群決策和社會選擇

1、第十二章 群決策與社會選擇Group Decision-making and Social Choice Theory§12-1概述一、為什么要研究群決策A. 在現(xiàn)實生活中 任何決策會影響一群人,因此在公正、民主的社會中, 重大的決策應盡量滿足受該決 策影響的群眾的愿望和要求. 群眾通過代表反映愿望和要求,代表們構(gòu)成各種委員會.行政機構(gòu)中的領(lǐng)導班子社會發(fā)展信息和知識的積累及更新速度加快,領(lǐng)導個人難以在掌和應付智囊團和咨詢機構(gòu)應運而生并廣泛存在,作用加強.委員會、代表大會、議會、協(xié)會、俱樂部, 領(lǐng)導班子、組織, 智囊團等等都是群,群中的成員各有偏好, 要形成集體意見需要研究群決策和社會

2、選擇理論.B. 世界上矛盾無處不在, 人與人、組織與組織、國與國之間的矛盾如何解決,如何避免沖突升級,需要研究協(xié)商、談判、仲裁、調(diào)解、合作對策等沖突分析方法, 因而沖突分析也是群決策的主要研究內(nèi)容.二、分類 涉及內(nèi)容及解決辦法 投票表決 社會選擇 社會選擇函數(shù) 社會福利函數(shù) 委員會 激發(fā)創(chuàng)造性 集 專家判斷 采集意見 體 和 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的探索 決 群體參與 仿真 策 Team theory 實施與管理 群 一般均衡理論 遞階優(yōu)化 決 組織機構(gòu)決策 組織決策 策 管理 正規(guī)型 多 一般對策論 擴展型 人 特征函數(shù) 決 Nash 策 沖 協(xié)商與談判 K-S 突 Mid-mid 分 均衡增量 析 主從

3、對策與激勵 強制仲裁 仲裁與調(diào)解 最終報價仲裁 亞對策論 組合仲裁三、社會選擇的定義與方式1. 定義: ( Luce & Raiffa ) 社會選擇就是根據(jù)社會中各成員的價值觀及其對不同方案的選擇產(chǎn)生社會的決策;即把社會中各成員對各種狀況的偏好序集結(jié)成為單一的社會偏好模式2. 社會選擇的常用方式:慣例、常規(guī)、宗教法規(guī)、職權(quán)、獨裁者的命令、投票表決和市場機制. 其中: 投票: 少數(shù)服從多數(shù), 大多用于解決政治問題; 市場機制:本質(zhì)是用貨幣投票, 大多用于經(jīng)濟決策; 獨裁: 根據(jù)個人意志進行(取代)社會選擇; 傳統(tǒng):以慣例、常規(guī)、宗教法規(guī)等代替社會中各成員的意志. 傳統(tǒng)到獨裁的演變 : 傳

4、統(tǒng)(無論慣例、常規(guī)還是宗教法規(guī))在開始時是社會上大部分公民或成員認可的規(guī)則(以及規(guī)定、法規(guī)), 隨著社會的發(fā)展, 總有新的問題、新情況是原來的規(guī)則(以及規(guī)定、法規(guī))所無法解決的,解決這些新的問題、新情況的新規(guī)則就要由社會上比較有威望的某些人制訂, 這些人在解決新問題、新情況時就代替整個社會進行了選擇. 只要這些人不是以民主方式選舉產(chǎn)生的, 他們的權(quán)力就會逐漸增大, 成為代替社會進行決策的小團體. 這個小團體中最強有力的人物最終也就有可能成為獨裁者.§12.2 投票表決(選舉)(Voting) 投票表決可分成兩步: 1.投票,應簡單易行2. 計票,應準確有效一、非排序式投票表決(Non

5、-ranked Voting Systems) (一)只有一人當選1. 候選人只有兩個時: 計點制(Spot vote) 投票: 每人一票;計票: 簡單多數(shù)票(simple plurality)法則(即相對多數(shù)).2. 候選人多于兩個時 簡單多數(shù)(相對多數(shù)) 過半數(shù)規(guī)則(絕對多數(shù)Majority) 第一次投票無人獲得過半數(shù)選票時,a.二次投票,如法國總統(tǒng)選舉.b. 反復投票: i.候選人自動退出,如美國兩黨派的總統(tǒng)候選人提名競選;ii. 得票最少的候選人的強制淘汰,如奧運會申辦城市的確定.例12. 1 由11個成員組成的群, 要在a、b、c、d 四個候選人中選舉一人.設各成員心目 中的偏好序如

