空間幾何體的表面積與體積教案

1、空間幾何體的表面積與體積一、柱體、錐體、臺體的表面積a. 多面體的表面積1. 多面體的表面積求法：求平面展開圖的面積注：把多面體的各個面平鋪在平面上，所得圖形稱之為多面體的平面積展開圖. 2. 直棱柱的側(cè)面積與全面積（ 1）側(cè)面積求法：側(cè)面展開（如圖）；公式： scl （其中c為底面周長，l 為側(cè)棱長）；（ 2）表面積：側(cè)面積兩底面積. （ 3）推論：正棱柱的側(cè)面積：scl （其中c為底面周長，l 為側(cè)棱長） . 長方體的表面積：2()sabbcca. （其中, ,a b c分別為長方體的長寬高）正方體的表面積：26sa （a為正方體的棱長）. 3. 斜棱柱側(cè)面積與全面積（ 1）側(cè)面積：求法：

2、作出直截面（如圖）；注：這種處理方法蘊(yùn)含著割補(bǔ)思想. 公式： scl （其中c為直截面周長，l 為側(cè)棱長）；（ 2）表面積：側(cè)面積兩底面積. 4. 正棱錐的側(cè)面積與全面積（ 1）側(cè)面積求法：側(cè)面展開（如圖）；公式：12sch（其中c為底面周長，h 為斜高）；（ 2）表面積：側(cè)面積底面積.5. 正棱臺的側(cè)面積與全面積（ 1）側(cè)面積求法：側(cè)面展開（如圖）；公式：1()2scc h（其中c、 c 為底面周長，h 為斜高）；（ 2）表面積：側(cè)面積兩底面積.6. 正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：b. 旋轉(zhuǎn)體的表面積正棱臺側(cè)面積公式：1()2scc h正棱柱側(cè)面積公式：scl正棱錐側(cè)面積公

3、式：12schcchl0c2rlr1. 圓柱的側(cè)面積與全面積（ 1）側(cè)面積：求法：側(cè)面展開（如圖）；公式：2srl （r為兩底半徑，l 為母線長）；（ 2）表面積：2()sr rl .2. 圓錐的側(cè)面積與表面積（ 1）側(cè)面積求法：側(cè)面展開（如圖）；公式： srl ；（ 2）表面積：()sr rl （r為兩底半徑，l 為母線長） . 事實(shí)上：圓錐側(cè)面展開圖為扇形，扇形弧長為2 r，半徑為圓錐母線l，故面積為122rlrl. 3. 圓臺的側(cè)面積與表面積（ 1）側(cè)面積求法：側(cè)面展開（如圖）；公式：()srr l ；事實(shí)上：圓臺側(cè)面展開圖為扇環(huán)，扇環(huán)的弧長分別為2 r、2r，半徑分別為x、xl，故圓臺

4、側(cè)面積為112()2()22srxlrxrr xrl，()xlrr xrlrrr，()srr l. （ 2）表面積：22()rrrr l. （r、r分別為上、下底面半徑，l 為母線長）4. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：二、柱體、錐體、臺體的體積a. 棱柱、棱錐、棱臺的體積1. 棱柱體積公式：vsh（ h 為高， s為底面面積） ；2. 棱錐體積公式：13vsh（ h為高， s為底面面積） ；3. 棱臺體積公式：11221()3vssss h棱臺（h為高，1s 、2s 分別為兩底面面積）. 事實(shí)上，設(shè)小棱錐高為x，則大棱錐高為xh. 于是212211111()()3333vsxhs

5、xs hss x. 11211221()ssxxssxs hxhhsss，221212211112211111()()()()33333vs hssssxs hsss hss ssh. 4. 棱柱、棱錐、棱臺體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：2 rllrh2sx1s圓臺側(cè)面積公式：11221()3vssss h棱臺12sss10s2ss2 r2 rxrrxlrr圓臺側(cè)面積公式：()srr l圓柱側(cè)面積公式：2srlcl圓錐側(cè)面積公式：12srlcl0rb. 圓柱、圓錐、圓臺的體積1. 圓柱的體積：2vr h （ h 為高，r為底面半徑）.2. 圓錐的體積：213vr h （ h為高，r為底面半徑）.3.

