2020高中數(shù)學(xué)---利用同構(gòu)特點解決問題

1、5ï5ï55ï55ï5í第十二章第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點一、基礎(chǔ)知識：1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式 2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程f (a)=0和f (b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則a , b可視為方程f (x)=0的兩個根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個 函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果A (x, y ),B(x,y1 1 22)滿足的方程為同構(gòu)式，

2、則A, B為方程所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線AB的方程（ 4 ）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于 (a , n -1)的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解n -1(a, nn)與二、典型例題：例 1：（2015 天津十二校聯(lián)考）設(shè)x, y ÎRì(x-1)+2x+sin (x-1)=3 ，滿足 íïî(y-1)+2y+sin(y-1)=1，則x +y =（ ）A.0B.2C.4D.6思 路 ： 本 題 研 究 對 象 并 非x, y， 而 是(x-1)(,y-)1， 進

3、而 可 變 形 為ì(x-1)5+2(x-1)+sin(x-1)=1 íïî(y-1)+2(y-1)+sin(y-1)=-1，觀察上下式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進而可將相同的結(jié)構(gòu)視為一個函數(shù)，而等式右邊兩個結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性 質(zhì)求解ì(x-1)+2x+sin (x-1)=3 解： íïî(y-1)+2y+sin(y-1)=1Þì(x-1)+2(x-1)+sin(x-1)=1 íïî(y-1)+2(y-1)+sin(y-1)=-1設(shè)f (t)

4、=t5+2t +sin t，可得f (t)為奇函數(shù)，由題意可得：ìïf(x-1)=1 ïîf(y-1)=-1 f (x-1)=-f(y-1)()ê úï() ()ïï() ()ï)11çúæç()2第十二章第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點 x -1 =-(y-1)Þx+y=2 答案：B例 2：若函數(shù)f (x)=x -1 +m 在區(qū)間 a,b上的值域為éa b ù, b >a ³1 ë2

5、 2 û，則實數(shù) m 的取值范圍是_思路：注意到f(x)是增函數(shù)，從而得到ìa b ï f a = , f b = ，即 í2 2ïîa -1 +m =b -1 +m =a2b2，發(fā)現(xiàn)兩個式子為a , b的同構(gòu)式，進而將同構(gòu)式視為一個方程，而a , b為該方程的兩個根，m的取值只需要保證方程有兩根即可解：f(x)為增函數(shù)ìa b ï f a = , f b = Þ í2 2ïîa -1 +m =b -1 +m =a2b2 a , b為方程x -1 +m =x x在 1,+&#

6、165;上的兩個根，即 m = - x -1 2 2有兩個不同的根令t =x -1 (t³0)Þx=t2+1所以方程變形為：m =(t2+1)-t=(t2-2t+1)，結(jié)合圖像可得： 2 2æ 1 ùm Î 0,è 2 û答案：m Î 0,è12ùúû例 3：設(shè)a, b R，則| “a > b”是“a a > bb”的（ ）A. 充分不必要條件 C. 充要條件B. 必要不充分條件D. 既不充要又不必要條件思路：觀察a a > b b可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點，所以將

7、這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f (x)=xx，分析其單調(diào)性。ìïx2,x>0f x =x x =íïî-x,x<0可得f (x)為增函數(shù)。所以a > b ? f (a )f (b)，x()x x第十二章a > b ? a a 即b b第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題，所以是充要條件其它高考考點答案：C例 4：若0 <x <x <11 2，則（ ）A.ex2-ex1>ln x -ln x 2 1B.ex1-ex2>ln x -ln x 2 1C.x e2x1>x e1x2D.x e2x1<

8、x e1x2答案：C思路：本題從選項出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個選項通過不等式變形將x , x12分居在不等式兩側(cè)后都具備同構(gòu)的特點， 所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在 即可(0,1)的單調(diào)性解： A 選項： e 2-ex1>ln x -ln x Û e2 1x2-ln x >e 2x1-ln x ，設(shè) f1(x)=ex-ln x1 xe x -1 f ' x =e x - =x x，設(shè)g (x)=xex-1，則有g(shù) ' (x)=(x+1)ex>0恒成立，所以g (x)在(0,1)單調(diào)遞增，所以g (0)=-1<0,g(1)=e-1>

9、;0，從而存在x Î(0,1) 0，使得g (x0)=0，由單調(diào)性可判斷出：x Î(0,x ),g' (x)<0Þf0'(x)<0,xÎ(x,1),g'(x)>0Þf0'(x)>0， 所 以f (x)在(0,1)不單調(diào)，不等式不會恒成立B 選項：e 1 -e2>ln x -ln x Û e2 1x1+ln x >e 1x2+ln x ，設(shè) f2(x)=ex+ln x 可知 f(x)單調(diào)遞增。所以應(yīng)該f (x1)<f(x)2，B 錯誤C 選 項 ：x e2x1&g

