實(shí)變函數(shù)綜合練習(xí)題

1、實(shí)變函數(shù)綜合訓(xùn)練題（一）（含解答）一、選擇題（單選題）1、下列集合關(guān)系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是開集，則（ B ）（A） （B）的內(nèi)部 （C） （D）3、設(shè)是康托集，則（ C ）（A）是可數(shù)集 （B）是開集 （C） （D）4、設(shè)是中的可測(cè)集，是上的簡(jiǎn)單函數(shù)，則（ D ）（A）是上的連續(xù)函數(shù) （B）是上的單調(diào)函數(shù)（C）在上一定不可積 （D）是上的可測(cè)函數(shù)5、設(shè)是中的可測(cè)集，為上的可測(cè)函數(shù)，若，則（ A ）（A）在上，不一定恒為零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 二、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正確答案）1、設(shè)是中的無理點(diǎn)全體，則（C、D）（A）

2、是可數(shù)集 （B）是閉集 （C）中的每一點(diǎn)都是聚點(diǎn) （D）2、若至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則（ B、D ）（A）可以等于零 （B） （C）可能是可數(shù)集 （D）是不可數(shù)集3、設(shè)是可測(cè)集，則的特征函數(shù)是 （A、B、C ）（A）上的簡(jiǎn)單函數(shù) （B）上的可測(cè)函數(shù) （C）上的連續(xù)函數(shù) （D）上的連續(xù)函數(shù)4、設(shè)在可測(cè)集上可積，則（ B、D ）（A）和有且僅有一個(gè)在上可積 （B）和都在上可積（C）在上不一定可積 （D）在上一定可積5、設(shè)是的單調(diào)函數(shù)，則（ A、C、D）（A）是的有界變差函數(shù) （B）是的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)（C）在上幾乎處處連續(xù) （D）在上幾乎處處可導(dǎo)三、填空題（將正確的答案填在橫線上）1、設(shè)為全集，為的兩個(gè)子集

3、，則 。2、設(shè)，如果滿足，則是 閉 集。3、若開區(qū)間是直線上開集的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間，則滿足、。4、設(shè)是無限集，則的基數(shù) （其中表示可數(shù)基數(shù)）。5、設(shè)，為可測(cè)集，則。6、設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有是 可測(cè)集 ，則稱是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)。7、設(shè)是的內(nèi)點(diǎn)，則。8、設(shè)函數(shù)列為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，且，則由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，則在上的積分不一定存在，且在上 不一定 可積。10、若是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則一定 是 上的有界變差函數(shù)。四、判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”）1、可列（數(shù)）個(gè)閉集的并集仍為閉集。 （ × ）2、任何無限集均含

4、有一個(gè)可數(shù)子集。 （ ）3、設(shè)是可測(cè)集，則一定存在型集，使得，且。（ ）4、設(shè)是零測(cè)集，是上的實(shí)函數(shù)，則不一定是上的可測(cè)函數(shù)。（ × ）5、設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則必在上可積。 （ × ）五、簡(jiǎn)答題1、簡(jiǎn)述無窮多個(gè)開集的交集是否必為開集？答：不一定為開集。例如 取上一列開集為，而是閉集，不是開集。2、可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)有何關(guān)系？答：簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)；可測(cè)函數(shù)不一定是簡(jiǎn)單函數(shù)；可測(cè)函數(shù)一定可以表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限。3、上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有何關(guān)系？答：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)；有界變差函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，但一定可以表示成單調(diào)函數(shù)的和或差。六、計(jì)算題

5、1、設(shè)，其中是有理數(shù)集，求。解： 因?yàn)?，所以于，于?、求。解： 因?yàn)槎?所以，由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式：證明： （方法1）對(duì)任意，有且，即或且所以 或，即。反之，對(duì)任意，有或，即或且，所以且，即，綜上所述，。（方法2）。2、設(shè)是中的有理點(diǎn)全體，則是可測(cè)集且。證明： 因?yàn)槭强蓴?shù)集，則對(duì)任意，取開區(qū)間，顯然它們把覆蓋住。于是 。讓得，從而是可測(cè)集且。3、證明：上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)必為上的可測(cè)函數(shù)。證明：因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性易知，是開集，從而是可測(cè)集。所以必為上的可測(cè)函數(shù)。4、設(shè)是可測(cè)集上的可積函數(shù)，為的一列可測(cè)子集，如果，則。證明：因?yàn)榍?，所以從而由題設(shè) 又在上的

