有沒(méi)有畫(huà)不出來(lái)圖象的函數(shù)？（精編版）

1、有沒(méi)有畫(huà)不出來(lái)圖象的函數(shù)？有沒(méi)有畫(huà)不出來(lái)圖象的函數(shù)？我們知道在近幾年的高考中,越來(lái)越重視對(duì)函數(shù)的理解。而狄利克雷函數(shù)正是完全建 立在主觀意義上的人造函數(shù),所以值得我們細(xì)細(xì)研究。函數(shù)概念最早出現(xiàn)在17 世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷戈里的文章論圓和雙曲線的求積 （ 1667年）中他定義函數(shù)是這樣一個(gè)量： 它是從一些其他盆經(jīng)過(guò)一系列代數(shù)運(yùn)算或者任何其他可以想象到的運(yùn)算而得到的自從牛頓于1665年開(kāi)始微積分 （研究曲線的弧長(zhǎng)、不規(guī)則圖形的面積等的一個(gè)數(shù)學(xué)分支）的研究工作后，他一直使用“流量”一詞來(lái)表示變t 間的關(guān)系 17世紀(jì)德國(guó)著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨 1673 年在一篇手稿里使用了，函數(shù)”這一概念后來(lái)，萊布尼茨又引

2、進(jìn)“常盆”、“變量”和參變 t ”的概念在數(shù)學(xué)史上，這是一大進(jìn)步，它使得人們可以從數(shù)量上描述運(yùn)動(dòng)了當(dāng)時(shí)的函數(shù)指的是可以用解析式表示的函數(shù)但這種概念對(duì)數(shù)學(xué)和科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展來(lái)說(shuō)實(shí)在是太狹隘了1734年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉用f(x ）作為函數(shù)的記號(hào) f(x ） 中的 f 是 function （的數(shù)）的第一個(gè)字母歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(dirichlet)這也促成了微積分的嚴(yán)格性的開(kāi)始事實(shí)上，如果嚴(yán)格性沒(méi)有進(jìn)人定義，那就無(wú)法在推理中體現(xiàn)嚴(yán)格性當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象都沒(méi)有完全的、嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺(jué)和想象來(lái)描述數(shù)學(xué)對(duì)象他們還沒(méi)有推理賴以展開(kāi)的

3、精確定義1829 年，一個(gè)叫狄利克雷的人生生造出了如下的函數(shù)：就說(shuō)這個(gè)表達(dá)式吧，是不是符合函數(shù)的定義？但你能畫(huà)出它的圖象嗎？從直觀上講,狄利克雷函數(shù)可以看做兩條極不光滑的直線。狄利克雷函數(shù)具有以下幾個(gè)性質(zhì):(1) 解析式不可寫(xiě)。 (2) 圖像不可畫(huà)， 無(wú)法畫(huà)出圖像， 但是圖像客觀存在。 (3) 沒(méi)有有關(guān)的實(shí)際背景作為參考，即生活中很難找到以這個(gè)函數(shù)為模型的例子。從以上特點(diǎn)看出,狄利克雷函數(shù)完全是“人工”的函數(shù),對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性,起到至關(guān)重要的作用。狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開(kāi)始展現(xiàn)出來(lái)這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“

4、概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”. 狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且是有愈識(shí)地“以概念代替直覺(jué)”的人在狄利克雷之前，數(shù) 學(xué)家們主要研究具體函數(shù)，進(jìn)行具體計(jì)算，他們不大考慮抽象問(wèn)題但狄利克雷之后，事情逐漸變化了，人們開(kāi)始考慮函數(shù)的各種性質(zhì)，例如（圖象的）對(duì)稱性、增減性、連續(xù)性等具體函數(shù)、具體函數(shù)的計(jì)算逐漸淡化了1837年，狄利克雷給出了與我們現(xiàn)在所熟知的函數(shù)定義非常相近的函數(shù)的如下定義（區(qū)間一般是指兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的所有實(shí)數(shù)）:如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)x 值，都有唯一的y 值與它對(duì)應(yīng)，那么 y 是 x 的函數(shù)這個(gè)說(shuō)法逐步演變?yōu)楝F(xiàn)在高中課本上用的函數(shù)的定義：設(shè)a， b 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)

5、應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a 中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合b 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)， 那么就稱為從集合 a 到集合 b 的一個(gè)函數(shù)，記作或。其中 x 叫作自變量， y 叫做 x 的函數(shù)，集合 a 叫做函數(shù)的定義域，與 x 對(duì)應(yīng)的 y 叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域， f 叫做對(duì)應(yīng)法則。 其中， 定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則被稱為函數(shù)三要素 .關(guān)于荻利克雷函數(shù)也可以用一個(gè)統(tǒng)一的式子進(jìn)行表達(dá)：這個(gè)函數(shù)有如下基本性質(zhì):(1) 周期性：任何的非零有理數(shù)都是這個(gè)函數(shù)的周期。也就是說(shuō),此函數(shù)沒(méi)有最小正周期。(2) 奇偶性： d(x) 是偶函數(shù)。 (3) 單調(diào)性： d(x) 在任意區(qū)間都不具有單調(diào)性。 (4) 處處不可導(dǎo)，處處不連續(xù)，處處不可積。這個(gè)函數(shù)一般用分段表達(dá)：有時(shí)