三角函數(shù)、解三角形 教案

1、第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考綱下載1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念2能進(jìn)行弧度與角度的互化3理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 一、必備知識(shí)1角的有關(guān)概念(1)從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角(2)從終邊位置來(lái)看，角可分為象限角與軸線角(3)若與是終邊相同的角，則用表示為2k，kZ2弧度與角度的互化(1)1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角(2)角的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|(3)角度與弧度的換算1° rad；1 rad°(4)弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心

2、角大小為(rad)，半徑為r，則l|r，扇形的面積為Slr|·r23任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0)(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1，0)如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的正弦線，余弦線和正切線二、必記結(jié)論1三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦2180°.一、思考辨析判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)小于90°的角是銳角()

3、(2)第一象限角必是銳角，反之亦然()(3)不相等的角，終邊一定不相同()(4)三角形的內(nèi)角為第一或第二象限角()(5)若k·720°(kZ)，則和終邊相同()(6)若P(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在第二象限()提示：(1)錯(cuò)誤如60°.(2)錯(cuò)誤如370°是第一象限角，但它不是銳角(3)錯(cuò)誤如45°與405°的終邊相同事實(shí)上，只要角度相差360°的整數(shù)倍，其終邊一定相同(4)錯(cuò)誤.90°角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上(5)正確(6)正確因?yàn)镻(tan ，cos )在第三象限，所以故為第二象限角答案：(

4、1)×(2)×(3)×(4)×(5)(6)二、牛刀小試1在360°0°范圍內(nèi)與角1 250°終邊相同的角是()A210°B150°C190° D170°解析：選C1 250°4×360°190°.2(2014·全國(guó)高考)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，3)，則cos ()A. B. C D解析：選D記P(4，3)，則x4，y3，r|OP|5，故cos .3若角同時(shí)滿足sin 0且tan 0，則角的終邊一定落在()A第一象限 B第二象限C第三象限

5、 D第四象限解析：選D由sin 0，可知的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合；由tan 0，可知的終邊可能位于第二或第四象限故的終邊只能位于第四象限4弧長(zhǎng)為3，圓心角為135°的扇形半徑為_，面積為_解析：l3，135°，所以r4，Slr×3×46.答案：46 考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角例1(1)若sin ·tan <0，且<0，則角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在聽前試做(1)由sin

6、 ·tan <0可知sin ，tan 異號(hào)，從而為第二或第三象限角；由<0，可知cos ，tan 異號(hào)，從而為第三或第四象限角綜上，為第三象限角(2)sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，sin 2·cos 3·tan 4<0.答案：(1)C(2)A探究1在本例(1)的條件下，是第幾象限角？解：由例題條件可知，為第三象限角，所以為第二或第四象限角探究2若將本例(1)的全部條件換為“cos ·tan <0”，則為第幾象限角？解：cos ·tan <0，cos ·sin <0

7、.又cos 0，為第三或第四象限角探究3若將本例(1)的條件換為“是第三象限角，且sin”，則是第幾象限角？解：由是第三象限角，知2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)，知是第二或第四象限角再由sin，知sin<0.所以只能是第四象限角象限角的判斷方法象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想；二是先將此角化為k·360°(0°<360°，kZ)的形式，即找出與此角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限來(lái)判斷此角是第幾象限角1設(shè)集合M，Nx|x·180°45°，kZ，那么

8、()解析：選B法一：由于Mx|x·180°45°，kZ，45°，45°，135°，225°，Nx|x·180°45°，kZ，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，顯然有MN.法二：由于M中，x·180°45°k·90°45°45°·(2k1)，2k1是奇數(shù)；而N中，x·180°45°k·

9、45°45°(k1)·45°，k1是整數(shù)，因此必有MN.2終邊在直線yx上的角的集合為_解析：終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ答案：|k，kZ考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用 例2已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積聽前試做(1)l10×(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l10 c

