各省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題匯編——函數(shù)解答題

1、各省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題匯編一一函數(shù)解答題1.【2018年浙江預(yù)賽】設(shè)口 ER ,且對(duì)任意實(shí)數(shù)b均有÷ ax+bL,求a的取值范圍.【答案】處 3【解析】解 1: f( = x2 + fix-F t ,對(duì)于 Ifil > 1 = f(fl) > 1，所以只要考慮恰IU 1.(1) 當(dāng)一 z 0時(shí)，即氐二K),此時(shí)函數(shù) g 的最值在拋物線(xiàn)的左右端點(diǎn)取得，對(duì)任意 I <1有fl) = I-ff-S<jf(fl) = lj ,所以 f(l) = l-£r-S>l，解得B三1(2) 當(dāng)DU-¥生時(shí)，即-1<0 ,此時(shí)函數(shù) 代工)的最值在拋物線(xiàn)的

2、頂點(diǎn)和右端點(diǎn)取得，而對(duì) b=0 W / (1)| = l+<l,=Irl<x.(3) 當(dāng)-<-.時(shí)，即2a. <-1時(shí)，此時(shí)函數(shù) 化時(shí)的最值在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和左端點(diǎn)取得，而對(duì)b=0 有 zto)=6<j (4)I =勞XL(4 )當(dāng)一 : 1時(shí)，即fi -2 ,此時(shí)函數(shù)f(X的最值在拋物線(xiàn)的左右端點(diǎn)取得，對(duì)任意H<l 有了W)I= <i,所以/(1) = l+ + ,解得-3.綜上或乩邑3.解 2：設(shè)+ ILK ÷ t 1,則有mh to >l + s + i 2m 劇 +14- > 1 + a 依題意， L=> > 1

3、 ,或X -3.2 . 2018年山西預(yù)賽】求解函數(shù) y*F的最大最小值.【答案】最大值為最小值為T(mén) W解析】JIP. 4 JU易知函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，由于y =÷j = z''4',令1 = tan3，貝U時(shí)=血2叭 誌=Cxy創(chuàng)，所以F =評(píng)斌爲(wèi)曲=言血朋,因此一 匚；函數(shù)y最大值為最小值為=.3. 2018年福建預(yù)賽】函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的概念之一，同學(xué)們?cè)诔跞?、高一分別學(xué)習(xí)過(guò)，也知曉其發(fā)展過(guò)程.1692年，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨首次使用funCtiOn這個(gè)詞，1734年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首次使用符號(hào)f(x)表示函數(shù).1859年我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭將functio

4、n譯作函數(shù)，函”意味著信件，巧妙地揭示了對(duì)應(yīng)關(guān)系密碼學(xué)中的加密和解密其實(shí)就是函數(shù)與反函數(shù)對(duì)自變量恰當(dāng)?shù)刭x值是處理函數(shù)問(wèn)題，尤其是處理抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法之一.請(qǐng)你解答下列問(wèn)題.已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：對(duì)任意的整數(shù)a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2,且f( 2)= 3求f(96)的值.【答案】4750【解析】在 f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2 中，令 a=b=a ,得f(0)=f(0)+f(0)+0+2 ,于是 f(0)= 2.在 f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2 中，令 a=2, b= 2, 得 f(0)=f(2)+f( 2) 4+2. 2=f(2)_

5、3 4+2 , f(2)=3.在 f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2 中，令 a=n 2, b=2 ,得f(n)=f(n 2)+ f(2)+2( n 2)+2= f(n 2)+3+2( n 2)+2= f(n 2)+2n+l. f(n)f(n 2)=2 n+1. f(96) f(94)=2 >96+1,f(94) f(92)=2 94+1 ,f(94) f(92)=2 94+1 ,上述等式左右兩邊分別相加，得f(96) f(2)=2(96+94+4)+47.=3 = 4750.4. 【2018年貴州預(yù)賽】已知函數(shù) y = 3x + x2-3jr ,求該函數(shù)的值域.【答案】；一 R

