《分類加法與分步乘法計數(shù)原理-習(xí)題課》名師課件

復(fù)習(xí)引入分類加法原理:完成一件事有n類不同方案,在第一類方案中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1+m2+…+mn種不同方法.完成這件事情的N類方法中,只需用一種方法就能完成這件事.分步乘法計數(shù)原理:完成一件事有n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同方法.完成這件事情的n個步驟中,每個步驟都完成才能完成這件事.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的共同點:不同點:分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān),分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān).回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題復(fù)習(xí)引入

加法原理

乘法原理聯(lián)系區(qū)別一完成一件事情共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情,共分n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨立完成這件事情.每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能能獨立完成這件事情,缺少任何一步也不能完成這件事情,只有每個步驟完成了,才能完成這件事情.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題.區(qū)別三各類辦法是互斥的、并列的、獨立的各步之間是相關(guān)聯(lián)的類類獨立,步步關(guān)聯(lián)人教A版同步教材名師課件分類加法與分步乘法計數(shù)原理---習(xí)題課典例講解例1、某班共有男生28名,女生20名,從該班選出學(xué)生代表參加校學(xué)代會.若學(xué)校分配給該班1名代表,有多少種不同的選法?選出1名代表有2類方式:第1類是從男生中選出1名代表,有28種不同方法;第2類是從女生中選出1名代表,有20種不同方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有不同的選法種數(shù)是28＋20=48.解析利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

方法歸納變式訓(xùn)練1.高二(1)班有學(xué)生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有學(xué)生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有學(xué)生55人,其中男生35人,女生20人.(1)從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席,有多少種不同的選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長,有多少種不同的選法？(1)從高二(1)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席,有50種選法;從高二(2)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席,有60種選法;從高二(3)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席,有55種選法,由分類加法計數(shù)原理得,從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席,有50＋60＋55＝165種選法.解析變式訓(xùn)練1.高二(1)班有學(xué)生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有學(xué)生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有學(xué)生55人,其中男生35人,女生20人.(1)從高二(1)班或(2)班或(3)班中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席,有多少種不同的選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長,有多少種不同的選法？解析(2)從高二(1)班男生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長有30種選法;從高二(2)班男生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長有30種選法;從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長有20種選法,由分類加法計數(shù)原理得,從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部長,不同的選法有30＋30＋20＝80種.例1、給程序模塊命名,需要用3個字符,其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后兩個要求用數(shù)字1～9,最多可以給多少個程序命名?先計算首字符的選法.由分類加法計數(shù)原理,首字符共有7＋6＝13種選法.再計算后兩個有9×9＝81種選法;由乘法計數(shù)原理有13×9×9＝1053(種).∴最多可以給1053個程序命名.典例講解解析(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時,一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的就按分步進行;若按對象特征抽取的,則按分類進行.②間接法:去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法方法歸納1.設(shè)集合I＝{1,2,3,4,5},選擇I的兩個非空子集A和B,要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù),則不同的選擇方法共有(

)A.50種

B.49種

C.48種 D.47種B按分類加法計數(shù)原理做如下討論:①當(dāng)A中最大的數(shù)為1時,B可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有24－1＝15種方法;②當(dāng)A中最大的數(shù)為2時,A可以是{2}或{1,2},B可以是{3,4,5}的非空子集,即有2×(23－1)＝14種方法.③當(dāng)A中最大的數(shù)為3時,A可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},B可以是{4,5}的非空子集,即有4×(22－1)＝12種方法.④當(dāng)A中最大的數(shù)為4時,A可以是{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},B可以是{5},即有8×1＝8種方法.故共有15＋14＋12＋8＝49種方法.變式訓(xùn)練解析例2、核糖核酸(RNA)分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分.一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈,長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù).總共有4種不同的堿基,分別用A,C,G,U表示.在一個RNA分子中,各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn),所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān).假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成,那么能有多少種不同的RNA分子?

