離散數(shù)學(xué)+高等里離散數(shù)學(xué)課件CHAPT17

1、離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 1第十七章群離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 2目錄 群是由非空集合與一個(gè)定義在該集合上的二元運(yùn)算所組成的代數(shù)系統(tǒng)。本章介紹： 17.1 群的概念 17.2 子群 17 3 置換群 17.4 陪集與Lagrange定理 17.5 同態(tài)與同構(gòu)離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 317.1 群的概念離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 4群的定義 定義定義17.1.1：設(shè)G是一個(gè)非空集合，在該集合上有一個(gè)二元運(yùn)算“”。如果該運(yùn)算滿足： 對(duì)任意a, bG，有abG； 對(duì)任意a, b,cG ，有(ab)c = a(bc) 存在 eG，使對(duì)任意aG ，有ea = ae = a； 對(duì)任意aG，存在a1G，使得aa1

2、= a1a = e； 則稱G為一個(gè)群，其中e稱為G的單位元， a1稱為a的逆元。封閉性結(jié)合律有單位元有逆元以后就把群的代數(shù)運(yùn)算稱為乘法。P10離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 5群的例子n 例1：G=a，乘法為 aa = a。n aa = aG，滿足封閉性；n (aa)a= aa = a(aa)，滿足結(jié)合律；n 由aa = a可知a是單位元，即e = a；n 由aa = a可知a的逆元就是a，即a1=a；nG是一個(gè)群。稱為單位元群。n例2：設(shè)G是全體整數(shù)的集合，于是G對(duì)普通加法構(gòu)成群。n 對(duì)m, nG，有m + nG，滿足封閉性；n (m + n) + l = m + (n + l)，滿足結(jié)合律；n 存

3、在單位元0，因?yàn)? + m = m + 0 = m；n 對(duì)mG，有mG，m+(m)=m+m=0； nG是一個(gè)群。n例3：設(shè)G是全體整數(shù)的集合，于是G對(duì)普通乘法不構(gòu)成群。n 若G是群，則G的單位元必定是1，但是對(duì)于mG，當(dāng)| m | 1時(shí)，m的逆元不存在； nG不是一個(gè)群。n例4：設(shè)G是全體實(shí)數(shù)的集合(0除外)，于是，不難驗(yàn)證G對(duì)普通乘法構(gòu)成群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 6群的大小 群G的大小是指集合G的大小。對(duì)于一個(gè)群G， (1)若G是無(wú)限集，則稱G為無(wú)限群； (2)若G是有限集，則稱G為有限群。對(duì)于有限群，又進(jìn)一步地稱 (3)G為n階群，若| G | = n。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 7冪運(yùn)算

4、由于群對(duì)乘法滿足結(jié)合律，因此多個(gè)元素的連乘是有意義的，并可采用任意的計(jì)算順序。 n個(gè)相同元素a連乘所得的結(jié)果稱為a的n次方冪，記為an。 規(guī)定：a0 = e，an = ( an )1。容易驗(yàn)證am an = am+n (第一指數(shù)律)；(am) n = am n (第二指數(shù)律)。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 8交換群 群的乘法滿足結(jié)合律，是構(gòu)成群的必要條件，但是并不要求滿足交換律。 若群G的乘法還同時(shí)滿足交換律，即對(duì)任意 a, bG，ab = ba，則稱G為Abel (阿貝爾) 群或交換群。 對(duì)于交換群，我們有(a b) m = am bm (第三指數(shù)律)。因?yàn)椋?(a b) m =ababab=aa

5、abbb= am bm m個(gè)m個(gè)m個(gè)離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 9單位元和逆元的唯一性 定理定理17.1.1：任何群的單位元是唯一的；群中每個(gè)元素的逆元也是唯一的。 證明：設(shè)群G的單位元為e，于是對(duì)aG，有ae = ea = a (17.1) 若另有e滿足對(duì)aG，有ae = ea = a (17.2)。 則由 a 的任意性，在(17.1)中令a = e,得ee=ee=e;在(17.2)中令a = e，得ee=ee=e,于是e = ee = e。故e = e。 對(duì)aG，設(shè)b滿足ab=ba=e(滿足逆元的條件)，則b=be=b(aa1)=(ba)a1= a1。 故b = a1。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)

6、10左單位元和左逆元 定理定理17.1.2：群定義中的條件和可減弱為： (3)G中有左單位元e，即對(duì)aG，ea = a； (4)對(duì)aG，有左逆元，即a1G，a1a = e。 證明：先證左逆元a1即右逆元，即a a1 = e。 a1G，存在bG，使ba1 = e。于是 aa1 = eaa1 = (ba1)(aa1) = b(a1a)a1 = bea1=ba1=e。 再證左單位元e也是右單位元。對(duì)aG，有ae = a(a1a) = (aa1)a = ea = a。 所以左單位元即右單位元，左逆元即右逆元。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 11可除條件 定理定理17.1.3：群中條件和等價(jià)于可除條件：對(duì)a,

7、bG，有x, yG，使得xa = b，ay = b。注意：左除和右除一般是不相同的?？沙龡l件說(shuō)明了什么？可除條件說(shuō)明了方程： xa = b 和 ay = b在群中都是有解的。這也是群的一個(gè)重要性質(zhì)。n證明：設(shè)G為群，對(duì)a, bG，令x = ba1, y = a1b, 則有:nxa =(ba1)a = b(a1a)= be = b；ay = aa1b = eb = b。n 反之可除條件成立。任取cG，有xG滿足xc = c。令x為eG。又對(duì)aG,有yG使cy = a,于是ea = ecy =cy = a，即e為左單位元。n 又對(duì)aG，有xG，使xa=e。令x為a1，即a1是a的左逆元。所以G構(gòu)成