6、F 3 -2X1 LJ 6J a)【解析】令 U=x 1,則 F = 3“+3 +昶匸T,則 Ittl > 1設(shè)拖K-I= l- S>0,則0<匕WhdB1 =1,且IdJnhl =(t當(dāng)u>0時(shí), _ 亠斗W亠U亠_ 三f亠一 §由于0<tl,故函數(shù)單調(diào)遞減，所以y 1+2+3=6當(dāng)u<0時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)三三,即二三時(shí)取等 號(hào))所以函數(shù)的值域?yàn)?-2Tu6J +).故答案為：卜叫3 - 25 U 6?牛閃5. 【2018年湖南預(yù)賽】已知函數(shù) ) = IOgtI(IBra - Jr).(1) 若H = ,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若代龍)在區(qū)間2

7、4上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 門(mén)的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間為(-to. 0);增區(qū)間為(2.); (2) HAl.【解析】試題分析：(1)當(dāng)區(qū)=右時(shí)，= I矚dXa ”，由:X= X> 0可得函數(shù)的定義域?yàn)閁+co),結(jié)合圖象可得函數(shù)的減區(qū)間為(PtC ,增區(qū)間為(2* ,:。(2)令= JT,分兩種情況考慮。當(dāng)I)VqU丄時(shí),若滿(mǎn)足題意則 対闊=磁2-ffiZ4上單調(diào)遞減，且WlHh =GXz-X AD ；當(dāng)口注丄時(shí)，若滿(mǎn)足題意則S=() = Ilx3 x2j4上單調(diào)遞增，且ff(taitt = tx2 X > 0。由此得到關(guān)于a的不等式組，分別解不等式 組可得所求范圍。試題解析：

8、(1) 當(dāng)促=扌時(shí)，代© =1咫一”，由 KS - %> ,得邪一 bA0,解得Yn或需A 2,所以函數(shù)的定義域?yàn)?O)U(Z+,結(jié)合圖象可得函數(shù)的減區(qū)間為 (M>U),增區(qū)間為C>+ O(2) 令= OX3-X,則函數(shù) 飆刃的圖象為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為 X = TT的拋物線(xiàn)， 當(dāng)O Vuv 1時(shí)，要使函數(shù)怨©在區(qū)間12石I上是增函數(shù)，則一-在上單調(diào)遞減，且GMg-L=二：】,此不等式組無(wú)解。 當(dāng)cd時(shí)，要使函數(shù) 飩熾在區(qū)間J上是增函數(shù)，則.X.K.上單調(diào)遞增，且笛復(fù)“L- W -V ：!即，解得崔A二，(2) = - 2 >0 3又:1八 H.綜上可

9、得農(nóng)江” 'i所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 =-z.:點(diǎn)睛：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)容易忽視函數(shù)定義域的限制，對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性滿(mǎn)足“同增異減”的性質(zhì)。對(duì)于本題中的(2),同樣容易忽視的限制條件，解題時(shí)要考慮全面，不要漏掉條件。6. 【2018年湖南預(yù)賽】已知函數(shù)-.當(dāng)_；：_時(shí)，求滿(mǎn)足、'、_、'：的值； 0,(2)若函數(shù)代虞是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)血【魏滿(mǎn)足 Hke 丁-廠 /" ,若對(duì)任意?。唬篲2不等式.；(/： )> T-. ,;.< -!；恒成立，求實(shí)數(shù) m的最大值.【答案】(1) 2; ( 2) ft【解析】當(dāng)U-*/-=?時(shí)，孑(對(duì)三尹冃尹.即

10、；腫解得：一 ：龍-=-1(舍去)， =2;(2)若函數(shù)江冊(cè)是定義在R上的奇函數(shù)，則汪婷=T瘡即加-熬即、卞：. ： 11 ;2. .二 C解得：-T - i. ； 一 -，或 “ .1經(jīng)檢驗(yàn)(=-】=】滿(mǎn)足函數(shù)的定義域?yàn)?R,當(dāng)R0寸屈數(shù)鬣r滿(mǎn)足fM (2= 2i- 2-,畑佃何+ 2= 2-一尸© Q)則甘(Q =嚴(yán) 2-*,不等式尊(23S)AJrL *1y(x) It)恒成立,即 2jf + 2-t) + 丙士 恒成立,設(shè)：-2X- 2Y,則 t >：2,即田蘭F+* f>2恒成立,由對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)t = 2時(shí)，r + ”取最小值右。故啊程從N 即實(shí)