6、可積，且 所以由積分的絕對(duì)連續(xù)性得即。5、設(shè)是可測(cè)集上的可積函數(shù)，為中的一列遞增可測(cè)子集，。證明：記，其中顯然在上，且于是由勒貝格控制收斂定理即可的結(jié)論。實(shí)變函數(shù)綜合訓(xùn)練題（二）（含解答）一、選擇題（單選題）1、下列集合關(guān)系成立的是（ A ）（A） （B） （C） （D）2、若是閉集，則（ B ）（A）的內(nèi)部 （B） （C） （D）3、設(shè)是有理數(shù)集，則（ C ）（A） （B）是閉集 （C） （D）是不可數(shù)集4、設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，為任意實(shí)數(shù)，則（ D ）（A）是開集 （B）是開集（C）是閉集 （D）是開集5、 設(shè)是中的可測(cè)集，都是上的可測(cè)函數(shù)，若，則（ A ）（A）于 （B）在上， （C）在上，

7、 （D）在上，二、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正確答案）1、設(shè)是中的有理點(diǎn)全體，則（C、D）（A）是閉集 （B）中的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) （C）是可數(shù)集 （D）2、若的外測(cè)度為零，則（ B、D ）（A）一定是可數(shù)集 （B）一定是可測(cè)集 （C）不一定是可數(shù)集 （D） 3、設(shè)，函數(shù)列為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，若，則下列哪些結(jié)論不一定成立（A、B、C、D）（A）存在 （B）在上可積 （C） （D） 4、若在可測(cè)集上有積分值，則（A、C ）（A）和中至少有一個(gè)在上可積 （B）和都在上可積（C）在上也有積分值 （D）在上一定可積5、設(shè)是的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則（ A、B、C

8、 ）（A）是上的連續(xù)函數(shù) （B）是上的一致連續(xù)函數(shù)（C）是上的有界變差函數(shù) （D）在上處處可導(dǎo)三、填空題（將正確的答案填在橫線上）1、 設(shè)，是兩個(gè)集合，則 2、設(shè)，如果滿足，則是 開 集。3、設(shè)為直線上的開集，若開區(qū)間滿足和 ，則 必為的 構(gòu)成 區(qū)間。4、設(shè)是偶數(shù)集，則則的基數(shù) （其中表示可數(shù)基數(shù)）。5、設(shè)，為可數(shù)集，且，則。6、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，（），都有是 可測(cè)集 。7、若是可數(shù)集，則。8、設(shè)函數(shù)列為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，是上的可測(cè)函數(shù)，如果，則 不一定成立 。9、設(shè)是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則在上的積分的值 一定存在 。10、若是上的有界變差函數(shù)，則必可表示成兩個(gè) 遞增函數(shù)

9、的差（或遞減函數(shù)的差） 。四、判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”）1、可列（數(shù)）個(gè)開集的交集仍為開集。 （ × ）2、任何無限集均都是可數(shù)集。 （ × ）3、設(shè)是可測(cè)集，則一定存在型集，使得，且。（ ）4、設(shè)是可測(cè)集，則是上的可測(cè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有是可測(cè)集。 （ ）5、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，則一定存在。 （ × ）五、簡(jiǎn)答題1、簡(jiǎn)述無窮多個(gè)閉集的并集是否必為閉集？答：不一定為閉集。例如 取上一列閉集為，而是開集，不是閉集。2、可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？答：連續(xù)函數(shù)是可測(cè)函數(shù)；可測(cè)函數(shù)不一定連續(xù)；可測(cè)函數(shù)在上是“基本上”連續(xù)的。3、上的絕

10、對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有何關(guān)系？答：絕對(duì)連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù)；有界變差函數(shù)不一定是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。六、計(jì)算題1、設(shè)，其中是康托集，求。解：因?yàn)椋杂?，于是再由積分與積分的關(guān)系得。2、設(shè)，求。解：因?yàn)?，而所以，由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式：證明：（方法1）對(duì)任意，有且，即且，所以 且，即。反之，對(duì)任意，有且，即且，所以且，即，綜上所述，。（方法2）。2、設(shè)，且，則是可測(cè)集。證明： 對(duì)任意，顯然又（因?yàn)椋?，從而所以（因?yàn)椋┧?，即是可測(cè)集。3、證明：上的單調(diào)函數(shù)必為上的可測(cè)函數(shù)。證明：不妨設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，記，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，顯然是可測(cè)集。所以必為上的可測(cè)函數(shù)。4

