各省市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題匯編——概率與統(tǒng)計(jì)

1、各省市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題匯編概率與統(tǒng)計(jì)1.【2018年廣西預(yù)賽】若定義在R上的函數(shù)怨4滿足瀘嗣齣碉怯0 代酚-，則不等式f(x) >- 2 的解為.【答案】r>0【解析】構(gòu)造函數(shù) = e-zy + 胃,則 y0> = 1 .由閃=E曲- 2 f(x - 4 > O 可知在(m. ÷) 內(nèi)單調(diào)遞增，從而有> O.故f(或嚴(yán)2o x>Q.2. 【2018年甘肅預(yù)賽】已知函數(shù)f(巧= Hn-SinX <> E R),函數(shù)滿足"或+ gQ © =D CXES.)， 若函數(shù)(r) = f(x -I)J- 恰有2019個(gè)零點(diǎn)，

2、則所有這些零點(diǎn)之和為 .【答案】2019【解析】易知函數(shù)fx) = Tal- SilUr為奇函數(shù)，從而f匕i的圖象關(guān)于(IJ0點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù)+,可知的圖象也關(guān)于(Ij)I點(diǎn)對(duì)稱.由此醐的圖象關(guān)于U點(diǎn)對(duì)稱，從而這2019個(gè)零點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,0 )對(duì)稱，由于聯(lián)1)=列町一扒D=C)今雷=1是駛對(duì)的一個(gè)零點(diǎn)，其余 2018個(gè)零點(diǎn)首尾結(jié)合，兩兩關(guān)于(LO)點(diǎn)對(duì) 稱，和為2018 ,故所有這些零點(diǎn)之和為2019.3. 【2018年四川預(yù)賽】設(shè)直線y = kxb與曲線y = xe -Jl有三個(gè)不同的交點(diǎn)A B* £ ,且|薊二IBG二, 則n的值為.【答案】1【解析】曲線關(guān)于點(diǎn)W-1D對(duì)稱，且I劇=

3、I眈I= 2,所以直線y = fcs + l必過(guò)原點(diǎn)，從而b = O-(y = kxt設(shè)AD,則yjTx(v + y- = 2-由此得X = + Ly = + i ,代入得( + l) + 3(-l) =即:ifc 1),3 Z ÷ 3) = Oj解得、二i“故答案為：14 .【2016年福建預(yù)賽】函數(shù) f(x) =x2ln x+x2-2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .【答案】1【解析】由條件知 - . - -.當(dāng)門V時(shí)，ff<o ；當(dāng)常姦冷討時(shí)，g>0.于是，f(x)在區(qū)間(0,- -)上為減函數(shù)，在區(qū)間(-,+上為增函數(shù)又 § £ 廠-時(shí)， -f(x)=x2(ln

4、x+1)-2<0，*注意到，住:-L 2-. -: - - - '故函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.X5.【2018年陜西預(yù)賽】已知函數(shù) f X, g X k X 1 .Inx(1) 證明： k R ,直線y g x都不是曲線y f X的切線；1(2) 若Xe, e2 ,使f X g x + 成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21【答案】(1)見解析；(2) k的取值范圍是 1,.2【解析】試題分析：(1)若直線y g x與曲線y f X相切，因直線y g X過(guò)定點(diǎn)1,0 ,若設(shè)切占X星0Inxo則可得lnx0 X010，又h XInx X1,0,上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)X01 時(shí):成立，這與X

5、01矛盾,結(jié)論得證1,ItX1X2(2 )f Xg X可轉(zhuǎn)化為kX1 ,令Xk X 1,Xe,e ,2lnx2Inx1X,分類討論求X的最小值即可min2試題解析：(1) f X的定義域?yàn)?,11,fXInx12 ,直線yg X過(guò)定點(diǎn)1,0 ,InxX。若直線y g X與曲線y f X相切于點(diǎn)X。,雖(X00且 X。1 ),則 kInx0 12Inx0Inx0Inx0X0 11即 InXo Xo 1 0 ，設(shè) h X lnx x 1, X 0, ,則 h X 10,所以 h X 在 0,X上單調(diào)遞增，又h 1 0,從而當(dāng)且僅當(dāng)X0 1時(shí)，成立，這與X0 1矛盾.所以， k R ,直線y g X