6、下:成員 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11排序 第一位 a a a b b b b c c c d 第二位 c c c a a a a a a a a 第三位 d d d c c c c d d d c 第四位 b b b d d d d b b b b按簡單多數(shù)票法則, b得4票 當選.實際上,雖然有4人認為b最好,但是有7人認為b最差; 雖然只有3人認為a最好,但是其余8人認為a是第二位的; 所以,由a當選為宜. 例12. 2 設各成員心目中的偏好序如下:成員 i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11排序 第一位 b b b b b b a a a a a

7、第二位 a a a a a a c c c d d 第三位 c c c d d d d d d c c 第四位 d d d c c c c b b b b按簡單多數(shù)票法則或過半數(shù)規(guī)則, b得6票當選.實際上,雖然有6人認為b最好,但是有5人認為b最差; 雖然只有5人認為a最好,但是其余6人認為a是第二位的; 所以,由b當選未必合適.例12. 3 設各成員心目中的偏好序如下:成員 i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11排序 第一位 b b b c c c c d d a a 第二位 a a a a a a a a a b d 第三位 d c d b b b d c b d c 第

8、四位 c d c d d d b b c c b按過半數(shù)規(guī)則, 第一次投票無人獲得過半數(shù)選票, c、 b得票多,第二投票時,6人認為c比b優(yōu), c當選. 而在該問題中沒有人認為a處于第二位以下,卻有4 人認為 c 最差. 由上面三個例子可知, 無論簡單多數(shù)票法則、過半數(shù)規(guī)則 還是二次投票,都有不盡合理之處. (二). 同時選出二人或多人1. 單一非轉(zhuǎn)移式 投票表決(Single nontransferable voting) 投票人每人一票, 得票多的候選人當選. 如:日本議員選舉采用選區(qū)制,每選區(qū)當選人數(shù)超過2個, 1890年起即用此法.2. 復式選舉(Multiple voting)每個投

9、票人可投票數(shù)=擬選出人數(shù) 但對每個候選人只能投一票弊端: 在激烈的黨派競爭中,實力稍強的黨派將擁有全部席位.因此該方法只能用于存在共同利益的團體、組織內(nèi)部, 如黨團組織和班干部的選舉.3. 受限的選舉(Limited voting) 每個投票人可投票數(shù)擬選出人數(shù) 對每個候選人只能投一票 弊端: 同上. 1868年英國議會選舉采用此法, 1885年即取消. 4. 累加式選舉(Cumulate voting) 每個投票人可投票數(shù)=擬選出人數(shù).這些選票由選舉人自由支配,可投同一候選人若干票 利: 可切實保證少數(shù)派的利益. 大多用于學校董事會的選舉,例:英國 (1870-1902).(注意: 公司董事

10、會的選舉與此不同.) 5. 名單制(List system) 由各黨派團體開列候選人名單, 投票人每人一票, 投給黨團. 此法于1899年用于比利時, 以后被荷蘭、丹麥、挪威和瑞典等國采用.計票分兩種: . 最大均值法; . 最大余額法例12. 4 24000人投票,選舉5人, A、B、C、D四個黨派分別得8700、6800、5200、3300票, 如何分配議席?(1)最大均值法:A 黨首先分得第一席.第二席分給各黨派時, 各黨派每一議席的均值如下: 黨派 得票 除數(shù) 均值(每一議席的得票均值) A 8700 2 4350 B 6800 1 6800 C 5200 1 5200 D 3300

