全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽——純電阻電路的簡(jiǎn)化和等效變換(1)（精編版）

1、例析物理競(jìng)賽中純電阻電路的簡(jiǎn)化和等效變換李進(jìn)山東省鄒平縣第一中學(xué)計(jì)算一個(gè)電路的電阻， 通常從歐姆定律出發(fā)， 分析電路的串并聯(lián)關(guān)系。 實(shí)際電路中， 電阻的聯(lián)接千變?nèi)f化， 我們需要運(yùn)用各種方法， 通過(guò)等效變換將復(fù)雜電路轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單直觀的串并聯(lián)電路。 本節(jié)主要介紹幾種常用的計(jì)算復(fù)雜電路等效電阻的方法。1、等勢(shì)節(jié)點(diǎn)的斷接法在一個(gè)復(fù)雜電路中，如果能找到一些完全對(duì)稱的點(diǎn)（以兩端連線為對(duì)稱軸），那么可以將接在等電勢(shì)節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路斷開(kāi)（即去掉），也可以用導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路將等電勢(shì)節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，且不影響電路的等效性。這種方法的關(guān)鍵在于找到等勢(shì)點(diǎn)，然后分析元件間的串并聯(lián)關(guān)系。常用于由等值

2、電阻組成的結(jié)構(gòu)對(duì)稱的電路?！纠} 1】在圖 8-4 甲所示的電路中，r1 = r2 = r 3 = r4 = r 5 = r ，試求 a 、b 兩端的等效電阻 rab。模型分析 ：這是一個(gè)基本的等勢(shì)縮點(diǎn)的事例，用到的是物理常識(shí)是：導(dǎo)線是等勢(shì)體，用導(dǎo)線相連的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)。將圖8-4 甲圖中的 a 、d 縮為一點(diǎn) a 后，成為圖8-4 乙圖。答案： rab =38 r ?！纠} 2】在圖 8-5 甲所示的電路中，r1 = 1 ，r2 = 4 ，r3 = 3 ， r4 = 12 ， r5 = 10 ，試求 a、 b 兩端的等效電阻rab。模型分析 ：這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡(jiǎn)單的情形：將a

3、、 b 兩端接入電源， 并假設(shè) r5 不存在， c、d 兩點(diǎn)的電勢(shì)相等。因此，將 c、d 縮為一點(diǎn)c 后，電路等效為圖8-5 乙對(duì)于圖8-5 的乙圖，求rab 是非常容易的。事實(shí)上，只要滿足電路平衡。r1 =r 2r 3 的關(guān)系，該橋式r 4答案： rab =15 。4【例題 3】在如圖所示的有限網(wǎng)絡(luò)中，每一小段導(dǎo)體的電阻均為r，試求 a 、b 兩點(diǎn)之間的等效電阻rab。【例題 4】用導(dǎo)線連接成如圖所示的框架，abcd 是正四面體， 每段導(dǎo)線的電阻都是1。求 ab 間的總電阻。acbd2、電流分布法設(shè)有電流 i 從 a 點(diǎn)流入、 b 點(diǎn)流出， 應(yīng)用電流分流的思想和網(wǎng)絡(luò)中兩點(diǎn)間不同路徑等電壓的思

4、想，（即基耳霍夫定理） ，建立以網(wǎng)絡(luò)中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總電流i 的關(guān)系， 然后經(jīng)任一路徑計(jì)算a、b 兩點(diǎn)間的電壓urabu abab ，再由i即可求出等效電阻。b【例題 1】7 根電阻均為r 的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出 a、b 兩點(diǎn)之間的等效電阻rab 。a【例題 2】10 根電阻均為r 的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出a、b 兩點(diǎn)之間的等效電阻rab 。【例題 3】8 根電阻均為r 的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，c、d 之間是兩根電阻絲并聯(lián)而成，試求出a、b 兩點(diǎn)之間的等效電阻rab 。cbad電流疊加原理：直流電路中， 任何一條支路的電流都可以看成是由