6、都不是曲線y f X的切線;(2) f Xg X 1 即k X 1-,令 X2 InX2XInx2e,e ,1(i)當(dāng)k丄時(shí),4X在e,e2上為減函數(shù)，于是min22 e 2ek e 12t e 2 1由k e 1得k2 21（ii）當(dāng)k -時(shí)，由y4上為增函數(shù)，所以 e若 k 0 ,即k1 1 11,滿足k -,所以k -符合題意;242t -1-k及t1 11的單調(diào)性知X11 1 2 k 在 e, e24InxInx24Xe2 ,即kX1 k.40 ,則X 0,所以X 在 e, e2為增函數(shù)，于是2X min,不合題意;若k則由e2X的單調(diào)性知存在唯X。2e,eX00,且當(dāng)e,X0時(shí),X

7、0, X為增函數(shù);X minX0X0nX0k X01由k X01得Inx02X0,e2 時(shí),為減函數(shù)；當(dāng)Xk _J址卷-X0 1 InX0 2X0 1 2 21 1 12；,這與0 k 4矛盾，不合題意貝U X e, e2,使f X gX 成立X min12，22Inx 111111 IX2kk-kInxInxInxInx24綜上可知，k的取值范圍是 -26. 【2018年陜西預(yù)賽】已知函數(shù)一：-.（1）證明:,直線Er斶都不是曲線滬機(jī)熔的切線；（2）若耳左巨國(guó)護(hù),使ra）宜召兇弓成立，求實(shí)數(shù)址的取值范圍.【答案】（I）見解析；（） ：,+叭.【解析】試題分析：（1）若直線y =謝仗 與曲線F

8、 = rfr）相切，因直線薩=玳勸過(guò)定點(diǎn)Co），若設(shè)切點(diǎn)（,g則可得Xo JrXC-Il= J，又科町=m+Hl他+ o）上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng) = i時(shí)，成立，這與t0 1矛盾,結(jié)論得證.（2）廣生事E + 可轉(zhuǎn)化為總_心_ 1）莖：,令Pa） =三 W環(huán)H巨餌ff3J,減迦 ：,分類討論求輕（月的最小值即可.試題解析： （1）扛H）的定義域?yàn)閃IN（I宀呵廣（E= 盍，直線下=回過(guò)定點(diǎn)1町，若直線 乎=航工）與曲線.卩=伐）相切于點(diǎn)C¾ （XO>0且Xe 1 ）,則A =5 =7，即 t+%-l = °，設(shè)W = InX-I-X-If XE,貝U忙的,所以町在（Of

9、l-Feai 上單調(diào)遞增，又 臥i） = 0,從而當(dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)，成立，這與cl矛盾.所以，沁ET?,直線-'=g（都不是曲線." = 的切線；（2） f何生日兇+ £即；r（"L）W,令PM） = Fr3-小 *魚叭，則丑笆g=,使（巧聖目囲+ :成立4 咖四< :,=騫一 2-3 時(shí)總-£ = -&一護(hù)町-A（i ）當(dāng)7時(shí)，秤何蘭D,卩閏在風(fēng)眄上為減函數(shù)，于是 期十犁閒需-臥G-L）,由 穽妞 -1） < ；得產(chǎn) -,滿足蚩遷,所以査符合題意；（ii ）當(dāng) H ；時(shí)，由-丁的單調(diào)性知一 丁一一一 i _.上為增函數(shù)，所以

10、嗽斶伴常氓丐即，即監(jiān) S 若 D ,即- < 0 ,貝y b(寒)生M ,所以妒囲在.e3為增函數(shù)，于是 ffflta = (= e-(e-l) <> !，不合題意； 若一O ,即0<k<7 ,則由f(e) = -<0, 7ea) = 7->及翳昶)的單調(diào)性知存在唯一 aO產(chǎn)，使刺閔)=0,且當(dāng)xeet3)時(shí)，礦IP(X)為減函數(shù)；當(dāng):E (JCaJe-)時(shí),何:>0, IP囲 為增函數(shù)；所以M = (¾) = -(-i),由孟一連仙一"“得飪芒云二儘一亡巴一mw”，這與t<矛盾，不合題意.綜上可知，比的取值范圍是：,+

