《復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試試卷A及答案詳解

1、«復(fù)變函數(shù)與積分變換»期末試題（a）答案及評分標準 «復(fù)變函數(shù)與積分變換»期末試題（a）一填空題（每小題3分，共計15分）1的幅角是（）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；4是 的（一級）極點；5 ，（-1）；二選擇題（每小題3分，共計15分）1解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（ b ）；（a） ； （b）；（c）； （d）.2c是正向圓周，如果函數(shù)（ d ），則（a） ； （b）； （c）； （d）.3如果級數(shù)在點收斂，則級數(shù)在（ c ）（a）點條件收斂 ； （b）點絕對收斂；（c）點絕對收斂； （d）點一定發(fā)散 下列結(jié)論正確的是( b )（a）如果函數(shù)在點可

2、導(dǎo)，則在點一定解析；(b) 如果在c所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，則（c）如果，則函數(shù)在c所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；（d）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5下列結(jié)論不正確的是（ d ）(a) (b) (c) (d) 三按要求完成下列各題（每小題10分，共計40分）（1）設(shè)是解析函數(shù)，求（2）計算其中c是正向圓周：；（3）計算（4）函數(shù)在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級.四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）五（本題10分）用laplace變換求解常微分方程定解問題六、（本題6分）求的傅立葉變換，并由此證明：三按要求完成下列

3、各題（每小題10分，共40分）（1）設(shè)是解析函數(shù)，求解：因為解析，由c-r條件 ，給出c-r條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。（2）計算其中c是正向圓周：解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算，僅給出用前者計算過程因為函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)無論采用那種方法給出公式至少給一半分，其他酌情給分。（3）解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點均在：內(nèi)，由留數(shù)定理 -（5分） -（8分） -（10分）（4）函數(shù)在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級.解 ：（1）（2）（3）（4）（5）備注：給出全部奇點給5

4、分 ，其他酌情給分。四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）解：（1）當而 -6分（2）當= -10分（3）當 -14分每步可以酌情給分。五（本題10分）用laplace變換求解常微分方程定解問題：解：對的laplace變換記做，依據(jù)laplace變換性質(zhì)有 （5分）整理得 （7分） （10分）六、（6分）求的傅立葉變換，并由此證明：解： -3分 -4分- -5分， -6分 «復(fù)變函數(shù)與積分變換»期末試題（b)1 填空題（每小題3分，共計15分）2 1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. =（ ），在復(fù)平面內(nèi)處處解析4是 的（ ）極點；

5、5 ，（ ）； 二選擇題（每小題3分，共計15分）1解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（ ）；（a）； （b）；（c）； （d）.2c是正向圓周，如果函數(shù)（ ），則（a） ； （b）； （c）； （d）.3如果級數(shù)在點收斂，則級數(shù)在（a）點條件收斂 ； （b）點絕對收斂；（c）點絕對收斂； （d）點一定發(fā)散 下列結(jié)論正確的是( )（a）如果函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點一定解析；(b) 如果,其中c復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線, 則在c所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；（c）函數(shù)在點解析的充分必要條件是它在該點的鄰域內(nèi)一定可以展開成為的冪級數(shù)，而且展開式是唯一的；（d）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5下列結(jié)論不

6、正確的是（ ）（a）、是復(fù)平面上的多值函數(shù)； 是無界函數(shù)； 是復(fù)平面上的有界函數(shù)；（d）、是周期函數(shù)得分三按要求完成下列各題（每小題8分，共計50分）（1）設(shè)是解析函數(shù)，且，求（2）計算其中c是正向圓周；（3）計算，其中c是正向圓周；（4）利用留數(shù)計算其中c是正向圓周；（5）函數(shù)在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級.四、（本題12分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）五（本題10分）用laplace變換求解常微分方程定解問題六、（本題8分）求的傅立葉變換，并由此證明：«復(fù)變函數(shù)與積分變換»期末試題簡答及評分標準（b） 一填空題（每

7、小題3分，共計15分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；4 ，（ 0 ） ；5 ，（ 0 ）；二選擇題（每小題3分，共計15分）1-5 a a c c c三按要求完成下列各題（每小題10分，共計40分）（1）求使是解析函數(shù)， 解：因為解析，由c-r條件 ，給出c-r條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。（2）其中c是正向圓周；解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算，僅給出用前者計算過程因為函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個奇點，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)（3）計算，其中c是正向圓周； 解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點均在：內(nèi)，由留數(shù)定理 -（5分） （4）函數(shù)在擴充復(fù)平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級. 給出全部奇點給5分。其他酌情給分。四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）（1），（2），（3）解：（1）當而 -6分（2）當= -10分（3）當 -14分五（本題10分）用la