11、、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，則在上可積在上可積。證明：必要性：因?yàn)樵谏峡煞e，則和而，所以，即在上可積。充分性：因?yàn)?，且，則 ，。所以在上可積。5、設(shè)可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，且（）， 存在使得，記，則在上勒貝格可積，且。證明：不妨設(shè)，由題設(shè)注意到單調(diào)遞減可得，且在上恒有，于是，由勒貝格控制收斂定理得，在上勒貝格可積，且。6、 設(shè)，為上幾乎處處有界的可測(cè)函數(shù)列，證明：在上的充要條件是。證明：先證。事實(shí)上，由對(duì)任意，再結(jié)合依測(cè)度收斂的定義即可得上面的結(jié)論。下面證明本題的結(jié)論。必要性：因可得，于是，當(dāng)時(shí)，有因此，當(dāng)時(shí)，并注意到和可得所以。充分性：對(duì)任意，由可得 ，從而。實(shí)變函數(shù)綜合訓(xùn)練題（三）（含解答

12、）一、選擇題（單選題）1、下列集合關(guān)系成立的是（ A ） （A） （B）（C） （D）2、若是孤立點(diǎn)集，則（ B ）（A） （B） （C）的內(nèi)部 （D）3、設(shè)是上的無理數(shù)集，則（ C ）（A）是可數(shù)集 （B）是開集 （C）是不可數(shù)集 （D）4、設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，則（ D ）（A）在上連續(xù) （B）在中的不連續(xù)點(diǎn)有不可數(shù)個(gè)（C）在上一定不可積 （D）是上的可測(cè)函數(shù)5、設(shè)是中的可測(cè)集，為上的可測(cè)函數(shù)，若，則（ A ）（A），在上幾乎處處為零 （B）在上， （C）在上， （D） 二、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正確答案）1、設(shè)是上康托集，則（B、C）（A）是可數(shù)集 （B）是閉集 （C）中的每

13、一點(diǎn)都是聚點(diǎn) （D）2、若至少有一個(gè)聚點(diǎn)，則（C、D ）（A） （B） （C）可能是可數(shù)集 （D）可能是不可數(shù)集3、設(shè)是不可測(cè)集，則的特征函數(shù)是 （C、D ）（A）上的簡(jiǎn)單函數(shù) （B）上的可測(cè)函數(shù) （C）上的連續(xù)函數(shù) （D）上的不可測(cè)函數(shù)4、設(shè)在可測(cè)集上不可積，則（ B、D ）（A）和都在上不可積 （B）和至少有一個(gè)在上不可積（C）在上可能可積 （D）在上一定不可積5、設(shè)是的有界變差函數(shù)，則（ A、D）（A）在上幾乎處處連續(xù) （B）是的連續(xù)函數(shù)（C）在上不可導(dǎo) （D）在上幾乎處處可導(dǎo)三、填空題（將正確的答案填在橫線上）1、設(shè)為全集，為的兩個(gè)子集，則 2、設(shè)，如果滿足，則是 完全 集。3、若開區(qū)

14、間和是直線上開集的兩個(gè)不同的構(gòu)成區(qū)間，則。4、設(shè)是無限集，是至多可數(shù)集，則的基數(shù) 。5、設(shè)，為可測(cè)集，則。6、設(shè)是定義在可測(cè)集上的有限實(shí)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有是可測(cè)集，則是可測(cè)集上的 可測(cè)函數(shù) 。7、設(shè)是孤立點(diǎn)集，則。8、設(shè)函數(shù)列為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，且，則 不一定成立 。9、設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，則在上的可積的充要條件是在上 勒貝格可積 。10、若是上的有界變差函數(shù)或絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則上的導(dǎo)數(shù) 幾乎處處存在 。四、判斷題（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”）1、可列（數(shù)）個(gè)型集的并集仍為型集。 （ ）2、無限集中一定存在具有最大基數(shù)的無限集。 （ × ）3、設(shè)是可測(cè)集，則一定存在

