數(shù)列經典例題[裂項相消法]

1、v1.0 可編輯可修改1 學習好幫手數(shù)列裂項相消求和的典型題型1已知等差數(shù)列na的前n項和為,15,5,55sasn則數(shù)列11nnaa的前 100 項和為 ( )a100101 b99101 c 99100 d 1011002數(shù)列,)1(1nnan其前n項之和為,109則在平面直角坐標系中，直線0) 1(nyxn在y軸上的截距為( )a 10 b 9 c 10 d 93等比數(shù)列na的各項均為正數(shù)，且6223219, 132aaaaa( ) 求數(shù)列na的通項公式；( ) 設,logloglog32313nnaaab求數(shù)列1nb的前n項和4正項數(shù)列na滿足02)12(2nanann( ) 求數(shù)列n

2、a的通項公式na；( ) 令,)1(1nnanb求數(shù)列nb的前n項和nt5設等差數(shù)列na的前n項和為ns，且12,4224nnaass( ) 求數(shù)列na的通項公式；( ) 設數(shù)列nb滿足,211*2211nnabababnnn求nb的前n項和nt6已知等差數(shù)列na滿足：26,7753aaana的前n項和為ns( ) 求na及ns；( ) 令),(11*2nnabnn求數(shù)列nb的前n項和nt7在數(shù)列na中nnanaa211)11(2, 1,( ) 求na的通項公式；v1.0 可編輯可修改2 學習好幫手( ) 令,211nnnaab求數(shù)列nb的前n項和ns；（）求數(shù)列na的前n項和nt8已知等差數(shù)

3、列na的前 3 項和為 6，前 8 項和為 4( ) 求數(shù)列na的通項公式；( ) 設),0()4(*1nnqqabnnn求數(shù)列nb的前n項和ns9已知數(shù)列na滿足,2,021aa且對*,nnm都有211212)(22nmaaanmnm( ) 求53,aa；( ) 設),(*1212nnaabnnn證明：nb是等差數(shù)列；（）設),0()(*11nnqqaacnnnn求數(shù)列nc的前n項和ns10已知數(shù)列na是一個公差大于0 的等差數(shù)列，且滿足16,557263aaaa( ) 求數(shù)列na的通項公式；( ) 數(shù)列na和數(shù)列nb滿足等式),(2222*33221nnbbbbannn求數(shù)列nb的前n項和

4、ns11已知等差數(shù)列na的公差為2，前n項和為ns，且421,sss成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列na的通項公式；(2) 令,4)1(112nnnaanb求數(shù)列nb的前n項和nt.12正項數(shù)列na的前n項和ns滿足：0)()1(222nnsnnsnn.(1) 求數(shù)列na的通項公式na；(2) 令,)2(122nnannb數(shù)列nb的前n項和為nt，證明：對于,*nn都有645nt.答案：1a；2 b3解： ( ) 設數(shù)列 an的公比為q，由 a32=9a2a6有 a32=9a42， q2= 由條件可知各項均為正數(shù)，故q= v1.0 可編輯可修改3 學習好幫手由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q

5、=1， a1= 故數(shù)列 an 的通項式為an=（） bn=+=（1+2+n） =，故=2（）則+=2 （1）+（）+（）= ，數(shù)列 的前 n 項和為4解： ( ) 由正項數(shù)列 an 滿足：（ 2n1）an2n=0，可有（ an2n） （an+1）=0an=2n( ) an=2n， bn=，bn=，tn=數(shù)列 bn 的前 n 項和 tn為5解： ( ) 設等差數(shù)列 an 的首項為 a1，公差為d，由 s4=4s2，a2n=2an+1 有：，解有 a1=1，d=2an=2n1，nn*( ) 由已知+=1，nn*，有：當 n=1 時，= ，當 n2 時，=（1）（ 1）=， n=1 時符合v1.0

