概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件(第2章)

1、第2章 隨機(jī)變量及其分布為了更深刻地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，有必要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，可以憑借更多的數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，因此需要引入隨機(jī)變量的概念. 2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2.1.1 隨機(jī)變量的概念定義2.1 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)，是其樣本空間. 如果對(duì)每個(gè)，總有一個(gè)實(shí)值函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱上的實(shí)值函數(shù)為的一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母等表示，其取值用小寫(xiě)字母等表示.若一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H取有限個(gè)或可列個(gè)值，則稱其為離散隨機(jī)變量.若一個(gè)隨機(jī)變量取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間，則稱其為連續(xù)隨機(jī)變量，其中可以是,可以是.通過(guò)以下幾個(gè)例子，可以很好地理解上述隨機(jī)變

2、量抽象的定義.（1） 擲一顆骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).（2） 單位時(shí)間內(nèi)某手機(jī)被呼叫的次數(shù).（3）某品種楊樹(shù)的壽命.（4）測(cè)量某物理量的誤差.（5）若某個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，例如，播種一顆銀杏種子，可以定義隨機(jī)變量.值得注意的是：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，表示隨機(jī)事件；（2）可以求出概率.在上面的例子中，,等；但是不能求得以下概率，如,等，因此還需要引入隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念.2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.2 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)任意實(shí)數(shù),稱 （2.1）為隨機(jī)變量的分布函數(shù).且稱服從，記為.有時(shí)也可用（把作為的下標(biāo)）以表明是的分布函數(shù).例2.1 向半徑為的圓內(nèi)隨機(jī)拋一點(diǎn),求此點(diǎn)到圓心之距離的分布函數(shù),并

3、求.解 事件“”表示所拋之點(diǎn)落在半徑為的圓內(nèi),故由幾何概率知 ，從而 .從分布函數(shù)的定義可以看出,任一隨機(jī)變量（離散的或連續(xù)的）都有一個(gè)分布函數(shù).有了分布函數(shù),就可據(jù)此計(jì)算得與隨機(jī)變量有關(guān)事件的概率.下面先給出分布函數(shù)的3個(gè)基本性質(zhì).定理2.1 任一隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有如下三條基本性質(zhì)：（1）單調(diào)性 是定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)任意的，有.（2）有界性 對(duì)任意的，有，且 ，.（3）右連續(xù)性 是的右連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意的，有 .值得注意，滿足這3個(gè)性質(zhì)的函數(shù)一定是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).例2.2 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ，試求：待定系數(shù)；隨機(jī)變量落在（-1，1）內(nèi)的概率.解 由，&

4、#160;可得 ，解得 ，于是 . . 利用隨機(jī)變量的分布函數(shù)，可以計(jì)算有關(guān)的各種事件的概率.例如，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有 ， ， ， ， ， ， .特別當(dāng)在與連續(xù)時(shí)，有 ，.例2.3 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ，試求：（1）；（2）；（3）.解 （1）； （2）； （3）.§2.2 離散型隨機(jī)變量的分布律定義2.3 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其所有可能的取值是，則稱取的概率 （2.2）為的概率分布律或簡(jiǎn)稱為分布律，記為，分布律也可用列表的方法來(lái)表示：或記成 分布律的基本性質(zhì)：（1）；（2）.由離散型隨機(jī)變量的分布律很容易寫(xiě)出的分布函數(shù)：.它的圖形是有限級(jí)（或無(wú)窮級(jí)）的階梯函數(shù).在離散場(chǎng)合，常

5、用分布律來(lái)描述分布，很少用到分布函數(shù).因?yàn)榍箅x散隨機(jī)變量的有關(guān)事件的概率時(shí)，用分布律比用分布函數(shù)來(lái)得更方便.例2.4 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為 2 3 試求，并寫(xiě)出的分布函數(shù).解 ， ， .的圖形如圖21所示. _3_2_-1_圖 21_1_1_F(x)_x_O特別地,常量可看作僅取一個(gè)值的隨機(jī)變量，即 .這個(gè)分布常稱為單點(diǎn)分布或退化分布，它的分布函數(shù)是 . （2.3）其圖形如圖22. _c_圖22_1_O_x_F(x)以下例子說(shuō)明，已知離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，可以求出它的分布律.例25 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ，則的分布律為 2 3 50.1 0.4 0.3 0.22.3 常見(jiàn)離散型隨機(jī)

