全國中學生物理競賽——純電阻電路的簡化和等效變換(1)（精編版）

1、例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換李進山東省鄒平縣第一中學計算一個電路的電阻， 通常從歐姆定律出發(fā)， 分析電路的串并聯關系。 實際電路中， 電阻的聯接千變萬化， 我們需要運用各種方法， 通過等效變換將復雜電路轉換成簡單直觀的串并聯電路。 本節(jié)主要介紹幾種常用的計算復雜電路等效電阻的方法。1、等勢節(jié)點的斷接法在一個復雜電路中，如果能找到一些完全對稱的點（以兩端連線為對稱軸），那么可以將接在等電勢節(jié)點間的導線或電阻或不含電源的支路斷開（即去掉），也可以用導線或電阻或不含電源的支路將等電勢節(jié)點連接起來，且不影響電路的等效性。這種方法的關鍵在于找到等勢點，然后分析元件間的串并聯關系。常用于由等值

2、電阻組成的結構對稱的電路。【例題 1】在圖 8-4 甲所示的電路中，r1 = r2 = r 3 = r4 = r 5 = r ，試求 a 、b 兩端的等效電阻 rab。模型分析 ：這是一個基本的等勢縮點的事例，用到的是物理常識是：導線是等勢體，用導線相連的點可以縮為一點。將圖8-4 甲圖中的 a 、d 縮為一點 a 后，成為圖8-4 乙圖。答案： rab =38 r 。【例題 2】在圖 8-5 甲所示的電路中，r1 = 1 ，r2 = 4 ，r3 = 3 ， r4 = 12 ， r5 = 10 ，試求 a、 b 兩端的等效電阻rab。模型分析 ：這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡單的情形：將a

3、、 b 兩端接入電源， 并假設 r5 不存在， c、d 兩點的電勢相等。因此，將 c、d 縮為一點c 后，電路等效為圖8-5 乙對于圖8-5 的乙圖，求rab 是非常容易的。事實上，只要滿足電路平衡。r1 =r 2r 3 的關系，該橋式r 4答案： rab =15 。4【例題 3】在如圖所示的有限網絡中，每一小段導體的電阻均為r，試求 a 、b 兩點之間的等效電阻rab。【例題 4】用導線連接成如圖所示的框架，abcd 是正四面體， 每段導線的電阻都是1。求 ab 間的總電阻。acbd2、電流分布法設有電流 i 從 a 點流入、 b 點流出， 應用電流分流的思想和網絡中兩點間不同路徑等電壓的思

4、想，（即基耳霍夫定理） ，建立以網絡中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總電流i 的關系， 然后經任一路徑計算a、b 兩點間的電壓urabu abab ，再由i即可求出等效電阻。b【例題 1】7 根電阻均為r 的電阻絲接成如圖所示的網絡，試求出 a、b 兩點之間的等效電阻rab 。a【例題 2】10 根電阻均為r 的電阻絲接成如圖所示的網絡，試求出a、b 兩點之間的等效電阻rab ?！纠} 3】8 根電阻均為r 的電阻絲接成如圖所示的網絡，c、d 之間是兩根電阻絲并聯而成，試求出a、b 兩點之間的等效電阻rab 。cbad電流疊加原理：直流電路中， 任何一條支路的電流都可以看成是由

5、電路中各個電源分別作用時， 在此支路中產生的電流的代數和。所謂電路中只有一個電源單獨作用，就是假設將其余電源均除去，但是它們的內阻仍應計及?！纠} 4】“田”字形電阻網絡如圖，每小段電阻為r，求 a 、b 間等效電阻。ba3、y 變換法在某些復雜的電路中往往會遇到電阻的yi型或， 如圖所示， 有時把 y 型聯接代換成等效121r2的型聯接， 或把型聯接代換成等效的y 型聯接，可使電路變?yōu)榇?、并聯，從而簡化計算，等?代 換 要 求y型 聯 接 三 個 端 紐 的 電 壓i 1r2i 2r1o r3i 1r31122r23u 12、u 23、u 31 及流過的電流與型聯接的三個端紐相同。i1、i

6、 2、i 3i 3i 333將 y 型網絡變換到型電路中的變換式：r12 r31r23r1 r2 r1 r2r1r2r2 r3 r3r2 r3 r2r2 r3 r1r3r1 r3r1r3 r1將型電路變換到y(tǒng) 型電路的變換式：r1r12r2r12r3r12r12 r31 r23r12 r23r23 r31r23 r23r31 r31 r31以上兩套公式的記憶方法： y ：分母為三個電阻的和，分子為三個待求電阻相鄰兩電阻之積。y ：分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對面的電阻。當 y 形聯接的三個電阻相等時，與之等效的形聯接的三個電阻相等，且等于原來的三倍；同樣，當 聯接的三個電阻相等時，

7、與之等效的y 形聯接的三個電阻相等，且等于原來的 1/3?！纠} 1】對不平衡的橋式電路，求等效電阻rab。提示：法一： “ y”變換； 法二：基爾霍夫定律【例題 2】試求如圖所示電路中的電流i。（分別應用兩種變換方式計算）11i1664 v1232136【課堂練習】分別求下圖中ab 、cd 間等效電阻。 ( 答案： ; r pq=4 )4、無限網絡若 xaaaa，（a 0）在求 x 值時，注意到x 是由無限多個a 組成，所以去掉左邊第一個a對 x 值毫無 影 響 ， 即 剩 余 部 分 仍為x ， 這 樣 ， 就 可 以 將 原 式 等 效 變 換 為 xax ， 即x2xx1a0。所以14

