔn)則實(shí)質(zhì)上是檢驗(yàn)誤差的分布是否偏離正態(tài)分布，常用的有馬利科夫準(zhǔn)則和阿貝-赫梅特準(zhǔn)則等。第二章

38、誤差分析與數(shù)據(jù)處理2) 馬利科夫準(zhǔn)則馬利科夫準(zhǔn)則適用于判斷、發(fā)現(xiàn)和確定線性系統(tǒng)誤差。設(shè)對某一被測量進(jìn)行次等精度測量，按測量先后順序得到X1,X2Xi,Xn等數(shù)值。令這些數(shù)值的算術(shù)平均值為1() /niixxn相應(yīng)的剩余誤差為： (1,2, )iixx in將前面一半以及后面一半數(shù)據(jù)的剩余誤差分別求和，然后取其差值，有11kniiii iM 若若M近似為零，則說明上述測量列中不含線性系統(tǒng)誤差；若近似為零，則說明上述測量列中不含線性系統(tǒng)誤差；若M與與Vi相當(dāng)或更大，則相當(dāng)或更大，則說明測量列中存在線性系統(tǒng)誤差。說明測量列中存在線性系統(tǒng)誤差。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 i3) 阿貝阿貝-赫梅特赫梅特

39、(Abbe-Helmert)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1x2,inxxx111niiiA 若存在若存在 成立成立( 為測量數(shù)據(jù)序列的方差為測量數(shù)據(jù)序列的方差)，則認(rèn)為測量序列中含有周，則認(rèn)為測量序列中含有周期性系統(tǒng)誤差。期性系統(tǒng)誤差。21An2阿貝阿貝-赫梅特準(zhǔn)則用于發(fā)現(xiàn)赫梅特準(zhǔn)則用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差。此準(zhǔn)則的實(shí)際操作方法也是將在等精。此準(zhǔn)則的實(shí)際操作方法也是將在等精度重復(fù)測量下得到的一組測量值度重復(fù)測量下得到的一組測量值 , 按順序排列，并求出相按順序排列，并求出相應(yīng)的剩余誤差應(yīng)的剩余誤差 。然后計(jì)算。然后計(jì)算第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 4) 不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法

40、對等精度的多次測量，用不同的方法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，對等精度的多次測量，用不同的方法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。用貝塞爾公式用貝塞爾公式2111niin用別捷爾斯公式 122(1)niin n對于兩種不同公式計(jì)算得出的標(biāo)準(zhǔn)差對于兩種不同公式計(jì)算得出的標(biāo)準(zhǔn)差 ， ，如果有，如果有21211n成立，則認(rèn)為測量序列中有系統(tǒng)誤差存在。12第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 四四. 減小系統(tǒng)誤差的方法減小系統(tǒng)誤差的方法 分析和研究系統(tǒng)誤差的最終目的是減小和消除系統(tǒng)誤差。下面介紹一分析和研究系統(tǒng)誤差的最終目的是減小和消除系統(tǒng)誤差。下面介紹一些常用的消除系統(tǒng)誤差的方法。些常用的消除系統(tǒng)誤差的

41、方法。1. 消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源為減小系統(tǒng)誤差的影響，應(yīng)該從測試系統(tǒng)的設(shè)計(jì)時入手。選用合適的測量方為減小系統(tǒng)誤差的影響，應(yīng)該從測試系統(tǒng)的設(shè)計(jì)時入手。選用合適的測量方法以避免方法誤差；選擇最佳的測量儀表與合理的裝配工藝，以減小工具誤法以避免方法誤差；選擇最佳的測量儀表與合理的裝配工藝，以減小工具誤差；應(yīng)選擇合適的測量環(huán)境以減小環(huán)境誤差。此外，還需定期的檢查、維修差；應(yīng)選擇合適的測量環(huán)境以減小環(huán)境誤差。此外，還需定期的檢查、維修和校正測量儀器以保證測量的精度。和校正測量儀器以保證測量的精度。2. 引入更正值法引入更正值法該方法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差。在測量之前，通過對測量