10、m，2 rad.(3)設(shè)弓形面積為S弓，由題知l(cm)，S弓S扇S××2×22×sin(cm2)應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度 (2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角的大?。?2)求所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB為等邊三角形因此弦AB所對(duì)的圓心角.(2)由扇形的弧

11、長(zhǎng)與扇形面積公式，得l·R×10，S扇形R·l·R2.又SAOBOA·OB·sin25.弓形的面積SS扇形SAOB50.考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義是高考的常考內(nèi)容，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較小，屬中低檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值例3已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_聽前試做r，且sin ，所以sin ，解得y8.答案：8角度二：對(duì)三角函數(shù)值的符號(hào)和角的位置的判斷例4(2015·大連模擬)點(diǎn)A(sin 2 01

12、5°，cos 2 015°)在直角坐標(biāo)平面上位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限聽前試做由2 015°360°×5215°，知2 015°是第三象限角，sin 2 015°<0，cos 2 015°<0，則點(diǎn)P在第三象限答案：C角度三：以三角函數(shù)定義為載體的創(chuàng)新題例5(2012·山東高考) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2，1)時(shí)，的坐標(biāo)為_ 聽前試做如圖，

13、連接AP，分別過(guò)P，A作PC，AB垂直x軸于C，B點(diǎn)，過(guò)A作ADPC于D點(diǎn)由題意知的長(zhǎng)為2.圓的半徑為1，BAP2，故DAP2.DPAP·sincos 2，PC1cos 2，DAAPcossin 2，OC2sin 2.故(2sin 2，1cos 2)答案：(2sin 2，1cos 2)三角函數(shù)定義問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)利用定義求三角函數(shù)值在利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值時(shí)，若角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)是以參數(shù)的形式給出的，則要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際及解題的需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論任意角的三角函數(shù)值僅與角的終邊位置有關(guān)，而與角終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)(2)三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷已知一角的

14、三角函數(shù)值(sin ，cos ，tan )中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況(3)以三角函數(shù)定義為載體的創(chuàng)新題解決此類問(wèn)題應(yīng)把待求問(wèn)題和已知條件聯(lián)系起來(lái)，分析它們之間的聯(lián)系，尋找解決問(wèn)題的方案1在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0，0)，P(6，8)，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是()A(8，6) B(8，6)C(6，8) D(6，8)解析：選A|OP|10，且設(shè)xOP，cos ，sin .設(shè)(x，y)，則x10cos10sin 8，y10sin10cos 6.2若cos ，且角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，2)，則

15、P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x是()A2 B±2C2 D2解析：選Dr，由題意得，x2.3. 如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過(guò)的弧的長(zhǎng)為l，弦AP的長(zhǎng)為d，則函數(shù)df(l)的圖象大致為()解析：選C如圖取AP的中點(diǎn)為D，連接OD，連接OP.設(shè)DOA，則d2sin ，l2，故d2sin . 課堂歸納通法領(lǐng)悟個(gè)技巧三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)，|OP|r一定是正值(2)在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧個(gè)注意點(diǎn)理解角的概念、弧度制及三角

16、函數(shù)線應(yīng)注意的問(wèn)題(1)第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角(2)角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用(3)要熟記0°360°間特殊角的弧度表示(4)要注意三角函數(shù)線是有向線段 一、選擇題1已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，則tan ()A.B±C. D±解析：選B因?yàn)镻在單位圓上，x±.tan ±.2給出下列四個(gè)命題：75°是第四象限角，225°是第三象限角，475°是第二象限

17、角，315°是第一象限角，其中正確的命題有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選D由象限角易知，正確；因475°360°115°，所以正確；因315°360°45°，所以正確3已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為()A2 B4 C6 D8解析：選C設(shè)扇形所在圓的半徑為R，則2×4×R2，R21，R1，扇形的弧長(zhǎng)為4×14，扇形的周長(zhǎng)為246.4(2015·濟(jì)南模擬)已知sin cos >1，則角的終邊在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：

