《小學(xué)奧數(shù)四年級(jí)教案學(xué)案》第25講-邏輯推理（教）

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：四年級(jí)課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：授課主題第25講-邏輯推理授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)學(xué)會(huì)對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行分析、推理；利用我們的推理來解決一些較簡單的問題；通過學(xué)生解決問題的過程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和堅(jiān)韌不拔、勇于探索的意志品質(zhì)。授課日期及時(shí)段T（Textbook-Based）同步課堂知識(shí)梳理一、推理問題 解數(shù)學(xué)題，從已知條件到未知的結(jié)論，除了計(jì)算外，更重要的一個(gè)方面就是推理。通常，我們把主要依靠推理來解的數(shù)學(xué)題稱為推理問題。二、解題策略 解答推理問題常用的方法有：排除法、假設(shè)法、反證法。一般可以從以下幾方

2、面考慮：1、選準(zhǔn)突破口，分析時(shí)綜合幾個(gè)條件進(jìn)行判斷；2、根據(jù)題中條件，在推理過程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結(jié)論；3、對(duì)可能出現(xiàn)的情況作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件推理，如果得到的結(jié)論和條件不矛盾，說明假設(shè)是正確的；4、遇到比較復(fù)雜的推理問題，可以借助圖表進(jìn)行分析。典例分析例1、有三個(gè)小朋友們?cè)谡務(wù)撜l做的好事多。冬冬說：“蘭蘭做的比靜靜多?！碧m蘭說：“冬冬做的比靜靜多?！膘o靜說：“蘭蘭做的比冬冬少?！边@三位小朋友中，誰做的好事最多？誰做的好事最少？【解析】我們用“”來表示每個(gè)小朋友之間做好事多少的關(guān)系：蘭蘭靜靜，冬冬靜靜，冬冬蘭蘭所以，冬冬蘭蘭靜靜，冬冬做的好事最多，靜靜做的最少。例2、

3、盧剛、丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員?，F(xiàn)在只知道：盧剛和醫(yī)生不同歲；醫(yī)生比丁飛年齡小，陳瑜比飛行員年齡大。問：誰是工程師、誰是醫(yī)生、誰是飛行員？【解析】盧剛和醫(yī)生不同歲，所以盧剛不是醫(yī)生，醫(yī)生比丁飛年齡小，丁飛也不是醫(yī)生，那么只有陳瑜是醫(yī)生；由此為突破口，進(jìn)行推理，找出各自的職業(yè)；盧剛和醫(yī)生不同歲，所以盧剛不是醫(yī)生；醫(yī)生比丁飛年齡小，丁飛也不是醫(yī)生，那么只有陳瑜是醫(yī)生；陳瑜比飛行員年齡大，所以盧剛是飛行員；剩下的丁飛是工程師；所以丁飛是工程師，陳瑜是醫(yī)生，盧剛是飛行員例3、有一個(gè)正方體，每個(gè)面分別寫上漢字：數(shù)學(xué)奧林匹克。三個(gè)人從不同角度觀察的結(jié)果如下圖所示。這個(gè)正方體的每個(gè)漢

4、字的對(duì)面各是什么字？【解析】如果直接思考某個(gè)漢字的對(duì)面是什么字比較困難，可以換一種思維方式，想想某個(gè)漢字的對(duì)面不是什么字。從圖（1）可知，“奧”的對(duì)面不是“林”、“匹”，從圖（2）可知，“奧”的對(duì)面不是“數(shù)”、“學(xué)”。所以，“奧”的對(duì)面一定是“克”。從圖（2）可知，“數(shù)”的對(duì)面不是“奧”、“學(xué)”；從圖（3）可知，“數(shù)”的對(duì)面不是“克”、“林”，所以“數(shù)”的對(duì)面一定是“匹”，剩下“學(xué)”的對(duì)面一定是“林”。例4、甲、乙、丙三個(gè)孩子踢球打碎了玻璃，甲說：“是丙打碎的?！币艺f：“我沒有打碎破璃。”丙說：“是乙打碎的?！彼麄儺?dāng)中有一個(gè)人說了謊話，到底是誰打碎了玻璃？【解析】由題意推出結(jié)論，必須符合他們中