100個堿基組成的長鏈共有100個位置,如圖所示.從左到右依次在每一個位置中,從A,C,G,U中任選一個填入,每個位置有4種填充方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,長度為100的所有可能的不同RNA分子種數(shù)為典例講解解析解決元素可重復(fù)選取的計數(shù)問題時,首先搞清以誰為“主”,采用分步乘法計數(shù)原理求解,分步時,看哪類元素必須用完,就以該類元素的分步的依據(jù)進行分步.方法歸納2.用0,1,2,3,4五個數(shù)字.(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼?(2)可以排成多少個三位數(shù)?(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(1)三位數(shù)字的電話號碼,首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個位置都有5種排法,共有5×5×5＝53＝125(種).(2)三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮首位的排法,除0外共有4種方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5＝100(種).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),末位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是末位數(shù)字是0,則有4×3＝12種排法;一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3種排法,十位有3種排法,因此有2×3×3＝18種排法.因而有12＋18＝30種排法.即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).變式訓(xùn)練解析例3、隨著人們生活水平的提高,某城市家庭汽車擁有量迅速增長,汽車牌照號碼需要擴容.交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法,每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字,并且3個字母必須合成一組出現(xiàn),3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn).那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?將汽車牌照分為兩類,一類的字母組合在左,另一類的字母組合在右.字母組合在左時,分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字:第1步,從26個字母中選1個,放在首位,有26種選法;第2步,從剩下的25個字母中選1個,放在第2位,有25種選法;第3步,從剩下的24個字母中選1個,放在第3位,有24種選法;第4步,從10個數(shù)字中選1個,放在第4位,有10種選法;第5步,從剩下的9個數(shù)字中選1個,放在第5位,有9種選法;第6步,從剩下的8個數(shù)字中選1個,放在第6位,有8種選法.典例講解解析例3、隨著人們生活水平的提高,某城市家庭汽車擁有量迅速增長,汽車牌照號碼需要擴容.交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法,每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字,并且3個字母必須合成一組出現(xiàn),3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn).那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照?根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,字母組合在左的牌照個數(shù)為26×25×24×10×9×8＝11232000.同理,字母組合在右的牌照個數(shù)也為11232000.所以,共能給11232000＋11232000＝22464000輛汽車上牌照.典例講解解析(1)對于有些計數(shù)問題的解決,對它們既需要進行“分類”,又需要進行“分步”,那么此時就要注意綜合運用兩個原理來解決問題.解決這類問題,首先要明確是先“分類”后“分步”,還是先“分步”后“分類”;其次,在“分類”和“分步”的過程中,均要確定明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序.(2)對于有些計數(shù)問題,我們既可以用分類加法計數(shù)原理解決問題,也可以用分步乘法計數(shù)原理來解決問題,此時,則要注意權(quán)衡用哪種方法解決問題較為簡單.方法歸納3.現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?(1)分為三類:從國畫中選,有5種不同的選法;從油畫中選,有2種不同的選法;從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有5＋2＋7＝14種不同的選法.(2)分為三步:國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×2×7＝70種不同的選法.(3)分為三類:第一類是一幅選自國畫,一幅選自油畫.由分步乘法計數(shù)原理知,有5×2＝10種不同的選法.第二類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7＝35種不同的選法.第三類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7＝14種不同的選法.所以有10＋35＋14＝59種不同的選法.變式訓(xùn)練解析例4、3個人要坐在一排8個空座位上,若每個人左右都有空座位,不同的坐法有多少種？3個人在一排8個空座位上坐下后,只剩下5個空座位,我們可以構(gòu)造這樣的解題過程,依次將3個人連同他的座位逐個地插入5個空座位形成的空座位當(dāng)中去.由于每人左右都要有空位子,因此將第一個人連同他的座位插入時,不能插在兩邊,所以有4種插法[如圖中的(1)到(2)];然后將第二個人連同他的座位插入時,只有3種插法了[如圖中的(2)到(3)];最后將第三個人連同他的座位插入時,只有2種插入的方法了[如圖中的(3)到(4)].這時,我們再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以得到插入的不同的方法共有4×3×2＝24(種).典例講解解析本題用“○”表示沒有坐人的空位,用“□”表示已經(jīng)坐人的位置,畫圖分析為我們構(gòu)建分步乘法計數(shù)原理的模型鋪平了道路.橫型法就是通過構(gòu)建相關(guān)圖形,利用形象、直觀的圖形來構(gòu)建兩個原理的模型.模型法不僅可以幫助我們準(zhǔn)確理解題意,而且還可以幫助我們有效地分析問題,從而建立起兩個原理的模型,使問題順利地解決.方法歸納例5、如圖,花壇內(nèi)有5個花池,有5種不同顏色的花卉可供栽種,每個花池內(nèi)只能栽種相同顏色的花卉,相鄰兩池的花卉顏色不同,求最多有多少種栽種方案.由題意知,最少用三種顏色的花卉,按照花卉的顏色可分為三種方案,即用三種顏色,四種顏色,五種顏色.①當(dāng)用三種顏色時,花池2,4栽同種顏色的花卉,有5種方案,花池3,5栽同種顏色的花卉,有4種方案,花池1有3種栽種方案,由分步乘法計數(shù)原理知有5×4×3＝60種方案;

典例講解解析例5、如圖,花壇內(nèi)有5個花池,有5種不同顏色的花卉可供栽種,每個花池內(nèi)只能栽種相同顏色的花卉,相鄰兩池的花卉顏色不同,求最多有多少種栽種方案.②當(dāng)用四種顏色時,則花池2,4栽同種顏色的花卉,或花池3,5栽同種顏色的花卉.

若花池2,4栽同種顏色的花卉,有5種方案,花池3有4種栽種方案,花池5有3種栽種方案,花池1有2種栽種方案,由分步乘法計數(shù)原理得5×4×3×2＝120種栽