6、圓臺的體積：221()3vrrrr h （r、r分別為上、下底半徑，h 為高） .事實(shí)上，設(shè)小圓錐高為x，則大圓錐高為xh（如圖） . 于是2221111()()()3333vrxhr hrrrr xr h. ()xrxrrr xrhxhrhrr，222111()()333vrr rhr hrrrrh. 4. 圓柱、圓錐、圓臺體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：三、球的體積與表面積1. 球的體積343vr .2. 球的表面積24sr . 四、題型示例a. 直用公式求面積、求體積例 1 （1）一個正三棱柱的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，求其側(cè)面積、表面積和體積；側(cè)面積： 120；表面積： 120+120+83；

7、體積40 3. （ 2）一個圓臺，上、下底面半徑分別為10、20，母線與底面的夾角為60，求圓臺的側(cè)面積、表面積和體積；側(cè)面積：600；表面積：1100；體積：7000 33.（ 3）已知球的表面積是64，求它的體積.結(jié)果：2563.（ 4）在長方體1111abcdabc d 中，用截面截下一個棱錐11cadd ，求棱錐11cadd 的體積與剩余部分的體積之比.結(jié)果1: 5.練習(xí)：圓臺體積公式：221()3vrrrrh圓柱體積公式：2vr h圓錐體積公式：213vr hrr0rrrxlh1. 已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm，高與斜高的夾角為30 ，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積.結(jié)果：232

8、cm，248cm.2. 已知平行四邊形abcd 中，8ab，6ad，60dab，以ab為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體.求旋轉(zhuǎn)體的表面積. 結(jié)果：843.3. 正方體1111abcda bc d 的棱長為1，則沿面對角線ac 、1ab 、1cb 截得的三棱錐1bacb 的體積為c a.12b.13c.16d. 1 4. 已知正四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4cm、8cm，求它的側(cè)面積和體積.結(jié)果：側(cè)面積：348 15cm；體積：3224 14cm3.5. 正四棱錐 sabcd 各側(cè)面均為正三角形，側(cè)棱長為5，求它的側(cè)面積、表面積和體積. 結(jié)果：側(cè)面積：25 3；表面積：25(13)；體積：125 2

9、6. 6. 若正方體的棱長為2 ，則以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為.23b. 根據(jù)三視圖求面積、體積例 3 一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為a. 22 3b. 42 3c.2 323d.2 343結(jié)果： c. 練習(xí)：1. 一個底面為正三角形，側(cè)棱于底面垂直的棱柱的三視圖如圖所示，則這個棱柱的體積為 . 結(jié)果：36 3. 2. 下圖是一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，如果直角三角形的直角邊長均為1，那么這個幾何體的體積為a. 1b.12c.13d.16答案： c. 俯視圖2 2 正（主）視圖2 側(cè)（左）視圖2 2 2 正視圖側(cè)視圖俯視圖3 34 正視圖側(cè)視圖

10、俯視圖3. 如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為3 的等腰三角形，俯視圖是半徑為1 的半圓，該幾何體的體積是a.23b.2 23c.d.4 33答案： a.4. 已知一個組合體的三視圖如圖所示，請根據(jù)具體的數(shù)據(jù)，計算該組合體的體積.提示：該組合體結(jié)構(gòu)為：上部是一個圓錐，中部是一個圓柱，下部也是一個圓柱 . 結(jié)果：1763. 5. 下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是d a. 9b. 10c. 11d. 12c. 幾何體表面上最短距離問題例三棱錐 pabc 的側(cè)棱長均為1，且側(cè)棱間的夾角都是40 ，動點(diǎn)m在pb上移動，動點(diǎn)n 在 pc 上移動，求ammnna的最小