5、只有一個(gè)人說了謊，推理時(shí)可先假設(shè)，看結(jié)論和條件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲說謊話，乙說的是真話，丙說的是謊話。這樣兩人說的是謊話，與他們中只有一人說謊相矛盾，所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲說的是謊話，乙說的是謊話，丙說的是真話，與他們中只有一人說謊相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲說的是真話，乙說的是真話，而丙說的是謊話。這樣有兩個(gè)說的是真話，符合條件中只有一個(gè)人說的是謊話，所以玻璃是丙打碎的。例5、已知甲、乙、丙三人中，只有一人會(huì)開汽車。甲說：“我會(huì)開汽車?！币艺f：“我不會(huì)開?！北f：“甲不會(huì)開汽車?！比绻酥兄挥幸蝗酥v的是真話，那么誰會(huì)開汽車？【解析】假設(shè)甲會(huì)

6、開車，那么，甲和乙說的是真話，所以和已知矛盾，所以甲不會(huì)開車； 假設(shè)乙會(huì)開車，那么甲和乙說的是假話，丙說的是真話，符合題意； 假設(shè)丙會(huì)開車，那么乙和丙說的是真話，也和題意矛盾； 所以，乙會(huì)開車。例6、甲、乙、丙、丁四個(gè)人同時(shí)參加數(shù)學(xué)競賽。最后：甲說：“丙是第一名，我是第三名。”乙說：“我是第一名，丁是第四名?！北f：“丁是第一名，我是第三名?！倍]有說話。成績揭曉時(shí)，大家發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三個(gè)人各說對(duì)了一半。你能說出他們的名次嗎？【解析】推理時(shí)，必須以“他們都只說對(duì)了一半”為前提。為了幫助分析，我們可以借助圖表進(jìn)行分析。（1）乙說“我是第一名”也是錯(cuò)的，而乙說“丁是第四名”是對(duì)的。（2）由丁是第四

7、名推出丙說“丁是第二名”是錯(cuò)的，根據(jù)條件，丙說“我是第三名”是對(duì)的。（3）這樣，丙既是第一名，又是第三名，自然是錯(cuò)的。重新推理：（1）由甲說的“我是第一名”推出丙說的“我是第三名”是錯(cuò)的，而丙說的“我是第一名”是對(duì)的。（2）由“丁第二名”推出乙說的“丁是第四名”是錯(cuò)的，而乙說的“我是第一名”是對(duì)的。（3）從表中我們可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。例7、甲、乙、丙、丁四個(gè)人進(jìn)行游泳比賽，賽前名次眾說不一。有的說：“甲是第二名，丁是第三名。”有的說：“甲是第一名，丁是第二名?！庇械恼f：“丙是第二名，丁是第四名。”實(shí)際上，上面三種說法各說對(duì)了一半。甲、乙、丙、丁各是第幾名？【

8、解析】第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。（1）假如甲說丙第一名是對(duì)的，那么甲說：“我是第三名”是對(duì)的，乙說“我是第一名”也是錯(cuò)的，而乙說的“丁是第四名”是對(duì)的。（2）由丁是第四名排出丙說丁是第二名是錯(cuò)的，據(jù)條件，丙說“我是第三名”是對(duì)的。（3）這樣，丙既是第一名，又是第三名，自然是錯(cuò)的。所以重新推理得：第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。例8、A、B、C、D與小強(qiáng)五個(gè)同學(xué)一起參加象棋比賽，每兩人都賽一盤，比賽一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)：A賽了4盤，B賽了3盤，C賽了2盤，D賽了一盤。問小強(qiáng)已經(jīng)賽了幾盤？【解析】用五個(gè)點(diǎn)表示這5個(gè)人，如果某兩個(gè)之間已經(jīng)進(jìn)行了比賽，就在表示這兩個(gè)人的點(diǎn)之間畫一條線?，F(xiàn)在A賽4盤，所

9、以A應(yīng)該與其余4個(gè)點(diǎn)都連線。B賽了3盤，由于D只賽了1盤，是和A賽的，所以B應(yīng)該與C連。（B、A已連線）C已連了2條線，小強(qiáng)也連了2條線，所以小強(qiáng)已賽了2盤。例9、有8個(gè)球編號(hào)是（1）（8），其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)球都輕1克。為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了3次，結(jié)果如下：第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；第二次：（5）+（6）比（7）+（8）輕；第三次：（1）+（3）+（5）與（2）+（4）+（8）一樣重。那么，兩個(gè)輕球分別是幾號(hào)？【解析】 從第一次看，（3）、（4）兩球中有一個(gè)輕；從第二次看，（5）、（6）兩球中有一個(gè)輕；從第三次看，（1）、（3）、（5）中有一個(gè)輕，（2）、（