18、選B由已知得(sin cos )2>1，即12sin cos >1，sin cos <0，又sin >cos ，所以sin >0>cos ，所以角的終邊在第二象限5集合中的角的終邊所在的范圍(陰影部分)是()解析：選C當(dāng)k2n時(shí)，2n2n；當(dāng)k2n1時(shí)，2n2n.6已知的終邊過(guò)點(diǎn)P(a，3a)，a0，則sin ()A.或 B.C.或 D.或解析：選D當(dāng)a>0時(shí)，角的終邊過(guò)點(diǎn)(1，3)，利用三角函數(shù)的定義可得sin ；當(dāng)a<0時(shí)，角的終邊過(guò)點(diǎn)(1，3)，利用三角函數(shù)的定義可得sin .7若是第三象限角，則y的值為()A0 B2 C2 D2或2解析：

19、選A由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角當(dāng)是第二象限角時(shí)，y110；當(dāng)是第四象限角時(shí)，y110.8已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A B C. D.解析：選B取終邊上一點(diǎn)(a，2a)(a0)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ±，故cos 22cos21.二、填空題9(2015·西安模擬)在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(，1)，將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_解析：依題意知OAOB2，AOx30°，BOx120°，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則x2cos 120°

20、;1，y2sin 120°，即B(1，)答案：(1，)10已知角的終邊上有一點(diǎn)M(3，m)，且sin cos ，則m_解析：由題意得sin ，cos ，所以，即，解得m4.答案：411. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cos _解析：因?yàn)辄c(diǎn)A縱坐標(biāo)yA，且點(diǎn)A在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以點(diǎn)A橫坐標(biāo)xA，由三角函數(shù)的定義可得cos .答案：12已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：cos 0，sin 0，即2<a3.答案：(2，3三、解答題13已知角的終邊上有一點(diǎn)P(x，

21、1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解：的終邊過(guò)點(diǎn)(x，1)(x0)，tan .又tan x，x21，即x±1.當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos ，因此sin cos 0；當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值為0或.1(2015·南昌模擬)已知點(diǎn)P(sin cos ，tan )在第一象限，則在0，2內(nèi)，的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B由已知得sin cos >0，tan >0，故在0，2內(nèi).2一扇形的圓心角為120°，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為_解析：設(shè)扇形半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.

22、則(Rr)sin 60°r，即Rr.又S扇|R2××R2R2r2，.答案：(74)93角終邊上的點(diǎn)P與A(a，2a)(a0)關(guān)于x軸對(duì)稱，角終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線yx對(duì)稱，求sin ·cos sin ·cos tan ·tan 的值解：由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，2a)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2a，a)所以sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故有sin ·cos sin ·cos tan ·tan ××(2)×1.第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考綱

23、下載1理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2xcos2x1，tan x.2能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±，±的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式 一、必備知識(shí)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2cos21(R)(2)商數(shù)關(guān)系：tan_2六組誘導(dǎo)公式角函數(shù)2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_二、必記結(jié)論1特殊角的三角函數(shù)值0sin 0101cos 1010tan 01不存在0不存在2.誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限“奇”與“偶”指的是誘導(dǎo)公式

24、k·中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶數(shù)“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變“符號(hào)看象限”指的是在k·中，將看成銳角時(shí)k·所在的象限一、思考辨析判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)sin2cos21.()(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中角可以是任意角()(3)六組誘導(dǎo)公式中的角可以是任意角()(4)誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的“符號(hào)”與的大小無(wú)關(guān)()(5)若sin(k)(kZ)，則sin .()提示：(1)錯(cuò)誤sin2cos2的值不確定(2)錯(cuò)誤tan 中，k，kZ.(3)錯(cuò)

25、誤有關(guān)正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式，必須使tan 有意義(4)正確(5)錯(cuò)誤當(dāng)k2n時(shí)，sin ；當(dāng)k2n1時(shí)，sin .答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)×二、牛刀小試1sin 585°的值為()AB.CD.解析：選Asin 585°sin(360°225°)sin 225°sin(180°45°)sin 45°.2已知cos()，且是第四象限角，則sin(2)()A B. C± D.解析：選Acos()，cos .又為第四象限角，sin <0.sin(2)s