11、Oa)L7. 【2018年陜西預(yù)賽】已知函數(shù) 扛刃=盍，0O)=缺策一 L.(1) 證明：VJtE/?,直線V=FaO都不是曲線y=foo的切線；(2) 若3rF e e1,使f(z) ff(X)-T成立，求實(shí)數(shù)比的取值范圍.【答案】(I)見解析；() B+【解析】試題分析：(1)若直線乎=謝(X與曲線y = f()相切，因直線薩=玳勸過(guò)定點(diǎn)乩0),若設(shè)切點(diǎn)則可 得nx0 + x - 1 = J，又E) = inx + - 1； (B),+®)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)坯=i時(shí)，成立，這與:C 1 矛盾,結(jié)論得證.(2)蘭尊E + 可轉(zhuǎn)化為W 一靶G 一 1)程：，令卩何=三-2 I),

12、H巨創(chuàng)flaJ, XT)BIdlI笛:,分類討論求即(熄的最小值即可.試題解析：(1) f倒的定義域?yàn)閜)u (1j+), FE = 熬，直線 =iff)H定點(diǎn)1吋，若直線F =謝與曲線y = f図相切于點(diǎn)(XOxl且JTi1 ),則k二= 琵,即 :n = S =：)，設(shè)畛:i；J. 營(yíng)IC壓鼻陶;，貝陽(yáng)助=： H ,所以側(cè)疋仲店嗎;上單 調(diào)遞增，又$.(1) = 0,從而當(dāng)且僅當(dāng)眾=3.時(shí)，成立，這與工:嚴(yán)1矛盾. 所以，7三二，直線常 熾飭勺都不是曲線芳的切線；(2) 一丁-,令悴二總=2=Jen尹 I則=；m,使f溺弐博加4 :成立冃沁論,囲:(i )當(dāng)X遷時(shí)，一：-； J正I上；上為

13、減函數(shù)，于是.- ,由-J(e=-1) 得護(hù)去 ?,滿足>,所以符合題意;函數(shù)，所以朦斶臥獻(xiàn)陶邏妙劇你,即- - ； - .若出紳您,即,貝U茁謎,所以翻拓幾禺前為增函數(shù)，于是若，即Og-C=,則由的單調(diào)性知存在唯-X環(huán)色吧，使丁 (=Q',且當(dāng)血個(gè)u)時(shí)，pQ)<(h卩(X為減函數(shù)；當(dāng)r E a1)時(shí),FgAtb x)為增函數(shù);,這與矛盾，不合題意.4 74-7綜上可知，的取值范圍是=<'.8. 【2018年廣東預(yù)賽】設(shè)函數(shù) 應(yīng) 一 求一 在區(qū)間.二(n為正整數(shù))上的最大值 ；令 _-_: (n、k為正整數(shù))求證：一-一-【答案】(1)(2)見解析【解析】因

14、為薩誠(chéng)=尹宀,所以當(dāng)Ixl時(shí)御林即江爐|工：|上是增函數(shù)故+-上的最大值為-i5由知%=,：因?yàn)?所以又容易證明所以fl¾-a-1 -3*<fcjt3l所以 _一_ - .即一-一- - 9. 2018年甘肅預(yù)賽】設(shè)函數(shù) <'.< - ：' - ; -: - c卜T，匚).(1)討論f選的單調(diào)性;(2)如果F紐有兩個(gè)極值點(diǎn)我們記過(guò)點(diǎn)祝遍強(qiáng)縞詢珍貳:必31的直線斜率為-.問:是否存在使得-=1 -？若存在，求出.的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見解析(2)不存在【解析】(1) f(x)的定義域?yàn)镺jG令(W=1； CF，其判別式二-J - &