8、群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 12消去律 若G上的乘法運(yùn)算滿足：對(duì)a, b, cG，若ab = ac或ba = ca，則有b = c。則稱G上的乘法運(yùn)算滿足消去律。 群的運(yùn)算是滿足消去律的。因?yàn)椋?設(shè)G是群，a, b, cG。若ab=ac或ba=ca，則用a1左乘ab=ac，右乘ba=ca，就有b=c。如：a1(ab)= a1(ac), (a1a)b=(a1a)c, b=c。 反之，若G上的運(yùn)算滿足封閉性、結(jié)合律和消去律，G是否構(gòu)成群呢？No！No！No！離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 13 若G上的運(yùn)算滿足封閉性、結(jié)合律和消去律，G不一定能夠構(gòu)成群。 如：令G為正整數(shù)集合，運(yùn)算為普通乘法，顯然滿足封閉

9、性、結(jié)合律和消去律，但是我們知道，它不構(gòu)成群，因?yàn)槌龁挝辉?，它的元素沒(méi)有逆元。 但是如果G是一個(gè)有限集合，則可以構(gòu)成一個(gè)群。集合滿足消去律不一定成群離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 14有限集滿足消去律可成群 定理定理17.1.4：設(shè)G是有限集，于是群G定義中的,可用消去律代替。n證明：設(shè)G=a1, a2, , an, aG，由封閉性有：aaiG,i=1,n,于是，aa1, aa2, , aan G。n又由消去律知，若i j，則aai aaj。因此aa1, aa2, , aan = G。n于是G中任意元b可以寫成b = aai的形式，即x=ai是方程ax=b的解。同理可證b=xa在G中有解。因此可除條

10、件成立。故G是群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 15群表 表示有限集上二元運(yùn)算的二維表格稱為乘法表。 有限群的乘法表稱為群表。n例如：設(shè)群G = e, a, b，其運(yùn)算法則可以表示為下面的群表：eabeeabaabebbean由群的運(yùn)算滿足消去律可知，任何群表中不同的行(列)對(duì)應(yīng)的元素均不相同，而且每個(gè)元素在群表中的每行(列)恰好出現(xiàn)一次。n此性質(zhì)是構(gòu)成有限群的必要條件，但不是充分的。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 1617.2 子群離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 17子群的概念 定義定義17.2.1：設(shè)G是一個(gè)群，H是G的非空子集。如果H對(duì)G的運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，則稱H是G的子群，記為HG。 任何群都至少有兩個(gè)子群，

11、即H=e以及H=G。它們稱為G的平凡子群。 例如：整數(shù)集Z對(duì)加法構(gòu)成加法群，而偶數(shù)集對(duì)于加法就構(gòu)成加法群Z的子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 18子群的不變性 定理定理17.2.1：設(shè)G是群，HG，于是H的單位元就是G的單位元，H中 a 的逆元也就是 a 在G中的逆元。 證明：設(shè)e是H的單位元，對(duì)aHG有ea=a=ea，即ea=ea，由消去律有e=e。 又aHG ，設(shè) a 的逆元為 b，則有ab=e=aa1，于是b=a1。 由此可知子群的單位元和逆元都沒(méi)有變。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 19封閉有限子集構(gòu)成子群 定理定理17.2.2：設(shè)G是群，H是G的非空有限子集，于是，若H對(duì)G的乘法運(yùn)算是封閉的，則

12、H必是G的子群。 證明：由HG知，H關(guān)于G的運(yùn)算滿足結(jié)合律。 任取aH，由封閉性有：a, a2, a3, H。因H是有限集，必存在正整數(shù) i , j，不妨設(shè)ij，使得ai = aj，于是有ai = aiaji , aHG且i0,故由消去律有，ai-1 = ai-1aji , ,于是，a = a aji = ajia， 這說(shuō)明是aji是H的單位元。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 20封閉有限子集構(gòu)成子群 定理定理17.2.2：設(shè)G是群，H是G的非空有限子集，于是，若H對(duì)G的乘法運(yùn)算是封閉的，則H必是G的子群。 證明：這說(shuō)明是aji是H的單位元，即e = aji。n下證a的逆元在H中。n若j i 1, 則

13、由aji =e=aaji1知，aji1H是a的逆元。若j i = 1, 則aji =a =e，a以自身為逆元。n總之由群的定義，H是群，故H是G的子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 21封閉無(wú)限子集不一定是子群 群的封閉有限子集是子群，那么群的封閉無(wú)限子集是不是也構(gòu)成子群呢？ 不一定！ 例如，整數(shù)集Z對(duì)普通加法構(gòu)成加法群，自然數(shù)集N是整數(shù)集的子集，并且對(duì)普通加法運(yùn)算是封閉的，但是自然數(shù)集對(duì)加法并不構(gòu)成群。因?yàn)闊o(wú)單位元和逆元。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 22無(wú)限子集構(gòu)成子群的條件 定理定理17.2.3：設(shè)G是群，H是G的非空子集。如果對(duì)a, bH有ab1H，則H是G的子群。 證明：H非空, 有aHG, e

14、=aa1H。 對(duì)aH, eH, a1 = ea1H。 對(duì)a, bH，由 有b1H，又(b1)1=b，ab = a (b1)1 H。即G的運(yùn)算在H中封閉。 由于HG，因此G的運(yùn)算在H中滿足結(jié)合律。 綜上所述，H是G的子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 23子群的交集和并集 一個(gè)群的若干個(gè)子群的交集仍然是它的子群。 證明：設(shè)H和K都是群G的子群。eHK， HK非空。任取a, bHK。H和K都是G的子群，b1H且b1K，于是ab1H且ab1K，從而ab1HK。由定理17.2.3知， HK是G的子群。n但是，群的若干個(gè)子群的并集不是它的子群。n例如，加法群Z中，03和04都是Z的子群，而它們的并集0304卻