42、儀表進(jìn)行校準(zhǔn)，該方法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差。在測量之前，通過對測量儀表進(jìn)行校準(zhǔn)，可以得到更正值，將更正值加入測量值中，即得到被測量的真值。可以得到更正值，將更正值加入測量值中，即得到被測量的真值。更正值一般用表示，它是與測量誤差的絕對值相等而符號相反的值。更正值更正值一般用表示，它是與測量誤差的絕對值相等而符號相反的值。更正值給出的方式不一定是具體的數(shù)值，也可以是一條曲線、公式或數(shù)表。在某些給出的方式不一定是具體的數(shù)值，也可以是一條曲線、公式或數(shù)表。在某些自動檢測系統(tǒng)中，預(yù)先將更正值儲存于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存中，這樣可對測量結(jié)果自動檢測系統(tǒng)中，預(yù)先將更正值儲存于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存中，這樣可對測量結(jié)果中的系

43、統(tǒng)誤差自動進(jìn)行修正。中的系統(tǒng)誤差自動進(jìn)行修正。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 3. 采用特殊測量方法消除系統(tǒng)誤差采用特殊測量方法消除系統(tǒng)誤差1) 直接比較法直接比較法直接比較法即零位式測量法，用于消除定值系統(tǒng)誤差。該方法的優(yōu)點(diǎn)在直接比較法即零位式測量法，用于消除定值系統(tǒng)誤差。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)指示器的靈敏度足夠高時，測量的準(zhǔn)確度取決于標(biāo)準(zhǔn)的已知量，于當(dāng)指示器的靈敏度足夠高時，測量的準(zhǔn)確度取決于標(biāo)準(zhǔn)的已知量，而標(biāo)準(zhǔn)量具的誤差是很小的。而標(biāo)準(zhǔn)量具的誤差是很小的。 2) 替代法替代法替代法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差，其操作方法為用可調(diào)的標(biāo)準(zhǔn)量具取替代法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差，其操作方法為用可調(diào)的標(biāo)準(zhǔn)量具

44、取代被測量代被測量 x 接入測量儀表，通過調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量具接入測量儀表，通過調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量具A的值使測量儀表的的值使測量儀表的示值與被測量接入時相同，于是有示值與被測量接入時相同，于是有 x=A 。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 例如，測量某未知電阻例如，測量某未知電阻Rx，要求誤差小于，要求誤差小于0.1%。首。首先將它接入一個電橋中，該電橋的誤差為先將它接入一個電橋中，該電橋的誤差為1%。調(diào)整橋。調(diào)整橋臂電阻臂電阻 R1 、R2 使電橋平衡；然后取下使電橋平衡；然后取下 Rx ，換上標(biāo)準(zhǔn)電，換上標(biāo)準(zhǔn)電阻箱阻箱 Rs (電阻箱為電阻箱為0.01級級)。保持。保持R1 、R2 不動，調(diào)節(jié)不動，調(diào)節(jié)Rs的大

45、小，使電橋再次平衡，此時被測電阻的大小，使電橋再次平衡，此時被測電阻 Rx = Rs。只要。只要測量靈敏度足夠，根據(jù)這種方法測量測量靈敏度足夠，根據(jù)這種方法測量Rx 的準(zhǔn)確度與標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)確度與標(biāo)準(zhǔn)電阻箱的準(zhǔn)確度相當(dāng)，而與檢流計(jì)電阻箱的準(zhǔn)確度相當(dāng)，而與檢流計(jì) G 和電阻和電阻 R1 、R2 的的恒值誤差無關(guān)，因此可以滿足測量要求。恒值誤差無關(guān)，因此可以滿足測量要求。替代法的特點(diǎn)是被測量與標(biāo)準(zhǔn)量具通過測量裝置進(jìn)行比較，測量裝置的系統(tǒng)誤差不帶給測量結(jié)果，它只起辨別有無差異的作用，因此測量裝置的靈敏度應(yīng)該足夠高，否則不能得到期望的結(jié)果。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 這種方法是指當(dāng)測量儀表內(nèi)部存在固定方向的