5、電路中各個(gè)電源分別作用時(shí)， 在此支路中產(chǎn)生的電流的代數(shù)和。所謂電路中只有一個(gè)電源單獨(dú)作用，就是假設(shè)將其余電源均除去，但是它們的內(nèi)阻仍應(yīng)計(jì)及。【例題 4】“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖，每小段電阻為r，求 a 、b 間等效電阻。ba3、y 變換法在某些復(fù)雜的電路中往往會(huì)遇到電阻的yi型或， 如圖所示， 有時(shí)把 y 型聯(lián)接代換成等效121r2的型聯(lián)接， 或把型聯(lián)接代換成等效的y 型聯(lián)接，可使電路變?yōu)榇?、并?lián)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，等效 代 換 要 求y型 聯(lián) 接 三 個(gè) 端 紐 的 電 壓i 1r2i 2r1o r3i 1r31122r23u 12、u 23、u 31 及流過(guò)的電流與型聯(lián)接的三個(gè)端紐相同。i1、i

6、 2、i 3i 3i 333將 y 型網(wǎng)絡(luò)變換到型電路中的變換式：r12 r31r23r1 r2 r1 r2r1r2r2 r3 r3r2 r3 r2r2 r3 r1r3r1 r3r1r3 r1將型電路變換到y(tǒng) 型電路的變換式：r1r12r2r12r3r12r12 r31 r23r12 r23r23 r31r23 r23r31 r31 r31以上兩套公式的記憶方法： y ：分母為三個(gè)電阻的和，分子為三個(gè)待求電阻相鄰兩電阻之積。y ：分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對(duì)面的電阻。當(dāng) y 形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等時(shí)，與之等效的形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等，且等于原來(lái)的三倍；同樣，當(dāng) 聯(lián)接的三個(gè)電阻相等時(shí)，

7、與之等效的y 形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等，且等于原來(lái)的 1/3?！纠} 1】對(duì)不平衡的橋式電路，求等效電阻rab。提示：法一： “ y”變換； 法二：基爾霍夫定律【例題 2】試求如圖所示電路中的電流i。（分別應(yīng)用兩種變換方式計(jì)算）11i1664 v1232136【課堂練習(xí)】分別求下圖中ab 、cd 間等效電阻。 ( 答案： ; r pq=4 )4、無(wú)限網(wǎng)絡(luò)若 xaaaa，（a 0）在求 x 值時(shí)，注意到x 是由無(wú)限多個(gè)a 組成，所以去掉左邊第一個(gè)a對(duì) x 值毫無(wú) 影 響 ， 即 剩 余 部 分 仍為x ， 這 樣 ， 就 可 以 將 原 式 等 效 變 換 為 xax ， 即x2xx1a0。所以14

8、a2這就是物理學(xué)中解決無(wú)限網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題的基本思路，那就是： 無(wú)窮大和有限數(shù)的和仍為無(wú)窮大。一維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題 1】在圖示無(wú)限網(wǎng)絡(luò)中， 每個(gè)電阻的阻值均為r ，試求 a 、b 兩點(diǎn)間的電阻rab。解法一 ：在此模型中，我們可以將“并聯(lián)一個(gè)r 再串聯(lián)一個(gè)r”作為電路的一級(jí)，總電路是這樣無(wú)窮級(jí)的疊加。在圖8-11 乙圖中，虛線部分右邊可以看成原有無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)它添加一級(jí)后，仍為無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，即rab r + r = r ab解這個(gè)方程就得出了rab 的值。答案： rab =15 r。2解法二 ：可以，在 a 端注入電流i 后，設(shè)第一級(jí)的并聯(lián)電阻分流為i 1 ，則結(jié)合基爾霍夫第一定律和應(yīng)有的比例關(guān)系，可以得出相

9、應(yīng)的電流值如 圖 8-12 所 示對(duì)圖中的中間回路，應(yīng)用基爾霍夫第二定律，有(i ? i1)r + (i ? i1)i1 r ? i 1r = 0i解 得 i 1 =51 i2很顯然 u a ? ir ? i1r = u b即 u ab = ir +51 ir =215 ir2最后， rab =u ab=i15 r 。2【例題 2】如圖所示，由已知電阻r1 、r2 和 r3 組成的無(wú)窮長(zhǎng)梯形網(wǎng)絡(luò)，求a 、b 間的等效電阻rab （ 開(kāi)端形 ）【例題 3 】如圖所示，由已知電阻r1 、r2 和 r3 組成的無(wú)窮長(zhǎng)梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b 間的等效電阻rab （ 閉端形 ）雙邊一維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題 4】如

