金融數(shù)學(xué)第三章

1、馬科維茨Markowitz證券組合選擇投資選擇：風(fēng)險(xiǎn)（低）收益（高）之間的“平衡”基于期望收益率上的投資決策，最多只能獲得最高的平均收益率平均收益率 風(fēng)險(xiǎn)收益的“數(shù)量化”前沿組合、無差異曲線數(shù)學(xué)性質(zhì)l用隨機(jī)變量表示未來的收益率l用期望代表：平均收益率l方差代表風(fēng)險(xiǎn)（得到平均收益率的不確定性 ）l從分布函數(shù)（條件太強(qiáng)）計(jì)算收益和風(fēng)險(xiǎn)l從“歷史”樣本估計(jì)收益和風(fēng)險(xiǎn)nttnttnrrnrnrrr12211111)(,.,l某一證券價(jià)格的變動(dòng)可能伴隨著另一證券價(jià)格的變動(dòng)。關(guān)聯(lián)性普遍存在。l需要度量關(guān)聯(lián)性的方向和程度l隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)l從聯(lián)合分布可計(jì)算。l用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算（3.10）(3.11)

2、212112221121),cov()(),cov(rrrrrrErrl三種相關(guān)程度：l1、完全線性相關(guān)：完全決定另一個(gè)lAB1或AB-1lrAabrB , 2Ab22B l2、不完全線性相關(guān)：“部分”決定另一個(gè)lrAabrB l2Ab22B2（） l3、不相關(guān)：一證券的變化對另一證券的變化“沒有貢獻(xiàn)”lAB0或cov（rA，rB）0 以兩組合為例，多組合類推l“兩證券組合”的收益率數(shù)學(xué)表示法l證券A和B，以總資金的WA的比例投資于A，以WB于B。WAWB1，則擁有證券組合lP（WA，WB）lWA，WB為組合P中A的權(quán)數(shù)和B的權(quán)數(shù)l假設(shè)AB的收益率為rA和rB，則lP的收益率為rPWArAWB

3、rBl權(quán)數(shù)可以為負(fù)。lWA0，表示該組合投資者賣空證券A l 兩證券組合的期望收益率與方差計(jì)算方法l必須知道相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差lE（rP）WAE（rA）WBE（rB）l2PW2A2AW2B2Bl 2WAWBABABl選擇不同的組合權(quán)數(shù)，得到不同的組合，從而得到不同的期望收益率和方差。lWA和WB有無限種取法，投資者有無限多種證券組合可供選擇。l每個(gè)投資者根據(jù)自己對收益和方差（風(fēng)險(xiǎn)）的偏好，選擇符合自己要求的證券組合l分多種情況：雙曲線、直線、折線l構(gòu)建0風(fēng)險(xiǎn)組合、存在無風(fēng)險(xiǎn)證券情況模型的假設(shè)條件l假設(shè)1：收益率的概率分布是已知的；l假設(shè)2：風(fēng)險(xiǎn)用收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)方差表示；l假設(shè)3：影響決策的因

4、素為期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)；l假設(shè)4：投資者遵守占優(yōu)原則，即，l 同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高的證券；l 同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。l選定了證券的投資比例，就確定了組合。可以計(jì)算該組合的期望收益率EP和標(biāo)準(zhǔn)差Pl以EP為縱坐標(biāo)、P為橫坐標(biāo)，在EP-P坐標(biāo)系中可以確定一個(gè)點(diǎn)。每個(gè)組合對應(yīng)EP-P中的一個(gè)點(diǎn)l反過來，EP-P中的某個(gè)點(diǎn)有可能反映某個(gè)組合l選擇“全部”有可能選擇的投資比例，那么，全部組合在EP-P中的“點(diǎn)”組成EP-P中的區(qū)域l可行域（feasible set）l可行域中的點(diǎn)所對應(yīng)的組合才是“有可能實(shí)現(xiàn)”的組合。l可行域之外的點(diǎn)是不可能實(shí)現(xiàn)的證券組合。l可行域機(jī)會(huì)集l左上邊緣