10、4）、（8）中也有一個(gè)輕。綜合上面的分析可以推出，兩個(gè)輕球的編號(hào)分別是（4）和（5）。例10、甲、乙、丙、丁四個(gè)人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。請(qǐng)說出他們各是幾號(hào)。【解析】一共有四人，乙不是最高的，但它比甲、丁高，所以乙的身高在四人中數(shù)第二，丙是第一；甲丁的身高處于后兩位，甲不比丁高即丁高，甲矮，所以丁是第二，甲最矮.據(jù)此即可解答：由乙不是最高的，但它比甲、丁高可知:乙的身高在四人中數(shù)第二，丙是第一;由甲不比丁高可知:丁是第三，甲最矮.所以甲是3號(hào)，乙是4號(hào)，丙是2號(hào)，丁是1號(hào).例11、小英、小明、小亮在一次語文、數(shù)學(xué)、英語三門考試中，每人都獲得了其中的一門第一名，一門第二名和

11、一門第三名?，F(xiàn)在只知道小英獲得了語文成績的第一名，小明獲得了數(shù)學(xué)第二名。獲得英語成績第一名的是誰？【解析】因?yàn)樾∮@得了語文第一名，所以，小明獲得的第一名只能是英語或數(shù)學(xué)，而小明已獲得了數(shù)學(xué)第二名，不可能再獲得數(shù)學(xué)第一名，因此，獲得英語第一名的一定是小明。例12、有6只盒子，每只盒內(nèi)放有同一種筆，6只盒子所裝筆的支數(shù)分別是11支、13支、17支、20支、28支、43支。在這些筆中，水彩筆支數(shù)是圓珠筆的2倍，鉛筆的支數(shù)是水彩筆的一半，其中有一只盒子放的是鋼筆。這盒鋼筆共有多少支？【解析】因?yàn)樗使P是圓珠筆的2倍，而鉛筆是水彩筆的一半，即水彩筆也是鉛筆的2倍，所以，水彩筆、圓珠筆和鉛筆的總支數(shù)一定

12、是4的倍數(shù)。11+13+17+20+28+43=132支，132正好是4的倍數(shù)，說明那一盒鋼筆也正好是4的倍數(shù)，而滿足條件的只有20和28。（1）當(dāng)鋼筆是20支時(shí)：（13220）÷4=28支，17+11=28支，43+13=56支符合條件；（2）當(dāng)鋼筆是28支時(shí)：（132-28）÷4=26支，題中沒有一盒或2盒的和是26，不符合條件。所以， 盒鋼筆有20支。例13、小明看一本書，如果看過的頁數(shù)每天比前一天增加一倍，7天正好看完。已知這本書一共96頁，他第幾天看到了12頁？【解析】 由于他每天看過的頁數(shù)比前一天增加一倍，7天正好看完，也就是說第7天能看到96頁。由此往前推：第

13、6天看到了96÷2=48頁，第5天看到了48÷2=24頁，第4天看到了24÷2=12頁。P(Practice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練Ø 課堂狙擊1、小李、小徐和小張是同學(xué)，大學(xué)畢業(yè)后分別當(dāng)了教師、數(shù)學(xué)家和工程師：小張年齡比工程師大；小李和數(shù)學(xué)家不同歲；數(shù)學(xué)家比小徐年齡小。誰是教師、誰是數(shù)學(xué)家、誰是工程師？【解析】（1）小張年齡比工程師大：小張不是工程師，（2）小李和數(shù)學(xué)家不同歲：小李不是數(shù)學(xué)家，（3）數(shù)學(xué)家比小徐年齡?。盒⌒煲膊皇菙?shù)學(xué)家.由（2）、（3）得：小張是數(shù)學(xué)家.進(jìn)一步推出小徐是教師，小李是工程師.因此，小徐是教師，小張是數(shù)學(xué)家，小李

14、是工程師.2、一個(gè)正方體，六個(gè)面分別寫上A、B、C、D、E、F，你能根據(jù)這個(gè)正方體不同的擺法，求出A、B、C相對(duì)的面的字母是什么嗎？【解析】根據(jù)中間圖和右邊的圖可以看出，與C相鄰的有面A、B、D和E，由此可知，C的對(duì)面一定是F；根據(jù)左圖和右圖可以看出，與A相鄰的有B、E、C，由于C的對(duì)面是F，因此，F(xiàn)也與A相鄰，所以，A的對(duì)面一定是D；由左圖和中圖可知，與B相鄰的有A、D、C，由于C的對(duì)面是F，因此，F(xiàn)也與B相鄰，所以，B的對(duì)面一定是E。根據(jù)分析：A的對(duì)面是D； B的對(duì)面是E；C的對(duì)面是F3、某學(xué)校為表揚(yáng)好人好事核實(shí)一件事，老師找了A、B、C三個(gè)學(xué)生。A說：“是B做的。”B說：“不是我做的。”