11、值 .結(jié)果：3. d. 與球有關(guān)的組合問題例 1（ 1）若棱長為3 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 .結(jié)果 :27.（2）若一個球內(nèi)切于棱長為3 的正方體，則該球的體積為 .結(jié)果:92.例 2 有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為的鐵球，并注入水， 使球浸沒在水中并使水面正好與球相切，然后將球取出， 求這時容器中水的深度.結(jié)果：315r.變式訓(xùn)練：1. 長方體1111abcda bc d 中，3ab，4ad，15aa，則其外接球的體積為. 2. 求棱長為1 的正四面體的外接球、內(nèi)切球的表面積. 注：棱長為的正四面體中常用數(shù)據(jù)：（1）高：63a，中心

12、到頂點(diǎn)距離：64a，中心到面距離：612a，中心到頂點(diǎn)距離：中心到面的距離=3：1. （2）全面積：23a，體積：3212a. （3）對棱距離：22a. （4）棱面角：3aiccos3a或6aicsin3，面面角：1aiccos3或2 2aicsin3. 正視圖側(cè)視圖俯視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖10 1 4 2 2 10 1 4 2 e. 幾個重要結(jié)論的補(bǔ)充及應(yīng)用結(jié)論 1 錐體平行截面性質(zhì)錐體平行截面與錐體底面相似，且與底面積比等于兩錐側(cè)面積面積比，等于兩錐全面積面積比，等于兩錐對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)斜高、對應(yīng)對角線、對應(yīng)底邊長）比的平方.結(jié)論 2 若圓錐母線長為l ，底面半徑為r，側(cè)面展開圖扇形

13、圓心角為，則2 rl.結(jié)論3 若圓臺母線長為l ，上、下底面半徑分別為r、r，側(cè)面展開圖扇環(huán)圓心角為，則2rrl.證明：設(shè)小圓錐母線長為x，則有22rxrx.xrxrrlxxlrlrrrr，22()2rr rrrrxrll. 應(yīng)用1. 一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2 倍，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù)為b a. 120b. 180c. 240d. 3002. 一個圓錐的高是10cm ，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積. 解：設(shè)圓錐底面半徑為r，圓錐母線長為l， 則扇形弧長為222lr， 2lr. 在rtsoa中，22210lr，有此得10 33r，20 33l.圓錐側(cè)面積為2003srl. 3

14、. 露露從紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片（如圖），用它們恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為1扇形的圓心角等于120，則此扇形的半徑為ca.13b.6c. 3d.6 4. 圓臺的上、下底面半徑分別為10cm 和 20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180 ，那么圓臺的表面積是多少？結(jié)果：21100 cm. 5. 圓錐母線長為1，側(cè)面展開圖的圓心角為240，則圓錐體積為ca.2 281b.881c.4 581d.10816. 若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120、半徑為 l 的扇形， 則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是a. 3: 2b. 2:1c. 4:3d. 5:3結(jié)果： c. f. 空間幾

15、何體體積求法例析a. 公式法例 1 四棱錐 pabcd 的頂點(diǎn)p在底面中的射影恰好是a，其三視圖如圖，則四棱錐pabcd的體積為.解：根據(jù)三視圖可已將四棱錐pabcd的底面是邊長為a的正方形，高為a，利用錐體體積公式231133pabcdvaaa. 點(diǎn)評： 1. 計算幾何體體積需要區(qū)別錐體、柱體、臺體、球體. 它們的體積各自有不同的特征，注意準(zhǔn)確運(yùn)用體積公式. a俯視圖主視圖側(cè)視圖aabcdap2. 如果是只求體積，根據(jù)“長對正，寬相等，高平齊”分別求出幾何體的底面積和高，直接計算體積即可，若幾何體比較復(fù)雜或涉及面積等計算時，則需復(fù)原幾何體（本幾何體復(fù)原后的圖形如圖）. 例 2 一個幾何體的俯