11、1 3300由于B黨的均值最大B黨得第二席.分第三席時 各黨派每一議席的均值如下: 黨派 得票 除數(shù) 均值 A 8700 2 4350 B 6800 2 3400 C 5200 1 5200 D 3300 1 3300C 黨得第三席, 分第四席時各黨派每一議席的均值如下: 黨派 得票 除數(shù) 均值 A 8700 2 4350 B 6800 2 3400 C 5200 2 2600 D 3300 1 3300由于A黨的均值最大, A黨得第四席.分第五席時各黨派每一議席的均值如下: 黨派 得票 除數(shù) 均值 A 8700 3 2900 B 6800 2 3400 C 5200 2 2600 D 330

12、0 1 3300B黨的均值最大B 黨得第五席. 最后A B各得2席 , C得1席. 最大余額法: 首先計算Q=N/K的值 : Q=24000/5=4800, 用各黨派得票數(shù)除以Q并計算余數(shù): 黨派 得票 除數(shù) 分得席位 余額 A 8700 4800 1 3900 B 6800 4800 1 2000 C 5200 4800 1 400 D 3300 4800 0 3300 按每4800票得一席,A、B、C黨各得一席, 剩余2席,因為A、D兩黨的余額大,最后A黨得2席, B、C和D黨各得一席.可以證明, 最大均值法對大黨有利; 最大余額法對小黨有利.6. 簡單可轉(zhuǎn)移式選舉(Single nont

13、ransferable voting) 常常用于3-6個席位的選區(qū).投票人每人一票. 現(xiàn)況值Q=N/(K+1), 得票數(shù)大于Q的候選人人選,得票最少的候選人被淘汰, 由未被淘汰的未當選候選人在下一輪中競爭剩余席位.仍以例12.4說明. N=24000, K=5, 故Q=N/(K+1)=24000/6=4000, 設各黨派候選人的第一次投票得票數(shù)為:候選人: A A A B B C C D 得票數(shù): 4100 4100 500 4100 2700 4050 1150 3300 其中, A,A, B, C第一次投票后可入選, A被淘汰, B, C, D 通過第二次投票 競爭最后一席.這時 Q=24

14、000/2=12000. 支持A 黨的可轉(zhuǎn)移投票方向, 他們在讓誰入選上有 決定性影響. 7. 認可選舉( Approval vote ) 每個投票人可投任意張選票, 但他對每個候選人只能投一張票. 得票最多的前K個候選人當選. 如職稱評定, 評獎, 評先進等. (三). 其它投票表決(選舉)方法1. 資格認定1. 候選人數(shù)M= 當選人數(shù)K 即等額選舉, 用于不存在競爭或不允許競爭的場合.2. 不限定入選人數(shù) 如學位點評審,職稱評定, 評獎等. 目的不是排序.而是按某種標準來衡量被選對象. 2. 非過半數(shù)規(guī)則 2/3多數(shù), 例美國議會推翻總統(tǒng)否決需要2/3多數(shù). 2/3多數(shù)Þ60%多

15、數(shù), 例如希臘議會總統(tǒng)選舉,第一次需要2/3多數(shù),第二次要60% 多數(shù). 3/4多數(shù), 美國憲法修正案需要3/4州議會的批準. 過半數(shù)支持, 反對票少于1/3. 例如1993年前我國博士生導師的資格認定. 一票否決, 安理會常任理事國的否決權(quán). 二、偏好選舉與投票悖論 ( Paradox of voting )1. 記號 N= 1, 2, ,n 表示群,即投票人的集合; A= a, ,a 備選方案(候選人)集合; f , 成員(投票人) i的偏好; , f 群的排序. n 或 N(a f a) 群中認為 a優(yōu)于a 的成員數(shù) 采用上述記號, 過半數(shù)規(guī)則可以表示為: 對 a,aA 若 nn 則 a

16、 f a; 若 n=n 則 a a2. Borda法( 1770年提出)由每個投票人對m 個候選人排序, 排在第一位的得m-1分, 排在第二位的得m-2分, 根據(jù)各候選人所得總分多少確定其優(yōu)劣.3. Condorcet原則( 1785年提出) 對候選人進行成對比較, 若某個候選人能按過半數(shù)規(guī)則擊敗其它所有候選人, 則稱為Condorcet候選人; 若存在Condorcet候選人,則由其當選. 用上述記號表示,即: 若 nn aA a, 則a當選.例12. 5 群由60個成員組成, A= a, b, c , 群中成員的態(tài)度是:23人認為 a fc fb (即a優(yōu)于c ,c優(yōu)于b, a也優(yōu)于b)1