15、不是它的子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 24生成的子群 定理定理17.2.4：設(shè)G是群，aG，令H = an | nZ(整數(shù)集) 于是，H是G的子群，記為H=(a)，并稱H是由a生成的子群。 證明：e=a0H，H非空。任取as, atH，則有， as(at)1 = asat = ast H， 故由定理17.2.3知，H = (a)是G的子群離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 25循環(huán)群 定義定義17.2.2：設(shè)G是群，若有aG，使得(a) = G， 則稱G是由a生成的循環(huán)群，a稱為G的一個(gè)生成元。 顯然，循環(huán)群中的每一個(gè)元素都可以表示為a的方冪。 顯然，循環(huán)群是交換群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 26循環(huán)群的構(gòu)

16、造 設(shè)G是群，(a)=G，考慮(a)的所有元素：a3, a2, a1, a0, a1, a2, a3, (17.3) 其中a0 = e。關(guān)于(17.3)中的元素有兩種情形： 所有元素互不相等，即st有as at，則稱a的周期(或階)為無(wú)窮大，稱(a)為無(wú)限循環(huán)群。 存在整數(shù)s, t，不妨設(shè)st，使得as = at 。于是ats = a0 = e，t s 0。若n是使得an = e成立的最小正整數(shù)，則稱a的周期(或階)為n，并稱(a)為n階循環(huán)群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 27循環(huán)群舉例 例2：加法群Z的生成元有1和1，即Z = ( 1 ) = ( 1 )。而且，兩個(gè)生成元的周期均為無(wú)窮大，所以加

17、法群Z是無(wú)限循環(huán)群。n例3：設(shè)群G = e, a, b, c的n群表如右：eabceeabcaaecbbbcaeccbeanb2=a, b3=c, b4=e, G=(b)。nc2=a, c3=b, c4=e, G=(c)。nG是循環(huán)群，b, c是它的兩個(gè)生成元。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 28n階循環(huán)群 定理定理17.2.5：若群G中元素a的周期為n，則 e, a, a2, a3, , an1為n個(gè)互不相同的元素； am = e當(dāng)且僅當(dāng)n | m； as = at當(dāng)且僅當(dāng)n | (s t)。 證明：先證。設(shè)m = qn+r，0rn，于是am = aqn+r = (an)q ar = ear = a

18、r = e， 0rn, ar=e, 即am=e, 當(dāng)且僅當(dāng)r=0, 即n|m。 由知，as = at，當(dāng)且僅當(dāng)ast = e，當(dāng)且僅當(dāng)n | (s t)。故得證。并由此可知成立。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 29循環(huán)群的子群仍是循環(huán)群 定理定理17.2.6：循環(huán)群的子群仍是循環(huán)群。 證明：設(shè)循環(huán)群G=(a)，H是G的子群。不妨設(shè)H是G的非平凡子群，于是必存在amH，其中m0。令am是H中關(guān)于a的最小正冪。 任取asH，設(shè)s = t m + r，0rm，于是ar = astm = as (am)t H am是H中a的最小正冪, r=0，即ar =e。 as=(am)t，即H的元素均可表為am的方冪。故

19、 H= ( am )。 離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 30循環(huán)群中子群的數(shù)量 定理定理17.2.7：無(wú)限循環(huán)群有無(wú)限多個(gè)子群，其中除單位元群e是一階子群外，其余子群均是無(wú)限循環(huán)群。n 階循環(huán)群的子群的個(gè)數(shù)等于 n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)。 證明：設(shè)G = ( a )，H是G的子群。于是根據(jù)定理17.2.6，H可寫成H = ( am )， 其中，m是H中a的最小正冪。 下面就G是無(wú)限群或n階群分別予以討論：離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 31無(wú)限循環(huán)群中子群的數(shù)量n定理定理17.2.7(1)：無(wú)限循環(huán)群有無(wú)限多個(gè)子群，其中除單位元群e是一階子群外，其余子群均是無(wú)限循環(huán)群。 證明：設(shè)G是無(wú)限循環(huán)群，則a的周期為無(wú)窮大，任

20、取mZ，am的周期也是無(wú)窮大。令Hm為：a3m, a2m, am, a0=e, am, a2m, a3m, 顯然Hm是無(wú)限循環(huán)群。 又對(duì)i, jZ，| i | | j |，因a的周期為無(wú)窮大，所以HiHj。故G有無(wú)窮多個(gè)子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 32n階循環(huán)群中子群的數(shù)量n定理定理17.2.7(2)： n 階循環(huán)群的子群的個(gè)數(shù)等于 n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)。 證明：設(shè)G為n階循環(huán)群，a的周期為n。因m是H中最小正冪，而an=eH，n0,故mn。 令n=q m+t，0tm。于是e = an =aqm at，at=(am)qH，又0tm，故t=0，n=q m。 于是am的周期為q，H = (am)是一

21、個(gè)q 階有限群。 設(shè)G另有一個(gè)q階子群H，則H = (am)，于是n=mq=m q。從而m=m，即am=am，H=H。 由此可知，對(duì)n的任意因數(shù)q，(an/q)就是G的唯一的q階子群。定理得證。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 33一個(gè)12階循環(huán)群的子群 例如：12階循環(huán)群G= (a) = a1, a2, a3, , a11 , a12 = e。 12的正因數(shù)有1, 2, 3, 4, 6, 12，于是G的子群有： (a12/1) = (a12 ) = e ; (a12/2) = (a6) = e, a6 ; (a12/3) = (a4 ) = e, a4 , a8 ; (a12/4) = (a3 ) =