6、變量分布1.兩點(diǎn)分布若離散型隨機(jī)變量的分布律為 則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布（或分布），記為.例2.6 播種一顆銀杏種子，銀杏的發(fā)芽率為0.9，定義隨機(jī)變量,則，其中0.9為銀杏的發(fā)芽率.2.二項(xiàng)分布若離散型隨機(jī)變量的分布律為 ，. （2.4）則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為. 兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布中當(dāng)時(shí)的特例.例2.7 假設(shè)銀杏移栽的成活率為0.95，現(xiàn)移栽10顆，問(wèn)至少有8顆成活的概率是多少？解 設(shè)移栽銀杏的顆數(shù)為，則，而所求概率為 .3.泊松分布若離散型隨機(jī)變量的分布律為 ， （2.5）其中參數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為.例2.8 已知某種產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)

7、的泊松分布，若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò)一個(gè)的產(chǎn)品為合格品，疵點(diǎn)數(shù)至少為兩個(gè)的產(chǎn)品為不合格品.試求此產(chǎn)品為不合格品的概率.解 設(shè)為此產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù)，則,即，.于是有 . 4幾何分布若離散型隨機(jī)變量的分布律為 ， （2.6）其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的幾何分布，記為. 設(shè)為一隨機(jī)試驗(yàn)，為其事件，現(xiàn)作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到出現(xiàn)為止. 以表示事件出現(xiàn)的總次數(shù)，則隨機(jī)變量可取值.以表示在第重試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的事件，則 = =，. 5. 超幾何分布若離散型隨機(jī)變量的分布律為 ， （2.7）其中，是滿足不等式 的所有整數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，記為. 例2.9 設(shè)一批木工板共張，其中有張次品（），張合格

8、品.今從這批木工板中任?。ǎ垼员硎舅〉玫拇纹窋?shù)，試求隨機(jī)變量的分布律. 解 若，則可取的最小數(shù)顯然為0；若，則可取的最小數(shù)為. 這樣，可取的最小數(shù)是 . 若，則可取的最大數(shù)為；若，則可取的最大數(shù)為. 這樣，可取的最大數(shù)是 . 按古典概型計(jì)算得 ，其中，是滿足不等式的所有整數(shù).2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)定義2.4 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)，有 ， （2.8）則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù).在的可導(dǎo)點(diǎn)處有 . （2.9）密度函數(shù)的基本性質(zhì)：（1）； （2）.（3）若的密度函數(shù)為，則，其中為某一區(qū)間.（4）若

9、為連續(xù)型隨機(jī)變量，則.注意與離散情形的區(qū)別. 例2.10 已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求（1）常數(shù)；（2）；（3）分布函數(shù).解 （1）由，得；（2）；（3）根據(jù)的取值情況來(lái)確定積分. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，._1圖?23_1_F(x)_x_O從而得隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 ，的圖形如圖23. 例2.11 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 ，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù).解 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；_2_1_圖24_1_F(x)_x_O當(dāng)時(shí)，.綜上所述，得的分布函數(shù)為 . 的圖形如圖24.2.5 常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布1.均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)（見(jiàn)圖25（1）為 ， （2.10）則稱服從區(qū)間上的均勻分

10、布，記為，其分布函數(shù)為（見(jiàn)圖25（2）. . （2.11）例2.11 設(shè)隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，現(xiàn)對(duì)進(jìn)行4次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有3次觀測(cè)值大于1/2的概率.解 設(shè)是3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于1/2的次數(shù)，則，其中.由，知的密度函數(shù)為.所以 ，于是 .2.指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 （）， （2.12）則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為.例2.12 設(shè)某電子產(chǎn)品的使用壽命（h）服從參數(shù)為的指數(shù)分布，試求該電子產(chǎn)品的使用壽命超過(guò)1000h的概率.解 由，知 .于是 .3.正態(tài)分布正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的一個(gè)分布，后面還要指出正態(tài)分布是一切分布的中心.1）正態(tài)分布的密度函數(shù)和分