17、9 人認為 b fc fa 16人認為 c fb fa 2人認為 c fa fba與b相比 N(a fb)=25, N(b fa)=35 因此有b f a a與c相比 N(a fc)=23, N(c fa)=37 因此有c f ab與c相比 N(b fc)=19, N(c fb)=41 因此有c f b 由于候選人c能分別擊敗a與b, 所以c是Condorcet候選人,由c當選.但是,常常不存在Condorcet候選人.4. 多數(shù)票循環(huán)(投票悖論)例12. 6 若群中60個成員的態(tài)度是:23人認為 a fb fc 17 人認為 b fc fa 2人認為 b fa fc 8人認為 c fb fa

18、 10人認為 c fa fb 由于 N(a fb)=33, N(b fa)=27 因此有a f b N(b fc)=42, N(c fa)=18 因此有b f c N(a fc)=25, N(c fa)=35 因此有c f a每個成員的偏好是傳遞的, 但是按過半數(shù)原則集結(jié)得到的群的排序并不傳遞,出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán),這種現(xiàn)象稱作 Condorcet效應(也叫投票悖論)5. 出現(xiàn) Condorcet效應的概率 成員數(shù)N : 3 5 7 11 15 25 方案數(shù) m= 3 .0556 .0694 .0750 .0798 .082 .0843 .0877 4 .111 .14 .15 .1755 5 .1

19、6 .20 .22 .2513 6 .20 .25 .27 .3152 8 .4152 10 1 .4887 15 .6087 20 .6811 30 .791449 .8405三、策略性投票(操縱性)1. 小集團控制群例: 百人分蛋糕2. 謊報偏好而獲益 例12.7 群由30個成員組成, A= a, b, c , 群中成員的態(tài)度是: 14 認為 a fb fc 4 人認為 b fa fc 4人認為 b fc fa 8人認為 c fb fa根據(jù)Borda法和Condorcet原則,都應由b當選, 但是, 若認為 a fb fc的14人中有8人撒謊, 稱他們認為 a fc fb , 則按Bord

20、a法, 將由a當選. 3. 程序(議程)問題 例12.6所述問題: 后參加表決的方案獲勝. 四、衡量選舉方法優(yōu)劣的標準能否充分利用各成員的偏好信息若存在Condorcet候選人,應能使其當選.能防止策略性投票§12.3 社會選擇函數(shù)一、引言1. 仍以例12.5 為例:群由60個成員組成, A= a, b, c , 群中成員的態(tài)度是: 23人認為 a fc fb 19 人認為 b fc fa 16 人認為 c fb fa 2人認為 c fa fb 根據(jù)Condorcet原則 c當選 根據(jù)簡單多數(shù)規(guī)則 a當選 根據(jù)過半數(shù)(二次投票)規(guī)則 b當選 該例中一共只有三個候選人, 采用不同選舉方

21、法時, 這些候選人都有可能當選. 那么這些方法中究竟何者合理?據(jù)何判斷選舉方法的合理性? 2例12.6表明多數(shù)票循環(huán)不可避免, 問題是: 出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán)時該誰當選?研究社會選擇問題的理論家提出：應該采用某種與群中成員偏好有關(guān)的數(shù)量指標來反映群(即社會)對各方案的總體評價. 這種數(shù)量指標稱為社會選擇函數(shù).二、社會選擇函數(shù)的幾個性質(zhì)0. 記號 在對x,y比較時 1 若 x fy D= 0 若 x y -1 若 y fx 群中各成員的偏好分布 D = ( D,D) 偏好分布的集合 Ð = -1, 0, 1 社會選擇函數(shù) F(D) = f( D,D) D Ð 即 F : -1, 0