46、誤差因素時，將測量中的某些條件(如被測物的位置或被測量的極性等)相互交換，使產(chǎn)生系差的原因?qū)ο群髢纱螠y量結(jié)果起反作用，將這兩次測量結(jié)果加以適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理(通常取其算術(shù)平均值或幾何平均值)，即可消除系統(tǒng)誤差。例如，以等臂天平測量質(zhì)量時，由于天平左右兩臂長的微小差別，會引起測量的定值系統(tǒng)誤差。如果將被稱物與砝碼在天平左右兩盤上分別各稱量一次，取兩次測量平均值作為被稱物的質(zhì)量，這時測量結(jié)果中就不含有因天平不等臂引起的系統(tǒng)誤差。 3) 交換法第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 這種方法是將被測量與已知的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，取其差值，然后用測量儀表測量這個差值。微差法只要求標(biāo)準(zhǔn)量與被測量相近，而用指示儀表測量其差值

47、。這樣，指示儀表的誤差對測量的影響會大大減弱。設(shè)被測量為x ，標(biāo)準(zhǔn)量為B(與 x 相近)，標(biāo)準(zhǔn)量與被測量的微差為 b (由指示儀表示出)，則xBb相對誤差xBbBbbxxxBbx b4) 微差法 由于由于x與與B的微差的微差b遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于B，所以，所以BbB故故xBbbxBx b上式表示被測量x的相對誤差由兩部分組成：第一部分為標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差，它一般是很小的；第二部分是指示儀表相對誤差，由于b/x ，所以指示儀表誤差的影響被大大削弱。由此也可看出，微差法是以靈敏度來換取準(zhǔn)確度。 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 5) 等時距對稱觀測法等時距對稱觀測法 等時距對稱觀測法用于消除線性系統(tǒng)誤等時距對稱觀

48、測法用于消除線性系統(tǒng)誤差。由于線性系統(tǒng)誤差按照如圖所差。由于線性系統(tǒng)誤差按照如圖所示的斜線規(guī)律變化，其特點(diǎn)為對稱示的斜線規(guī)律變化，其特點(diǎn)為對稱于中點(diǎn)于中點(diǎn) t3 的各系統(tǒng)誤差的算術(shù)平的各系統(tǒng)誤差的算術(shù)平均值彼此相等，即有均值彼此相等，即有1524322lllll 利用上述關(guān)系，將測量對稱安排，取兩次對稱測量值的平均值作為測量利用上述關(guān)系，將測量對稱安排，取兩次對稱測量值的平均值作為測量結(jié)果即消除系統(tǒng)誤差。由于多數(shù)變值系統(tǒng)誤差在短時間內(nèi)均可認(rèn)為結(jié)果即消除系統(tǒng)誤差。由于多數(shù)變值系統(tǒng)誤差在短時間內(nèi)均可認(rèn)為是按線性規(guī)律變化的，即使按復(fù)雜規(guī)律變化的誤差，其一次近似亦是按線性規(guī)律變化的，即使按復(fù)雜規(guī)律變化

49、的誤差，其一次近似亦為線性誤差，因此，在許多精密測量場合，均可采用等時距對稱觀為線性誤差，因此，在許多精密測量場合，均可采用等時距對稱觀測法消除變值系差。測法消除變值系差。 線性系統(tǒng)誤差 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理例題：RN是一標(biāo)準(zhǔn)電阻，求未知電阻RXUX UNRX RNK E R+ - 221112233132(),:():(2 )2xxNNxxxNURRUttttUiRtUiRtUiRUURU3123xNxx解：引入誤差解決方案：t=t在t ,t ,t 分別測U ,U ,U ,假設(shè)在 t電流下降解方程得：R由于電源E或者電壓表電源電壓隨時間線性下降，產(chǎn)生線性誤差第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理

