2021屆高三數(shù)學(xué)新高考“8+4+4”小題狂練（31）（解析）

1、2021屆新高考“8+4+4”小題狂練（31）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知全集，集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】按照并集和交集的概念求解即可.【詳解】由題可知，則.故選：b.【點睛】本題考查并集和交集的求法，側(cè)重考查對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，考查計算能力，屬于?？碱}.2.“”是“”成立的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的關(guān)系進行判斷即可.【詳解】可變形為，所以且，解

2、之得：，所以由“”不能推出“”，但“”可以推出“”，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：b.【點睛】本題考查必要條件和充分條件的判斷，考查邏輯思維能力和推理能力，考查計算能力，屬于?？碱}.3.若向量, 且,則實數(shù)的值為( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，求解即可得出結(jié)果.【詳解】因為向量，所以，又，所以，解得.故選a【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.4.張卡片上分別寫有數(shù)字，從這張卡片中隨機抽取張，則取出的張卡片的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】和為奇數(shù)，則取出的兩張卡

3、片一張奇數(shù)一張偶數(shù)，得到概率.【詳解】根據(jù)題意：和為奇數(shù)，則取出的兩張卡片一張奇數(shù)一張偶數(shù)，則.故選：c.【點睛】本題考查了概率的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.5.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由，從而可得,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有，從而得出答案.【詳解】由，所以所以，又，而所以故選：c【點睛】本題考查對數(shù)運算，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題題.6.在三棱錐中， 點到底面的距離為，當(dāng)三棱錐體積達到最大值時，該三棱錐外接球的表面積是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】作平面于，連接，由體

4、積最大，及已知垂直可得是矩形，又由已知，得是外接球的直徑，求出長即可得球表面積【詳解】作平面于，連接，因為點到底面的距離為為定值，當(dāng)三棱錐體積達到最大值時，面積最大，只有時，面積最大，所以，由平面，平面，得，同理，又，所以平面，而平面，所以，同理，所以是矩形，又，所以，由，知中點到四點距離相等，因此是外接球的直徑，所以外接球表面積為故選：b【點睛】本題考查球的表面積，由已知垂直易知是外接球的直徑，解題關(guān)鍵是證明在平面上的射影與構(gòu)成矩形7.若曲線的一條切線為（為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為正實數(shù)，則的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)切點為，由題意知，從而可得，根據(jù)

5、 “1”的代換，可求出，由基本不等式可求出取值范圍.【詳解】解：，設(shè)切點為，則，. 原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即.故選:c.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本不等式.切線問題，一般設(shè)出切點，由切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率以及切點既在切線上又在函數(shù)圖像上，可列出方程組.運用基本不等式求最值時注意一正二定三相等.8.已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線的右支于、兩點，且，點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，且，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，推導(dǎo)出四邊形為矩形，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得出，然后在中利用勾股定理可得出、的

6、等量關(guān)系，由此可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，則四邊形為平行四邊形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，所以，四邊形為矩形，由勾股定理得，即，解得，由勾股定理得，即，雙曲線的離心率為.故選：c.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查利用雙曲線的定義解決雙曲線的焦點三角形問題，考查計算能力，屬于中等題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分9. 已知，現(xiàn)有下面四個命題中正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】ab【解析】【分析】當(dāng)時，由可得，進而得，當(dāng)時 ，利用指對互化及換底公式可得.

7、【詳解】當(dāng)時，由，可得，則，此時，所以a正確；當(dāng)時，由，可得，則，所以b正確.故選：ab.【點睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10. 若方程所表示的曲線為,則下面四個命題中錯誤的是（ ）a. 若為橢圓,則b. 若為雙曲線,則或c. 曲線可能是圓d. 若為橢圓，且長軸在軸上，則【答案】ad【解析】【分析】就的不同取值范圍分類討論可得曲線表示的可能的類型.【詳解】若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；若，則，故方程表示焦點在軸上的橢圓；若，則，故方程表示焦點在軸上的橢圓；若，方程即為，它表示圓，綜上，選ad.【點睛】一般地，