5、部分向外凸或直線“凸集”l可以證明，邊界是雙曲線。l判斷組合好壞的公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)投資者共同偏好 l第一：以期望衡量收益率，方差衡量風(fēng)險(xiǎn)， 僅關(guān)心期望和方差l第二：期望收益率越高越好，方差越小越好l可行域內(nèi)部和右下邊緣上的任意組合，均可以在左上邊界上找到一個(gè)比它好的組合。淘汰l最佳組合“必須來自”左上邊界有效邊界l有效組合有效邊界對應(yīng)的組合l增加同樣的風(fēng)險(xiǎn)，不同的投資者所要求得到的期望收益率補(bǔ)償?shù)母叩涂赡懿灰粯?。補(bǔ)償數(shù)額越高，對風(fēng)險(xiǎn)越厭惡l對某個(gè)特定投資者，根據(jù)對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，可以得到一系列一系列滿意程度相同相同（無差異）的組合l無差異曲線的特征l波動(dòng)方向一定是從左下方向右上方，單調(diào)性l曲線將變得越來越

6、陡，凸函數(shù)l無差異曲線的形狀（彎曲程度）因人而異，反映投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度 l無差異曲線族中的曲線互不相交，等高線不相交 l根據(jù)無差異曲線可以比較任意兩個(gè)組合的好壞l無差異曲線位置越靠左上，滿意程度越高 lCABD定義：一個(gè)證券組合被稱為是前沿證券組合，如果它在所有“等均值收益率”的證券組合中，方差最小l每個(gè)前沿證券組合一定對應(yīng)一個(gè)收益率l“前沿證券組合q”對應(yīng)收益率q的前沿組合l前沿證券組合的數(shù)學(xué)表示l假定在無摩擦市場上存在N(1)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，允許無限制賣空。假設(shè)收益率的方差有限，并且均值不相等，而且，任何一個(gè)資產(chǎn)的收益率不能由其它資產(chǎn)收益率的線性組合表出（收益率線性無關(guān)）。l它們收益率的方

7、差協(xié)方差矩陣V是正定矩陣 l前沿組合權(quán)重向量Wp是下列二次規(guī)劃問題的解 l 是前沿證券對應(yīng)的收益率l用拉格朗日乘子法求解VWWTWrERWTpT2111)(min)(prE0, 11,1)1(1),1(1)(21111111ABCDVCRVRBRVAAVRCVDhRAVBVDgrhEgWTTTppl任何前沿證券組合可以表示成上述形式。l任何能寫成上述形式的組合是一個(gè)前沿證券組合 l對應(yīng)不同的收益率，優(yōu)化問題可以得到不同的解，進(jìn)而得到不同的前沿證券組合。l“取遍”所有可能的收益率，其“軌跡”就是一條曲線。l由全體“前沿證券組合”構(gòu)成的“集合”l證券組合前沿（portfolio frontier）

8、。l是今后定義有效邊界（有效前沿 ）的基礎(chǔ)lg和h是兩個(gè)特殊“解向量”l性質(zhì)3-1 ：g對應(yīng)的收益率是0，g+h對應(yīng)1。l性質(zhì)3-2：任何前沿證券組合可以由g和gh通過再組合得到?？梢员硎境伞熬€性組合 ”。l性質(zhì)3-2：前沿證券組合可以由任意兩個(gè)不相同的前沿證券組合進(jìn)行再組合而得。l收益率標(biāo)準(zhǔn)差（方差）均值空間l機(jī)會(huì)集（可行域）是雙曲線 所圍的區(qū)域l前沿組合的協(xié)方差（3.22）l方差l這是一條雙曲線。漸進(jìn)線l中心點(diǎn)為（0，AC） )(/)(/)/)(/)(pppprCDCArECDCArECr11222A/CE (r )0MVP機(jī)會(huì)集C/1雙曲線)(rl在收益率的方差均值空間中，l機(jī)會(huì)集是頂點(diǎn)