22、 e, a3 , a6 , a9 ; (a12/6) = (a2 ) = e, a2 , a4, a6 , a8 , a10 ; (a12/12) = (a ) = G。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 34循環(huán)群的生成元 定理定理17.2.8：設(shè)G=( a )，于是 若a的周期為無(wú)窮大，則G只有生成元a和a1。 若a的周期為n，則at是G的生成元當(dāng)且僅當(dāng)t與n互質(zhì)。于是n階循環(huán)群共有(n)個(gè)生成元，其中(n)是n的Euler函數(shù)。 證明：G=(a)，a是G的生成元。而對(duì)于i，ai = (a1) i, 故a1是G的生成元。 設(shè)b也是G的生成元，則s, t, 使得b=as, a=bt。于是a=bt=(as

23、)t=ast。因?yàn)閍的周期無(wú)窮大，必有st=1，從而s=1，即b=a或者b=a1。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 35循環(huán)群的生成元 證明： 設(shè)a的周期為n，若at是G的生成元，則有G=(a)=(at)，類似地有整數(shù)m，使得a = (at)m = atm， 由定理17.2.5知，n | (tm 1)，即tm1=nq，也即tm+nq=1，這說(shuō)明t與n互質(zhì)。 反之，若t與n互質(zhì)，則有整數(shù)u, v使得tu + nv = 1。 于是對(duì)a，a=a(an)v= a1nv = (at)u，即a可以表示為at的方冪。所以at是G的生成元。 所以，G共有(n)個(gè)生成元。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 36例如： 循環(huán)群G=(a

24、)=e,a,a2,a3,a11,因a的周期為12，(12)=4，即與12互質(zhì)的數(shù)為1,5,7,11共4個(gè)，因此，G的生成元是：a,a5,a7,a11。下面以a7為例來(lái)生成G： a7G， 27=12+2,a27=a12+2=a12a2=ea2=a2 同理，a37=a12+9=a9, a47=a122+4=a4 a57=a122+11=a11, a67=a123+6=a6 a77=a124+1 =a , a87=a124+8=a8 a97=a125+3 =a3, a107=a125+10=a10 a117=a126+5=a5, a127=a0=e離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 3717.3 置換群離離 散

25、散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 38置換 定義定義17.3.1：設(shè)M是n元有限集。M到M的一個(gè)雙射稱為M上的一個(gè)n元置換，簡(jiǎn)稱為置換。 為簡(jiǎn)單起見，常設(shè)M=1, 2, , n，將M上的置換表示為： 1 2 n (1) (2) (n) =n由于是雙射，因此(1), , (n)是1,2,n的一個(gè)排列。所以n元集合M上一共有n!個(gè)n元置換。一般用S n表示這n!個(gè)置換作成的集合。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 39置換的乘法 定義Sn上的乘法運(yùn)算為：對(duì)于, S n，iM， (i) = ( i )，即先執(zhí)行置換再執(zhí)行置換。 顯然，仍是M上的n元置換。即置換的乘法滿足封閉性。n例如：設(shè) =1 2 3 42 1 3 4 =1 2

26、 3 43 2 4 1n則=1 2 3 43 1 4 2=1 2 3 42 3 4 1n由此可知，置換的乘法不滿足交換律。(1)=3, (3)=3, (1)= (3)=3 (2)=2, (2)=1, (2)= (2)=1(3)=4, (4)=4, (3)= (4)=4(4)=1, (1)=2, (4)= (1)=2?離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 40置換乘法的性質(zhì) 滿足結(jié)合律：() = () 因?yàn)閷?duì)任意iM，有 ()(i) = ()(i) = (i) ()(i) = (i) = (i) 。 Sn的單位元是n元恒等置換 e = 。1 2 n1 2 n顯然對(duì)Sn，有e = e = 。n對(duì)Sn，存在逆元1

27、，使得 1 = 1 = e (恒等置換)。 因?yàn)閷?duì)Sn，存在逆映射1,則對(duì)iM ,有 1(i)= 1 (i)=i, 1(i)= (1(i)=i離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 41S n稱為n元對(duì)稱群 定理定理17.3.1：n元集合M上的全體n元置換所組成的集合S n對(duì)置換的乘法作成一個(gè)群，稱為n元對(duì)稱群，其階為n！。 證明：因S n對(duì)置換乘法是封閉的，滿足結(jié)合律，有單位元(恒等置換)，有逆元，故S n作成群。n例2：S2 = 1，2是一個(gè)2階交換對(duì)稱群，其中：1 = e =1 21 2，2 = 1 22 1n例3：S3 = 1, 2, , 6是一個(gè)6階非交換對(duì)稱群，其中i，1i6， 均為三元置換，例如

28、：6 = 1 2 33 1 2n定義定義17.3.2：對(duì)稱群的子群統(tǒng)稱為置換群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 42對(duì)稱群S4 讓我們來(lái)看看4元對(duì)稱群S4： 因|S4| = 4! = 24，所以S4有24個(gè)置換。 因此S4就是4個(gè)元素的全部排列，即S4 = e=1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321 離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 43輪換表示法n在S3中 6 = 1

29、 2 33 1 2n 表示將1映射到3， 將3映射到2，將2映射到1。于是可將6 寫成(132)。n這種表示方法稱為輪換表示法n定義定義17.3.2：設(shè)M=1, 2, , n， Sn，若存在這樣一個(gè)序列( i1i2ir )，1rn，使得 ( ij ) = ij+1, j=1,2,r-1； ( ir ) = i1；( is ) = is, s=r+1,n。 則稱為一個(gè)輪換，記為 = ( i1i2ir )，r稱為該輪換的長(zhǎng)度，記為| = r；特別地，用( 1 )表示恒等變換e。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 44輪換表示法 簡(jiǎn)單地說(shuō)，一個(gè)輪換，比如 = (i1 i2 i3 i4)，就是將i1i2i3i4進(jìn)

