小升初-數(shù)學(xué)-幾何-五大幾何模型

1、小升初數(shù)學(xué) - 幾何五大幾何模型知識(shí)框架一、等積模型ABCD等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖SACD SBCD；反之，如果，則可知直線AB平行于 CD S ACDS BCD等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、共角定理（鳥頭定理）兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的

2、面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比1小升初數(shù)學(xué) - 幾何S ABC : S ADE(ABAC) : (ADAE)(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系( “蝴蝶定理 ”)：S1:S2 S4:S3或者 S1 S3 S2 S4 AO:OCS1S2 : S4S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系DAS 1S 2S 4OS 3BC梯形中比例關(guān)系 ( “梯形蝴蝶定理 ”)：22 S1 : S3 a: b S1 : S3 : S

3、2 : S4 a 2 : b 2 : ab : ab ； S 的對(duì)應(yīng)份數(shù)為 ab2 AaDS 1S 2S 4OS 3BbC四、相似模型(一)金字塔模型(二) 沙漏模型AEFDADFEBGCBGC2小升初數(shù)學(xué) - 幾何 ADAEDEAF ；ABACBCAG S ADE ：S ABCAF2 :AG2 所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 (只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似 )，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位

4、線定理：三角形的中位線長等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、共邊定理（燕尾定理）有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。SPABPM共邊定理：設(shè)直線 AB 與 PQ 交于點(diǎn) M ，則QMSQAB3小升初數(shù)學(xué) - 幾何特殊情況：當(dāng) PQAB 時(shí)，易知 PAB 與 QAB 的高相等，從而S PAB=SQAB例題精講一、三角形相似模型【例 1】圖 30-10 是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積是多少平方厘米 ?4小升初數(shù)學(xué) - 幾何101010【鞏固】 如圖，四

5、邊形 ABCD 和 EFGH 都是平行四邊形，四邊形 ABCD 的面積是 16 ，BG : GC3:1 ，則四邊形 EFGH 的面積 _AEDFHBGC【例 2】已知三角形 ABC 的面積為 a ，AF : FC2:1，E是BD的中點(diǎn)，且EF BC，交CD于G，求陰影部分的面積ADEFGBC【鞏固】 圖中 ABCD 是邊長為 12cm 的正方形，從 G 到正方形頂點(diǎn) C 、 D 連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在 AB 上截得的 EF 長度為 4cm ，那么三角形 GDC 的面積是多少？5小升初數(shù)學(xué) - 幾何GAEFBDC【例 3】如圖， O 是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積

6、為3 和 4 ，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？DA4OE3CFB【鞏固】 ABCD 是平行四邊形，面積為72 平方厘米， E 、 F 分別為 AB 、 BC 的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為平方厘米ADOEMBFC二、蝴蝶模型【例 4】如圖所示，長方形 ABCD 內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB=8,AD=15 四邊形 EFGO6小升初數(shù)學(xué) - 幾何的面積為 _A15D8OEGBCF【鞏固】 如圖 5 所示，矩形 ABCD 的面積是 24 平方厘米，、三角形ADM 與三角形 BCN 的面積之和是 7.8 平方厘米，則四邊形 PMON 的面積是平方厘米。DPCNMOAB【例 5】如圖

7、， ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，線段 AB 與 CD 相交于 K 點(diǎn)已知正方形 DEFG 的面積 48， AK : KB 1:3 ，則 BKD 的面積是多少？DAGKBEFC【鞏固】 如圖所示， ABCD 是梯形， ADE 面積是 1.8 ， ABF 的面積是 9， BCF 的面積是 27那么陰影 AEC 面積是多少？7小升初數(shù)學(xué) - 幾何ADEFBC【例 6】如圖，在一個(gè)邊長為 6 的正方形中，放入一個(gè)邊長為 2 的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為【鞏固】 下圖中，四邊形 ABC

8、D 都是邊長為1 的正方形， E 、 F 、G 、H 分別是 AB ， BC ，CD ，DA 的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)m ，那么，n(mn) 的值等于AHDAHDEGEGBFCBFC三、共角定理（燕尾定理）【例 7】如圖所示，在四邊形ABCD 中， AB3BE ， AD3 AF ，四邊形 AEOF 的面積是 12 ，那么平行四邊形 BODC 的面積為 _8小升初數(shù)學(xué) - 幾何AFEODBC【鞏固】 正六邊形 A1， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 的面積是 2009 平方厘米， B1， B2 ， B3 ， B4， B5 ， B6分別是正六邊形

9、各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米A 1B 1A 2B 6B 2A 6A 3B 5B 3A 4A 5B 4【例 8】已知四邊形 ABCD ， CHFG 為正方形， S甲 : S乙1:8 ， a 與 b 是兩個(gè)正方形的邊長，求a : b?ABa甲DCGO乙EHbF【鞏固】 如圖，三角形 ABC 的面積是 1， BDDEEC ， CFFGGA ，三角形 ABC 被分成 9 部分，請(qǐng)寫出這 9 部分的面積各是多少 ?9小升初數(shù)學(xué) - 幾何AGFBDEC【例 9】如右圖，面積為 1 的 ABC 中， BD:DE:EC1:2:1， CF:FG:GA1:2:1 ，AH : HI : IB1:

10、2:1 ，求陰影部分面積AHGIFBDEC【鞏固】 如圖，ABC 的面積為 1，點(diǎn) D 、 E 是 BC 邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F 、 G 是 AC 邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形JKIH 的面積是多少？CFDJGEKHIAB【例 10】 如圖，面積為l 的三角形 ABC 中， D、E、 F、 G、H、I 分別是 AB、BC、CA 的三等分點(diǎn) ,求陰影部分面積 .10小升初數(shù)學(xué) - 幾何ADIEHBFGC【鞏固】 如圖，面積為 l 的三角形 ABC 中， D、E、F、G、H、I 分別是 AB、BC、CA 的三等分點(diǎn) ,求中心六邊形面積 .ADIEHBFGC課堂檢測(cè)【隨練 1】 如圖，在正方形 ABCD 中

11、， E 、 F 分別在 BC 與 CD 上，且 CE2BE ， CF2DF ，連接 BF 、 DE ，相交于點(diǎn) G ，過 G 作 MN 、 PQ 得到兩個(gè)正方形MGQA 和 PCNG ，設(shè)正方形 MGQA 的面積為 S1 ，正方形 PCNG 的面積為 S2 ，則 S1 : S2_AQDFMGNBEPC【隨練 2】如圖所示，三角形 AEF，三角形 BDF,三角形 BCD ，都是正三角形，其中 AE:BD=1:3, 三角形 AEF 的面積是 1.求陰影部分的面積。11小升初數(shù)學(xué) - 幾何AEFIJGHBDC家庭作業(yè)【作業(yè) 1】如圖，正六邊形面積為6 ，那么陰影部分面積為多少？【作業(yè) 2】如圖，已知 D 是 BC 中點(diǎn)， E 是 CD 的中點(diǎn)， F 是 AC 的中點(diǎn)三角形 ABC 由這 6 部分組成，其中比多6 平方厘米那么三角形ABC 的面積是多少平方厘米？AF BCDE【作業(yè) 3】如下圖，在梯形 ABCD 中， AB 與 CD 平行，且 CD2AB ，點(diǎn) E 、 F 分別是 AD 和 BC的中點(diǎn)，已知陰影四邊形EMFN 的面積是54 平方厘米，則梯形ABCD 的面積是12小升初數(shù)學(xué) - 幾何平方厘米ABMEFNDC【作業(yè) 4】一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)