10、圖所示，兩頭都是無(wú)窮長(zhǎng)，唯獨(dú)中間網(wǎng)孔上缺掉一個(gè)電阻r2 ，求 e、f 之間的等效電阻。（ 中間缺口形）【例題 5】如圖所示，兩頭都是無(wú)窮長(zhǎng)，唯獨(dú)旁邊缺一個(gè)電阻r2 ，求 f、g 之間的等效電阻. （ 旁邊缺口形）【例題 6】如圖所示，求g、f 間的等效電阻。（完整形）小結(jié) ：一維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性。二維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題7】圖為一個(gè)網(wǎng)格為正方形的平面無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有四個(gè)電阻與上下左右四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別相聯(lián)，每個(gè)電阻大小均為r，由此，按左右、上下一直延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處 a 和 b 為網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)，試求a、 b 間的等效電阻rab 模型分析 ：如圖，設(shè)有一電流i 從 a 點(diǎn)流入，從

11、無(wú)窮遠(yuǎn)處流出由于網(wǎng)絡(luò)無(wú)窮大，故網(wǎng)絡(luò)對(duì)于 a 點(diǎn)是對(duì)稱的，電流i 將在聯(lián)接a 點(diǎn)的四個(gè)電阻上平均分配這時(shí)，電阻r（指 a 、b 兩節(jié)點(diǎn)間的電阻）上的電流為i/4 ，方向由a 指向 b 同理，再設(shè)一電流i 從無(wú)窮遠(yuǎn)處流處，從節(jié)點(diǎn)b 流出由于網(wǎng)絡(luò)無(wú)窮大，b 也是網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱點(diǎn)，因此在電阻r 上分得的電流也為i/4 ， 方向也是由a 指 向 b將上述兩種情況疊加， 其結(jié)果將等效為一個(gè)從節(jié)點(diǎn) a 流入網(wǎng)絡(luò)， 又從節(jié)點(diǎn)b 流出網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)恒電流i ， 在無(wú)窮遠(yuǎn)處既不流入也不流出每個(gè)支路上的電流也是上述兩種情況下各支路電流的疊加因此，r 電阻上的電流為i/2 所以 a 、b 兩節(jié)點(diǎn)間的電勢(shì)差為：【例題 8 】對(duì)圖

12、示無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，求a、b 兩點(diǎn)間的電阻rab?！纠}9】有一個(gè)無(wú)限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示。所有六邊形每邊的電阻為r0 ，求：（ 1）結(jié)點(diǎn) a、b 間的電阻。（ 2）如果有電流i 由 a 點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)， 由 g 點(diǎn)流出網(wǎng)絡(luò)， 那么流過(guò)de 段電阻的電流i de為多大。解：（ 1）設(shè)有電流i 自 a 點(diǎn)流入，流到四面八方無(wú)窮遠(yuǎn)處，那么必有32 14 cab9e5 dg687i / 3 電流由 a流向 c，有 i/ 6電流由 c 流向 b。再假設(shè)有電流i 由四面八方匯集b 點(diǎn)流出，那么必有i / 6電流由 a 流向 c，有i / 3 電流由 c 流向 b。iii362 （由

13、 a 流向 c）iii362 （由 c 流向 b）將以上兩種情況綜合，即有電流i 由 a 點(diǎn)流入，自b 點(diǎn)流出，由電流疊加原理可知i accbi因此， a、b 兩點(diǎn)間等效電阻rabu abii ac r0ii cb r0r0（ 2）假如有電流i 從 a 點(diǎn)流進(jìn)網(wǎng)絡(luò)，流向四面八方，根據(jù)對(duì)稱性，可以設(shè)應(yīng)該有3i ai 2i36ibi 1i 4i 5i 6ii 7i ai 8i 9i b因?yàn)?b、d 兩點(diǎn)關(guān)于a 點(diǎn)對(duì)稱，所以i de1iai be2同理，假如有電流i 從四面八方匯集到g 點(diǎn)流出，應(yīng)該有i dei b最后，根據(jù)電流的疊加原理可知i dei dei de1 iiab213ia616i bi6三維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題 10】假設(shè)如圖有一個(gè)無(wú)限大nacl 晶格，每一個(gè)鍵電阻為 r ，求相鄰兩個(gè)na 和 cl 原子間的電阻?！?/p>