15、開集，使得，且。（ × ）4、設(shè)和都是可測(cè)集，是和上的可測(cè)函數(shù)，則不一定是上的可測(cè)函數(shù)。 （ × ）5、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，且存在（可為），則和至少有在上可積。 （ ）五、簡(jiǎn)答題1、簡(jiǎn)述無窮多個(gè)零測(cè)集的并集是否必為零測(cè)集？答：不一定為零測(cè)集。例如 ，顯然為單元素集，為零測(cè)集，不是零測(cè)集。2、上的可測(cè)集與Borel集的關(guān)系？答：Borel集是可測(cè)集；可測(cè)集不一定是Borel集；可測(cè)集一定可以表示成一個(gè)Borel集與零測(cè)集的差或并。3、可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？答：可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)；可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)；對(duì)上的一個(gè)可測(cè)函數(shù)，任取，在

16、可測(cè)集中去掉一個(gè)測(cè)度小于的可測(cè)子集后，可使此可測(cè)函數(shù)成為連續(xù)函數(shù)。六、計(jì)算題1、設(shè)，其中是有理數(shù)集，求。解： 因?yàn)?，所以于，于?、設(shè)，求。解：因?yàn)?，而所以，由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式：證明： （方法1）對(duì)任意，有且，即，且所以 或，即。反之，對(duì)任意，有且，即，且，所以且，即，綜上所述，。（方法2）。2、設(shè)是中的無理點(diǎn)全體，則是可測(cè)集且。證明： 記是中的有理點(diǎn)全體，由于是可數(shù)集，從而可測(cè)，且。又，所以，是可測(cè)集且。3、設(shè)，證明：是上的可測(cè)函數(shù)的充要條件是為可測(cè)集。證明：充分性：因?yàn)槭巧系目蓽y(cè)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，是可測(cè)集，特別取，注意到，可得為可測(cè)集。必要性：若為可測(cè)集，則是上的簡(jiǎn)

17、單函數(shù)，從而為上的可測(cè)函數(shù)。4、設(shè)為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，若，則在上。證明：對(duì)任意，由于所以，即在上。5、設(shè)，若是上一列幾乎處處收斂于零的可積函數(shù)，且滿足對(duì)任意，存在，只要，就有，證明：。證明：由題設(shè)及Egoroff定理得，對(duì)題設(shè)中的，存在可測(cè)集，在上一致收斂于，從而對(duì)題設(shè)中的，存在，當(dāng)時(shí)于是，當(dāng)時(shí)，并注意到題設(shè)的條件，有。即 。實(shí)變函數(shù)綜合訓(xùn)練題（四）（含解答）一、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正確答案）1、設(shè)是中的有理點(diǎn)全體，則（C、D）考核對(duì)典型集合掌握的情況（A）是閉集 （B）中的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) （C）是可數(shù)集 （D）2、設(shè)是中的無理點(diǎn)全體，則（C、D）（A）是可數(shù)集 （B）是

18、閉集 （C）中的每一點(diǎn)都是聚點(diǎn) （D）3、若的外測(cè)度為零，則（ B、D ）考核零測(cè)集的特點(diǎn)（A）一定是可數(shù)集 （B）一定是可測(cè)集 （C）不一定是可數(shù)集 （D） 4、若至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則（ B、D ）考核典型集的外測(cè)度可數(shù)性的特點(diǎn)（A）可以等于零 （B） （C）可能是可數(shù)集 （D）是不可數(shù)集5、設(shè)，函數(shù)列為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，若，則下列哪些結(jié)論不一定成立（A、B、C、D）考核可測(cè)函數(shù)與勒貝格積分的簡(jiǎn)單綜合（A）存在 （B）在上可積 （C） （D） 6、設(shè)是可測(cè)集，則的特征函數(shù)是 （A、B、C ）考核特征函數(shù)的特點(diǎn)（A）上的簡(jiǎn)單函數(shù)（B）上的可測(cè)函數(shù) （C）上的

19、連續(xù)函數(shù)（D）上的連續(xù)函數(shù)7、若在可測(cè)集上有積分值，則（A、C ）考核勒貝格積分的定義（A）和中至少有一個(gè)在上可積 （B）和都在上可積（C）在上也有積分值 （D）在上一定可積8、設(shè)在可測(cè)集上可積，則（ B、D ）考核勒貝格積分的定義（A）和有且僅有一個(gè)在上可積 （B）和都在上可積（C）在上不一定可積 （D）在上一定可積9、設(shè)是的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則（ A、B、C ）考核絕對(duì)連續(xù)函數(shù)、有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)（A）是上的連續(xù)函數(shù) （B）是上的一致連續(xù)函數(shù)（C）是上的有界變差函數(shù) （D）在上處處可導(dǎo)10、設(shè)是的單調(diào)函數(shù)，則（ A、C、D）考核絕對(duì)連續(xù)函數(shù)、有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)（A）是的有界變差函數(shù) （