22、, 1 -1, 0, 1 1. 明確性 (Decisiveness) D0 F(D) 02. 中性 (Neutrality)又稱對偶性 對侯選人的公平性 f( -D,-D) = - f( D,D)3. 匿名性 (Anonymity) 又稱平等原則 各成員的權(quán)力相同 f( D,D) = f( D,D) 其中是 (1, ,n)的新排列4. 單調(diào)性 (Monotonicity)又稱正的響應 若 D D 則F ( D )F ( D )5. 一致性 (Unanimity)又稱Weak Pareto性 f ( 1, 1, 1) = 1 or f ( -1, -1, -1) = -16. 齊次性(Homog

23、eneity) 對任意正整 數(shù)m F ( mD ) = F ( D )7. Pareto性 D 1, 0 for all I and D = 1 for some k F ( D ) = 1 D= 0 for all I F ( D ) = 0三、社會選擇函數(shù)1. Condorcet-函數(shù) f(x) = N( x fy ) f( .) 值愈大愈優(yōu).例12. 6 群中60個成員的態(tài)度是:23人認為 a fb fc 17 人認為 b fc fa 2人認為 b fa fc 8人認為 c fb fa10人認為 c fa fb N(a fb)=33, N(a fc)=25 因此f( a ) = 25 N

24、(b fa)=27, N(b fc)=42, 因此f( b ) = 27 N(c fa)=18, N(c fa)=35, 因此f( c ) = 18 b f a f c Condorcet-函數(shù)值還可以用下法求得: 根據(jù)各方案成對比較結(jié)果列出表決矩陣 - 33 25 矩陣中各行最小元素: 25 N = 27 - 42 27 35 18 - 18 即Condorcet-函數(shù)值. Condorcet-函數(shù)滿足性質(zhì)16.2. Borda-函數(shù) f (x) = N( x fy ) f (x) 即表決矩陣中x各元素之和, f ( .) 值愈大愈優(yōu). 例12. 6中方案a ,b ,c的Borda-函數(shù)值分

25、別是58, 69, 53, b f a f c Borda-函數(shù)滿足性質(zhì)16.3. Copeland-函數(shù)根據(jù)各方案兩兩比較的勝負次數(shù)的差來定 f(x) = My: y A且 x fy- My: y A且y fx f( .) 值愈大愈優(yōu). 例12.6中方案a ,b ,c的Copeland函數(shù)值均為0, 三者平局. Copeland-函數(shù)滿足性質(zhì)16.4. Nanson函數(shù)用Borda-函數(shù)求解, 每次淘汰Borda-函數(shù)值最小的方案: 即: A = A , A = A xA; f (x) f (y),且對某些y f (x) f (y) 直到 A = A 為止.例12. 6中f (c) 的Bor

26、da-函數(shù)值最小, A = A c = a, b A = A b = a a f b f cNanson函數(shù)不滿足性質(zhì)(4).5. Dodgson函數(shù)(C.J.Dodgson, 英，1832 1898)使某個候選人成為Condorcet候選人需要N中成員改變偏好的總選票數(shù). N個成員,m個候選人 記 n = N (a f a) n為偶數(shù)時 =n/2 n為奇數(shù)時 =(n+1)/2 n = 0 f (a) = j=1,m 例12.6中, a,b,c的Dodgson函數(shù)值分別為5, 3, 12, b f a f c Dodgson函數(shù)不滿足 (4).6.Kemeny函數(shù)· 使社會排序與各成

27、員對方案的偏好序有最大的一致性. 首先定義：社會選擇排序矩陣 L = l ì 1 a f a l=í 0 a a î -1 a f aA 上的每一線性序都對應一個L記 = N (a f a) = N (a f a) = N (a a)比例矩陣 M = m m = (+/2)/n投票矩陣 E = M-M e = 定義 < E·L > = e l 即, 群中認為 a f a 的成員的比例與群的排序l的內(nèi)積, 它反映群的排序與成員排序的一致性. Kemeny函數(shù) f= max < E·L > 。7. Cook-Seiford函