11、數(shù)m的最大值為 WN7.【2Q18 年重慶預(yù)賽】設(shè)函數(shù) ft：C) = Jba+4-( a0 滿(mǎn)足(0) 2, (2) <2, (-2) 2 ,求當(dāng)X E £一2時(shí)丁 = f(x的最大值.【答案】_【解析】,= m>)解：由題意知4 + 2frc = jT(2),解得* l 2b + e = f-2) C = (O).3>H>vta-r,L t =曲 FT4.從而當(dāng)*2T時(shí)，r(2+ /C-2)一 2/0)薩卄f-心)F=LrtMM =Bxz + 2c K3 - 2«4 -Xsg¾ 4 gC-2 +-/(O)m÷m÷.a

12、3 + 2+Jr 2x4 X2x3 + 2r 一4 I1 2 I毎I(I X=-ZXl 4-r3因?yàn)楣み窷芻時(shí)匚嚴(yán)寧jQ,從而口一團(tuán)R 易知當(dāng) Xpar2ff- + + 2 = - + j + 2-當(dāng)応如8寸一號(hào)什I十2 = -÷2得 嗣何I咗碟1(一3+1劉+巧罟最后取= -JC= + X + 2，則 it ¢2)1 = i-3) = Ir(O)I = M 故該函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件且在 -2尹上能取到最大值因此y = U(x的最大值為卡8.【2018年貴州預(yù)賽】已知函數(shù) y-3x +,求該函數(shù)的值域.【答案】(一 / 3 一+ OT)【解析】令 U=X-1,則 V =盹+3

13、+屈匚!,則IiIlZl設(shè) = M->0,則 J<tIttIBLfn =1,且叫込=盤(pán)幷)當(dāng) u>0 時(shí)，尹= 2(t + p)*號(hào)+工 t;+ 業(yè)由于0<tl,故函數(shù)單調(diào)遞減，所以 y 1+2+3=6當(dāng)u<0時(shí)，嚴(yán)弐t + f)*3 +右«幷)一"一籃+汕注寫(xiě)一：2屜(當(dāng)且僅當(dāng)t三咨，即2七嚴(yán)時(shí)取等號(hào))所以函數(shù)的值域?yàn)?-Br理-M農(nóng)Ju恪J +T .故答案為：(一叫 3 - 2 IJ 6j 4 1»)9 .【2018年湖南預(yù)賽】已知二次函數(shù) fW = Xa 血 +F ÷ 3 .(1) 若函數(shù)在區(qū)間-11上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)

14、 P的取值范圍；(2) 問(wèn)是否存在常數(shù)g, > 0),使得當(dāng)xe10時(shí)，fb)的值域?yàn)閰^(qū)間D ,且D的長(zhǎng)度為12 Q.(注：區(qū)間%Ag<0的長(zhǎng)度為-c).【答案】(1) - 20 12 ( 2)存在常數(shù)q= 8或q= 9 ,當(dāng)x q, 10時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間,且 的長(zhǎng)度為12-q.【解析】(1)利用零點(diǎn)存在性定理列出關(guān)于q的不等式，然后再利用不等式知識(shí)求解即可;(2)先利用單調(diào)性求出函數(shù)的值域，再利用區(qū)間長(zhǎng)度列出關(guān)于q的方程，求解即可。則函數(shù)在10解：(1) 二次函數(shù)f(x)=x2-16x+p+ 3的對(duì)稱(chēng)軸是 = , 函數(shù)緞!在區(qū)間一 I上單調(diào)遞減,區(qū)間 Hu上存在零點(diǎn)須滿(mǎn)足jT(-

15、i)-(i) 0.2分即(1 + 16 + p+ 3)(1 -16 +p+ 3) , 解得-20 12 4 分 當(dāng)3 IflH時(shí)，即O 6時(shí)，7 > DHx)的值域?yàn)椋篺(8), f(q),即p 61,q2T6q+p+ 3.區(qū)間長(zhǎng)度為 q2-16q+p+ 3 -(P -61) =q2-16q+ 64 =" 12"q2T5q+ 52 =" 0"進(jìn)空，經(jīng)檢驗(yàn)q不合題意，舍去.6分當(dāng) 8- Qf <10- 6 時(shí)，即 6q<8 時(shí),他的值域?yàn)椋?即P -61 , p-57 I >0區(qū)間長(zhǎng)度為P -57 -(P -61) ="