30、行循環(huán)變換，即將i1變換成 i2，i2變換成i3， i3變換成i4，i4 變換成i1，而其它的元素依然維持不變。n因?yàn)檩啌Q是一種循環(huán)變換，所以可選取任意一個(gè)元素為首。即(i1 i2 i3 i4)=(i2 i3 i4 i1)=(i4 i1 i2 i3)。n長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2的輪換稱為的輪換稱為對(duì)換對(duì)換。如： =1 2 3 4 51 3 2 4 5= ( 2 3 )。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 45輪換的性質(zhì) 定義定義17.3.4：設(shè) = (i1i2ir), = (j1j2js)是M的兩個(gè)輪換。若i1, i2, , ir j1, j2, , js = ，則稱和不相交。 命題命題17.3.1：若和是M上兩個(gè)

31、不相交的輪換，則= ，即不相交的輪換的乘法滿足交換律。 證明：設(shè) = (i1i2ir), = (j1j2js)是M的兩個(gè)不相交的輪換。對(duì)k M，k只能是下列三種情形之一：離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 46命題17.3.1的證明 = (i1i2ir), = (j1j2js) ki1,i2,ir，則kj1,j2,js,不妨設(shè) k=it 1 t r，于是， (k)= (it )= (it)= it+1 (k)= (it)= (it+1)= it+1 當(dāng)t=r時(shí)， it+1=i1，故有(k)= (k)。 k j1,j2,js ，則類似地有(k)= (k)。 ki1,i2,ir且 kj1,j2,js,則 (k

32、)= (k)=k, (k)= (k)=k。 綜上所述， (k)= (k)，故= 離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 47n并不是任何一個(gè)置換都是一個(gè)輪換，例如： =1 2 3 4 53 5 4 1 2n就不能表示為一個(gè)輪換。n然而，不難看出可以表示為兩個(gè)輪換的乘積： = (134) (25) = (25) (134)n這里，(134)和(25)是兩個(gè)不相交的輪換。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 48置換是輪換的乘積n命題命題17.3.2：任何置換可表示為互不相交的輪換的乘積。除輪換的秩序外，表示是唯一的。 證明：設(shè)是M上的置換，|M| = n。 任取i1M，若(i1)=i1，則令1=(i1)；若(i1)=i2，(

33、i2)=i3，。由于M有限且是雙射，所以必ir，使得(ir)=i1，則令1=(i1i2 ir)。 若r=n，則= 1，否則有j1i1, i2, , ir， j1M。于是類似地可得到輪換2=(j1j2 js)。 為是雙射，1和2不相交。若r+s=n,則 = 1 2 ，否則如上又可得到一個(gè)輪換。如此作下去，由于M有限，最后必有= 12m。即 表示成了互不相交的輪換的乘積。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 49置換是輪換的乘積 （ = 12m） 設(shè)=12m，1, 2, m互不相交。 任取其中某個(gè)輪換1= (i1i2 ir)，則i1必出現(xiàn)在某個(gè)i中，因?yàn)檩啌Q中任意元素可排在首位，所以不妨設(shè)i1在i中也是排在首位

34、。又因是雙射，則1與j有著完全相同的元素序列。所以1= i 。因此i，必有i=j。即除排列的次序外，置換的輪換表示是唯一的。n命題命題17.3.2：任何置換可表示為互不相交的輪換的乘積。除輪換的次序外，表示是唯一的。n證明：再證除輪換的次序外，表示是唯一的。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 50用輪換表示S4 S4 = 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4321, 4312, 4231 (

35、1)(34)(23)233442(234)244332(243)(24)(12)(12)(34)(123)12233441(1234)12244331(1243)122441(124)133221(132)13344221(1342)(13)(134)(13)(24)13322441(1324)(1432)(142)(143)(14)(23)(1423)(14)n于是可將S4表示為如下的輪換的形式：nS4=e, (34), (23), (24), (234), (243), (12), (123), (124), (1234), (1243), (12)(34), (13), (132), (

36、134), (1342), (1324), (13)(24), (14), (142), (143), (1432), (1423), (14)(23)離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 51輪換可以表示為對(duì)換 設(shè)= (i1i2 ir)是一個(gè)輪換，不難驗(yàn)證： = (i1i2 ir) = (i1ir) (i1ir1) (i1i3) (i1i2) = (i1i2) (i2i3) (ir1ir)n命題命題17.3.3：任何置換可以表示成為一些對(duì)換的乘積，但是表示法不唯一。n例如： =1 2 3 4 52 3 1 5 4n= (123)(45)n= (13)(12)(45)n= (12)(23)(45)n= (1

37、2)(13)(45)(13)(23)讓我們來(lái)驗(yàn)證一個(gè)：(12)(13)(45)(13)(23) 12345=(12)(13)(45)(13) 13245=(12)(13)(45) 31245=(12)(13) 31254=(12) 13254 = 23154離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 52用對(duì)換表示S4 于是可將S4表示為如下的對(duì)換乘積的形式： S4 = e, (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (124), (132), (134), (142), (143), (234), (243), (13)(24), (12)(34), (14)(23)

38、, (1234), (1243), (1342), (1324), (1432), (1423) (12)(23), (12)(24), (13)(23), (13)(34),(14)(24), (14)(34), (23)(34), (24)(34),(12)(23)(34),(12)(24)(34),(13)(34)(24),(13)(23)(24),(14)(34)(23),(14)(24)(23)離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 53置換的奇偶性 將n元置換表示為對(duì)換的乘積，若其對(duì)換的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則稱為奇置換，否則稱為偶置換。 若= (i1i2 ir)是輪換，則 = (i1i2) (i2i3)(