9、為（C-1/2，A/C）的拋物線 l圖形 )()()(BrAErCEDrppp2122mvpminimum variance portfoliol所有可行證券組合中mvp的方差最小lmvp是雙曲線（拋物線）的頂點(diǎn)lmvp的坐標(biāo)（C1/2，A/C）lmvp的投資權(quán)重l性質(zhì)3-3：對所有的證券組合p（不僅限于前沿證券組合） 111VCWmvpCrrrmvpmvpp/)var(),cov(1l雙曲線從mvp開始：l向右上方的一支，是有效的l向右下方的一支，是無效的l“有效組合”“前沿組合”“期望A/C”l凸組合定義：非負(fù)，和為1。l性質(zhì)3-4：有效證券組合集是凸集lzc(p)與p是有特殊關(guān)系的前沿證

10、券組合，l非前沿組合也有0協(xié)方差zc(p)的概念l前沿證券p的零協(xié)方差前沿證券組合 zc(p)，之間的協(xié)方差為0l性質(zhì)3-5：對于的任意一個(gè)有效前沿證券組合p（pmvp），存在唯一的零協(xié)方差前沿證券組合zc（p）。l前沿證券組合zc（p）和p的地位是“對稱的” l從證明中可以看出，不同時(shí)是有效組合l雙曲線：切線在縱軸上的截距l(xiāng)拋物線：p和mvp的連線的截距)()(pzcrEzc(p )mvppE (r )A/C0)(rC/1l對非前沿證券組合q，與q協(xié)方差為零的全部組合中，組合Q的方差最小。仍記，Qzc（q）l數(shù)學(xué)表達(dá)為規(guī)劃問題VWWTWVWWTqT21110minl用拉格朗日求解zc(q)l

11、Qzc(q) 是q與mvp的再組合，Wq是負(fù)數(shù)。l期望收益率為 mvpqqqqqzcWrCrCWrCW)()()()(222111)()()()()()(qqqpzcqzcrCrArERWrE221l證券組合q的0協(xié)方差前沿組合zc(q)的收益率的期望值是證券組合q和mvp的連線在縱軸上的截矩。圖3.11apZc(q)zc(p)l定理3.1：任意非前沿證券組合q及前沿證券組合p )var()var()var()var()()(qzcpzcqprrrrE (r )0)(pr2)()(pzcrE)()(qzcrEq0F1FZc(p)l定理3.2：任意非前沿證券組合q及前沿組合p0),cov()()

12、()(qpzcqprrrErEE (r )0)(pr2)()(pzcrE)()(qzcrEpqZc(q)0F1FqFlFq是規(guī)劃問題l隨E的變動(dòng)，得到曲線FqlFq上的點(diǎn)是zc（q）和zc（p）的再組合lFq與有效前沿F0 在zc（p）點(diǎn)相切l(wèi)取不同的q，得到不同的Fq ，F(xiàn)0是Fq的包絡(luò)線 VWWTWERWVWWTTqT21110minl利用零協(xié)方差證券組合對資產(chǎn)定價(jià)l任意證券組合i與前沿組合期望方面的關(guān)系 l任意證券組合i，任選一個(gè)前沿組合p（mvp除外）， PI是p和i的結(jié)合線（仍然是雙曲線）l可以證明，PI與證券組合前沿（由所有資產(chǎn)生成）相切于p點(diǎn)，“最外層”。l兩條曲線在p點(diǎn)的斜率相

13、等，得到定價(jià)公式。)(),cov()()()()()()(ppiippzcpippzcirrrrErErErE2E (r )pmvpzc(p)q A/Ci 0)()(pzcrEC/ 1)(rl另一種推導(dǎo)方法利用I和p的協(xié)方差的表達(dá)式，將p的具體投資比例代入可得l定理3.3：任意一個(gè)證券組合q的收益率期望值都可以表示成任意一個(gè)前沿證券組合p（除mvp外）與其對應(yīng)的前沿證券組合zc（p）的收益率均值的線性組合lzc(p)和p的地位是對稱的，zc（zc（p）plzc(p)和p互換，定價(jià)公式另一種形式（3.28） )()()()()(pippzcipirErErE 1事前形式（式中有期望E），不含隨機(jī)

