布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型實(shí)用教案

1、 效率市場(chǎng)假說(shuō)可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。 弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)可用馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov Stochastic Process）來(lái)表述。 隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程?？煞譃殡x散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊(tsh)類型的隨機(jī)過程。 如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過程，則其未來(lái)價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。第1頁(yè)/共31頁(yè)第一頁(yè)，共32頁(yè)。二、布朗運(yùn)動(dòng)(b ln yn dn) (b ln yn dn) （一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 設(shè) 代表(dibio)一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， 代表(dibio)變量z在時(shí)間 內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 具有兩種特征：

2、 特征1： 和 的關(guān)系滿足（6.1）： （6.1） 其中， 代表(dibio)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。tztztztz第2頁(yè)/共31頁(yè)第二頁(yè)，共32頁(yè)。標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)布朗運(yùn)動(dòng)(2) 特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔， 和 的值相互獨(dú)立。 考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形，我們可得： （6.2） 當(dāng)0時(shí)，我們就可以得到極限(jxin)的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： （6.3）tztzTzNii1)0()(dtdz第3頁(yè)/共31頁(yè)第三頁(yè)，共32頁(yè)。（二）普通(ptng)(ptng)布朗運(yùn)動(dòng) 我們(w men)先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)

3、動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。 我們(w men)令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運(yùn)動(dòng)： （6.4） 其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 bdzadtdx第4頁(yè)/共31頁(yè)第四頁(yè)，共32頁(yè)。三、伊藤過程 普通(ptng)布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤過程（Ito Process）： ( 6 . 5 ） 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),(第5頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè)，共32頁(yè)

4、。四、證券價(jià)格的變化(binhu)(binhu)過程 證券價(jià)格的變化(binhu)過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來(lái)表示： 兩邊同除以S得： （6.6） 22SSdzSdtdSdzdtSdS第6頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè)，共32頁(yè)。 從（6.6）可知(k zh)，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為： 可見， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7)ttSS),(ttSSSS第7頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè)，共32頁(yè)。例6.1 設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為每年18%，預(yù)期(yq)收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年20%，其目前的市價(jià)為100元，求一周后該股票價(jià)格變化值的概率分布。 第8頁(yè)/共31頁(yè)第八頁(yè)，

5、共32頁(yè)。五、伊藤引理 若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： （6.8） 由于(yuy) （6.9） 根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過程： (6.10)bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222第9頁(yè)/共31頁(yè)第九頁(yè)，共32頁(yè)。六、證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化(binhu)(binhu)過程 令 ，由于 代入式（6.10）: （6.11） 證券價(jià)格對(duì)數(shù)(du sh)G遵循普通布朗運(yùn)動(dòng),且： SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2),)(lnln22tTtTSST第10頁(yè)/共31

6、頁(yè)第十頁(yè)，共32頁(yè)。 例6.2 設(shè)A股票價(jià)格的當(dāng)前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,波動(dòng)率為每年20%,該股票價(jià)格遵循(zn xn)幾何布朗運(yùn)動(dòng),且該股票在6個(gè)月內(nèi)不付紅利，請(qǐng)問該股票6個(gè)月后的價(jià)格ST的概率分布。 例6.3 請(qǐng)問在例6.2中，A股票在6個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差等多少？ 第11頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè)，共32頁(yè)。第二節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)(q qun)(q qun)定價(jià)模型 一、布萊克舒爾斯微分方程 （一）布萊克舒爾斯微分方程的推導(dǎo) 我們假設(shè)證券(zhngqun)(zhngqun)價(jià)格S S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)： 則： （6.126.12） SdzSdtdSzStSS第12頁(yè)/共

7、31頁(yè)第十二頁(yè)，共32頁(yè)。 假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則： （6.13） （6.14） 為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括(boku)一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價(jià)值，則： (6.15) SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSff第13頁(yè)/共31頁(yè)第十三頁(yè)，共32頁(yè)。 在 時(shí)間后： （6.16） 將式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得： （6.17） 在沒有套利(to l)機(jī)會(huì)的條件下： 把式（6.15）和（6.17）代入上式得： tSSfftSSftf)21(2222