28、數(shù) 設成員i 把方案j 排在 r位, 方案j的群體序為K 則成員I與群體序的總偏差 : | r-K |各成員排序與群體序的總偏差 d= | r-K |數(shù)學規(guī)劃 min d ps. t. p = 1 p = 1 的解中 p = 1 表示方案j的群體序為K8. 本征向量函數(shù)Dodgson矩陣 D = d其中: d= n/n, 顯然d = 1/d , 但是ddjl * dlk ,可由 (D - mI) W = 0求得 W 后.按各分量的大小排相應方案的次序.9. Bernardo函數(shù) 上述各種方法只根據(jù)各成員對各方案的總體優(yōu)劣集結(jié)成群體序.對某些多人多準則問題, 尤其是實際工程問題, 應該根據(jù)每個準

29、則下各方案的優(yōu)劣次序集結(jié)成群體序.一般的多準則社會選擇問題可以表述為: 對有限方案集A= a, ,a, 由委員會 N= 1, 2, ,n 根據(jù)準則集(即評價指標體系) C=c1, c1, ,cr 來確定各方案的優(yōu)先次序. 在求解問題時, 首先要根據(jù)r種不同的準則中的每一種準則,分別描述各方案aj的優(yōu)劣. 為了集結(jié)各成員的意見,可以用協(xié)商矩陣表示委員會對各方案優(yōu)劣的總體感覺. 是m×m方陣, 其元素表示將方案aj排在第k位的成員人數(shù). 為了反映各準則的重要性, 可以對各準則加權(quán). 權(quán)向量W=w1, w2, , wr. 設根據(jù)準則cl, 有位成員將aj排在第k位, 則=. , Berna

30、rdo定義一個0-1矩陣P, 其每行、每列只有一個元素為1,余者均為0. 使 極大, 即 max s.t. =1 k=1,2, ,m =1 j=1,2, ,m 0,1P中的非0元素=1表示方案aj應該排在k位.§12.4 社會福利函數(shù)(Social Welfare Function)一、社會福利(Social Welfare) 1. 福利經(jīng)濟學是經(jīng)濟學中的一個學派，主要研究社會的福利與福利的判斷問題； 2. 福利經(jīng)濟學家(例Bergson, Samulson等)認為： 社會福利是一種可以測度的量，人們可據(jù)以判斷一種社會狀況是優(yōu)于，無差異于還是劣于另一種社會狀況。即可以用 Social

31、 welfare function來度量社會福利。定義： SWF是社會狀態(tài)x的實值函數(shù)，是社會福利的測度，記作W(x)=G(w (x),w (x) Note: 社會福利是社會中各成員所享受福利的綜合，而非總和; 個人的福利wi(x)與該成員對社會的貢獻、地位、個人的興趣、愛好等多種因素 有關(guān). 3. 若用u(x)表示社會狀態(tài)x帶給成員i的福利，則W(x)=G(u (x),u(x),在相互效用獨立時G可表示為加性，即W(x)= 但是，由于存在不確定性, 設導致x的自然狀態(tài)的概率為()故應有：max EW(x) = , 所以社會福利的判斷極其復雜. 即使對確定性的x a)各成員間的效用并不獨立：不

32、患寡而患不均; b)兩個人的福利相加并無意義(一個人享受雙分福利與二人各享受一份絕不等價), 所以加性社會福利函數(shù)并無實際意義. 而且使用SWF存在如下問題:各成員的福利(效用)函數(shù)如何確定?人與人間的福利函數(shù)如何校定基準值與比例尺，即如何進行效用的人際比較?由誰評價? 怎樣評價? 即個人的誠實性與評價的公平性如何檢驗? 社會福利函數(shù)的實質(zhì)：是一種規(guī)則，是潛在的群決策過程, 是從個人對社會狀況的排序得出社會總體排序的方法.二、偏好斷面(profile of preference ordering)(偏好分布)1可能的偏好序(1) 二個方案 x f y , x p y , x y(2) 三個方案

33、 R: x f y f z , R: x f z f y , , R: x y z 記各方案間可能的偏好序集合 r = R, R, R,則可能的偏好序種類S為:方案數(shù) m 2 3 4 5 7 8 只考慮強序時 m! 2 6 24 120 720 5040 全部 S 3 13 75 541 4386 460332偏好斷面： 記成員i的排序為Oi , Oir偏好斷面P = ( O1,O2, ,On) P r社會福利函數(shù)f : P r3. 可能的社會福利函數(shù) 2個成員, 2個方案成員的偏好序S=3時,f的定義域即偏好分布有3= 9種, f的值域即群的排序為3, 因此, f的可能形式有3=19683種