14、變量事后形式（沒有期望E），含隨機(jī)變量或誤差將定價(jià)公式中的E去掉，得l定理3.4：對于兩個(gè)協(xié)方差為零的前沿證券組合p和zc（p），總可以將任意證券組合q表示為這兩個(gè)前沿證券組合的線性組合，即l如果q是前沿組合，則沒有誤差項(xiàng)。前巖組合可以被線性表示（性質(zhì)3.2a）,)(,),cov(),cov()()()(001qqpzcqpqpqppzcqpqErrrrrl如果投資對象中含有無風(fēng)險(xiǎn)證券，有效前沿組合（有效邊界）的“模樣”有特殊性l有效前沿組合以及其有關(guān)幾何結(jié)構(gòu)性質(zhì)有所加強(qiáng)，其結(jié)論更細(xì)化l曲線變成直線021111212121111fffTfffppfTTpTWTrErWRWCrArBrRVrRH

15、rRVHrrEWrWRWrEVWWVWWpfTT)()()()()()(minmin,)()(lWp是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重（N維向量）l無風(fēng)險(xiǎn)收益率 l截距，斜率都可以計(jì)算“l(fā)斜率一正一負(fù)兩條直線 )()()()(pfpfpprHrrEHrrErl無風(fēng)險(xiǎn)收益率的大小將會(huì)影響證券前沿具體是直線的“ 模樣”，分三種情況lrf A/C、 rf A/C、 rf A/ClA/C表示，“不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下”，mvp的期望值l存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之后，證券組合前沿由雙曲線向左進(jìn)行了擴(kuò)張。是由兩條射線所“圍成”的區(qū)域l正斜率直線與雙曲線相切，切點(diǎn)是e點(diǎn)l直線e左側(cè)上的點(diǎn)是e和rf的凸組合l直線e右側(cè)側(cè)上的點(diǎn)是賣空r

16、rf ，買入el負(fù)斜率直線不與雙曲線相交l賣空e，買入rf rmvpezc(p)E (r )0)(prfrA/Cl正斜率直線不雙曲線相切l(wèi)賣空e，買入rl負(fù)斜率直線與雙曲線相切，e點(diǎn)le左側(cè)的點(diǎn)是e和r的凸組合le右側(cè)的點(diǎn)是賣空r，買入el正、負(fù)斜率直線是雙曲線的漸近線l直線上任何一點(diǎn)的投資權(quán)重之和0l將資產(chǎn)全部投資于rl持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例之和0l定理3.3：任意證券組合q，收益率均值均可以被表示成任意一個(gè)前沿證券組合p（除mvp外）與其對應(yīng)的zc(p)的收益率均值的線性組合。l類似結(jié)果。l切點(diǎn)e的權(quán)重計(jì)算（3.2）：只考慮rfA/C。)()()(11111111ffTfferRVrRV

17、CrArRVWl切點(diǎn)e的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重We是規(guī)劃問題之解l幾何含義是最大斜率。結(jié)果與前面相同VWWrRWWkorrrrEkTfTWWpfppT)(max)()(max11E (r )0peA/C)(prfrl存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，類似于定理3.3的定價(jià)公式對第i個(gè)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)。（3.34）中的e，換成其它前沿曲線（此時(shí)是直線）上的組合p，該公式也成立lp是前沿組合（直線上一點(diǎn)），q是任意組合l該定價(jià)關(guān)系式不考慮rf與A/C之間的大小關(guān)系 )()(),cov()(feeiefirrErrrrrE2)()()(),cov()(fppqfppqpfqrrErrErrrrrE2l對于任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合pl稱為