26、in .3化簡(jiǎn)_解析：1.答案：14已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2xy0上，則_解析：的終邊在直線2xy0上，tan 2.2.答案：2 考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用例1(1)sin21°sin22°sin290°_(2)已知cos(x)，x(，2)，則tan x_(3)已知為三角形的內(nèi)角，且sin cos ，則tan _聽前試做(1)原式(sin21°sin289°)(sin22°sin288°)(sin244°sin246°)sin245°sin290

27、6;(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin244°cos244°)1111144個(gè)145.(2)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x ，tan x.(3)法一：聯(lián)立方程由得cos sin ，將其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形內(nèi)角，tan .法二：sin cos ，(sin cos )2，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos <0且0<<，sin >0，cos <0，si

28、n cos >0.sin cos .由得tan .答案：(1)45(2)(3)探究1在本例(3)的條件下，求的值解：.探究2在本例(3)的條件下，求的值解：.探究3在本例(3)的條件下，求sin22sin cos 的值解：sin22sin cos .同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧(1)利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.1若sin 2sin ，tan 3tan ，則cos _解析：sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29t

29、an2.由÷得：9cos24cos2.由得sin29cos24.又sin2cos21，cos2，cos ±.答案：±2已知2cos23cos sin 3sin21，則tan _解析：因?yàn)?cos23cos sin 3sin21，所以cos23cos sin 4sin20.將上式兩邊同時(shí)除以cos2，整理得4tan23tan 10，解得tan 1或tan .答案：1或考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例2(1)sin(1 200°)cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)_(2)已知cos，則cossi

30、n2的值為_聽前試做(1)原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°sin 1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°sin 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360&#

31、176;60°)·sin(360°30°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(2)coscoscos()，sin2sin2sin21cos21，cossin2.答案：(1)1(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的思路和要求(1)思路方法：分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；利用公式化成單角三角函數(shù)；整理得最簡(jiǎn)形式(2)化簡(jiǎn)要求：化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形；結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值已知為第三象限角，f().(1)化簡(jiǎn)f()；(2)若cos，求f(

32、)的值解：(1)f()cos .(2)cos，sin ，從而sin .又為第三象限角，cos ，f().考點(diǎn)三兩類公式在化簡(jiǎn)與求值中的應(yīng)用高考單獨(dú)考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度偏小，屬中低檔題，且主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一：知弦求弦例3(1)(2013·廣東高考)已知sin，那么cos ()A B C. D.(2)(2012·全國(guó)高考)已知為第二象限角，sin ，則sin 2()A BC. D.聽前試做(1)sinsinsincos .(2)因?yàn)槭堑诙笙藿牵詂os ，所以sin 22sin cos 2×

33、15;.答案：(1)C(2)A角度二：知弦求切例4(2012·遼寧高考)已知sin cos ，(0，)，則tan ()A1 B C. D1聽前試做sin cos ，sin，sin1.又0，tan 1.答案：A角度三：知切求弦例5(2011·福建高考)若tan 3，則的值等于()A2 B3 C4 D6聽前試做2tan 6.答案：D化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)知弦求弦利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2cos21求解(2)知弦求切常通過(guò)平方關(guān)系，對(duì)稱式sin cos ，sin cos ，sin cos 之間可建立聯(lián)系，注意tan 的靈活應(yīng)用(3)知切求弦通常先利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)

34、化為sin tan ·cos 的形式，然后利用平方關(guān)系求解1(2015·湖北八校聯(lián)考)已知2tan ·sin 3，<<0，則sin ()A. B C. D解析：選B因?yàn)?tan ·sin 3，所以3，所以2sin23cos ，即22cos23cos ，所以cos 或cos 2(舍去)又<<0，所以sin .2(2015·西安模擬)已知sin()cos()，則sin cos ()A0 B. C. D.解析：選D由sin()cos()，得sin cos ，將兩邊平方得12sin cos ，故2sin cos ，所以(sin