15、C說：“不是我做的?！边@三個(gè)學(xué)生中只有一人說了實(shí)話，這件好事是誰做的？【解析】此題有A、B說的話入手，而人說的話相互矛盾，因此必有一人說了真話，根據(jù)這三個(gè)學(xué)生中只有一人說了實(shí)話，那么C說的話比為假話，因此，這件好事是C做的4、紅、黃、藍(lán)、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用紙包著放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五個(gè)人猜各包里的珠子的顏色。甲猜：“第二包紫色，第三包黃色?！币也拢骸暗诙{(lán)色，第四包紅色。”丙猜：“第三包藍(lán)色，第五包白色?！倍〔拢骸暗谌{(lán)色，第五包白色?！毙绮拢骸暗诙S色，第五包紫色?！苯Y(jié)果每個(gè)人都猜對(duì)了一半，他們各猜對(duì)了哪種顏色的珠子？【解析】甲3黃 乙2藍(lán) 丙1紅 丁4白 戌

16、5紫 這些是正確的。 假設(shè)甲說第二包是紫是正確的，那么看戌，則戌說第二包是黃是錯(cuò)誤的，同時(shí)他說第五包紫也是錯(cuò)誤的（因?yàn)榈?包是紫），從而戌沒有說對(duì)任何一個(gè)，不合題意。 所以甲說的第二包是紫是錯(cuò)誤的，第三包是黃是正確的。 后面的丁說第三包是藍(lán)肯定錯(cuò)了，所以他說的第四包是白是正確的。 依次可以推出其他的說法。5、明明、冬冬、蘭蘭、靜靜、思思和毛毛六人參加一次會(huì)議，見面時(shí)每兩個(gè)人都要握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手，蘭蘭握了5次手，靜靜握了2次，思思握了1次手。問毛毛握了幾次手？【解析】毛毛一共握了3次手，分別是跟明明、冬冬和蘭蘭握的。思路：首先，明明五次，思思只有一次，也就是說思思這一次

17、只是與明明握得，明明與五人各握一次，而思思已經(jīng)有了一次，那么冬冬與除了思思以外的四人都握過手，所以靜靜的另外一次就是與冬冬握的，此時(shí)靜靜和思思已經(jīng)握完，不再考慮，那么蘭蘭的三次就是與明明、冬冬和毛毛握的，再加上冬冬與毛毛握的和明明與毛毛握的，毛毛一共握了三次！6、某商品編號(hào)是一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)有五個(gè)三位數(shù)：874，756，123，364，925，其中每一個(gè)數(shù)與商品編號(hào)恰好在同一個(gè)數(shù)位上有一個(gè)相同數(shù)字。這個(gè)商品的編號(hào)是多少？【解析】應(yīng)該是這么表述：其中每一個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)字和位置與編號(hào)的同位置數(shù)字相同；先尋找個(gè)位數(shù)相同的,是364和874,在剩下的里面找十位數(shù)相同的為123和925,則百位數(shù)上只剩一個(gè)

18、756；則此數(shù)個(gè)位是4、十位是2,百位是7。7、趙、錢、孫、李四位老師分別教數(shù)學(xué)、語文、自然和體育中的一門功課。趙只能教語文或自然，錢只能教數(shù)學(xué)或體育，孫能教數(shù)學(xué)、語文或自然，李只能教自然。請(qǐng)問：這四人中只能派誰教數(shù)學(xué)？【解析】根據(jù)題意，只能是錢老師或?qū)O老師去教數(shù)學(xué)。由于只有錢老師一人能教體育，所以孫老師只能派去教數(shù)學(xué)。8、有一種水草，水草生長的面積每天擴(kuò)大2倍，10天后，這片水草的面積是42平方米。問：當(dāng)水草長到第7天時(shí)，面積是多大？【解析】第九天面積是21，第八天10.5，第七天面積是5.25平方米。Ø 課后反擊1、江波、劉曉、吳萌三個(gè)老師，其中一位教語文，一位教數(shù)學(xué)，一位教英語