6、可編輯可修改4 學習好幫手=，nn*由（）知， an=2n1，nn*bn=，nn*又 tn= +，tn=+，兩式相減有：tn= +（+）=tn=36解： ( ) 設等差數(shù)列 an 的公差為 d，a3=7，a5+a7=26，有，解有 a1=3，d=2，an=3+2（n 1）=2n+1；sn=n2+2n；( ) 由( )知 an=2n+1，bn=，tn=，即數(shù)列 bn 的前 n 項和 tn=7解： ( ) 由條件有，又 n=1 時，故數(shù)列構成首項為1，公式為的等比數(shù)列，即v1.0 可編輯可修改5 學習好幫手( ) 由有，兩式相減，有：，（）由有tn=2sn+2a12an+1=8解： ( ) 設an

7、 的公差為d，由已知有解有 a1=3，d=1故 an=3+（ n1） （ 1） =4n；( ) 由( )的解答有， bn=n? qn1，于是sn=1? q0+2? q1+3? q2+n? qn1若 q1，將上式兩邊同乘以q，有qsn=1? q1+2? q2+3? q3+n? qn上面兩式相減，有（q1）sn=nqn（ 1+q+q2+qn1）=nqn于是 sn=若 q=1，則 sn=1+2+3+ +n=， sn=9解： ( ) 由題意，令m=2 ，n=1，可有 a3=2a2a1+2=6再令 m=3 ，n=1，可有 a5=2a3a1+8=20( ) 當 nn*時，由已知（以n+2 代替 m ）可有

8、 a2n+3+a2n1=2a2n+1+8v1.0 可編輯可修改6 學習好幫手于是 a2（n+1）+1a2（n+1）1 （ a2n+1a2n1）=8即 bn+1bn=8bn是公差為 8 的等差數(shù)列（）由 ( ) ( )解答可知 bn 是首項為b1=a3a1=6，公差為8 的等差數(shù)列則 bn=8n 2，即 a2n+1a2n1=8n2另由已知（令m=1 ）可有an=（ n1）2an+1an=2n+1= 2n+1=2n于是 cn=2nqn1當 q=1 時， sn=2+4+6+2n=n（n+1）當 q1 時， sn=2? q0+4? q1+6? q2+2n? qn1兩邊同乘以q，可有qsn=2? q1+

9、4? q2+6? q3+2n? qn上述兩式相減，有（1q）sn=2（1+q+q2+qn1） 2nqn=2?2nqn=2?sn=2?綜上所述， sn=10解： ( ) 設等差數(shù)列 an的公差為d，則依題意可知d0 由 a2+a7=16，有， 2a1+7d=16由 a3a6=55，有（ a1+2d） （a1+5d）=55由聯(lián)立方程求，有d=2，a1=1/d= 2，a1=（排除）an=1+（n1）? 2=2n1v1.0 可編輯可修改7 學習好幫手( ) 令 cn=，則有 an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1兩式相減，有an+1an=cn+1，由（ 1）有 a1=1，an+1 an=

10、2cn+1=2，即 cn=2（n2） ，即當 n2 時，bn=2n+1，又當 n=1 時， b1=2a1=2bn=于是 sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，11解(1) 因為s1a1，s22a121222a12，s44a143224a112，由題意得 (2a12)2a1(4a112) ，解得a11，所以an2n1.(2)bn( 1)n14nanan1( 1)n14n(2n1)(2n1)( 1)n1(12n112n1) 當n為偶數(shù)時，tn(1 13) (1315) (12n312n1) (12n112n1) 112n12n2n1.當n為奇數(shù)時，tn(1 13) (1315) (12n312n1) (12n112n1) 112n12n22n1.所以tn2n22n1，n為奇數(shù)，2n2n1，n為偶數(shù) .( 或tn2n1 ( 1)n12n1)12(1) 解由s2n(n2n 1)sn(n2n) 0，v1.0 可編輯可修改8 學習好幫手得sn(n2n)(sn1) 0，由于 an 是正項數(shù)列，所以sn10.所以snn2n(nn*) n2 時，ansnsn12n，n1