39、ir1ir)是它的一種對(duì)換乘積。它含有r 1個(gè)對(duì)換。 若 = 12r，其中1, 2 , , r 互不相交。令| i | = li，于是含有的對(duì)換個(gè)數(shù)為: r r(li 1) =li r = n r i=1 i=1n所以若n r為奇數(shù)，則 為奇置換；若n r為偶數(shù)，則為偶置換。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 54置換的奇偶性不變 命題17.3.4：將n元置換表示成對(duì)換的乘積后，其對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性由 唯一決定。 證明：首先定義一個(gè)n元置換 的符號(hào)為：sgn() = (1)nr, 其中= 12 r， 1, 2, , r為互不相交的輪換，且| i | = n。進(jìn)而證明sgn() = sgn() sgn()。

40、為此證明用對(duì)換(is, it)左乘置換將使sgn()變號(hào)。 設(shè)置換可表示為h個(gè)互不相交的輪換，于是is和it出現(xiàn)在中的情況只能有如下兩種：離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 55置換的奇偶性不變 證明： is和it分別出現(xiàn)在的兩個(gè)輪換中，即 = (isj1 jl) (itk1 km) 于是： (isit) =(isj1 jl itk1 km)。？(isit)(isj1 jl) (itk1 km) = (isit) j1 jl is k1 kmit = j1 jl it k1 kmis = (isj1 jl itk1 km)n因?yàn)閟gn() = (1)nh，而(isit)恰比少一個(gè)輪換，所以sgn(isit

41、) = (1) sgn()。n is和it出現(xiàn)在的同一個(gè)輪換中，即 = (isj1 jl itk1 km)n于是： (isit) =(isj1 jl) (itk1 km)？(isit)(isj1 jl itk1 km) = (isit) j1 jl it k1 kmis = j1 jl is k1 kmit = (isj1 jl )( itk1 km)n從而也有：sgn(isit) = (1) sgn()。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 56置換的奇偶性不變 證明：總之，用一個(gè)對(duì)換乘使sgn()變號(hào)，等于nr個(gè)對(duì)換的乘積，故用乘將使sgn()變號(hào)nr次，即sgn() = (1)nr sgn() = s

42、gn() sgn()。 由此可知，奇偶性相同的置換的乘積為偶置換，而奇偶性相異的置換的乘積為奇置換。 因?yàn)閷?duì)換是奇置換，所以奇數(shù)(偶數(shù))個(gè)對(duì)換的乘積是奇置換(偶置換)。所以奇(偶)置換只能表示為奇數(shù)(偶數(shù))個(gè)對(duì)換的乘積。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 57奇偶置換一樣多 命題17.3.5：設(shè)M是非空有限集，|M|=n1。于是在M的所有n!個(gè)n元置換中，奇置換和偶置換是一樣多，都等于n!/2。 證明：設(shè)1, 2, , m為Sn中所有偶置換。因?yàn)閚1，故存在一個(gè)對(duì)換，使得1, 2, , m為Sn中的m個(gè)奇置換。又易知i j，否則將導(dǎo)致i =j (ij)的矛盾。所以奇置換不少于偶置換。 同理可以證明偶置換不

43、少于奇置換。于是兩者數(shù)目相等，即各為n!/2。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 58交錯(cuò)群 定理17.3.2：設(shè)Sn為n(1)元對(duì)稱群，令A(yù)n = iSn | i為偶置換。 則An是Sn的子群，稱為n元交錯(cuò)群或交代群，其階為n!/2。n注意：奇置換不能作成子群！離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 59交錯(cuò)群的例 例4：A3 = e, (123), (132)是S3的子群，是三元交錯(cuò)群，其階為3。 S4=e, (12), (13), (14), (23), (24), (34), (12)(23), (12)(24), (12)(34), (13)(23), (13)(34), (13)(24), (14)(23),

44、 (14)(24), (14)(34), (23)(34), (24)(34), (12)(23)(34), (12)(24)(34), (13)(34)(24), (13)(32)(24), (14)(42)(23), (14)(43)(23) n于是獲得S4的所有偶置換，構(gòu)成了交換群A4：nA4 = e, (12)(23), (12)(24), (12)(34), (13)(23), (13)(34), (13)(24), (14)(23), (14)(24), (14)(34), (23)(34), (24)(34) n這是四元交錯(cuò)群，其階為12。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 60交錯(cuò)群的例

45、例5：K = e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)是一個(gè)4階的4元置換群，稱為Klien四元群。 不難驗(yàn)證： (12)(34)(13)(24) = (13)(24)(12)(34) = (14)(23); (12)(34)(14)(23) = (14)(23)(12)(34) = (13)(24); (13)(24)(14)(23) = (14)(23)(13)(24) = (12)(34)。(12)(34)(13)(24) 1234 = (12)(34)3412 = 4321 = (14)(23)n因此K具有封閉性，所以K是一個(gè)群。n注意：K不是四元交錯(cuò)群，而是四元

46、交錯(cuò)群A4 (也是對(duì)稱群S4)的子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 61交錯(cuò)群的例 例6：G=e,(12),(34),(12)(34),(13)(24), (14)(23), (1324),(1423)是一個(gè)8階4元置換群，S4的子群。 來(lái)驗(yàn)證一個(gè)偶置換與奇置換的乘積：(12)(34)(1324)=(12)(34)3421=4312=(1423) 對(duì)于其它的也不難驗(yàn)證其封閉性。故G是群。 此例說(shuō)明奇偶置換混在一起也能作成子群。 當(dāng)n11，Sn的所有子群已全部找出；當(dāng)n11，只能找出一些具有特殊性質(zhì)的置換群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 6217.4 陪集與 Lagrange定理離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 63

