《復變函數(shù)與積分變換》期末考試試卷A及答案詳解

1、«復變函數(shù)與積分變換»期末試題（a）答案及評分標準 «復變函數(shù)與積分變換»期末試題（a）一填空題（每小題3分，共計15分）1的幅角是（）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；4是 的（一級）極點；5 ，（-1）；二選擇題（每小題3分，共計15分）1解析函數(shù)的導函數(shù)為（ b ）；（a） ； （b）；（c）； （d）.2c是正向圓周，如果函數(shù)（ d ），則（a） ； （b）； （c）； （d）.3如果級數(shù)在點收斂，則級數(shù)在（ c ）（a）點條件收斂 ； （b）點絕對收斂；（c）點絕對收斂； （d）點一定發(fā)散 下列結論正確的是( b )（a）如果函數(shù)在點可

2、導，則在點一定解析；(b) 如果在c所圍成的區(qū)域內解析，則（c）如果，則函數(shù)在c所圍成的區(qū)域內一定解析；（d）函數(shù)在區(qū)域內解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內均為調和函數(shù)5下列結論不正確的是（ d ）(a) (b) (c) (d) 三按要求完成下列各題（每小題10分，共計40分）（1）設是解析函數(shù)，求（2）計算其中c是正向圓周：；（3）計算（4）函數(shù)在擴充復平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級.四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）五（本題10分）用laplace變換求解常微分方程定解問題六、（本題6分）求的傅立葉變換，并由此證明：三按要求完成下列

3、各題（每小題10分，共40分）（1）設是解析函數(shù)，求解：因為解析，由c-r條件 ，給出c-r條件6分，正確求導給2分，結果正確2分。（2）計算其中c是正向圓周：解：本題可以用柯西公式柯西高階導數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算，僅給出用前者計算過程因為函數(shù)在復平面內只有兩個奇點，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內無論采用那種方法給出公式至少給一半分，其他酌情給分。（3）解：設在有限復平面內所有奇點均在：內，由留數(shù)定理 -（5分） -（8分） -（10分）（4）函數(shù)在擴充復平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級.解 ：（1）（2）（3）（4）（5）備注：給出全部奇點給5

4、分 ，其他酌情給分。四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）解：（1）當而 -6分（2）當= -10分（3）當 -14分每步可以酌情給分。五（本題10分）用laplace變換求解常微分方程定解問題：解：對的laplace變換記做，依據(jù)laplace變換性質有 （5分）整理得 （7分） （10分）六、（6分）求的傅立葉變換，并由此證明：解： -3分 -4分- -5分， -6分 «復變函數(shù)與積分變換»期末試題（b)1 填空題（每小題3分，共計15分）2 1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. =（ ），在復平面內處處解析4是 的（ ）極點；

5、5 ，（ ）； 二選擇題（每小題3分，共計15分）1解析函數(shù)的導函數(shù)為（ ）；（a）； （b）；（c）； （d）.2c是正向圓周，如果函數(shù)（ ），則（a） ； （b）； （c）； （d）.3如果級數(shù)在點收斂，則級數(shù)在（a）點條件收斂 ； （b）點絕對收斂；（c）點絕對收斂； （d）點一定發(fā)散 下列結論正確的是( )（a）如果函數(shù)在點可導，則在點一定解析；(b) 如果,其中c復平面內正向封閉曲線, 則在c所圍成的區(qū)域內一定解析；（c）函數(shù)在點解析的充分必要條件是它在該點的鄰域內一定可以展開成為的冪級數(shù)，而且展開式是唯一的；（d）函數(shù)在區(qū)域內解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內均為調和函數(shù)5下列結論不

6、正確的是（ ）（a）、是復平面上的多值函數(shù)； 是無界函數(shù)； 是復平面上的有界函數(shù)；（d）、是周期函數(shù)得分三按要求完成下列各題（每小題8分，共計50分）（1）設是解析函數(shù)，且，求（2）計算其中c是正向圓周；（3）計算，其中c是正向圓周；（4）利用留數(shù)計算其中c是正向圓周；（5）函數(shù)在擴充復平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級.四、（本題12分）將函數(shù)在以下區(qū)域內展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）五（本題10分）用laplace變換求解常微分方程定解問題六、（本題8分）求的傅立葉變換，并由此證明：«復變函數(shù)與積分變換»期末試題簡答及評分標準（b） 一填空題（每

7、小題3分，共計15分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；4 ，（ 0 ） ；5 ，（ 0 ）；二選擇題（每小題3分，共計15分）1-5 a a c c c三按要求完成下列各題（每小題10分，共計40分）（1）求使是解析函數(shù)， 解：因為解析，由c-r條件 ，給出c-r條件6分，正確求導給2分，結果正確2分。（2）其中c是正向圓周；解：本題可以用柯西公式柯西高階導數(shù)公式計算也可用留數(shù)計算洛朗展開計算，僅給出用前者計算過程因為函數(shù)在復平面內只有兩個奇點，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內（3）計算，其中c是正向圓周； 解：設在有限復平面內所有奇點均在：內，由留數(shù)定理 -（5分） （4）函數(shù)在擴充復平面上有什么類型的奇點？，如果有極點，請指出它的級. 給出全部奇點給5分。其他酌情給分。四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內展開成羅朗級數(shù)；（1），（2），（3）（1），（2），（3）解：（1）當而 -6分（2）當= -10分（3）當 -14分五（本題10分）用la