幾何綜合.知識精講（精編版）

1、題型一中點類輔助線題型二角平分線類輔助線專題一幾何常見類型輔助線題型三線段間關(guān)系類輔助線題型四單線段最值類輔助線題型五其他類輔助線知識框架題型一旋轉(zhuǎn)專題二與三大變換有關(guān)的輔助線題型二對稱題型三平移專題三弦圖類輔助線一、幾何常見輔助線秘籍1、中點類輔助線秘籍一：見中點- 倍長中線解讀：凡是與中點連線的線段都可看作是中線，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的，構(gòu)成八字全等。秘籍二：見多個中點- 構(gòu)造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點或多個中點，都可以考慮取另一邊中點，或延長三角形一邊，或連接中點，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。幾何綜合知識精講知識網(wǎng)絡(luò)圖秘籍三

2、：見等腰三角形底邊中點- 連接頂點與中點，構(gòu)造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或等腰三角形與中點時，就需要考慮構(gòu)造三線合一，從而找到突破口；其他位置的也要能看出秘籍四：見垂直平分線- 構(gòu)造等腰三角形秘籍五：見直角三角形與中點-構(gòu)造直角三角形斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，還有中點，則考慮連接斜邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn)兩個等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。注：有關(guān)此類輔助線常常由中點倍長引出，再構(gòu)造直角三角形。他位置的也要能看出2、角平分線類輔助線秘籍一：見角平分線- 作垂線解讀：用角平分線上的點往角兩邊作垂線，這是常用的輔助線，可以利用邊角邊構(gòu)造全等秘籍二：見角平

3、分線- 翻折解讀：在角兩邊截取相等的線段，這也是角平分線常用的輔助線，常用于解決線段和差問題秘籍三：見角平分線是高線- 補全等腰三角形解讀：過角平分線上的點作垂線，常用于構(gòu)造三線合一，構(gòu)造等腰三角形秘籍四：見角平分線- 過角平分線上的點作角一邊的平行線解讀：可以構(gòu)造等腰三角形，可以記作口訣：“ 角平分線 +平行線，等角三角形現(xiàn)。3、線段間關(guān)系類輔助線秘籍一：見線段間數(shù)量關(guān)系- 截長補短或旋轉(zhuǎn)解讀：只要出現(xiàn)類似ab cd=nef 的線段關(guān)系，就可以采取截長補短的方法來做輔助線，注意這個方法可以說是四個方法，由于方向性的不同，所以截長兩種， 補短兩種； 出現(xiàn)類似222nabcdef的線段關(guān)系時，截

4、長補短就不行了，就得采取旋轉(zhuǎn)的方法來做輔助線。秘籍二：見線段間大小關(guān)系- 通過平移構(gòu)三角形解讀：只要出現(xiàn)線段間的大小關(guān)系，就可以通過平移構(gòu)成所需三角形，利用三角形的三邊關(guān)系來解決相關(guān)為題。4、單線段最值類輔助線秘籍：借助中點解讀：當(dāng)求單線段最大值時，要尋找這條線段所在的動態(tài)三角形，并且這個動態(tài)三角形需滿足除了要求的這條邊，其他兩邊為定長，若沒有滿足條件的動態(tài)三角形，則可以借助中點（中點可以引出中位線和直角三角形斜邊中線）構(gòu)造動態(tài)三角形。二、與三大變換有關(guān)的輔助線1、旋轉(zhuǎn)（1）手拉手模型全等1.等邊三角形eodcbaabcdoe條件：oab ,ocd 均為等邊三角形結(jié)論：oacobd;60aeb

5、； oe 平分aed（易忘）oabeabcdoe2.等腰rtoabecddcebao條件：oab ,ocd 均為等腰直角三角形結(jié)論：oacobd;90aeb； oe 平分aed（易忘）abeo3.任意等腰三角形oabcdeoabcd條件：oab ,ocd 均為等腰三角形且aobcod結(jié)論：oacobd;aebaob oe 平分aed（易忘）模型總結(jié)：核心圖形如右圖，核心條件如下： oaob ， ocod aobcod（2）手拉手模型相似oabcdoabcd條件： cdab，將ocd 旋轉(zhuǎn)至右圖位置結(jié)論：右圖ocdoaboacobd且延長 ac 交bd與點e必有becboa非常重要的結(jié)論，必須會

6、熟練證明. 手拉手相似（特殊情況）：eocabdocabd導(dǎo)角核心圖形當(dāng)90aob時，除ocdoaboacobd之外，還會隱藏tanbdodobocdacocoa，滿足 bdac ,若連結(jié)ad、 bc ,則必有2222adbcabcd，12abcdsacbd （對角線互相垂直四邊形）（3）對角互補模型1.全等型 90edcboanmaobcde條件：90aobdce； oc 平分aob結(jié)論： cdce ；2odoeoc； 212odceocdocesssoc輔助線之一：作垂直，證明cdmcenfaobcde條件：90aobdce； oc 平分aob結(jié)論： cdce ；2odoeoc（重點）；2

