第6章梁的位移

1、第六章第六章 梁梁 的的 位位 移移6-1 概概 述述A BCxyC1 F撓曲線撓曲線I. 梁的位移梁的位移直梁直梁ACB； 形心主慣性平面形心主慣性平面xy；平面彎曲；平面彎曲； 撓曲線撓曲線AC1B； 撓度：撓度：橫截面的形心（即軸線上的點）在橫截面的形心（即軸線上的點）在y方方向的線位移向的線位移w。在圖示坐標(biāo)系中，方向向下的。在圖示坐標(biāo)系中，方向向下的w為為正正。工程中常用梁，。工程中常用梁，wl，橫截面的形心在橫截面的形心在x方向方向的線位移可略去。的線位移可略去。w（撓度撓度）C1CA Bxy F撓曲線撓曲線q q（轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角）法線法線q q切線切線A Bxy F撓曲線撓曲線C1C

2、轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：橫截面對其原來位置的角位移橫截面對其原來位置的角位移q q。細長。細長梁可忽略剪力對變形的影響，所以橫截面在梁彎曲梁可忽略剪力對變形的影響，所以橫截面在梁彎曲變形后仍垂直于撓曲線，也等于平面曲線變形后仍垂直于撓曲線，也等于平面曲線AC1B在在C1點的切線和點的切線和x軸的夾角。軸的夾角。在圖示坐標(biāo)系中，順時在圖示坐標(biāo)系中，順時針轉(zhuǎn)向的針轉(zhuǎn)向的q q為正為正。 撓曲線方程（或撓度方程）：撓曲線方程（或撓度方程）：撓度撓度w隨橫截面隨橫截面位置位置x的變化規(guī)律，的變化規(guī)律，即即 w=w(x)A Bw（撓度撓度）C1Cxyq q（轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角）法線法線q q切線切線 F撓曲線撓曲線A Bw（

3、撓度撓度）C1Cxyq q（轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角）法線法線q q切線切線 F撓曲線撓曲線 xwxxwddtanqq 轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q q 隨橫截面位置隨橫截面位置x的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。因因q q 很小，故有很小，故有即撓曲線上任一點處切線的斜率等于該點處橫截面的即撓曲線上任一點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q q。II. 梁的位移與變形的聯(lián)系與區(qū)別梁的位移與變形的聯(lián)系與區(qū)別A BlEIA BlEIMeMe Me(a)(a)EIMe1(b)EIMe1 梁的變形程度用其中性層的曲率梁的變形程度用其中性層的曲率 來度量。來度量。梁的位移不僅取決于其變形程度，而且與其支承條件梁的位移不僅

4、取決于其變形程度，而且與其支承條件有關(guān)。例如長度、材料、橫截面的形狀和尺寸及受力有關(guān)。例如長度、材料、橫截面的形狀和尺寸及受力情況等均相同的二梁情況等均相同的二梁EIM1III. 研究梁的位移的目的研究梁的位移的目的（1）校核梁的剛度（最大撓度和轉(zhuǎn)角的限值）；）校核梁的剛度（最大撓度和轉(zhuǎn)角的限值）；（2）求解超靜定梁（）求解超靜定梁（8-5）。）。 6-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分物理方面物理方面EIM1 EIxMx1純彎曲梁純彎曲梁 橫力彎曲細長梁橫力彎曲細長梁 （不計剪力（不計剪力Fs的影響）的影響） 2/3211xwxwx 幾何方面幾何方面小變形時小變

5、形時，w(x)0，w為減函數(shù)，為減函數(shù)，w 0w=0w0M 0MMw0w=0wb時，右支座截面的轉(zhuǎn)角絕對值最大時，右支座截面的轉(zhuǎn)角絕對值最大lEIalFabB6maxqq當(dāng)當(dāng)ab時，時，AC段有最大撓度。段有最大撓度。由由w1=0可得極值點位可得極值點位置為置為abaablx323221BAxywl/2qAF wmaxqBCl / 2IIIx1ab 3221max39bllEIFbxww當(dāng)荷載接近于右支座，即當(dāng)荷載接近于右支座，即ba時，由上式可得時，由上式可得EIFblEIFblw22max0642. 039而此時梁中間截面處的撓度為而此時梁中間截面處的撓度為EIFblEIFblwl2220

6、625. 016兩者相差不超過中點撓度的兩者相差不超過中點撓度的3%。BAxywl/2qAF wmaxqBCl / 2x1ab 因此，在簡支梁中，只要撓曲線無拐點，即可有因此，在簡支梁中，只要撓曲線無拐點，即可有中點撓度來代替最大撓度。中點撓度來代替最大撓度。 當(dāng)載荷作用在梁的中點，即當(dāng)載荷作用在梁的中點，即a=b=l/2時，其最大轉(zhuǎn)時，其最大轉(zhuǎn)角和撓度為角和撓度為EIFl162maxqEIFlwwl4832max總結(jié)總結(jié) 遵循了兩個規(guī)則遵循了兩個規(guī)則( (1) )對各段都參照同一坐標(biāo)原點建立彎矩方程；對各段都參照同一坐標(biāo)原點建立彎矩方程；(2)以以(x-a)為自變量對為自變量對(x-a)項進

7、行積分，則由項進行積分，則由x=a處的連續(xù)條件可得兩段梁對應(yīng)的積分常數(shù)處的連續(xù)條件可得兩段梁對應(yīng)的積分常數(shù)分別相等的結(jié)果。分別相等的結(jié)果。6-3 用疊加法求梁的位移用疊加法求梁的位移限制條件限制條件 梁的位移微小且材料在線彈性范圍內(nèi)工作梁的位移微小且材料在線彈性范圍內(nèi)工作，使得，使得 (1) EIw=M(x) ； (2) M(x)按變形前的尺寸寫出，使得按變形前的尺寸寫出，使得 M(x q, ,F, ,Me 。從而從而 w(x) q, ,F, ,Me ； q q (x) q, ,F, ,Me 。 即可用疊加法求多個荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。即可用疊加法求多個荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。目的目的