35、cos )212sin cos 1.又<<，所以sin >0，cos <0，則sin cos .課堂歸納通法領(lǐng)悟個(gè)原則誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了個(gè)注意點(diǎn)應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)種方法三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化(3)巧用“1”的變換：1sin2cos

36、2cos2(1tan2)tan. 一、選擇題1(2015·荊州模擬)已知sin()<0，cos()>0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是() Asin <0，cos >0 Bsin >0，cos <0Csin >0，cos >0 Dsin <0，cos <0解析：選B因?yàn)閟in()<0，所以sin <0，所以sin >0.因?yàn)閏os()>0，所以cos >0，所以cos <0.2若<<2，cos(7)，則sin(3)·tan()的值為()A. B. C. D.解析：選Cc

37、os(7)cos()cos ，即cos ，sin(3)·tan(sin )·cos .3若sin22cos 2，則cos ()A1 B. C D1解析：選Dsin22cos 21cos22cos 2，整理得cos22cos 30，解得cos 3或cos 1，又1cos 1，故cos 1.4(2015·唐山模擬)已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是()A1，1，2，2 B1，1C2，2 D1，1，0，2，2解析：選C當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A2；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，A2，所以A的值構(gòu)成的集合為2，25已知cos 是方程5x27x60的根，且是第二象限角，則()A. B C D.解析

38、：選B方程5x27x60的根為x12，x2，又是第二象限角，cos ，sin ，tan .故原式tan2.6(2015·青島模擬)已知，那么的值是()A. B C2 D2解析：選A·1，又，.7(2015·揭陽(yáng)模擬)已知sin cos ，且，則cos sin 的值為()A B. C D.解析：選B，cos 0，sin 0且|cos |sin |，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12×，cos sin .8已知函數(shù)f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，則f(2 015)的值為()A1 B1 C3 D3解析：選D

39、f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)asin()bcos()asin bcos (asin bcos )3.二、填空題9已知tan 2，則1sin2_解析：1sin22sin2cos2.答案：10._解析：原式1.答案：111已知tan x2，x，則cos x_解析：tan x2，4，4，cos2x.x，cos x<0，cos x.答案：12設(shè)，sin cos ，則tan _解析：將sin cos ，兩邊平方得sin cos .由得或又0<<，sin <cos ，故tan .答案：三、解

40、答題13已知sin ，cos 是關(guān)于x的方程x2axa0(aR)的兩個(gè)根，求cos3sin3的值解：由已知原方程的判別式0，即(a)24a0，a4或a0.又(sin cos )212sin cos ，則a22a10，從而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3sin3sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.1(2015·哈爾濱模擬)若sin ，cos 是方程4x22mxm0的兩根，則m的值為()A1 B1 C1± D1解析：選B由題意知：sin cos ，sin cos .(sin cos )21

41、2sin cos ，1，解得m1±，又4m216m0，m0或m4，m1.2已知sin cos ，且，則的值為_解析：法一：由題意得sin cos ，因?yàn)?sin cos )2(sin cos )22，即(sin cos )22，所以(sin cos )2.又，所以sin cos ，所以(sin cos ).法二：由題意得sin cos ，所以sin，sin.又，所以，所以cos，cos 2sin(2)sin(2)2sincos2××，所以.答案：3已知，(0，)，若等式sin(3)cos，cos()cos()同時(shí)成立，則_解析：由誘導(dǎo)公式可得22得sin23cos

42、22，解得cos2.又，所以cos ，代入得cos .又(0，)，所以，sin ，代入得sin ，故，所以.答案：4已知關(guān)于x的方程2x2(1)xm0的兩根分別是sin 和cos ，(0，2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的兩根及此時(shí)的值解：(1)原式sin cos .由條件知sin cos ，故.(2)由已知，得sin cos ，sin cos ，又12sin cos (sin cos )2，可得m.(3)由知或又(0，2)，故或.第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考綱下載1能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性2借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0，