20、B）是的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)（C）在上幾乎處處連續(xù) （D）在上幾乎處處可導(dǎo)二、單項(xiàng)選擇題（每題僅有一個(gè)正確答案）1設(shè)是中的無理點(diǎn)全體，則是（）.考核對(duì)典型集合掌握的情況（）可數(shù)集 （）有限集 （）不可數(shù)集 （）零測(cè)集2下面集合關(guān)系成立的是（）. 考核對(duì)集合的基本運(yùn)算掌握的情況（） （） （） （）3若至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則有（）. 考核對(duì)典型集合外測(cè)度掌握的情況（） （） （）（） 4設(shè)是開集，則（ ）.考核開集閉集的基本特征（） （） （） （）5設(shè)是可測(cè)集，則的特征函數(shù)是上的（）. 考核對(duì)集合的特征函數(shù)的認(rèn)識(shí)（）簡(jiǎn)單函數(shù) （）常函數(shù) （）連續(xù)函數(shù)（）單調(diào)函數(shù)6設(shè)是有理數(shù)集，,則是上的（）.考核目標(biāo)同上

21、題（）連續(xù)函數(shù)（）單調(diào)函數(shù)（）簡(jiǎn)單函數(shù)（）定積分存在的函數(shù)7設(shè)在可測(cè)集上勒貝格可積，則（）. 考核勒貝格積分的定義（）和有且僅有一個(gè)在上勒貝格可積；（）和都在上勒貝格可積（）和都在上不勒貝格可積；（）在上不勒貝格可積8設(shè)是上的無理數(shù)集，表示連續(xù)基數(shù)，則（）. 考核對(duì)典型集合基數(shù)和測(cè)度掌握的情況（） （） （） （）9設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，則是上的（）. 考核基本的有界變差函數(shù)和絕對(duì)連續(xù)函數(shù)（）連續(xù)函數(shù) （）絕對(duì)連續(xù)函數(shù) （）可導(dǎo)函數(shù) （）有界變差函數(shù)10設(shè)在上絕對(duì)連續(xù)，則在上（）.考核絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系的基本性質(zhì)（）有界變差 （）可導(dǎo) （）單調(diào) （）連續(xù)可微三、填空題1設(shè)，為的兩個(gè)子集，則等于 考

22、核集合之間的基本關(guān)系2設(shè)，為兩個(gè)集合，則 等于 考核目標(biāo)同上3設(shè)，如果滿足，則是 閉 集考核開集、閉集的定義4設(shè)，如果中的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則是 開 集考核開集、閉集的定義5若開區(qū)間是直線上開集的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間，則滿足且 考核開集的構(gòu)成區(qū)間的定義和特點(diǎn)6設(shè)是上的開集,若開區(qū)間滿足且,則稱是開集的 構(gòu)成 區(qū)間考核開集的構(gòu)成區(qū)間的定義和特點(diǎn)7設(shè)是無限集，則的基數(shù) 大于或等于 （其中表示可數(shù)基數(shù)）考核可數(shù)集的性質(zhì)8設(shè)是偶數(shù)集，則的基數(shù) 等于 （其中表示可數(shù)基數(shù)）考核可數(shù)集的性質(zhì)9設(shè)，為可測(cè)集，則 大于或等于 考核測(cè)度的性質(zhì)，單調(diào)性和次可加性10設(shè)，為可測(cè)集，則 小于或等于 考核測(cè)度的性質(zhì)，次可加性11設(shè)

23、是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有是 可測(cè)集 ，則稱是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù). 考核可測(cè)函數(shù)的定義12設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，()，有是 可測(cè) 集. 考核可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)13設(shè)是可數(shù)集，則 等于 .考核典型集合的測(cè)度和外測(cè)度14設(shè)是康托集，則 等于 .考核典型集合的測(cè)度和外測(cè)度15設(shè)函數(shù)列為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，且在上依測(cè)度收斂于，則存在的子列，使得在上 幾乎處處收斂于 . 考核函數(shù)列收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系的記憶，本題是其中的黎斯定理16設(shè),是上的可測(cè)函數(shù)列，是上的實(shí)函數(shù),若在上幾乎處處收斂于，則在上 依測(cè)度 收斂于.考核函數(shù)列收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系的記憶，本題是其中的勒