8、方程為雙曲線方程等價于，若，則焦點在軸上，若，則焦點在軸上；方程為橢圓方程等價于且，若，焦點在軸上，若，則焦點在軸上；若，則方程為圓的方程.11. 如圖所示，在正方體abcd­a1b1c1d1中，m，n分別是棱ab，cc1的中點，mb1p的頂點p在棱cc1與棱c1d1上運動，則（ ）a. 平面mb1pnd1b. 平面mb1p平面nd1a1c. mb1p在底面abcd上的射影圖形的面積為定值d. mb1p在側(cè)面dd1c1c上的射影圖形是三角形【答案】bc【解析】【分析】a. 由重合時判斷；b. 結(jié)合由正方體的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷c. 由mb1p在底面ab

9、cd上的射影的三角形的底邊是mb，點p的射影到mb的距離不變判斷；d. 由重合時判斷.【詳解】a. 當(dāng)重合時，平面mb1pnd1不可能，故錯誤；b. 由正方體的性質(zhì)得,所以mb1平面nd1a1 ，又平面mb1p，所以平面mb1p平面nd1a1，故正確；c. mb1p在底面abcd上的射影的三角形的底邊是mb，點p在底面abcd上的射影在dc上，所以點p當(dāng)mb的距離不變，即射影圖形的面積為定值，故正確；d. 當(dāng)重合時，在側(cè)面dd1c1c上的射影重合，所以射影不能構(gòu)成三角形，故錯誤；故選：bc【點睛】本題主要考查直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系以及投影的概念，還考查了邏輯推理的能力，屬于中檔題.1

10、2. 已知函數(shù)的定義域為r，且對任意xr，都有及成立，當(dāng)且時，都有成立，下列四個結(jié)論中正確的是（ ）a. b. 函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)c. 直線是函數(shù)的一條對稱軸d. 方程在區(qū)間上有4個不同的實根【答案】acd【解析】【分析】由，得到函數(shù)為偶函數(shù)，又由當(dāng)且時，都有成立，得到在為增函數(shù)，再根據(jù)，得出函數(shù)為周期為4的函數(shù)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，以為對于任意，都有，可得函數(shù)為偶函數(shù)，又因為當(dāng)且時，都有成立，可得函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，又由，令，可得，解得，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則函數(shù)的圖形，如圖所示，由圖象可得，所以a正確；函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以b不正確；直

11、線是函數(shù)的一條對稱軸，所以c正確；方程在區(qū)間上，共有個不同的實數(shù)根，所以d正確.故選：acd.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用，此類問題解答的一般步驟為：先確定函數(shù)的定義域，再化簡解析式，求出函數(shù)的解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數(shù)相似，根據(jù)函數(shù)的定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象再分析函數(shù)的性質(zhì)進行求解.三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 語文里流行一種特別的句子，正和反讀起來都一樣的，比如：“上海自來水來自海上”、“中山自鳴鐘鳴自山中”，那么在所有的4位數(shù)中符合這個規(guī)律且四個數(shù)字不能都相同的四位數(shù)有_種【答案】81【解析】【分析】根據(jù)

12、題意可知求4位數(shù)的回文數(shù)且四個數(shù)字不能都相同，由分步計數(shù)原理即可求解【詳解】設(shè)4位數(shù)的回文數(shù)為，即可知4位數(shù)的回文數(shù)為，又因為四個數(shù)字不能都相同，需減掉，即形如共，所以故答案為【點睛】本題考查分步計數(shù)原理，同時需理解“回文數(shù)”，屬于基礎(chǔ)題14. 雙曲線的漸近線方程為_，設(shè)雙曲線經(jīng)過點(4,1),且與雙曲線具有相同漸近線,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)由焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程可得；(2)設(shè),代入點求得即可.【詳解】(1)雙曲線的焦點在軸上,且,漸近線方程為,故漸近線方程為 故答案為(2)由雙曲線與雙曲線具有相同漸近線,可設(shè),代入有,故,化簡得故

13、答案為【點睛】本題主要考查雙曲線漸近線的方程為, 與共漸近線方程可設(shè)為15. 若，則_.【答案】【解析】【分析】先逆用兩角和的正弦得到，令，則的值即為的值，利用二倍角的余弦值可求此值.【詳解】由可以得到，所以，設(shè)，則則，所以.故答案為.【點睛】三角函數(shù)的中的化簡求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.16. 在直三棱柱中，且，設(shè)其外接球的球心為o，已知三棱錐o-abc的體積為2，則球o的表面積的最小值是_【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，取，的中點分別為，外接球的球心為，則為的中點即為三棱柱外接球的球心，由三棱錐的體積可得，表示出，