43、2，正切函數(shù)在上的性質(zhì) 一、必備知識(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RR kZ值域1，11，1R單調(diào)性遞增區(qū)間：(kZ)；遞減區(qū)間：(kZ) 遞增區(qū)間：2k，2k (kZ)；遞減區(qū)間：2k，2k (kZ)遞增區(qū)間：(kZ)最值，無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)對(duì)稱中心：(kZ)對(duì)稱中心：(kZ)對(duì)稱軸：xk，kZ對(duì)稱軸：xk，kZ：無(wú)對(duì)稱軸周期22二、必記結(jié)論1函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為T，函數(shù)ytan(x)的最小正周期為T.2三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yAsin x或yAtan

44、 x的形式，而偶函數(shù)一般可化為yAcos xb的形式一、思考辨析判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)ysin x在上是增函數(shù)()(2)ysin x在第一、四象限是增函數(shù)()(3)所有的周期函數(shù)都有最小正周期()(4)ytan x在整個(gè)定義域上是增函數(shù)()(5)yksin x1(xR)的最大值為k1.()(6)ysin|x|為偶函數(shù)()提示：(1)正確(2)錯(cuò)誤(3)錯(cuò)誤如常數(shù)函數(shù)為周期函數(shù)，但沒有最小正周期(4)錯(cuò)誤單調(diào)區(qū)間不能取并集也可借助正切函數(shù)的圖象判斷(5)錯(cuò)誤當(dāng)k>0時(shí)，其最大值為k1.(6)正確答案：(1)(2)×(3)×(4

45、)×(5)×(6)二、牛刀小試1(2014·陜西高考)函數(shù)f(x)cos 的最小正周期是()A. B C2 D4解析：選B由余弦函數(shù)的復(fù)合函數(shù)周期公式得T.2函數(shù)ytan的定義域是()A.B.C.D.解析：選Dytantan，xk，即xk，kZ.3下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是()Aysin BycosCysin Dycos解析：選A由函數(shù)的周期為，可排除C，D.又函數(shù)在上為減函數(shù)，排除B，故選A.4函數(shù)y32cos的最大值為_，此時(shí)x_.解析：函數(shù)y32cos的最大值為325，此時(shí)x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ) 考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域

46、例1(1)函數(shù)ylg(2sin x1)的定義域是_(2)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為_聽前試做(1)要使函數(shù)ylg(2sin x1)有意義，則即解之得2kx<2k，kZ.即函數(shù)的定義域?yàn)?，kZ.(2)0x9，x，sin1，故2sin2.即函數(shù)y2sin(0x9)的最大值為2，最小值為.所以最大值與最小值的和為2.答案：(1)，kZ(2)2探究1若將本例(2)中的函數(shù)換為“y3sin x2cos2x，x”，如何解決？解：x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2，當(dāng)sin x時(shí)，ymin；當(dāng)sin x或sin x1時(shí)，ymax2.故函數(shù)的

47、最大值與最小值的和為2.探究2若將本例(2)中的函數(shù)換為“ysin xcos xsin xcos x，x0，”，如何求解？解：令tsin xcos x，又x0，tsin，t1, 由tsin xcos x，得t212sin xcos x，即sin xcos x.原函數(shù)變?yōu)閥t，t1，即yt2t.當(dāng)t1時(shí)，ymax11；當(dāng)t1時(shí)，ymin11.故函數(shù)的最大值與最小值之和為0.1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解2三角函數(shù)值域(或最值)的求法求解三角函數(shù)的值域(或最值)常見到以下幾種類型的題目：形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(或最值)求函數(shù)ysin x(cos xsin x)的最大值解：ysin x(cos xsin x)sin xcos xsin2xsin 2x(sin 2xcos