15、lt;1當(dāng)-時(shí)，- I- /: ： I-,故f(x)在陽(yáng) LG上單調(diào)遞增。2.當(dāng)出洽:樂號(hào)時(shí)，£：辭If J*C1J:的兩根為當(dāng)證啜買唸專時(shí)，代鳶加M ；當(dāng)牝時(shí)，嚴(yán)歸:嬉頂；當(dāng)*漁腎,時(shí)，$%諭:> 啦，故f(x)分別在tii)±單調(diào)遞增，在 ,>±單調(diào)遞減。(2)由1知,涸茂瓷,因?yàn)?- 一 - - °所以l*TiM*-3¾又由1知，= 于是 = 2-lft,Zo%-*若存在a使得k=2-a ,則IarIn ZZ 1,即 IlMrlI Inrm = XI 一心， 亦即JP1. ¾s-1XJ 4-LlIZ ZIInL= =

16、 0（牙SJ A再由1知，函數(shù) 趴門=F- I衛(wèi)於U.7M上單調(diào)遞增， 而，所以XS-I-IlLz 21DSI= > l2 誘 + ln2 21n2 = O。這與式矛盾。故不存在a，使得k=2-a.10. 【2018年天津預(yù)賽】設(shè)-,'，正實(shí)數(shù)數(shù)列唸滿足餡-7，且當(dāng)_ 2 L.求證：當(dāng)一一時(shí)，一一 -;獺A陰點(diǎn)憑輪螢【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】我們證明，當(dāng)x> 0時(shí)，f(巧 >工斗X3.令貳© =代©-3C-a,則有ffxi = eff + dnx 1 2j Str( = ec + CQSX 2, SrWC =ex sinx >

17、1 mn% > 0 由嚴(yán)仞>o知0T單調(diào)遞增，從而 礦閔>尹(O) = o.由j)> D可知叭月單調(diào)遞增，鞏衿A護(hù)=0.最后，由ff,(j) > 0可知爭(zhēng)O)單調(diào)遞增，爭(zhēng)(©>駅IiO = IO這樣我們就證明了 f(X)AX +尹.利用這一點(diǎn)，立即得到=) AH社*砧.我們先對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法證明為.當(dāng)n=1時(shí)，心=i,結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=m-1時(shí)有(其中鴉穢)-5f(H- l)ri=m1-.) I<tfB-ft 如果 >v,>!o> > V冷'暑注意可知S以；為，與歸納假設(shè)矛盾.因此*這樣，當(dāng)k>l時(shí)有&

18、#247;<75=2中E)令k從1到n求和，就得到SjLIflif< 2五11. 【2018年河北預(yù)賽】判斷曲線Fa) =尹7與曲線= lr的公切線的條數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】曲線 HI) = 嚴(yán)與曲線口力=也有兩條公切線.【解析】曲線H町=e,r -與曲線卩(打=斑有兩條公切線.理由如下：設(shè)兩曲線的公切線為I,與曲線)=嚴(yán) 切于點(diǎn),與曲線破耳=血 切于點(diǎn)(I),則直線I的方程既可寫為y-efl-i = SB-JL(J-a),即卩=童4險(xiǎn)+ m-jl je ,又可寫為Jr - IBb = * 口 -,即 F =容 Iat 1.J34J J5-Ge-X i因?yàn)橹本€I為公切線，所以有-

19、戰(zhàn) * = 1_消元整理得+£ =。，所以方程根的個(gè)數(shù)即為兩曲線的公切線條數(shù).設(shè) In(X) = erT - ren - x? (X) = I- XeJP-J J 硯"(h) = ( -1 -町jp"d .當(dāng) X C f時(shí)，m* > Qf n*( =I- XeX1 為增函數(shù)；當(dāng)X C fl,+時(shí)，m* < OJ hi* = I-Jrffrj 為減函數(shù)另外當(dāng) XQ時(shí)，ijffr) >1, Hf(I)=-O ,所以EYB) = O 的根為H = 1.所以當(dāng)X &1)時(shí)，討閏>0,皿'0：?jiǎn)握{(diào)遞增；當(dāng)Z & (.ra)時(shí)，