10、t;x e1x2Ûe x1 e x2 >x x1 2， 構(gòu) 造 函 數(shù)f (x)=e xx，f'(x)=(x-1)e x 2x， 則f'(x)<0 在 x Î(0,1)恒成立。所以f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，所以f(x1)> f(x2)成立D 選項：x e2x1<x e1x2Ûe x1 e x2 <x x1 2，同樣構(gòu)造f (x)=e xx，由 C 選項分析可知 D 錯誤答案：Cç ÷f22= =f f -2 2= = f -2 2f -2 2= f - =02 222 )ç ÷

11、;第十二章第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點例 5 ：已知函數(shù)f (x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf(x +1)=(x +1)f(x)æ2015 ö，則 f 的值是（ ） è 2 øA.0B.1 5C. 1 D.2 2思路：觀察條件可變形為：f (x+1) x +1=f (x)x，從而得到等式左右的結(jié)構(gòu)均為f (t)t的形式，且括號內(nèi)的數(shù)間隔為 1。所以fæ2015 ö æ2013 ö ç ÷ ç ÷è ø &

12、#232; ø2015 20132 2æ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø1 1-2 2。因為f (x)為偶函數(shù)，所以fæ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø，由fæ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è &

13、#248;=1 1-2 2可得fæ1 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷è ø è ø，進而fæ2015 öç ÷è ø2015=0 Þ fæ2015 öç ÷è ø=02答案：A例 6：如果cos5q-sin5q<7 (sin3q-cos3q),qÎ 0,2 p，那么q的取值范圍是_思路：本題很難直接去解不等式，觀察式子特點可發(fā)現(xiàn)若將

14、關(guān)于sinq,cosq的項分居在不等號兩側(cè)：cos5 q+7cos 3 q<sin 5 q+7sin 3q，則左右呈現(xiàn)同構(gòu)的特點，將相同的結(jié)構(gòu)設(shè)為 函 數(shù)f (x)=x5 +7 x 3， 能 夠 判 斷f (x)是 奇 函 數(shù) 且 單 調(diào) 遞 增 。 所 以 不 等 式f (cosq)<f(sinq)等價于cosq<sinq，即sinq-cosq>0 Þ 2 sinæ pöq- >0è 4 ø，所以2kp<q-p4<p+2 kp(kÎZ)，結(jié)合qÎ0,2p)，可得qÎ

15、30;çèp 5p，4 4ö÷ø答案：æçèp 5p，4 4ö÷ø112 22ëû()1yïî第十二章第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點例 7：如圖，設(shè)點P (x, y0 0)在直線x =m (y¹±m,0 <m <1,且m為常數(shù))上，過點P作雙曲線x2 -y 2=1的兩條切線PA, PB，切點為A, B，求證：直線AB過某一個定點解：設(shè)A (x, y ),B(x,y1 1 22)， PA 的斜率為

16、k則PA : y -y =k (x-x1 1)ìïy-y=k (x-x ，聯(lián)立方程 íïîx-y =1)消去y可得：x 2 -ékx +(-kx+y )ù=11 1，整理可得：(1-k2)x2-2 k (y -kx )x-(y-kx1 1 1 1)2-1 =0，因為 PA 與雙曲線相切所以D=4 k 2 (y -kx1 1)2+4 (1-k2)(y-kx1 1)2+4 (1-k2)=0 4(y -kx1 1)2+4 (1-k2)=0k2x 21-2 kx y +y 2 1 1 1+1 -k2=0 Þ (x21-1)

17、k2-2 kx y +(y21 1 1+1)=0x 2 -y 2 =1 1 1 x 2 -1 = y 2 , y 2 +1 =x 2 1 1 1 1代入可得：y 2 k 2 -2 x y k +x 2 =0 1 1 1 1即(y k -x1 1)2=0即xk = 1y1 PA : y -y =1x1 x -x Þ y y =x x -11 11同理，切線 PB 的方程為y y =x x -1 2 1P (m,y0)在切線PA, PBì 上，所以有 íîy y =mx -1 0 1 1y y =mx -1 0 2 2 A, B滿足直線方程y y =mx -

18、1 0，而兩點唯一確定一條直線 AB : y y =mx -10ì 1ïx =所以當 í m 時，無論y =0y0為何值，等式均成立,0m,0mïíîï1ï2 2( )2ç ÷ ç ÷第十二章第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點點æ1 öç ÷è ø恒在直線AB上，故無論P在何處，AB恒過定點æ1 öç ÷è ø例 8：已知橢圓C中心在原點，焦點