7、12odceocdocesssoc（難點）請獨立完成以上證明，必須非常熟練掌握. 輔助線之二： 過點 c 作 cfoc ，證明odcfec，當(dāng) dce 一邊交 ao 延長線上于點d 時，如圖mnedcboa當(dāng) dce 一邊交 ao 延長線上于點d 時，如圖faobcde結(jié)論： cdce 不變；2oeodoc（重點）；212oceocdssoc（難點）edcboa細(xì)節(jié)變化：若將條件“ oc 平分aob ” 與結(jié)論 “ cdce ” 互換條件：90aobdce； cdce結(jié)論： oc 平分aob ；2odoeoc；212odceocdocesssoc2.全等型 120odaceb條件：2120ao

8、bdce； oc 平分aob結(jié)論： cdce ； odoeoc ；234odceocdocesssoc輔助線之一：請模仿（全等形90 ）輔助線之一完成證明. 輔助線之二：在ob 上取一點f，使 ofoc ，證明ocf 為等邊三角形（重要）fbecado結(jié)論： cdce ； odoeoc ；234odceocdocesssoc當(dāng) dce 一邊交 ao 延長線上于點d 時，如圖odacebf以上三個結(jié)論：（輔助線之二） cdceoeodoc234oceocdssoc3.全等型任意角obecda條件：2aob,1802dce； cdce結(jié)論： oc 平分aob ；2cosodoeoc2sincoso

9、dceocdocesssoc gg當(dāng) dce 一邊交 ao 延長線上于點d 時，如圖obecda以上三個結(jié)論：（輔助線之二） cdce2cosoeodoc2sincosoceocdssoc4.對角互補模型相似型oadcebmnbecdao如圖，若將條件“ oc 平分aob ” 去掉條件：90aobdce不變，coe，結(jié)論中三個條件又該如何變化？結(jié)論：tancecdg； (tan)cosodoeocg221tantan2ocdocessocggfoadceb證明：過點c 作 cfoc ，交 ob 于點f90dceocfdcoecf180aobdce180cdoceocdocefcdoceftan

10、efcecfdocdco（關(guān)鍵步）結(jié)論得證tanefod g () cosoeefocg結(jié)論得證22()tancefcdoscfsco2tancefcdossgocecefocfsss且21tan2ocfsoc g結(jié)論得證【總結(jié)】常見初始條件：四邊形對角互補兩點注意：四點共圓和直角三角形斜邊中線初始條件：角平分線與兩邊相等的區(qū)別常見兩種輔助線的作法注意下圖中“ oc 平分aob ”edcboacdecedcoacob 相等是如何推導(dǎo)5.角含半角模型90fedcbagabcdef條件：正方形abcd ；45eaf結(jié)論：efdfbecef 周長為正方形abcd 周長一半也可以這樣：條件：正方形ab

11、cd ；efdfbe結(jié)論：45eaf口訣：角含半角要旋轉(zhuǎn). abcdef條件：正方形abcd ；45eaf結(jié)論：efdfbe輔助線：abcdeffedcbaedcbafabcde條件：等腰直角abc ；45dae結(jié)論：222bdcede若dae旋轉(zhuǎn)到abc 外部時fedcbaabcde結(jié)論：222bdcede 仍然成立角含半角模型 (90 )變形hgabcdefhgabcdef條件：45eaf; 結(jié)論：ahe為等腰直角三角形（重點/難點）證明：連接ac （方法不唯一）45daceaf,dahcae 45adhace,adhacedaacahaeaheadc2、對稱秘籍一：四大軸對稱模型解讀：線

12、段和最大最小問題、線段差最大最小問題、三角形周長最小問題，四邊形周長最小問題軸對稱模型類型一、線段和最大最小問題l同側(cè)圖1apbalabp圖2異側(cè)類型二、線段差最大最小問題1、papb最小abp圖4同側(cè)l異側(cè)l圖5pbaaabp圖6l異側(cè)2、papb最大【變形】異側(cè)時，也可以問：在直線l上是否存在一點p使的直線l為apb的角平分線pbal同側(cè)alabp異側(cè)類型三、三角形周長最短類型一類型二abpacboaaa類型四、四邊形周長最短類型一類型二過橋類型類型三mnlbbnmbanmabanmbaba軸對稱秘籍：作中垂線然后作對稱，構(gòu)造軸對稱圖形等腰三角形、角分線模型是天然的軸對稱模型對稱軸是對稱點的連線的中垂線3、平移秘籍一：構(gòu)造平移模型解讀：常用的構(gòu)造平行線、構(gòu)造三角形、構(gòu)造平行四邊形、延長一邊然后截取等線段都是常用的構(gòu)造平移的方法三 弦圖類輔助線趙爽弦圖從趙爽弦圖衍生出了眾多的幾何模型，下面給大家介紹一下常用的幾何模型秘籍一：三垂直模型解讀：只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過直角點作一條直線，然后過45 頂點作該直線的垂線，構(gòu)造三垂直模型秘籍二：一線三等角模型解讀：只要出現(xiàn)三個角相等，或出現(xiàn)兩個角可以構(gòu)造三等角模型，該模型出相似，可以利用相似比例去解題1、見等腰rt。 。 。 。 。 。 。 。 。標(biāo) 452、見等邊 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。標(biāo) 603、