20、啟閏*0, 1?I(X)單調(diào)遞減而訊1) = 1 >0mp)2- e <Qj阪(一)=一 1 C0皿)=：>0 ,又函數(shù)暉(JCj在R上連續(xù)，所以函數(shù)m(%) = eje -eX-JL -I-有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于區(qū)間(-1.0l和區(qū)間匐內(nèi)所以方程sd'- - asa +門=業(yè)有兩個(gè)不同的根，即兩曲線有兩條公切線12. 【2018年四川預(yù)賽】設(shè)函數(shù) f (Jf) = PJr- 21HJC.(1) 若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；(2) 設(shè)一一，且尹=j,若在丨仁.I上至少存在一點(diǎn)：，使得>成立，求實(shí)數(shù)L的取值范圍;(3)求證：對(duì)任意的正整數(shù)，都有

21、 '-成立1【答案】(1)心1 (2) (+OT) (3)見解析【解析】(1) 函數(shù)f的定義域?yàn)閮xIX > Q .由代刃=戸_2吻!廠g =形+占.扌，要使在其定義域(DJt-HM)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，只須 廠CC)乏D ,即在(JDJ+)內(nèi)恒成立.于是金左打:，注意至U疵藝=1，等號(hào)在兀=1時(shí)成立，即在茸=1時(shí)有最大值1 .從而PE 1 .(2) 解法一：注意到 = !e±是減函數(shù)， 所以卩仕=站 = 2(nu5t = P(IJ = 2總，即 奇(Q E 2j2e.當(dāng) O<p<l 時(shí)，由 T e ltel ,得 D ,故 :) =21UC < je 2

22、lmf < 2 ,不合題意.當(dāng)pL時(shí)，由(1)知/(力在1®上是增函數(shù)，f(i) = OC2.又羅園在IXEl上是減函數(shù)，所以原命題等價(jià)于九業(yè)AR(Rm=為需亡1e,由70)IUJX =孑何= (-；)-21ne>2 ,解得 >.綜上，：P的取值范圍是 fe+o).解法二：原命題等價(jià)于fG -j) > Q 1e±有解，設(shè)FCo = r3 訓(xùn)Q = IKr- - Itax -.因?yàn)閲?yán)閻二審+ 土一 2+乎工空竺SA 0,故現(xiàn)©是增函數(shù)，所以 珂刃血M = FW > 0 ,解得P = 7T".所以口的取值范圍是 G5(3) 令g

23、燉=Z血W 今：，則由(1)知甘(E在tm+m)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù).由于貳Ij = O ,故當(dāng)X > 1時(shí)，有g(shù)®<0,即電嗎2血囂一三.因此，一二-7即 -,故 -： X J a* ft÷aT于是 Lta' B+計(jì)=2L -親)= 2(1 + =-4t-÷)<313. 【2018年福建預(yù)賽】已知,) = SJt- mx.(1) 當(dāng) > 0時(shí)，不等式(X - )( +mx2 + 2 > Q恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2) 若尤、H二是函數(shù)扛勸的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：屯一xA 2.【答案】(1)十OQ) (2)見解析【解析】(1) 設(shè)

24、= (JC- 2)/Gd + Wr= + 2鳴=(工一2衣 + 卻血 4- 2 .當(dāng)XX時(shí)，不等式(X-I)÷uxa - 2 >恒成立U當(dāng)x>C時(shí)，g窗AD恒成立. 因?yàn)?(T)= Fw + ( - 2)?* + 2 = ( - l)e - 2fTi)礦(©=尹 T(X - i)sj = Xe-Jf, 所以當(dāng)r >0時(shí)，曠同>叫護(hù)(珅= U-IjeJf+軸在區(qū)間0,1÷.)±為增函數(shù).另由甘= JhTI + 2 > 0,知.lM > -. 若-7<s<i,則曠卩=7+ 2心 fff&)= e-4 2