8、求梁的某些特定截面的位移。求梁的某些特定截面的位移。規(guī)律規(guī)律 EILMEILFEILqw2e34, EILMEILFEILqe23,qL為長度的量綱為長度的量綱表表6-1 等截面梁在簡單荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角等截面梁在簡單荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角例例 利用疊加法求圖示利用疊加法求圖示彎曲剛度為彎曲剛度為EI的懸臂梁的懸臂梁自由端自由端B 截面的撓度和截面的撓度和轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。解解 可將原荷載看成為圖可將原荷載看成為圖a和和b兩種荷載的疊加。兩種荷載的疊加。2FwCFq qCFq qCFaMe= Fa wBMeq qBMe2FMe= Fa A C B a a A C B （a）A B （b）EIFa

9、EIaFwCF323233EIFaEIaFCF22222q EIFaaEIFaEIFaawwCFCFBF3532323q由圖由圖a可得可得C截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為由位移關(guān)系可得由位移關(guān)系可得B截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為 A C B 2FwCFq qCFq qCFa EIFaCFBF2qq EIFaEIaMwBM32e222e由圖由圖b可得可得B截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為A B Me= FawBMeq qBMe EIFaEIaMBM2e22eq EIFaEIFaEIFawwwBMBFB3235333e將相應(yīng)的位移進行疊加，即得將相應(yīng)的位移

10、進行疊加，即得 EIFaEIFaEIFaBMBFB2222eqqq例例 利用疊加法求圖利用疊加法求圖a所所示彎曲剛度為示彎曲剛度為EI的簡支的簡支梁的跨中撓度梁的跨中撓度wC和兩端和兩端截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角q qA，q qB。解解 可將原荷載看成為圖可將原荷載看成為圖b所示關(guān)于跨中所示關(guān)于跨中C截面的正對截面的正對稱和反對稱荷載的疊加。稱和反對稱荷載的疊加。+ +q A C Bl / 2l(b) A C Bl / 2l A C Bl / 2lq/2 q/2q/2(a)(1)正對稱荷載：正對稱荷載：跨中截面跨中截面C的撓度和兩端的轉(zhuǎn)角的撓度和兩端的轉(zhuǎn)角EIqlEIlqwC768538425441

11、EIqlEIlqBA482423311qq02Cw(2)反對稱荷載：反對稱荷載：跨中截面跨中截面C的撓度等于零，分別的撓度等于零，分別將將AC段和段和CB段看成為跨長各為段看成為跨長各為l/2的簡支梁的簡支梁EIqlEIlqBA38424223322qqA C Bl / 2lq/2 A C Bl / 2l q/2q/2 EIqlEIqlwwwCCC7685068754421將相應(yīng)的位移進行疊加，即得將相應(yīng)的位移進行疊加，即得 EIqlEIqlEIqlAAA38473844833321qqq EIqlEIqlEIqlBBB38493844833321qqq例例 用疊加法求圖示彎曲剛度為用疊加法求

12、圖示彎曲剛度為EI的外伸梁的外伸梁C截面的截面的撓度以及撓度以及D截面的撓度和轉(zhuǎn)角。截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解解 可將外伸梁看成是圖可將外伸梁看成是圖a和和b所示的簡支梁和懸臂梁所示的簡支梁和懸臂梁的疊加。的疊加。B(b)DFFFMB=Faq qBMBwCMBwDFq qDFA C B D a a a FMB=FaA C B D(a) EIFaEIaFawBCM416232（1）圖）圖a：C截面的撓度截面的撓度 和和B截面的轉(zhuǎn)角分別為截面的轉(zhuǎn)角分別為 EIFaEIaFaBBM32322q（2）圖）圖b：D截面的撓度截面的撓度 和轉(zhuǎn)角分別為和轉(zhuǎn)角分別為 EIFawDF33 EIFaDF22qB(b)D

13、FFMB=Faq qBMBwDFq qDFA C B DFMB=FawCMB(a) EIFaEIFaEIFa333323awwBBMDFDqBBMDFDqqq原外伸梁原外伸梁D端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為原外伸梁跨中的撓度為原外伸梁跨中的撓度為 EIFawwBCMC43 EIFaEIFaEIFa67322222FA C B D a a a A C B D a a a FFMB=FaA C B D a a a FMB=Fa=+FF/2F/2wB1wDq qDl/4F/2F/2Fl/8Fl/8F/2l/4 l/4 l/4 l/4I2AE C DBI1=2I2 I2wCwB例例 求圖示階梯求圖示階梯狀簡支梁的跨中狀簡支梁的跨中撓度撓度wC 。 解解 變形對稱，變形對稱，q qC=0。階梯狀。階梯狀簡支梁的簡支梁的 CB 段與圖示懸臂梁段與圖示懸臂梁變形等效：變形等效：wC=wB。由疊加。由疊加法得法得41lwwwDDBBq qqmax6-4 梁的剛度條件梁的剛度條件 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施一、一、剛度條件剛度條件lwlwmaxlw和和 q為許用值，可查設(shè)計手冊。為許用值，可查設(shè)計手冊。式中，式中，梁的位移不超過按梁的位移不超過按使用要求使用要求所規(guī)定的許用值。所規(guī)定的許用值。相對撓度相對撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角無量綱無量綱二、二