2022年2022年初二數(shù)學(xué)因式分解超級(jí)經(jīng)典專(zhuān)題講解

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因式分解的方法因式分解沒(méi)有普遍的方法,中學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法.公式法；而在競(jìng)賽上,又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法,分組分解法和十字相乘法, 待定系數(shù)法,余數(shù)定理法,求根公式法,換元法等；留意三原就1 分解要完全2 最終結(jié)果只有小括號(hào)3 最終結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3x2+x=-x3x-1 ）1 基本方法1.1 提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式；假如一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法；詳細(xì)方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù)時(shí),公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最

2、大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的； 取相同的多項(xiàng)式,多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的；假如多項(xiàng)式的第哪一項(xiàng)負(fù)的,一般要提出“-”號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)；提出“-”號(hào)時(shí),多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)；口訣：找準(zhǔn)公因式,一次要提凈；全家都搬走,留1 把家守；提負(fù)要變號(hào),變形看奇偶；例如： -am+bm+cm=-ma-b-c；ax-y+by-x=ax-y-bx-y=x-ya-b；留意：把2a2+1/2變成 2a2+1/4 不叫提公因式1.2 公式法假如把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以把某些多項(xiàng)式分解因式,這種方法叫公式法；平方差公式：a2-b 2=a+ba-b ；完全平方公式：a2 &

3、#177; 2ab b2 a ± b2；因式分解專(zhuān)題1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載留意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必需為三項(xiàng)式,其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)或式 的平方和的形式,另哪一項(xiàng)這兩個(gè)數(shù)或式 的積的2 倍；補(bǔ)充公式 :立方和公式：a3+b 3 =a+ba 2 -ab+b 2 ；立方差公式：a3-b 3=a-ba 2+ab+b 2；完全立方公式：a3 ± 3a2 b 3ab2±b3 =a ± b3 公式： a3+b 3+c 3+3abc=a+b+ca 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 例如： a2 +4ab+4b 2 =a+

4、2b 2 ；注：分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮；3.提公因式法基本步驟：（ 1）找出公因式；（ 2）提公因式并確定另一個(gè)因式：第一步找公因式可根據(jù)確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；其次步提公因式并確定另一個(gè)因式,留意要確定另一個(gè)因式,可用原多項(xiàng)式除以公因式,所得的商即為提公因式后剩下的一個(gè)因式,也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng),求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后,另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.把a(bǔ)x2a 分解因式的結(jié)果為.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

5、- - - 歡迎下載2.在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)分解因式：2a 316a =精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.把多項(xiàng)式 a22abb21 分解因式,結(jié)果為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.分解因式：4a3a = 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5.因式分解： x22x1y2 =精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6.已知 ab2 ,求代數(shù)式 a 2b 24b 的值；精品

6、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7.分解因式xx 13x+4=8.求證：兩個(gè)奇數(shù)的平方差肯定能被8 整除；9.已知： | x + y + 1| +| xy - 3 | = 0求代數(shù)式 xy3 + x3y 的值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10.以下因式分解：x34xxx 24 ； a 23a2a2a1 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 22a2aa22 ； x2x1x1 2 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載42因式分解專(zhuān)題2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中正確選項(xiàng) .只填序號(hào) 2 競(jìng)賽用到的方法2.2 分組分解法分

7、組分解為解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法,我們來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)學(xué)問(wèn)；我們看多項(xiàng)式 am+ an+ bm+ bn ,這四項(xiàng)中沒(méi)有公因式,所以不能用提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式假如我們把它分成兩組 am+ an和bm+ bn,這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式原式=am +an+bm+ bn am+ n+bm +n做到這一步不叫把多項(xiàng)式分解因式,由于它不符合因式分解的意義但不難看出這兩項(xiàng)仍有公因式 m+n,因此仍能連續(xù)分解,所以原式=am +an+bm+ bn am+ n+bm+ n m +n.a +b這種利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法 從上面的例子可以看出, 假如把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分