25、m>0 .此時(shí),護(hù)a在區(qū)間(孔2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x屹HD時(shí)，或=<0.所以？何在區(qū)間0,xt.±為減函數(shù),踰j<總W) = O .因此-三< 劭U不符合要求. 若in,則匕>0時(shí)，護(hù)(力>襯(D) = v!色O .此時(shí)貞刃在0+呃上為增函數(shù)所以-T >0時(shí)，目國(guó)A貳0=昭因此m7符合要求.由、，得用的取值范圍為ij+oJ.(2) 因?yàn)楣ざ呛瘮?shù)代月= ej-耐 的兩個(gè)零點(diǎn)，所以ex =TOxrLJ e =WLXZ ,m(x + X) = ffj + 1*j 3( -Xa) = ®* 不妨設(shè)羽A乞，易知艙H 0 ,聯(lián)立上述兩式，消

26、 M得V _ II = t¾Jts呵呵=X¾f JtHg3j3Eb 十 需 U 1tEl¾l又由（1）知，對(duì)現(xiàn)二=,當(dāng)一時(shí)，隊(duì)右曲仙*屮；,'!-a >ii恒成立.所以當(dāng)時(shí)，鼬綁護(hù)F富:矍第曲恒成立.所以當(dāng)；心;小時(shí),匕：八JW三"W" -. O.ffu-1er-Le1-l故 i-A.- - ；：-;- - / 二：】.丄: -當(dāng)箱唸牝時(shí)，同理可得，冷評(píng)¾>*月所以隔鵡卷Ii逆:氓14.【2016年吉林預(yù)賽】設(shè) JFi-去丄曠-KW 卅1 1,若對(duì)任意的T=；吐，有，求實(shí)數(shù)A值范圍.【答案】（1）見解析；（2）處:

27、卜 -【解析】（1） 當(dāng) A>0 時(shí)，有.I 1 : T L 1.1，符合題設(shè).（2） 當(dāng)=汀；W I：時(shí)，有. - '-I-_ '.故FD在區(qū)間昭叫訓(xùn)內(nèi)單調(diào)遞減.從而，惡沁訂Sn 一盤，符合題設(shè).(3)當(dāng)<竜 ¢:,有一'.故字儀1在區(qū)間*內(nèi)單調(diào)遞增從而，代站喀賞逆爲(wèi)：心不符合題設(shè) 綜上，實(shí)數(shù)A的取值范圍是 祕(mì)肚玉-：.15 .【2016年四川預(yù)賽】已知 a為實(shí)數(shù)，函數(shù)一 一 .請(qǐng)討論函數(shù) 代道 單調(diào)性.【答案】見解析【解析】由條件，知函數(shù)F的定義域?yàn)?十瞅J.若.-r ,則F佃）-*佔(zhàn):g.故八一一二 令尸餘;H垃，得二7 ：i （負(fù)值舍去）是

28、，代在區(qū)間(0, b)上單調(diào)遞減，在區(qū)間；、亠：:Q上單調(diào)遞增若a>0,則先討論 卩(JO = X3 - cur IIut S) 的單調(diào)性.注意至U：二 一 一 二二：-.令X施得當(dāng)b>a,即a<1時(shí)，g (X)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞減，在區(qū)間律-卜賦J上單調(diào)遞增; 當(dāng)扳與出,即應(yīng)輕j時(shí)，$ f 在區(qū)間S十Crj上單調(diào)遞增.再討論'_ _-的單調(diào)性.注意到,譏一y = EZr .當(dāng)鑫i齊占遲也,即時(shí)，協(xié)孚妙珥：，逋呻在區(qū)間軌神上單調(diào)遞減.當(dāng)二：，即雹沒時(shí)，令 X 伐)一 J,得- r '- - L-：.4則在工在區(qū)間(0, C), (d, a)上分別單調(diào)遞

29、減，在區(qū)間(C, d)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a<1時(shí),帥在區(qū)間(0, b)上單調(diào)遞減，在區(qū)間【丄亠Q上單調(diào)遞增；當(dāng)一 - I時(shí)，範(fàn)渤在區(qū)間(0, a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間:.-.7ji上單調(diào)遞增；當(dāng)G > 2'2時(shí)，代在區(qū)間(0, C), (d, a)上分別單調(diào)遞減，在區(qū)間(c, d), +ot上單調(diào)遞增16. 2016年湖南預(yù)賽】已知函數(shù) W =X3 - Xtm e R).(1) 當(dāng)= -M,求函數(shù)fCO的所有零點(diǎn)；(2) 若fx)有兩個(gè)極值點(diǎn)r,(x1<x,), 證明：兀1葢? > W .【答案】(1)工=1 (2)見解析【解析】(1)當(dāng)血=一：2時(shí)，f() =