34、. 3個成員, 2個方案時, f的可能形式有3=7.6256×10種. 2個成員, 3 個方案時, f的可能形式有13=1.8×10種. 3個成員, 3個方案, 只考慮強序時, f的可能形式有6=1.2×10種.在這許多可能形式中,哪些比較合理呢? K. J. Arrow研究了社會福利函數(shù)應當滿足的條件.三、Arrow的條件(即社會福利函數(shù)應當具有的性質(zhì)) 條件1. 完全域(廣泛性) Universality a). m 3 b). N 2 c). 社會福利函數(shù)定義在所有可能的個偏好分布上; 條件2. 社會與個人價值的正的聯(lián)系(Positive associati

35、on of social and individual value) 若對特定P,原來有x fG y，則在P作如下變動后仍有有x fG yi. 對除x以外的方案成對比較時偏好不變 ii. x與其他方案比較時或者偏好不變，或者有利于x。 (有利于x是指 x i y x fi y或者y fi x x i y或 x fi y) 原來有x G y, 則在P作如上變動后仍有x G y或x fG y 條件3 無關(guān)方案獨立性(Independence of Irrelevant Alternatives)i. A1ÌA , A1 = A 對 中方案的偏好變化不影響A1中方案的排序,換言之 ii.

36、x , y的優(yōu)劣不因z 的加入而改變. 條件4. 非強加性(公民主權(quán)Citizen sovereignty) 總要有某些成員認為x fi y時，才能有x fG y. 條件5. 非獨裁性( Non-Dictatorship ) 群中任一成員 i都沒有這樣的權(quán)力: x fi yx fG y 此外，個人和群的優(yōu)先序應滿足連通性(可比性)，傳遞性.條件2加條件4即Pareto條件.四、Arrow 的可能性定理 定理1(m=2 的可能性定理) 若方案總數(shù)為2,過半數(shù)決策方法是一種滿足條件15的社會選擇函數(shù)，它能對每一偏好分布產(chǎn)生一個社會排序。 定理2 (一般可能性定理)即Arrow不可能定理 若m3，社

37、會中的成員可以對方案以任何方式自由排序，則滿足條件2和3且所產(chǎn)生的社會排序滿足連通性和傳遞性的社會福利函數(shù)就必定是，要么是獨裁的，要么是強加的。 Arrow不可能定理的本質(zhì)是Condorcet 效應(投票悖論)的公理化描述. 另一種表述法*: 滿足(U.P.I)的防投票策略性選舉都可能產(chǎn)生一個獨裁者,即沒有一種選舉方法是非獨裁的且是防投票策略的.五、單峰偏Black好與Coombs條件要使Arrow的不可能定理成為某種可能性定理, 必須放松Arrow的條件1、 2 、3. 首先放松條件1(完全域).1. 單峰偏好背景: 在議會中,通?？筛鶕?jù)各黨團的政治傾向從左到右(或從激進到保守)依次排列.此

38、時議員對各黨派(以及該黨派的議案或候選人)的排序就和這些黨派的政治傾向與議員本人的政治觀點的距離有關(guān), 即滿足單峰偏好約束. 2. Coombs條件背景: 給aj賦值(aj), 成員i的理想點為Ii, 方案 aj 的優(yōu)劣與 | (aj)- Ii | 的大小成反 比例. Coombs條件與單峰偏好的區(qū)別：Coombs條件要求對稱于Ii .3. 多樣性程度(不考慮, 只考慮強序)Fb(m) = 2 Fc (m ) = +1 m 3 4 5 7 10 Fb(m)/m! 2/3 8/24 16/120 .013 1.41×10 Fc (m )/m! 2/3 7/24 11/120 .004