8、組并提取公因式后它們的另一個(gè)因式正好相同, 那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來(lái)分解因式又如：ax+ay+bx+by=ax+y+bx+y=a+bx+y我們把 ax 和 ay 分一組, bx 和 by 分一組, 利用乘法安排律,兩兩相配,立刻解除了困難；同樣,這道題也可以這樣做；ax+ay+bx+by=xa+b+ya+b=a+bx+y因式分解專(zhuān)題3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載幾道例題：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法： =5xa+b+3ya+b=5x+3ya+b說(shuō)明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax 和 5bx 看成整體,把3ay 和 3by 看成一個(gè)整

9、體,利用乘法安排律輕松解出；2. x3-x 2+x-1解法： =x 3-x2+x-1=x 2x-1+x-1=x-1x 2+1利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合輕松解決； 3. x2-x-y 2-y解法： =x 2-y2-x+y=x+yx-y-x+y=x+yx-y-1利用二二分法,再利用公式法a2 -b2=a+ba-b ,然后相合解決；題目1.4xy-3xz+8y-6z2.x3+3x2+3x+93.3xy-2x-12y+184.ab-5bc-2a2+10ac5.x4+646 .x4-7x2+12.2 十字相乘法 x2+p+qx+pq型的式子的因式分解這類(lèi)二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)為：二次項(xiàng)的系數(shù)為

10、1；常數(shù)項(xiàng)為兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和；因此,可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)為 1 的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+p+qx+pq=x+px+q十字相乘法口訣：首尾分解,交叉相乘,求和湊中因式分解專(zhuān)題4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.3 待定系數(shù)法第一判定出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項(xiàng)式因式分解；例如在分解x4-x 3-5x2-6x-4 時(shí),由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個(gè)二次因式；于為設(shè) x4 -x4-5x2-6x-4=x 2+ax+bx 2+cx+d=x 4+a+cx 3+ac+b+dx 2+ad+b

11、cx+bd由此可得a+c=-1 , ac+b+d=-5 , ad+bc=-6 ,bd=-4 解得 a=1, b=1 , c=-2 , d=-4 就 x4-x3-5x2-6x-4=x 2+x+1x 2-2x-4題目1.已知多項(xiàng)式分解因式后,有一因式為,請(qǐng)把多項(xiàng)式分解因式；2.已知 x2+3x+6 為多項(xiàng)式 x4-6x3+mx 2+nx+36 的一個(gè)因式,試確定m、n的值,并求出它的其它因式；2.4 配方法對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式,可以將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法；屬于拆項(xiàng).補(bǔ)項(xiàng)法的一種特別情形；也要留意必需在與原多項(xiàng)式相等的原就下進(jìn)行變形

12、；例如：1.x4+x2 y2 +y4配方和拆項(xiàng).添項(xiàng)法有些相同之處,下面重點(diǎn)看看拆項(xiàng).添項(xiàng)法2.5 拆項(xiàng).添項(xiàng)法 問(wèn)題：因式分解x2+4因式分解專(zhuān)題5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）,使原式適合于提公因式法.運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解；要留意,必需在與原多項(xiàng)式相等的原就下進(jìn)行變形；因式分解為多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí), 整理.化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng),或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí),需要復(fù)原那些被合并或相互抵消的項(xiàng), 即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),或者在多項(xiàng)式中

13、添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng),前者稱為拆項(xiàng),后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng).添項(xiàng)的目的為使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解現(xiàn)舉一例：例 分解因式： x3-9x+8分析 此題解法許多,這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng). 添項(xiàng)法分解的幾種解法,留意一下拆項(xiàng).添項(xiàng)的目的與技巧解法 1 將常數(shù)項(xiàng) 8 拆成-1+9 原式=x3-9x-1+9=x3-1-9x+9=x-1x2+x+1-9x-1=x-1x2+x-8解法 2 將一次項(xiàng) -9x 拆成-x-8x 原式=x3-x-8x+8=x3-x+-8x+8=xx+1x-1-8x-1=x-1x2+x-8解法 3 將三次項(xiàng) x3 拆成 9x3-8x3 原式=9x3-8x3-9x+8=9x3-9x+-