30、 %nx +z3 - T= X(IIiX +h - l)( A U).設(shè)IJ(T) = o-x-l( >0).于是，.故少如巾在區(qū)間曲乳料締上為增函數(shù)又M)=IL則當(dāng) =1時(shí)，函數(shù)代弟有唯一零點(diǎn)= 1.(2)由題設(shè)，知導(dǎo)函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)¾. ¾s.IlIi 加總m 二二IWfil + d= 】IUral ÷ ln =則0 = Int-二Ad¢4-1Z滬 ttf+I故函數(shù)萌住j在區(qū)間(61上為函數(shù),因此，當(dāng)DftCl時(shí)，恒有l(wèi)n£ <=7.則a. +晦=竺匹> Z斗 XIlXs > F .17. 【2016年甘肅預(yù)賽】已知

31、函數(shù) 扛刃=詈.(1) 設(shè)實(shí)數(shù)k使得(x < kx恒成立，求k的取值范圍.k的取值范圍(2) 設(shè)£(；X) =- JCx(Jt E R).若函數(shù)站(在區(qū)間E少內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求【答案】(1 ) O T ( 2)【解析】(1)設(shè)m三二三弓匕：:：:.則. 1 .令 fx 二 ："=；!=二=Lf .當(dāng)X在區(qū)間(O, + )上變化時(shí)，曲朋L盤何的變化情形如表2.X(it÷OT)+0ft L-?O)增1亦減由表2，知當(dāng)耳三肩時(shí)，鬼()取得取大值三.又由已知對(duì)任意的工Ao ,恒有故k的取值范圍是(1+o).(2)令 ff =.由表2，知一在區(qū)間I二.Y*內(nèi)為增函數(shù)，在

32、區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)注意到，址¢)工工三用奸三尋當(dāng)君蘭扭<三時(shí)，函數(shù)90)在區(qū)間護(hù)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)從而，k的取值范圍是f-< .18. 【2016年陜西預(yù)賽】設(shè)函數(shù)f(H)=E + a(：D(0匡Q 且f(x)的最小值為0.(1) 求a的值；(2) 若數(shù)列%滿足a=, an+=f(an)+2(n Z+),記Sn=a+a2+an,m表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù),求Sn.【答案】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)取得最小值0. (2) Sn=2n-1【解析】(1)何=2- = = r(X>0).當(dāng)aO寸，廠>0 ,則f(x)在區(qū)間(0, +)內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不符合題意.當(dāng) a&

33、gt;0 時(shí)，若 0<x<a ,則 f,(x)<0 ;若 x>af>0.所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, a)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(a, +)內(nèi)單調(diào)遞增.故 f(x)min=f(a)=ln a-a+1.設(shè) g(a)=ln a-a+1(a>0).貝9_ .若 0<a<1，則痹 >0;若 a>1 ,則F(IE <0.所以，函數(shù)g(a)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1, +)內(nèi)單調(diào)遞減故 g(a) (1) =0.當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，上式等號(hào)成立.從而，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)取得最小值0.(2)由(1)知f(:T) = IIDc +1.則 an+1=f(an)+2=lnan+±+1.由 a1=1 ,得 a2=2.從而，a3=In 2+三因?yàn)槎?lt;1 n2<1 ,所以,2<a3<3.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3寸，2<an<3.當(dāng)n=3時(shí)，結(jié)論已成立.假設(shè) n=k(k3時(shí),2<ak<3.當(dāng) n =k+1 時(shí)，有 = IlIafe + 士十 1.由(1)知ah(x)=f(x)+2= Inx+ +1在區(qū)間(2, 3)內(nèi)單調(diào)遞增.所以，h (