19、在x軸上，它的一個頂點為(0,1)，離心率為255（1）求橢圓C的方程（2）過右焦點F作直線l交橢圓于A, B，交y軸于R，若RA =lAF , RB =mBF ，求 l+m解：（1）e =c 2=a 5b =1a2-c2=b2=1解得a =5, c =2 C :x 25+y 2 =1（2）思路：本題肯定從RA =lAF , RB =mBF入手，將向量關(guān)系翻譯成坐標的方程，但觀察發(fā)現(xiàn)兩個等式除了A, B 不同，系數(shù) l,m不同，其余字母均相同。且A (x, y ),B(x,y1 1 22)也僅是角標不同。所以可推斷由RA =lAF , RB =mBF列出的方程是同構(gòu)的，而A, B在同一橢圓上，

20、所以如果用l,m表示x , x , y , y 1 2 12，代入橢圓方程中也可能是同構(gòu)的。通過計算ìl2可得：íïîm2+10l+5 -20k 2 =0 +10 m+5 -20 k 2 =0，所以l,m為方程x 2 +10 x +5 -20k 2 =0的兩個不同根，進而利用韋達定理即可得到l+m=-10解：由（1）得F (2,0)，設(shè)直線l : y =k (x-2)，可得R(0,-2k)，設(shè)A(x, y ),B(x,y1 1 22)可得：RA =(x,y +2 k ),AF =(2-x, -y1 1 1 1)，由RA =lAF可得：ìx =l

21、(2-x)1 1 y +2 k =-ly1 1ì 2lx =ï 1 +lÞ í-2ky =ïî1 1 +l因為A在橢圓上， x 2 +5 y 2 =51 1，將代入可得：æ 2l ö æ-2k ö+5 =5 Þ 4l2 +20k 2 =5 l+1 è1+lø è1+lø2222( )2êú2222第十二章+10l+5 -20 k 2 =0 l2第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題其它高考考點對于m，RB =(x, y +2k

22、),BF =(2-x, -y 2 2 22)，RB =mBF同理可得： m2+10 m+5 -20 k 2 =0 l,m為方程 x2+10 x +5 -20k2=0的兩個不同根 l+m=-10例 9 ： 已 知 函 數(shù)j (x)=ax +1，a為 正 常 數(shù) ， 若g (x)=lnx+j(x)， 且 對 任 意x , x Î(0, 2 ,x ¹ x，都有 1 2 1 2g (x)-g(x2 1x -x2 1)>-1，求a的取值范圍思路：觀察到已知不等式為輪換對稱式，所以考慮定序以便于化簡，令x >x2 1，則不等式變形為g (x2)-g(x)>x-x1 1

23、 2，將相同變量放置一側(cè)，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點，所以將相同結(jié)構(gòu)視為函數(shù)h (x)=g(x)+x，從而由x >x 且 h (x2 1 2)>h(x)1可知只需h (x)為增函數(shù)即可。從而只需不等式h ' (x)³0恒成立即可，從而求出a的范圍解：g (x)=lnx+ax +1，不妨設(shè)x <x1 2，則恒成立不等式轉(zhuǎn)化為：g (x)-g(x)>x-xÞ g (x)+x>g (x)+x2 1 1 2 2 2 1 1設(shè)h (x)=g(x)+x=lnx+ax +1+x ，則由 h (x)>h(x)2 1恒成立和x <x1 2可得：只

24、需h (x)在(0,2單調(diào)遞增即可 h'(x)³0恒成立h'(x)=1 a 1 a- +1 - +1 ³0 x (x+1) x (x+1)即a £(x+1)+(x+1) x恒成立é (x+1)2ù所以只需 a £êx +1 + úxë ûmin令p (x)=(x+1)+(x+1) x p' (x)=2(x+1)+2 x(x +1)x-2(x +1)=(x +1)(2x-1) x 2ç ÷ç ÷ç ÷t-1n +2

25、nn +1()()n第十二章 p (x)在第 100 煉 利用同構(gòu)特點解決問題æ 1 ö æ1 ö0, 單調(diào)遞減，在 ,2單調(diào)遞增è 2 ø è2 ø其它高考考點 p (x)min 0 <a £æ1 ö 27= p =è2 ø 2272例 10：已知數(shù)列an滿足a1=2t -3 (tÎR,t ¹±1)，且an +1=(2tn +1-3 )a+2(t-1)t na +2t n -1 nn-1求數(shù)列an的通項公式思路：本題遞推公式較為復(fù)雜，所以考慮先化簡分式，觀察到分子中含有分母的項，所以想到分離常數(shù)簡化分式，即an +1+1 =2