數(shù)列經(jīng)典題型總結(jié)（精編版）

1、一、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差、等比數(shù)列的求和公式求和例 1（ 07 高考山東文18）設(shè) an是公比大于1 的等比數(shù)列，sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和已知 s37 ，且 a13，3a2， a34 構(gòu)成等差數(shù)列（ 1）求數(shù)列 an 的等差數(shù)列（ 2）令 bnln a3 n1， n1，2，l，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 t *練習(xí)： 設(shè) sn 1+2+3+n， n n , 求二、錯(cuò)位相減法f (n)sn(n32) sn的最大值 .1例 2（ 07 高考天津理21）在數(shù)列a中，a2， aan 1(2)2 n (nn) ，其中0 （）求數(shù)列n1an的通項(xiàng)公式；n 1n（）求數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和sn

2、；例 3（ 07 高考全國文21）設(shè) an 是等差數(shù)列， bn 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11 ， a3b521， a5b313（）求 an， bn 的通項(xiàng)公式；an（）求數(shù)列三、逆序相加法的前 n 項(xiàng)和bnsn 2 x例 4（ 07 豫南五市二聯(lián)理22. ）設(shè)函數(shù)1f ( x)x2的圖象上有兩點(diǎn)p1( x1, y1 ) 、 p2( x2,21y 2) ，若 op(op1op2 )2, 且點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)為.2（ i ）求證： p 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；（ ii）若 sn四、裂項(xiàng)求和法f ( 1 )nf ( 2 )nf ( 3 )nf ( n ),n nn * ,求sn ;

3、例 5 求數(shù)列1,1122,1,3nn1的前 n 項(xiàng)和 .例 6（ 06 高考湖北卷理17）已知二次函數(shù)yf ( x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f ' (x)6 x2 ，數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為sn ，點(diǎn) (n, sn )( nn) 均在函數(shù)yf ( x) 的圖像上。（）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)b1， t 是數(shù)列 b 的前n 項(xiàng)和，求使得tm 對(duì)所有 nn都成nnnan an 1n20立的最小正整數(shù)m； 五、分組求和法例 7 數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn2an1 ，數(shù)列 bn 滿 b13, bn 1anbn (nn).（）證明數(shù)列 an 為等比數(shù)列；（）求數(shù)列 bn

4、的前 n 項(xiàng)和 tn 。例 8 求 s12223242l(1)n1 n2 （ nn）六、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 9求 111111111n個(gè)11 之和 .解：由于 1111k個(gè)1199999k個(gè)11 (10 k1)（找9通項(xiàng)及特征）1111111111n個(gè)1（分組求和）1 (1011)91 (10 21)91 (1031)91 (10n1)9 1 (101910 210310 n )1 (19111)n個(gè)1110(10 n1)n91019 1 (10n 110819n)例

5、 10已知數(shù)列 an ： an8(n1)( n, 求(n3)n 11)( anan 1 )的值 .解： 通項(xiàng)及特征）(n1)( anan 1 )8(n1)(n11)( n3)1（找(n2)(n4) 8 (n12)( n4)1(n3)( n4)（設(shè)制分組） 4(1n21)8 (11)n4n3n4（裂項(xiàng)）(nn 1和）1)( an1an 1 )14(1n 1n211)8n4n(11)1n3n4（分組、 裂項(xiàng)求 4()8344 133類型 1an 1anf (n)n1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 1anf (n)，利用累加法( 逐差相加法) 求解。n例: 已知數(shù)列an滿足 a11 ， aa 21，求

6、2nnan 。解：由條件知：an 1an1n 2n1n(n1)11nn1分別令 n1,2,3, (n1) ，代入上式得( n1) 個(gè)等式累加之，即1所以 ana11na11131a1，n122n2n類型 2an 1f (n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 1anf (n) ，利用累乘法( 逐商相乘法) 求解。例: 已知數(shù)列an滿足 a12， an 13na，求nn1an 。解：由條件知式累乘之，即an 1ann，分別令n n11,2,3, (n1) ，代入上式得( n1) 個(gè)等a 2 ? a3 a1a2a2n3n? a4 ?a3? an an 12123n1an1234na1n又a1，3例:

7、 已知 a13 ， an 13n1 an3n2(n1) ，求an 。a3( n1)n3( n1)1 ? 3(n2)1 ?23(n2)2? 3232131a?12323n43n7 l52363n13n4853n1 。類型 3an 1panq （其中p， q 均為常數(shù)，( pq ( p1)0) ） 。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： 利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。an 1tp( ant ) ，其中 tq，再1p例: 已知數(shù)列an中， a11 ， an 12an3 ，求an .解：設(shè)遞推公式an 12an3 可以轉(zhuǎn)化為an 1t2(ant ) 即 an 12antt3 .故遞推公式為an 1

8、32( an3) , 令 bnan3 ，則b1a134 , 且bn 11bnan 13an32 . 所以bn是以 b14 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，則bn42 n 12 n, 所以 an2 n 13 .變式 : 遞推式：an 1panfn 。解法：只需構(gòu)造數(shù)列bn，消去fn帶來的差異類 型4an 1panqn （ 其 中p ， q均 為 常 數(shù) ，( pq( p1)( q1)0)）。（ an 1panrq n , 其中 p， q, r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以n 1q，得：an 1nq n 1p ? an qq n1 引入輔助q數(shù)列bn（其中anbnqn），得：

9、bn 1p b1 再待定系數(shù)法解決。qq例: 已知數(shù)列an中， a15, an 1n161 a(n31 )n 1 ，求2an 。解：在an 111 nan() 321兩邊乘以2n 1 得：2n 1 ?a2 (2n3?an )1令 bn2n ? a，則2bbn 1n31, 解之得：bn32( 2 ) n 所以3n類型 5 遞推公式為sn 與 an 的關(guān)系式。( 或 snf (an ) )s1(n1)解法：這種類型一般利用an與snsn 1(n2)ansnsn 1f (an )f ( an1 ) 消去 sn( n2) 或與 snf ( snsn 1 ) ( n2) 消去an 進(jìn)行求解。例：已知數(shù)列

10、a前 n 項(xiàng)和 s4a1. （ 1）求a與 a 的關(guān)系； （ 2）求通項(xiàng)n公 式 an .nnn 22n 1n解：（ 1）由 sn4an12 n 2 得：sn 14an 112n 1 于是所 以 an 1anan 112n 1an 1112 an2n .n（ 2）應(yīng)用類型4（ an 1panqn （其中p， q 均為常數(shù)，( pq( p1)( q1)0) ）的方法，上式兩邊同乘以n 1na122得：n 12 n a2 由a1s14a1121 2a11 . 于是數(shù)列2 n an是以 2 為首項(xiàng)， 2 為公差的等差數(shù)列，n所以 2 n a22(n1)2 nann2 n 1類 型 6 an 1pa nanb ( p1 、0，a 0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an 1x(n1)yp(anxny)， 與 已 知 遞 推 式 比 較 ， 解 出x, y, 從 而 轉(zhuǎn) 化 為anxny 是公比為p 的等比數(shù)列。例: 設(shè)數(shù)列an： a14, an3an 12n1,( n2) ，求an .解：設(shè) bnananb，則anbnanb ，將an , an1 代入遞推式，得取bnann1（）