8、trtSSffrtSSftf)()21(2222第14頁(yè)/共31頁(yè)第十四頁(yè)，共32頁(yè)。布萊克舒爾斯微分(wi fn)(wi fn)分程 化簡(jiǎn)為： (6.18) 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的(bio de)證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。 rfSfSSfrStf222221第15頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè)，共32頁(yè)。（二）風(fēng)險(xiǎn)(fngxin)(fngxin)中性定價(jià)原理 假設(shè)所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定(jidng)僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定(jidng)，但通過這種假定(jid

9、ng)所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。第16頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè)，共32頁(yè)。例子(l zi)假設(shè)一種不支付紅利股票目前(mqin)的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元 第17頁(yè)/共31頁(yè)第十七頁(yè)，共32頁(yè)。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)(dng ji)公式 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為： 其現(xiàn)值為 （6.19） 對(duì)數(shù)股票價(jià)格的分布(fnb)為： （6.20） 對(duì)式（6.19）求解： （6.

10、21）)0 ,max(XSET)0 ,max()(XSEecTtTr),)(2(lnln2tTtTrSST)()(2)(1dNXedSNctTr第18頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè)，共32頁(yè)。 其中， 我們可以從三個(gè)角度來(lái)理解這個(gè)公式的金融含義： 首先，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)(fngxin)中性世界中ST大于X的概率，或者說(shuō)式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)(fngxin)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)(fngxin)中性期望值的現(xiàn)值。 tTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln(

11、第19頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè)，共32頁(yè)。 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金(xinjn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金(xinjn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。)(1dN第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè)，共32頁(yè)。 在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，由于C=c，

12、因此式（6.23）也給出了無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式(gngsh) ： （6.22） 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。 )()(12)(dSNdNXeptTr第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè)，共32頁(yè)。三、有收益資產(chǎn)(zchn)(zchn)的期權(quán)定價(jià)公式 （一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 當(dāng)標(biāo)的(bio de)證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（SI）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益證券歐式看

13、漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 當(dāng)標(biāo)的(bio de)證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將 代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 )(tTqSe第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè)，共32頁(yè)。 對(duì)于歐式期貨(qhu)期權(quán)，其定價(jià)公式為： （6.23） （6.24） 其中：)()(21)(dXNdFNectTr)()(12)(dFNdXNeptTrtTdtTtTXFdtTtTXFd12221)(2)/ln()(2)/ln(第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè)，共32頁(yè)。例6.4 假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連

14、續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)(bdng)率為10%，求6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格。 3.05美分 。第24頁(yè)/共31頁(yè)第二十四頁(yè)，共32頁(yè)。（二）有收益(shuy)(shuy)資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià) 1美式看漲期權(quán) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理(chl)的方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理(chl)；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格

15、。第25頁(yè)/共31頁(yè)第二十五頁(yè)，共32頁(yè)。例6.5 假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利(fl)年利率為10%，求該期權(quán)的價(jià)值。 近似為7.2824元 第26頁(yè)/共31頁(yè)第二十六頁(yè)，共32頁(yè)。2美式看跌(kn di)期權(quán) 由于(yuy)收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來(lái)求出。第27頁(yè)/共31頁(yè)第二十七頁(yè)，共32頁(yè)

16、。第三節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)(q qun)(q qun)定價(jià)公式的實(shí)證研究和應(yīng)用 一、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式實(shí)證研究(ynji) (ynji) 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)；高估實(shí)值期權(quán)的價(jià)格，低估虛值期權(quán)的價(jià)格。 第28頁(yè)/共31頁(yè)第二十八頁(yè)，共32頁(yè)。 造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的原因主要有以下幾個(gè)： 1. 計(jì)算錯(cuò)誤； 2. 期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡； 3. 使用的錯(cuò)誤的參數(shù)； 4、 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式建立(jinl)在眾多假定的基礎(chǔ)上。 第29頁(yè)/共31頁(yè)第二十九頁(yè)，共32頁(yè)。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)(dng ji)(dng ji)公式的應(yīng)用 （一）評(píng)估組合保險(xiǎn)成本 （二）給可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)：可轉(zhuǎn)換債券是一種可由債券持有者轉(zhuǎn)換成股票的債券，因此(ync)可轉(zhuǎn)換債券相當(dāng)于一份普通的公司債券和一份看漲期權(quán)的組合。 （三）為認(rèn)股權(quán)證估值：認(rèn)股權(quán)證相當(dāng)于一份看漲期權(quán) 第30頁(yè)/共31頁(yè)第三十頁(yè)，共32頁(yè)。CopyrightZhenlong Zheng 2003, Departmen