50、半周期觀測法用于消除周期性的系統(tǒng)誤差。設(shè)周期性系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律為半周期觀測法用于消除周期性的系統(tǒng)誤差。設(shè)周期性系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律為2sin()lAT 式中式中 決定周期性誤差的自變量；決定周期性誤差的自變量；T周期性系統(tǒng)誤差的變化周期。周期性系統(tǒng)誤差的變化周期。0在某一時刻，如在某一時刻，如 ，周期性誤差為，周期性誤差為102sin()lAT經(jīng)過半個周期后，經(jīng)過半個周期后， ，周期性誤差為，周期性誤差為0/2T200122sin()sin()lAAlTT 可知，如果在某處測得一個數(shù)據(jù)后，在與該點(diǎn)相隔半個周期處再測量一個數(shù)可知，如果在某處測得一個數(shù)據(jù)后，在與該點(diǎn)相隔半個周期處再測量一個數(shù)據(jù)，取

51、兩次測量的平均值作為測量結(jié)果，即可消除周期性系統(tǒng)誤差。據(jù)，取兩次測量的平均值作為測量結(jié)果，即可消除周期性系統(tǒng)誤差。6) 半周期觀測法 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理 五五 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方法 由于隨機(jī)誤差具有有界性，因此，測量結(jié)果明顯不同于由于隨機(jī)誤差具有有界性，因此，測量結(jié)果明顯不同于期望值的測量值含粗大誤差期望值的測量值含粗大誤差(疏失誤差疏失誤差)，應(yīng)該予以剔，應(yīng)該予以剔除。判別粗大誤差的準(zhǔn)則很多，下面介紹兩種。除。判別粗大誤差的準(zhǔn)則很多，下面介紹兩種。1. 格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則(p31)當(dāng)測量數(shù)據(jù)中，某數(shù)據(jù)xi 的剩余誤差滿足( , )ig a n(

52、, )g a n( , )g a n則該測量數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。則該測量數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。為格羅布斯準(zhǔn)則鑒別值為格羅布斯準(zhǔn)則鑒別值為格羅布斯準(zhǔn)則鑒別系數(shù)為格羅布斯準(zhǔn)則鑒別系數(shù)第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理P31 an0.010.05 a n0.010.0531.151.15172.782.4841.491.46182.822.5051.751.67192.852.5361.941.82202.882.5672.101.94212.912.5882.222.03222.942.6092.232.11232.962.62102.412.18242.992.64112.482.23

53、253.012.66122.552.28303.102.74132.612.33353.182.81142.662.37403.242.87152.702.41503.342.96162.752.441003.593.17格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則鑒別值g(a,n)數(shù)值表第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2）拉依達(dá)準(zhǔn)則在正態(tài)分布中，當(dāng)誤差的絕對值大于3的概率為0.0027，為小概率事件。故：3iv則判定存在粗大誤差，應(yīng)予以剔除。則判定存在粗大誤差，應(yīng)予以剔除。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理判定測量數(shù)據(jù)是否存在粗大誤差的步驟：判定測量數(shù)據(jù)是否存在粗大誤差的步驟：1、根據(jù)讀數(shù)確定平均值，作為真值；、根據(jù)讀數(shù)

54、確定平均值，作為真值；2、確定剩余誤差或絕對誤差、確定剩余誤差或絕對誤差3、確定標(biāo)準(zhǔn)差、確定標(biāo)準(zhǔn)差4、根據(jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則或格羅布斯、根據(jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則或格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則判定粗大誤差準(zhǔn)則判定粗大誤差5、剔除粗大誤差、剔除粗大誤差6、重復(fù)以上，直到?jīng)]有粗大誤差。、重復(fù)以上，直到?jīng)]有粗大誤差。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2021年11月30日星期二21時57分21秒例題：對某個物理量進(jìn)行15次重復(fù)測量，數(shù)據(jù)如下：20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 .判斷測