16、4" =" 12" - Aq= 8 .經(jīng)檢驗(yàn)q= 8不合題意，舍去.分 當(dāng) q8時(shí)，國(guó)的值域?yàn)椋篺(q), f(10),即q2-16q+p+3, P -57.區(qū)間長(zhǎng)度為 P -57 -(q2-16q+p+ 3) = -2T6q -60 =" 12"-,.q2-17q+ 72 =" 0" ,.q= 8 或 q= 9 .經(jīng)檢驗(yàn) q= 8 或 q= 9 滿(mǎn)足題意.所以存在常數(shù)q= 8或q= 9,當(dāng)x q,10時(shí),.，伍)的值域?yàn)閰^(qū)間D , 且的長(zhǎng)度為12p. 分10. 【2018年湖北預(yù)賽】對(duì)任意正整數(shù)叭化定義函數(shù)R)如下： 兀=

17、1； /(rn + 1. ?a) = f(jnjn) ÷ 2(rn + n)； /(mjm+ 1 = n) + 2 (in -Vn - 1).(1) 求ffwh閔的解析式；(2) 設(shè)GlE臚工片是數(shù)列的前翹項(xiàng)和，證明:幾U旨.【答案】(1) r(嘆觀)=阿H +工剛+覘*-W+(2)見(jiàn)解析【解析】(1).由條件可得： -'''-1；- - 2.3) - rti>l) = x C2 +1) = 2 x 3.- - . - - -.將上述m - :L個(gè)等式相加得/(j. 1) f CIF1=2(2 ÷ 3 +* +w)<而f(1,1) = 1

18、,所以f&x 1) = (21- 3 +« +) + L =+?n-L由條件可得：血2) -l) = 2(m+l-l)=址fb. 3) -(kl2) = fe + 2-l)= 2+ Iif(M.n) fa- 1) = 2n + 1 - I)I = 2(m +w - 2將上述寵一 i個(gè)等式相加得f(3?I n) f(mll 1) = 2m ÷ ( + 1) +» + + ?I- 2)1而1) = Uiz 4- 1,所以f G.¾) = 2 a?i + CWI +1 + +( Ti 2) + + m 1=a?T= + 2 ?b + n2 3 

19、7; 1.(2).因?yàn)閒個(gè),鈾=昭一2理譏+汎M - 3r + 1 = 2 - I)2 ,所以所以Sa = IO +30 + -K2n-1)( =1'G) +3'6) +" +C2b-3>Q +£&-!)(§ 兩式相減得鞭十 2G)' + 26j+2g廠-® -1.®"=】+斗4一-彩1L 2ul=3 2 2"'故',所以FE：'：囁.11. 【2018 年山東預(yù)賽】實(shí)數(shù)陥 G 凡滿(mǎn)足7l-'-i- -.< > /：-),試求(,-7 - -.

20、- l -Z 的最大值.【答案】JW【解析】不妨設(shè) < & r，令 = ÷sj. f = n÷s-Cj 冒臭 0，t > C ,則由條件知CtZ + (u + )3 + Cu s 七尸=A，整理成關(guān)于 口的一元二次方程 3 a.*3 + 2 CZs ÷ ÷ 2sa ÷ 2rt + t = 0 .因?yàn)榉匠逃薪?，則 A =4( + t)a -12(3s-÷ 2st÷t-,解得 jzi+ t-< .上式關(guān)于$、F對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)OW百Wgr=I詭仗一尸江)巴(忙1<1尸=代，又因?yàn)?gt; S-JrSt t= > 3ff3,所以Ss< 7.當(dāng)且僅當(dāng)£ = t = 牛，即黑=_ gb = QT C =上時(shí)上式取到等號(hào)，因此j = 7 .12. 2018年河北預(yù)賽】若函數(shù)fCO的定義域?yàn)?0.+)且滿(mǎn)足條件： 存在實(shí)數(shù)tr e (1,M),使得f皿=1 ； 當(dāng)In亡H且咒E (OJ o)時(shí)，有f (sc) mf(x) = 0