16、視圖是一個圓，正視圖和側(cè)視圖是全等的矩形，它們水平放置時（一邊在水平位置上） ， 它們的斜二測直觀圖是邊長為6 和 4 的平行四邊形， 則該幾何體的體積為.解：斜二測畫法原則是“橫長不變縱減半”. 據(jù)此，正視圖的長可能是6 或 4，高是 8 或 12，而且是矩形 .可見該幾何體是圓柱體，底面直徑可能是6 或 4，高是 8 或 12. 根據(jù)圓柱體體積公式，23872v或221248v. 該幾何體體積為72或48. 例 3 用一塊長 3m，寬 2m 的矩形木板， 在墻面互相垂直的墻角處，圍出一個直三棱柱形谷倉，在下面的四種設(shè)計中，容積最大的是a 解：略 . b. 分割法例 4 已知一個多面體的表面

17、積為36，它的內(nèi)切球的半徑為2，求該多面體的體積.解：設(shè)多面體有n個面，每個面的面積分別為12,ns ss，則1236nsss. 多面體內(nèi)切球的球心到多面體個個面的距離都等于球的半徑r，運(yùn)用分割法，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的每個面為底面，將多面體分割成n個棱錐，于是多面體的體積等于這個棱錐的體積和，即1111211111()3622433333nvsrs rs rr sss. 例 5 如圖 3，在多面體abcdef 中，已知面abcd 是邊長為3 的正方形，/ /efab，32ef，ef與 ac 面的距離為2，則該多面體的體積為.解：取ab、cd邊的中點(diǎn)m、n，將多面體分割成斜三棱柱和四棱錐

18、，利用三棱柱體積公式及四棱錐體積公式，不難求得多面體積：13131532222322v. 點(diǎn)評：本題中的幾何體是不規(guī)則的，設(shè)法將幾何體分割 （或補(bǔ)）成規(guī)則的常見的幾何體， 是解題的關(guān)鍵， 由于/ /efab，并沒有說明ade的確切位置，因此可以將其位置特殊化，從而得到直三棱柱adbmnf和四棱錐fmncb，這是本題解法一個巧妙之處. c. 補(bǔ)形法例 6已知三棱柱的一個側(cè)面面積為s，相對的棱距離該側(cè)面的距離是 h，求證：該三棱柱的體積是12vsh.證明：設(shè)三棱柱111abca bc的側(cè)面11abb a的面積為s，側(cè)棱1cc到該側(cè)面的距離為h. 以三棱柱的側(cè)面11abb a為底面，將三棱柱補(bǔ)形得到

19、四棱柱，如圖. 則四棱柱的高恰等于h.四棱柱的體積為vsh，它的一半，即為三棱柱的體積12vsh. 三棱柱的體積為12vsh. 點(diǎn)評：本體的結(jié)論可以作為結(jié)論用. 例 7已知pa、pb、 pc 兩兩互相垂直，且pab、pac、pbc的面積分別為21.5 cm，b a c a 452 2 2 2 3 3 3 3 304530abcd1d1c1b1abcdfemnabcdafe22cm ，62cm ，則過p、a、b、 c 四點(diǎn)的外接球的體積為2cm .解：pa、pb、pc兩兩互相垂直， 則以它們?yōu)榛A(chǔ)， 補(bǔ)形成為一個長方體， 長方體的對角線是外接球的直徑. 設(shè)三條棱長分別為, ,x y z，則3xy