39、1.27×104. 使過程多數(shù)規(guī)則具有傳遞性的偏好斷的規(guī)模 < 華中理工大學學報> 22(8)六、SCF與SWF的比較·同異：· 均為集結(jié)方法采用數(shù)學的投表決法(排序)以方案成對比較作基礎 ·SWC的方案可以無限，SCF中方案有限·性質(zhì)與條件：2 單調(diào)性 2+4Pareto最優(yōu)(一致性) (3)，5匿性性 1b中性 自反連道明確性§12.5群效用函數(shù)一、導致Arrow不可能定理的原因否認效用的基數(shù)性；否認效用的人際比較的可能性·以咖啡或茶待客問題為例： 甲認為 咖啡f茶 乙認為 茶f咖啡 由甲乙構(gòu)成的群不能作結(jié)論

40、但若拋開無關(guān)方案獨立性條件： 甲認為 咖啡f茶f牛奶f汽水f可樂f啤灑 乙認為 茶f牛奶f汽水f啤灑f可樂f咖啡 則似以茶待客為宜. 但是,若甲乙表達的對飲料的偏好強度如下則仍以咖啡待客為宜. 即:若各成員的偏好可比強度可測,則集結(jié)成員偏好序就成了集地各成員的基數(shù)效用. 這一效用函數(shù)滿足兩個公理和五個條件，阿羅的不可能定理就成為可能定理. 二、群效用函數(shù)與多目標效用函數(shù)的比較 形式相同: 對方案的評價都涉及多個準則實則不同：MAUF是由一個決策人作判斷的，只要量化他對各屬性的偏好(即可以由他一個人對各屬性值作權(quán)衡)這種量化是可以實現(xiàn)的; GUF要考慮群中各成員的偏好，再設法集結(jié)，由于a+ui(

41、x) 仍是成員i的效用，如何確定各成員的a(a為效用基準)、b(b為比例尺度), 使群中各成員的效用可比, 這是很難(如果不是不可能!)實現(xiàn)的.有人提出: 集結(jié)群體效用應該找一個超脫于各成員之外, 公正無私的人, 他要想象自己處于群種各個成員的客觀地位且具有其相同的主觀愛好, 去估計各種社會狀況對群中各成員的效用, 再據(jù)以集結(jié)成群的效用. 但是,在現(xiàn)實生活中, 不可能找到這樣的人.三、群決策提法本身存在缺陷在第一章中,我們指出: 決策是自由意志行動. 因此,個人能決策； 群不是統(tǒng)一實體，不具備自己意志，不能決策，群是社會的作用：群中成員只能決定：如何投票；是否接受他人意見；是否要提反對意見&#

42、167;12.6 談判與仲裁§12.6.1引言 一、群決策的分類Harsanyi根據(jù)群中成員的行為準則把群決策分為兩大類：從倫理道德出發(fā)，追求群作為整體的利益，屬于集體決策,即社會選擇問題 例如：委員會，董事會，智囊團所作的決策;追求自身利益及與他人對立的價值，是對策即博奕問題,談判可以歸入這一類.二、研究沿革1994 Von-Neumann-Morgensterm, 用數(shù)學模型研究談判問題Nash(1950)談判問題(Bargaining Problem)Luce, R.D & Raifa, H(1957), Games and DecisionRaiffa, H.(198

43、2):The art and Science of Negotiation§12-6-2 Nash談判模型一、問題表述： 甲、乙兩個談判者, 效用分別為u1(·)和u2(·); 可行域為R，現(xiàn)況點為(,)Pareto最優(yōu)邊界QP的子集MN較現(xiàn)況點占優(yōu)勢, MN稱為談判集(見下圖). 圖12.2二、基本假設1.每個人都指望對方是合乎理性的;2.談判雙方的效用函數(shù)u1(·)和u2(·)能足夠精確地反映各自的偏好;3. 任何協(xié)議一經(jīng)達成就具有強制性，不得違約.三、Nash提出的四條公理為了預先求得談判結(jié)果 公理一 后果限于談判集內(nèi) 談判雙方一致達成的協(xié)議點( )是談判集中的點，是可行的, Pareto最優(yōu)的，不劣于現(xiàn)況點的值。 公理二 對稱性 如果可行域是對稱的，現(xiàn)