8、a2這就是物理學中解決無限網絡問題的基本思路，那就是： 無窮大和有限數的和仍為無窮大。一維無限網絡【例題 1】在圖示無限網絡中， 每個電阻的阻值均為r ，試求 a 、b 兩點間的電阻rab。解法一 ：在此模型中，我們可以將“并聯一個r 再串聯一個r”作為電路的一級，總電路是這樣無窮級的疊加。在圖8-11 乙圖中，虛線部分右邊可以看成原有無限網絡，當它添加一級后，仍為無限網絡，即rab r + r = r ab解這個方程就得出了rab 的值。答案： rab =15 r。2解法二 ：可以，在 a 端注入電流i 后，設第一級的并聯電阻分流為i 1 ，則結合基爾霍夫第一定律和應有的比例關系，可以得出相

9、應的電流值如 圖 8-12 所 示對圖中的中間回路，應用基爾霍夫第二定律，有(i ? i1)r + (i ? i1)i1 r ? i 1r = 0i解 得 i 1 =51 i2很顯然 u a ? ir ? i1r = u b即 u ab = ir +51 ir =215 ir2最后， rab =u ab=i15 r 。2【例題 2】如圖所示，由已知電阻r1 、r2 和 r3 組成的無窮長梯形網絡，求a 、b 間的等效電阻rab （ 開端形 ）【例題 3 】如圖所示，由已知電阻r1 、r2 和 r3 組成的無窮長梯形網絡，求a、b 間的等效電阻rab （ 閉端形 ）雙邊一維無限網絡【例題 4】如

10、圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨中間網孔上缺掉一個電阻r2 ，求 e、f 之間的等效電阻。（ 中間缺口形）【例題 5】如圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨旁邊缺一個電阻r2 ，求 f、g 之間的等效電阻. （ 旁邊缺口形）【例題 6】如圖所示，求g、f 間的等效電阻。（完整形）小結 ：一維無限網絡利用網絡的重復性。二維無限網絡【例題7】圖為一個網格為正方形的平面無窮網絡，網絡的每一個節(jié)點都有四個電阻與上下左右四個節(jié)點分別相聯，每個電阻大小均為r，由此，按左右、上下一直延伸到無窮遠處 a 和 b 為網絡中任意兩個相鄰節(jié)點，試求a、 b 間的等效電阻rab 模型分析 ：如圖，設有一電流i 從 a 點流入，從

11、無窮遠處流出由于網絡無窮大，故網絡對于 a 點是對稱的，電流i 將在聯接a 點的四個電阻上平均分配這時，電阻r（指 a 、b 兩節(jié)點間的電阻）上的電流為i/4 ，方向由a 指向 b 同理，再設一電流i 從無窮遠處流處，從節(jié)點b 流出由于網絡無窮大，b 也是網絡的對稱點，因此在電阻r 上分得的電流也為i/4 ， 方向也是由a 指 向 b將上述兩種情況疊加， 其結果將等效為一個從節(jié)點 a 流入網絡， 又從節(jié)點b 流出網絡的穩(wěn)恒電流i ， 在無窮遠處既不流入也不流出每個支路上的電流也是上述兩種情況下各支路電流的疊加因此，r 電阻上的電流為i/2 所以 a 、b 兩節(jié)點間的電勢差為：【例題 8 】對圖

12、示無限網絡，求a、b 兩點間的電阻rab?！纠}9】有一個無限平面導體網絡，它由大小相同的正六邊形網眼組成，如圖所示。所有六邊形每邊的電阻為r0 ，求：（ 1）結點 a、b 間的電阻。（ 2）如果有電流i 由 a 點流入網絡， 由 g 點流出網絡， 那么流過de 段電阻的電流i de為多大。解：（ 1）設有電流i 自 a 點流入，流到四面八方無窮遠處，那么必有32 14 cab9e5 dg687i / 3 電流由 a流向 c，有 i/ 6電流由 c 流向 b。再假設有電流i 由四面八方匯集b 點流出，那么必有i / 6電流由 a 流向 c，有i / 3 電流由 c 流向 b。iii362 （由

13、 a 流向 c）iii362 （由 c 流向 b）將以上兩種情況綜合，即有電流i 由 a 點流入，自b 點流出，由電流疊加原理可知i accbi因此， a、b 兩點間等效電阻rabu abii ac r0ii cb r0r0（ 2）假如有電流i 從 a 點流進網絡，流向四面八方，根據對稱性，可以設應該有3i ai 2i36ibi 1i 4i 5i 6ii 7i ai 8i 9i b因為 b、d 兩點關于a 點對稱，所以i de1iai be2同理，假如有電流i 從四面八方匯集到g 點流出，應該有i dei b最后，根據電流的疊加原理可知i dei dei de1 iiab213ia616i bi6三維無限網絡【例題 10】假設如圖有一個無限大nacl 晶格，每一個鍵電阻為 r ，求相鄰兩個na 和 cl 原子間的電阻?！?/p>