20、，4xz，12yz，解得12xyz，1x，3y，4z.從而2222(2 )134r，2426r，262r. 33442613263323vrr. 點(diǎn)評：對于三條棱兩兩互相垂直或者3 個側(cè)面兩兩互相垂直的三棱柱以及正四面體或?qū)夥謩e相等的三棱錐，都可以補(bǔ)形成為長方體或者正方體，它們有共同的外接球，外接球的直徑正好是長方體或正方體的體對角線，這樣就很容易將球體和三棱錐聯(lián)系起來.d. 特殊化法例 8如圖，直三棱柱111abcabc 體積為 v ，點(diǎn)p、 q 分別在側(cè)棱1aa 、1dd 上，1apd q ，則四棱錐bapqd 的體積為 .解：將條件1apdq特殊化，使得p和1a重合，q和d重合，四棱錐

21、bapqd就變成三棱錐1bada，它和直三棱柱等底等高，四棱錐bapqd的體積等于1133abdshv.e. 等體積轉(zhuǎn)化（變換角度）例 9如圖， 在長方體1111abcda bc d 中，如果分別過bc 、11ad 的 2 個平行平面將長方體分成體積相等的3 部分，那么11c nnd . 解：將長方體站立放置，從而更容易觀察到相關(guān)的幾何體分別是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱 . 長方體被分成體積相等的三部分，即111111d hdagad ncha mbgncc mb bvvv. 由于它們的等高且等體積，底面積也相等，就是說111agaambgmbbsss，即1112agaagbaa，2aggb

22、，112c nnd. 例 10如圖，已知e、f分別是棱長為a的正方體1111abcdabc d 的棱1aa 、1cc 的中點(diǎn)，求三棱錐11cb ef 的體積 . 解：111111311312cbefe b fcbc fvvsaba. 點(diǎn)評：在三棱錐求體積問題中，變換角度就是換頂點(diǎn)、換底面，它是計算三棱錐體積問題長見的轉(zhuǎn)化策略之一，它的基本依據(jù)是變換前后等體積 . 轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)是相應(yīng)的底面和高是否容易求解. 顯然本題直接按照題中所給的角度或者轉(zhuǎn)換成三棱錐都不便于求底面和高. 練習(xí)：1. 正六棱錐 pabcdef 中， g 為pb的中點(diǎn)，則三棱錐dgac 與三棱錐 pgac 體積之比為c a. 1:

23、1b. 1: 2c. 2:1d. 3: 22. 如圖，在多面體abcdef 中，已知abcd 是邊長為1 的正方形，且ade、bcf均為正三角形，/ /efab，2ef，則該多面體的體積為a a.23b.33c.43d.32ef1bd1d1ca1abchm1bd1d1ca1abcngqp1bd1da1ab3. 某幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm） ，則這個幾何體的體積是ba.34000cm3b.38000cm3c.32000 cmd.34000 cm4. 一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積為a a. 4812 2 b. 4824 2 c. 3612 2d. 3624 25

24、. 若正方體外接球的體積是323，則正方體的棱長為a. 2 2b.2 33c.4 23d.4 33選d 7. 如圖， 已知多面體abcdefg ，ab，ac ，ad兩兩垂直，平面/ /abc平面 defg ， 平面/bef平面 adgc ，2abaddg，1acef，則該多面體的體積為a. 2b. 4c. 6d. 89. 一個長方體的某3 個面的面積分別是2 ，3 ，6. 則這個長方體的體積是 .10. 設(shè)等邊三角形abc的邊長為a，p是abc內(nèi)的任意一點(diǎn)，且p到三邊ab， bc ， ca的距離分別為1d ，2d ，3d ，則有123ddd 為定值32；由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設(shè)正四面體 abcd 的棱長為a，p是正四面體abcd 內(nèi)的任意一點(diǎn)， 且p到四個面的距離分別為1d ，2d ，3d ，4d ，則有1234dddd 為定值是 . 結(jié)果：63.11. 某球的外切圓臺上下底面半徑分別為r，r，則該球的體積是 .12. 在三棱錐abcd 中，6abcd，5acbdadbc，則該三棱錐的外接球的表面積為 . 解：依題意得