19、。已知：江波和語文老師是鄰居；吳萌和語文老師不是鄰居；吳萌和數(shù)學(xué)老師是同學(xué)。請(qǐng)問：三個(gè)老師分別教什么科目？【解析】吳是英語老師，江是數(shù)學(xué)老師，劉是語文老師。2、五個(gè)相同的正方體木塊，按相同的順序在上面寫上數(shù)字16，把木塊疊成下圖，那么，4的對(duì)面是幾？1的對(duì)面是幾？5的對(duì)面是幾？【解析】五個(gè)正方體木塊有3個(gè)露出了4，并且4和1，6，5，3相鄰，所以4的對(duì)面是2；1與4，5，6相鄰，因?yàn)?與2相對(duì)，故1與2也相鄰，所以1的對(duì)面是3；剩下的5與6相對(duì)3、A、B、C、D四個(gè)孩子踢球打碎了玻璃。A說：“是C或D打碎的?！盉說：“是D打碎的?！盋說：“我沒有打碎玻璃?！盌說：“不是我打碎的?！彼麄冎兄挥幸?/p>

20、個(gè)人說了謊，到底是誰打碎了玻璃？【解析】假設(shè)A說的是實(shí)話，“是C或D打碎的”，則C、D中有一個(gè)說了實(shí)話，一個(gè)說了謊話，所以B說的就是實(shí)話，打碎玻璃的是D，C說的也是實(shí)話，與他們中只有一個(gè)人說了謊話符合；假設(shè)B說的是實(shí)話，則D說的也就是謊話，A、C說的也是實(shí)話，所以打碎玻璃的是D，與他們中只有一個(gè)人說了謊話符合；假設(shè)C說的是實(shí)話，則A、B、D中有一人撒謊，若D說的是實(shí)話，則A、B兩人都撒謊，所以不符合只有一人說謊，所以D說謊，故打碎玻璃的是D；假設(shè)D說的是實(shí)話，則B說謊，所以C也說了實(shí)話，所以打碎玻璃的應(yīng)是A或B，所以A也說謊，與只有一個(gè)人說了謊話矛盾，所以D說謊故打碎玻璃的是D4、甲、乙、丙、

21、丁比賽乒乓球，每兩人都要賽一場(chǎng)。結(jié)果甲勝了丁，并且甲、乙、丙三人勝的場(chǎng)數(shù)相同。問丁勝了幾場(chǎng)？【解析】四人比賽乒乓球，每兩人要賽一場(chǎng)，則每人都要和其他三人賽一場(chǎng)，每人要賽三場(chǎng)，共比賽6場(chǎng)，由于沒有平局，則每場(chǎng)都有一隊(duì)勝，一隊(duì)負(fù).由干甲，乙，丙三人勝的場(chǎng)數(shù)相同，若甲，乙，丙各勝1場(chǎng)，則丁勝3場(chǎng)，即丁全勝，不臺(tái)題意(甲勝了丁).若甲，乙，丙各勝2場(chǎng)，則丁勝0場(chǎng)，即丁全輸，符臺(tái)題意.5、小王、小張、小李三人在一起，其中一位是工人、一位是戰(zhàn)士、一位是大學(xué)生?，F(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和大學(xué)生不同歲，大學(xué)生比小張年齡小。他們?nèi)酥校l是工人？誰是戰(zhàn)士？誰是大學(xué)生？【解析】很據(jù)小李比戰(zhàn)士年齡大，所以:

22、小李是大學(xué)生或工人；因?yàn)樾⊥鹾痛髮W(xué)生不同歲，所以：王是工人或戰(zhàn)士；因?yàn)?大學(xué)生比小張年齡小，所以:張是工人或戰(zhàn)士；又因小張年齡比戰(zhàn)士大，所以張是工人。所以三人:小張是工人，小李是大學(xué)生，小王是戰(zhàn)士。6、甲、乙、丙、丁四人住在一個(gè)宿舍里，一天晚上，他們中間最晚回來的哪位同學(xué)忘了關(guān)燈，第二天宿舍管理員查問誰回來最晚。（1）甲說：我回來時(shí)，丙還沒回來；（2）乙說：我回來時(shí)，丁已經(jīng)睡了，我也就睡了；（3）丙說：我進(jìn)門時(shí)，乙正在床上；（4）丁說：我回來就睡了，別的沒注意。他們說的都是實(shí)話，你知道誰回來最晚嗎？【解析】回來最晚的是甲。根據(jù)題意，甲說的話意思是丙在甲前面回來，所以肯定不是丙最晚，乙說的話意思是丁在乙前面回來，所以肯定不是丁，丙說的話意思乙在丙前面，所以肯定不是乙，綜上所述，回來最晚的是甲。7、圖書員在整理圖書，他把同一類書疊一疊，一共疊好了7疊，其中只有一疊是連環(huán)畫，其余都是故事書和