11、布函數(shù)若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， ， （2.13）則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為.其中參數(shù)，.其密度函數(shù)圖形如圖26（1）所示. 的圖形是一條鐘形線，其對(duì)稱軸為.在處取最大值，曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)為拐點(diǎn).正態(tài)分布的分布函數(shù)為. （2.14）它是一條光滑上升的形曲線，見(jiàn)圖26（2）. 圖27給出了在和變化時(shí)，相應(yīng)正態(tài)密度曲線的變化情況.(1)從圖27（1）中可以看出：如果固定，改變的值，則圖形沿軸平移，而不改變其形狀.也就是說(shuō)正態(tài)密度函數(shù)的位置由參數(shù)所確定，因此也稱為位置參數(shù).(2)從圖27（2）中可以看出：如果固定，改變的值，則越小，曲線越陡峭；越大，曲線越扁平.也就是說(shuō)正態(tài)函數(shù)的尺度由參數(shù)所

12、確定，因此也稱為尺度參數(shù). 2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 稱，的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為，分布函數(shù)為，即，.由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)不含任何未知參數(shù)，故其值完全可以算出，附表2對(duì)給出了的值，利用這張表可以算得(1).(2).(3).(4).例2.13 設(shè)，利用附表1，求下列事件的概率：（1）.（2）.（3）.（4）.3）一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化為了計(jì)算與一般正態(tài)變量有關(guān)的事件的概率，需要將一般正態(tài)分布進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，然后再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表. 若，則 (1). （2.15）(2). （2.16）例2.14 設(shè)，試求（1）；（2）常數(shù)，使得.解 （1） . （2）由 ，或，其中為的反函

13、數(shù).從附表1由里向外反查得 ，再利用線性內(nèi)插法可得，即，故 ，從中解得.2.6 隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)是定義在直線上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量，那么作為的一個(gè)函數(shù)，同樣也是一個(gè)隨機(jī)變量. 我們所要研究的問(wèn)題是：已知的分布，如何求的分布.2.6.1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，的分布律為則也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，此時(shí)的分布律可表示為當(dāng)中有某些值相等時(shí)，則把那些相等的值分別合并，并將對(duì)應(yīng)的概率相加即可.例2.15 已知的分布律為 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1（1）求的分布律；（2）求的分布律.解 （1）的分布律為 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1(2) 的分布律為

14、 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1再將相等的值合并得 0.1 0.8 0.1 2.6.2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布通過(guò)以下幾則例子，介紹求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一種方法，稱之為分布函數(shù)法.例2.16 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，試求隨機(jī)變量的密度函數(shù).解 .一般地，還可以利用分布函數(shù)法證明以下定理.定理2.2 設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為.是另一個(gè)隨機(jī)變量.若嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則的密度函數(shù)為. （2.17）其中，. 證明 不妨設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，這時(shí)它的反函數(shù)也是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，且.記，這就意味著僅在區(qū)間取值，于是 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， =.由此得的密度函數(shù)為. 同理可證當(dāng)是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，結(jié)論也成立.但此時(shí)應(yīng)注意，所以要加絕對(duì)值符號(hào)，這時(shí)，.利用上述定理，可以證明以下一個(gè)很有用的結(jié)論.定理2.3 若，則.證明 是嚴(yán)格遞增函數(shù)，仍在上取值，其反函數(shù)為，由定理2.2可得，所以.定理2.4 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則當(dāng)時(shí)，有.證明 當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)格遞增（減）函數(shù)，仍在上取值，其反函數(shù)為，由定理2.2可得 .這是正態(tài)分布的密度函數(shù)，結(jié)論得證.這個(gè)定理表明：正態(tài)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)變量.特別地，取，則，此即定理2.3.定理2.5 若的分布函數(shù)為連續(xù)嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，則服從區(qū)間上均勻分布.證明