布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型實用教案

1、 效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）來表述。 隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。可分為離散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊(tsh)類型的隨機過程。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。第1頁/共31頁第一頁，共32頁。二、布朗運動(b ln yn dn) (b ln yn dn) （一）標準布朗運動 設 代表(dibio)一個小的時間間隔長度， 代表(dibio)變量z在時間 內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征：

2、 特征1： 和 的關系滿足（6.1）： （6.1） 其中， 代表(dibio)從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。tztztztz第2頁/共31頁第二頁，共32頁。標準(biozhn)布朗運動(2) 特征2：對于任何兩個不同時間間隔， 和 的值相互獨立。 考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得： （6.2） 當0時，我們就可以得到極限(jxin)的標準布朗運動： （6.3）tztzTzNii1)0()(dtdz第3頁/共31頁第三頁，共32頁。（二）普通(ptng)(ptng)布朗運動 我們(w men)先引入兩個概念：漂移率和方差率。 標準布朗運

3、動的漂移率為0，方差率為1.0。 我們(w men)令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動： （6.4） 其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。 bdzadtdx第4頁/共31頁第四頁，共32頁。三、伊藤過程 普通(ptng)布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤過程（Ito Process）： ( 6 . 5 ） 其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),(第5頁/共31頁第五頁，共32頁

4、。四、證券價格的變化(binhu)(binhu)過程 證券價格的變化(binhu)過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來表示： 兩邊同除以S得： （6.6） 22SSdzSdtdSdzdtSdS第6頁/共31頁第六頁，共32頁。 從（6.6）可知(k zh)，在短時間后，證券價格比率的變化值為： 可見， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7)ttSS),(ttSSSS第7頁/共31頁第七頁，共32頁。例6.1 設一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，預期(yq)收益率以連續(xù)復利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周后該股票價格變化值的概率分布。 第8頁/共31頁第八頁，

5、共32頁。五、伊藤引理 若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： （6.8） 由于(yuy) （6.9） 根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應遵循如下過程： (6.10)bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222第9頁/共31頁第九頁，共32頁。六、證券價格自然對數(shù)變化(binhu)(binhu)過程 令 ，由于 代入式（6.10）: （6.11） 證券價格對數(shù)(du sh)G遵循普通布朗運動,且： SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2),)(lnln22tTtTSST第10頁/共31

6、頁第十頁，共32頁。 例6.2 設A股票價格的當前值為50元,預期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循(zn xn)幾何布朗運動,且該股票在6個月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。 例6.3 請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少？ 第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。第二節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)(q qun)(q qun)定價模型 一、布萊克舒爾斯微分方程 （一）布萊克舒爾斯微分方程的推導 我們假設證券(zhngqun)(zhngqun)價格S S遵循幾何布朗運動： 則： （6.126.12） SdzSdtdSzStSS第12頁/共

7、31頁第十二頁，共32頁。 假設f是依賴于S的衍生證券的價格，則： （6.13） （6.14） 為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個包括(boku)一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則： (6.15) SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSff第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。 在 時間后： （6.16） 將式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得： （6.17） 在沒有套利(to l)機會的條件下： 把式（6.15）和（6.17）代入上式得： tSSfftSSftf)21(2222

8、trtSSffrtSSftf)()21(2222第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。布萊克舒爾斯微分(wi fn)(wi fn)分程 化簡為： (6.18) 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的(bio de)證券價格S的所有衍生證券的定價。 rfSfSSfrStf222221第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。（二）風險(fngxin)(fngxin)中性定價原理 假設所有投資者都是風險中性的，那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 盡管風險中性假定(jidng)僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定(jidng)，但通過這種假定(jid

9、ng)所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。例子(l zi)假設一種不支付紅利股票目前(mqin)的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。該看漲期權(quán)的價值應為0.31元 第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(dng ji)公式 在風險中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為： 其現(xiàn)值為 （6.19） 對數(shù)股票價格的分布(fnb)為： （6.20） 對式（6.19）求解： （6.

10、21）)0 ,max(XSET)0 ,max()(XSEecTtTr),)(2(lnln2tTtTrSST)()(2)(1dNXedSNctTr第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。 其中， 我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義： 首先，N(d2)是在風險(fngxin)中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風險(fngxin)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險(fngxin)中性期望值的現(xiàn)值。 tTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln(

11、第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。 其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金(xinjn)或無價值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金(xinjn)或無價值看漲期權(quán)空頭的價值。)(1dN第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。 在標的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，

12、因此式（6.23）也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式(gngsh) ： （6.22） 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴密的平價關系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。 )()(12)(dSNdNXeptTr第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。三、有收益資產(chǎn)(zchn)(zchn)的期權(quán)定價公式 （一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式 當標的(bio de)證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益證券歐式看

13、漲和看跌期權(quán)的價格。 當標的(bio de)證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將 代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 )(tTqSe第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。 對于歐式期貨(qhu)期權(quán)，其定價公式為： （6.23） （6.24） 其中：)()(21)(dXNdFNectTr)()(12)(dFNdXNeptTrtTdtTtTXFdtTtTXFd12221)(2)/ln()(2)/ln(第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。例6.4 假設當前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風險連

14、續(xù)復利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動(bdng)率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價格。 3.05美分 。第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。（二）有收益(shuy)(shuy)資產(chǎn)美式期權(quán)的定價 1美式看漲期權(quán) 當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理(chl)的方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理(chl)；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格

15、。第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。例6.5 假設一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標的股票在5個月和11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標的股票當前的市價為50元，期權(quán)協(xié)議價格為50元，標的股票波動率為每年30%，無風險連續(xù)復利(fl)年利率為10%，求該期權(quán)的價值。 近似為7.2824元 第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。2美式看跌(kn di)期權(quán) 由于(yuy)收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復雜的數(shù)值方法來求出。第27頁/共31頁第二十七頁，共32頁

16、。第三節(jié) 布萊克舒爾斯期權(quán)(q qun)(q qun)定價公式的實證研究和應用 一、布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式實證研究(ynji) (ynji) 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)；高估實值期權(quán)的價格，低估虛值期權(quán)的價格。 第28頁/共31頁第二十八頁，共32頁。 造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式估計的期權(quán)價格與市場價格存在差異的原因主要有以下幾個： 1. 計算錯誤； 2. 期權(quán)市場價格偏離均衡； 3. 使用的錯誤的參數(shù)； 4、 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式建立(jinl)在眾多假定的基礎上。 第29頁/共31頁第二十九頁，共32頁。二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(dng ji)(dng ji)公式的應用 （一）評估組合保險成本 （二）給可轉(zhuǎn)換債券定價：可轉(zhuǎn)換債券是一種可由債券持有者轉(zhuǎn)換成股票的債券，因此(ync)可轉(zhuǎn)換債券相當于一份普通的公司債券和一份看漲期權(quán)的組合。 （三）為認股權(quán)證估值：認股權(quán)證相當于一份看漲期權(quán) 第30頁/共31頁第三十頁，共32頁。CopyrightZhenlong Zheng 2003, Departmen