14、8x3+8=9xx+1x-1-8x-1x2+x+1=x-1x2+x-8解法 4 添加兩項(xiàng) -x2+x 2 原式=x3-9x+8因式分解專(zhuān)題6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=x3-x2+x 2-9x+8=x2x-1+x-8x-1=x-1x2+x-8注： 由此題可以看出,用拆項(xiàng).添項(xiàng)的方法分解因式時(shí),要拆哪些項(xiàng),添什么項(xiàng)并無(wú)肯定之規(guī), 主要的為要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀看,敏捷變換,因此拆項(xiàng).添項(xiàng)法為因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例如：1.因式分解x2+42.把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解；3.因式分解x4+x 2+12.6 其他小方法擴(kuò)展（作為明白學(xué)

15、有余力再看）應(yīng)用因式定理對(duì)于多項(xiàng)式fx=0 ,假如fa=0 ,那么fx 必含有因式x-a例如：fx=x 2+5x+6 ,f-2=0 ,就可確定x+2 為 x2+5x+6的一個(gè)因式； 事實(shí)上, x2+5x+6=x+2x+3 換元法有時(shí)在分解因式時(shí),可以挑選多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)行因式分解,最終再轉(zhuǎn)換回來(lái),這種方法叫做換元法；題目1.x4+x2-4x4+x 2+3+102 . x+yx+y+2xy+xy+1xy-1求根法令多項(xiàng)式fx=0、 求出其根為x1, x2, x3,xn ,就該多項(xiàng)式可分解為 fx=x-x1x-x2x-x3-xxn圖象法因式分解專(zhuān)題7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

16、資料 - - - 歡迎下載令 y=fx ,做出函數(shù)y=fx 的圖象,找到函數(shù)圖像與x 軸的交點(diǎn)x1 、x2 、x3 、xn ,就多項(xiàng)式可因式分解為fx= fx=kx-x1x-x2x-x3-xxn 與方法相比,能躲開(kāi)解方程的繁瑣,但為不夠精確； 例如在分解x3 +2x 2-5x-6 時(shí),可以令y=x 3 +2x 2 -5x-6.作出其圖像,與x 軸交點(diǎn)為 -3, -1, 2就 x3+2x 2-5x-6=x+1x+3x-23 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：假如多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提公因式；假如各項(xiàng)沒(méi)有公因式,那么可嘗試運(yùn)用公式.十字相乘法來(lái)分解；假如用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組.拆項(xiàng)

17、.補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解；分解因式,必需進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；也可以用一句話來(lái)概括：“先看有無(wú)公因式,再看能否套公式；十字相乘試一試,分組分解要合適；”簡(jiǎn)稱 < 提十公分 >幾道例題3. abc 的三邊 a.b.c 有如下關(guān)系式：-c2 +a2 +2ab-2bc=0 ,求證：這個(gè)三角形為等腰三角形；分析：此題實(shí)質(zhì)上為對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；證明： -c2+a 2+2ab-2bc=0 , a+ca-c+2ba-c=0 a-ca+2b+c=0 a.b.c 為 abc 的三條邊, a 2b c 0 a c 0,即 a c, abc 為等腰三角形；簡(jiǎn)潔明白因式分解的

18、應(yīng)用1. 應(yīng)用于多項(xiàng)式除法；因式分解專(zhuān)題8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 應(yīng)用于高次方程的求根；3. 應(yīng)用于分式的運(yùn)算；4 因式分解練習(xí)題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1mn pqnm pq2mmn2nnm2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3x4y443m2n2mn 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5xn 13xn2 xn 16x315x2 y16xy2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7y3y214y881 x82精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載91 x 33 x3103xy26 xy24精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1114b24 aba 212 a4b ab ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13 126a 225a414 xy4 xy 220精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資