47、集合的乘積 定義17.4.1：設(shè)A，B是群G的兩個(gè)非空子集，集合AB = ab | aA，bB 稱為A與B的乘積。 當(dāng)集合中只含一個(gè)元素時(shí)，即當(dāng)A= a或B=b，AB簡(jiǎn)記為aB 或Ab。 不難驗(yàn)證，集合的乘法滿足結(jié)合律。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 64陪集 定義17.4.2：設(shè)H是群G的子群，aG，集合aH (Ha)稱為由a 確定的H在G中的左(右)陪集，簡(jiǎn)稱為H的左(右)陪集，a 稱為 aH(Ha) 的代表元素。 例1：在加法群Z中，所有5的倍數(shù)構(gòu)成Z的一個(gè)子群，5Z = , 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 。于是以2為代表元素的5Z在加法群Z中的左陪集為：2+5Z = , 1

48、3, 8, 3, 2, 7, 12, 17, 。 實(shí)際上2+5Z=k | k2(mod 5)。它不是子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 65左陪集的性質(zhì) 性質(zhì)1：aH的元素和H一樣多。 性質(zhì)2：aH = H，當(dāng)且僅當(dāng) aH。 性質(zhì)3：若baH，則aH = bH。 性質(zhì)4：aH = bH，當(dāng)且僅當(dāng)a1bH，a, bG。 性質(zhì)5：任意兩個(gè)左陪集aH和bH或者相等，或者互不相交。 同理可知，左陪集的這些性質(zhì)對(duì)于右陪集同樣成立。 離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 66aH和H等勢(shì) 證明：作H到aH的映射 f 如下：f ( x ) = ax 對(duì)任意xH。 顯然，f 是一個(gè)雙射，故 |aH| = |H|。 性質(zhì)1說(shuō)明：子

49、群H的任何陪集都和H等勢(shì)，從而所有陪集的大小也都是一樣的。 因此，若用子群的陪集來(lái)劃分一個(gè)群，這個(gè)劃分必定是均勻的。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 67自己只能代表自己 證明：設(shè) aH = H。 因?yàn)镠是G的子群，所以eH，從而ae = aaH =H，故aH。 反之，設(shè)aH，任取baH，則有hH，使b = ah，但ahH，因此bH。這說(shuō)明aHH。又任取bH，因H是群，且aH，故ax=b在H中有唯一解(xH,axaH)。于是baH，這說(shuō)明HaH?？傊衋H = H。 這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明H中元素只能代表H自己。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 68同陪集者，誰(shuí)作代表都一樣 證明：因?yàn)?baH，所以有 hH，使得b = a

50、h，于是bH = (ah)H = a(hH)， 又由性質(zhì)2，hH = H，故 bH = aH。 性質(zhì)3說(shuō)明：一個(gè)陪集中的任何元素都可以作為該陪集的代表元素，所確定的陪集都是一樣的。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 69陪集相等的充要條件 證明：設(shè)a1bH，則有hH使a1b = h，從而b = ah aH，由性質(zhì)3知，aH = bH。 反之，設(shè)aH = bH。因?yàn)閑H，所以bebH=aH。從而有hH，使be=ah=b，于是 h= a1bH。 此性質(zhì)給出了判斷兩個(gè)陪集是否相等的充要條件。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 70不同的陪集互不相交 證明：若aHbH，則有caH，并且cbH，由性質(zhì)3，得aH = cH且bH

51、 = cH， 故aH = bH 。 由此性質(zhì)知，不同的陪集是互不相交的。 因此可以用群G的某個(gè)子群H的左(右)陪集來(lái)對(duì)群G進(jìn)行劃分。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 71群的陪集分解式 設(shè)H是群G的子群，取a1=eG，則H=a1H是H在G中的一個(gè)陪集； 若a1HG，則取a2G且a2a1H，得到新的陪集a2H，顯然a1Ha2H = ； 若a1Ha2HG，則取a3G且a2a1Ha2H，得到新的陪集a3H；顯然a3HaiH=，i = 1, 2； 如此下去，便會(huì)有：G = a1Ha2HanH (17.10) 式(17.10)便稱為G對(duì)H的(左)陪集的分解式。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 72子群的指數(shù) 定義17.4.

52、3：群G對(duì)其子群H的(左)陪集的分解式中(左)陪集的個(gè)數(shù)稱為H在G中的指數(shù)，記為|G: H|或者(G: H)。 當(dāng)G是有限群時(shí)，|G: H|必是有窮的；當(dāng)G是無(wú)限群時(shí)，|G: H|是有窮的還是無(wú)窮的與H有關(guān)。 例如：|Z: nZ| = n，其中, nZ = in | iZ， Z = nZ(1+nZ)(2+nZ)(n1)+nZ)。 例如：設(shè)Q為全體有理數(shù)對(duì)加法作成的加法群，H是所有偶數(shù)作成的子群，于是|Q: H|是無(wú)窮的。因2i + H就是無(wú)窮個(gè)不同的左陪集，i = 0, 1, 離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 73Lagrange定理 定理17.4.1：有限群G的子群H的階是G的階的因數(shù)，且 |G| =

53、 |G: H| |H|。 證明：設(shè)G對(duì)H的陪集分解式為G = a1Ha2HamH。 由性質(zhì)1知，|aiH| = |H|，i = 1, m。又由性質(zhì)5知，aiHajH=，ij。于是|G| = |aiH| ( i = 1, m ) = |H| = m|H| = |G: H| |H|。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 74幾個(gè)推論 推論17.4.1：設(shè)G是有限群，|G|=n。于是對(duì)任意aG，a的周期必為n的因數(shù)，且an = e。n證明：設(shè)aG的周期為m，于是H=(a)是G的一個(gè)m階(循環(huán))子群。由Lagrange定理，有m|n。令n=qm，則nan = aqm = (am)q = eq =e,n故an = e