24、貝格定理 17設(shè)在上黎曼可積，則在上勒貝格可積，且它們的積分值 相等 考核黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系18設(shè),都在上勒貝格可積，且?guī)缀跆幪幭嗟?則它們?cè)谏侠肇惛穹e分值 相等 考核勒貝格積分的基本性質(zhì)19若是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則 是 上的有界變差函數(shù)考核有界變差函數(shù)和絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系20若是上的有界變差函數(shù)，則可以表示成兩個(gè)單調(diào)函數(shù)的 和或差 考核有界變差函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的關(guān)系，即約當(dāng)分解定理四、判斷說明題（注意這類題不僅要求判斷對(duì)還是不對(duì)，而且還要簡(jiǎn)單的說明理由）1無限個(gè)閉集的并集仍為閉集考核開集、閉集的性質(zhì)答：不對(duì)，因?yàn)殚]集只對(duì)有限的并集運(yùn)算封閉。2無限個(gè)開集的交集仍為開集考核開集、閉集的性質(zhì)

25、答：不對(duì)，因?yàn)殚_集只對(duì)有限的交集運(yùn)算封閉。3無限集均含有一個(gè)可數(shù)子集考核可數(shù)集的性質(zhì)答：對(duì)，因?yàn)檫@是可數(shù)集與無限集的關(guān)系。4無限集都是可數(shù)集考核無限集的分類答：不對(duì)，因?yàn)闊o限集還包括不可數(shù)集。5設(shè)是可測(cè)集，則一定存在型集，使得，且考核可測(cè)集與型集或型集的關(guān)系答：對(duì)，因?yàn)檫@是可測(cè)集與型集的關(guān)系。6設(shè)是可測(cè)集，則一定存在型集，使得，且考核可測(cè)集與型集或型集的關(guān)系答：對(duì)，因?yàn)檫@是可數(shù)集與型集的關(guān)系。7設(shè)是測(cè)度為零的集，是上的實(shí)函數(shù)，則不一定是上的可測(cè)函數(shù)考核可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)答：不對(duì)，因?yàn)榱銣y(cè)集上的任何實(shí)函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。8設(shè)是可測(cè)集，是上幾乎處處為零的實(shí)函數(shù)，則在上可測(cè)考核可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)答：對(duì)

26、，因?yàn)槌：瘮?shù)0是可測(cè)函數(shù)，由可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)可得在上可測(cè)。9設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則必在上勒貝格可積考核勒貝格積分的定義答：不對(duì)，因?yàn)榭蓽y(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)只能保證有勒貝格積分，不一定能保證勒貝格可積。10設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，則一定存在考核勒貝格積分的定義答：不對(duì)，因?yàn)榭蓽y(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，不一定能定義勒貝格積分，因此不一定能保證存在。五、簡(jiǎn)答題（此類題關(guān)鍵是要把要點(diǎn)答出來）1簡(jiǎn)述無窮多個(gè)開集的交集是否必為開集？考核開集、閉集的運(yùn)算性質(zhì)要點(diǎn)：首先，回答結(jié)論：不一定為開集其次，舉出交集為開集的例子和交集不是開集的例子。2簡(jiǎn)述無窮多個(gè)閉集的并集是否必為閉集？考核開集、閉集的運(yùn)算性質(zhì)要點(diǎn)：首先

27、，回答結(jié)論：不一定為閉集其次，舉出并集為閉集的例子和并集不是閉集的例子。3可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)有何關(guān)系？考核可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系要點(diǎn)：1、簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)；2、可測(cè)函數(shù)不一定是簡(jiǎn)單函數(shù)；3、可測(cè)函數(shù)一定可表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限。4可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？考核可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系要點(diǎn)：1、連續(xù)函數(shù)是可測(cè)函數(shù)；2、可測(cè)函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)；3、對(duì)任意，在中去掉一個(gè)測(cè)度小于的可測(cè)集后，可測(cè)函數(shù)能成為連續(xù)函數(shù)（魯津定理）。5上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有何關(guān)系？考核單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系要點(diǎn)：1、單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)；2、有界變差函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)；3、有界變差函數(shù)能分解成兩個(gè)單調(diào)函數(shù)的和或差。6上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有何關(guān)系？考核有界變差函數(shù)與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的關(guān)系要點(diǎn)：1、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù)；2、有界變差函數(shù)不一定是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。六、計(jì)算題（注意這類題要寫出主要步驟）1設(shè)，其中是有理數(shù)集，求