18、夏普率，或標(biāo)準(zhǔn)差（）風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格l從圖3-14中知，前沿證券組合曲線（直線）上的組合的夏普率都相等，同時(shí)也具有最大的夏普率l上面的切點(diǎn)e是一個(gè)特殊的證券組合。它是夏普率最大的純風(fēng)險(xiǎn)證券組合，它就是CAPM中的“市場組合”（market portfolio）l所謂純風(fēng)險(xiǎn)證券組合是指 ，證券組合中不含有無風(fēng)險(xiǎn)證券，全部由風(fēng)險(xiǎn)證券組成 )()(pfpprrrESl前面的推導(dǎo)是在均值方差效用下所作出的l引入效用函數(shù)后，才能真正具體確定最優(yōu)證券組合，這就是一般一般的含義l一般證券選擇模型內(nèi)容比較多，復(fù)雜l只介紹初級的內(nèi)容l大部分只給出結(jié)果不進(jìn)行證明 l沿用“常規(guī)”的記號。共有N種資產(chǎn)，Wi第i個(gè)證券的投資權(quán)

19、重。W表示N維權(quán)重向量。最優(yōu)證券選擇問題就是優(yōu)化問題l定理3.5：給定一組資產(chǎn)，對于嚴(yán)格凹的效用函數(shù)u()來說，如果最優(yōu)證券選擇問題存在解，那么，最優(yōu)證券組合收益的概率分布是惟一的。此外，如果不存在“多余”資產(chǎn)（指風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益線性無關(guān)），那么，最優(yōu)證券組合（即W）也是惟一的。NiiiWrWuET111)(minl稱組合k為有效證券組合（efficient portfolio），如果存在嚴(yán)格凹的增函數(shù) u()（效用函數(shù)），使得組合k的收益率（下標(biāo)e表示“有效”）l滿足，一階條件l細(xì)節(jié)性內(nèi)容參閱 Ross(1978)，Chen and Ingersoll(1983)，Dybvig and Ross

20、(1982)，Nielssen(1986)NiikikerWr1NirrWuEWLijNjji,.,)(2101l對應(yīng)前面定價(jià)公式中的值，這里有b值l定理3.6：若存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則，對任意的證券i，下式成立l用b代替,從形式上講，兩個(gè)定價(jià)公式一樣的),(cov(),(cov(kekeikekirrurrubNirrEbrrEfkekifi,., )()(21l從值的含義可以“延伸”了解b值的含義l兩個(gè)證券i和j比較b值，如果bkibkj，則證券i的預(yù)期將收益大于j的（設(shè)有效組合期望大于無風(fēng)險(xiǎn)收益率），或者說證券i比j風(fēng)險(xiǎn)更大。l證券i的b值是對證券i的風(fēng)險(xiǎn)一種度量，是證券i相對于證券組合k的

21、系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)l證券組合b值等于該組合中單個(gè)證券b值的加權(quán)平均，稱為“證券組合性質(zhì)”（portfolio property）l在這種度量下，b值大的證券有更大風(fēng)險(xiǎn)。這種“順序關(guān)系”具有完全性，也即是用這種度量可以對任意兩證券進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)大小比較l定理3.7：設(shè)k和k1是任意兩個(gè)有效組合，則l具有保持順序性，l 1）bkibkj 當(dāng)且僅當(dāng) bk1ibk1jl 2）bkibkj 當(dāng)且僅當(dāng) bk1ibk1jl定理3.8 設(shè)證券k和L是兩個(gè)有效證券組合，那么，l1）bkk1， bkL0，即，有效證券組合的b值是正數(shù)l2）“鏈導(dǎo)”法則，對任意證券組合p， bkp bkL bLp l定理3.9：對于證券組合p， ，

22、當(dāng)且僅當(dāng)對所有的有效證券組合k，bkp0 fprrE)(l定理3.10：設(shè)k是有效證券組合，對于任意的證券組合p，則，l定理的要點(diǎn)是說明誤差部分滿足兩個(gè)性質(zhì)l定理3.11：用多個(gè)可行證券組合進(jìn)行定價(jià)的公式L有效組合其中，,)(,)()(00pLeppfkekpfpruEErrbrrl設(shè)k是有效證券組合， 是相對于k的b值等于0（bk00）的證券組合的收益率kr0NirErEbrErErErErErEbkkekikikkekiki,.,)()()()()()()()(10000l第一，效用函數(shù)u()是平方函數(shù)，u()線性l第二，有效證券組合收益率 和證券i的收益率 是正態(tài)分布l在這兩種情況下，b值的表達(dá)式中的效用函數(shù)u()