54、。n推論17.4.2：任何質(zhì)數(shù)階的群只有平凡子群。n推論17.4.3：質(zhì)數(shù)階的群必是循環(huán)群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 75正規(guī)子群 若G是交換群，則對(duì)G的子群及aG，有aH = Ha。若G不是交換群，則不一定成立。n定義17.4.4：H是群G的子群，若對(duì)aG，有aH = Ha，n稱H是G的正規(guī)子群或不變子群，記為HG。n顯然，群G的平凡子群都是G的正規(guī)子群。n如：對(duì)稱群S3的子群H1=e, (123), (132)是S3的正規(guī)子群，但其它非平凡子群都不是正規(guī)的。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 76正規(guī)子群的充要條件 定理17.4.2：H是群G的正規(guī)子群，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意aG，有aHa1 H。 證明：設(shè)H是

55、G的正規(guī)子群，于是對(duì)任意aG，有aH=Ha，從而對(duì)任意h，有hH使得ah=ha，于是aha1=haa1 ，即aha1H。由h的任意性知，aHa1 H。 反之，設(shè)對(duì)任意的aG，有aHa1H。于是對(duì)于a1G也有a1H(a1)1H，即a1HaH。將此式兩邊左乘a，右乘a1得HaHa1。因此aHa1=H。從而得aH=Ha，即H是G的正規(guī)子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 77交錯(cuò)群是對(duì)稱群的正規(guī)子群 例2：交錯(cuò)群An是對(duì)稱群Sn的正規(guī)子群。 證明：因?yàn)槠?(偶)置換的逆置換也同樣是奇 (偶)置換，而奇偶不同的兩個(gè)置換之乘積為奇置換，奇偶相同的兩個(gè)置換之乘積為偶置換，所以任取置換Sn，An1中都是偶置換，即A

56、n1 An 。 故由定理17.4.2知，An是Sn的正規(guī)子群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 7817.5 同態(tài)與同構(gòu)離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 79同態(tài) 定義17.5.1：設(shè)A和B分別是兩個(gè)帶二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)， 是一個(gè)從A到B的映射，如果對(duì)于任意的x，yA，有(xy) = (x) (y) 則稱是A到B的同態(tài)， (A)稱為A的同態(tài)像，其中(A) = bB | aA，使(a)=b B 特別，若(A)=B，即是滿射，則稱A與B同態(tài)，記為A B或A B。 離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 80同態(tài)的例子 例1：設(shè)整數(shù)集Z上定義了普通乘法運(yùn)算，集合S=1, 0, 1上的乘法表如右下： 1 01110100001101n今

57、定義映射：ZS如下： 1 m0(m) = 0 m = 0 1 m0n不難驗(yàn)證，對(duì)任意x, yZ，有(xy) = (x) (y)。于是是Z到S的同態(tài)，而且ZS。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 81同構(gòu) 定義17.5.2：設(shè)是A到B的同態(tài)，若是雙射，則稱為A到B的同構(gòu)，并記為A B或A B。 n例2：在實(shí)數(shù)R上定義普通加法運(yùn)算，在正實(shí)數(shù)R+上定義乘法運(yùn)算，并定義映射: RR+如下：(x) = ex。n顯然是R到R+的雙射，并且對(duì)x, yR，有 (x + y) = ex + y = ex ey = (x)(y)，n于是是R到R+的一個(gè)同構(gòu)映射，即R R+。 n代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的同構(gòu)關(guān)系 是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。離離 散

58、散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 82自同態(tài)和自同構(gòu) 定義17.5.3：設(shè)是A到B的同態(tài)，如果BA，則稱為A的自同態(tài)。 特別，A到A的同構(gòu)稱為自同構(gòu)。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 83群的同態(tài)像仍是群 定理7.5.1：設(shè)G是一個(gè)群，H是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)， 是G到H的同態(tài)，則G的同態(tài)像G = (G)是一個(gè)群。G的單位元是(e)，(a)的逆元是(a1)，e是G的單位元，aG。 證明：因?yàn)镚是群，所以G非空，從而G非空。 先證G對(duì)乘法封閉。任取a, bG，則有a, bG，使得(a)=a，(b)=b。由是同態(tài)有ab = (a)(b) = (ab) 因abG，所以abG。故封閉性成立。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 84群的同態(tài)像仍是群

59、證明：再證G中結(jié)合律成立。設(shè)a, b, cG，則有a, b, cG，使(a)=a，(b)=b，(c)=b。由G是群，有(ab)c=a(bc)。于是由是同態(tài)，有 (ab)c=(a)(b)(c) = (ab)(c)= (ab)c) =(a(bc)= (a)(bc)= (a)(b)(c)=a(bc)。 故(ab)c= a(bc)，即結(jié)合律成立。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 85群的同態(tài)像仍是群 證明：現(xiàn)證明G有單位元(e)，e是G的單位元。對(duì)aG，有aG使(a)=a。因同態(tài)有：(e)a= (e) (a)= (ea) = (a)=a， 即(e)a=a， (e)是G的左單位元。 最后證明G中任意元有逆元。任取

60、aG，則有aG使(a)=a。有的同態(tài)性得：(a1)a= (a1) (a)= (a1a) = (e)， 即(a1)a=(e)，即G中任意元有左逆元。 由定理17.1.2可知，G是一個(gè)群。離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 86像源與核 像源：若G G，則對(duì)任意aG，至少有一個(gè)元素aG，使得(a)=a。記I(a) = aG | (a) = a， I(a)稱為a的像源。G可以看作是G的濃縮或縮影。 定義17.5.2：設(shè)G G，e是G的單位元，e的像源稱為的核，記為Ker()，即Ker() = aG | (a) = e。 離離 散散 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 87第一同態(tài)定理n定理17.5.2：設(shè)G是群，G G，于是， 的核K