55、量數(shù)據(jù)是否含有粗大誤差？解(1)采用拉依達(dá)準(zhǔn)則判定剩余誤差V和V2填于后表。12120.404(15)0.0331:30.099niiniixxnnvnso根據(jù)拉依達(dá)準(zhǔn)則，可以發(fā)現(xiàn)，第8個數(shù)據(jù)的剩余誤差0.104大于0.099，該組數(shù)據(jù)中含有粗大誤差。3iv第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2021年11月30日星期二21時57分21秒解(2)采用格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則判定測量次數(shù)：n=15假設(shè)顯著性水平：a=0.01查表：g(0.01,15)=2.70根據(jù)格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則計(jì)算：( , )2.70 0.0330.0891g a n( , )ig a n可以發(fā)現(xiàn)，第8個數(shù)據(jù)的剩余誤差0

56、.104大于0.0891，可見，第8個數(shù)據(jù)20.30為可疑數(shù)據(jù)，其產(chǎn)生的誤差為粗大誤差。故剔除第8個數(shù)據(jù)20.30，重新判斷。對剩余的14個數(shù)據(jù)重新計(jì)算，通過拉依達(dá)準(zhǔn)則和格羅布斯(Grubbs)準(zhǔn)則判定，都沒有粗大誤差存在。第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2021年11月30日星期二21時57分21秒第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.4 測量數(shù)據(jù)的表示方法測量數(shù)據(jù)的表示方法及線性回歸初步及線性回歸初步測量數(shù)據(jù)表示方法：測量數(shù)據(jù)表示方法：1、圖示、圖示2、表格、表格3、公式、公式第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理線性回歸方法：線性回歸方法：1、理論擬合理論擬合（按照傳感器特性曲線擬合）（按照傳感器特性曲線擬合）2

57、、端點(diǎn)擬合端點(diǎn)擬合（兩點(diǎn)確定一條直線）（兩點(diǎn)確定一條直線）3、平均值擬合平均值擬合（把數(shù)據(jù)分為兩組，每組確定（把數(shù)據(jù)分為兩組，每組確定一個平均值，再用平均值確定一直線）一個平均值，再用平均值確定一直線）4、最小二乘法擬合最小二乘法擬合（基于均方誤差最?。ɑ诰秸`差最?。┑诙?誤差分析與數(shù)據(jù)處理n2ii=1n2ii=1n2ii=1nnnnnnn2i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1nnn2222iii=1i=1i=i=1nn()ak00;()()iiiiiiiiiiiiiiykxayakxkanx yxyxyxx ykanxxnxx 假設(shè)有 個實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用直線擬合這些數(shù)據(jù)使得這 個點(diǎn)

58、的均方誤差最小。求系數(shù) ， 使得均方誤差最小。n1最小二乘法最小二乘法第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理判斷一個線性回歸方程是否恰當(dāng)，可用相關(guān)系數(shù)判斷一個線性回歸方程是否恰當(dāng)，可用相關(guān)系數(shù)r來判別：來判別：2222()()xyxyrxyyyr越接近越接近1，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)密集分布在擬合直線，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)密集分布在擬合直線的近旁，的近旁，r越接近越接近0，線性越差。一般，線性越差。一般r的絕對值的絕對值大于大于0.9才有意義。才有意義。1r 第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理例題：matlab程序%*% 線性擬合實(shí)驗(yàn)程序%*%-% y=a+kx%-clc;close all;clear;%輸入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xi和y

59、ixi=0,0,0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,2.0,2.0,2.0,2.0,2.0,2.0,2.5,2.5,2.5;yi=0.0020,0.0030,0.0025,0.0035,0.0035,0.0040,0.2015,0.2020,0.2020,0.2030,0.2020,0.2030,0.4005,0.4020,0.4010,0.4020,0.4010,0.4020,0.6000,0.6010,0.6000,0.6015,0.6000,0.6010,0.799

60、5,0.8005,0.7995,0.8005,0.7995,0.8005,1.000,0.9995,0.9990;第二章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理n=length(xi);x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;for i=1:n x1= x1+xi(1,i)*yi(1,i);x2=x2+xi(1,i);x3=x3+yi(1,i); x4=x4+xi(1,i)2; end k=(n*x1-x2*x3)/(n*x4-x22) a=(x4*x3-x2*x1)/(n*x4-x22)plot(xi,yi,*r);xlabel(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)x); ylabel(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)y); title(一階線性擬合實(shí)驗(yàn)程序y=