結(jié)構(gòu)動力學(xué)習(xí)題解答(一二章)（精編版）

1、第一章單自由度系統(tǒng)1.1 總結(jié)求單自由度系統(tǒng)固有頻率的方法和步驟。單自由度系統(tǒng)固有頻率求法有：牛頓第二定律法、動量距定理法、 拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、 牛頓第二定律法適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動。解題步驟：（ 1） 對系統(tǒng)進(jìn)行受力分析, 得到系統(tǒng)所受的合力；（ 2） 利用牛頓第二定律m xf , 得到系統(tǒng)的運動微分方程；（ 3） 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。2、 動量距定理法適用范圍：繞定軸轉(zhuǎn)動的單自由度系統(tǒng)的振動。解題步驟：（ 1） 對系統(tǒng)進(jìn)行受力分析和動量距分析；（ 2） 利用動量距定理jm , 得到系統(tǒng)的運動微分方程；（3） 求解該方程所對

2、應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。3、 拉格朗日方程法：適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動。解題步驟：（ 1）設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為，寫出系統(tǒng)對于坐標(biāo)的動能 t 和勢能 u的表達(dá)式； 進(jìn)一步寫求出拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式：l=t-u ；（2） 由格朗日方程(l)dtl =0，得到系統(tǒng)的運動微分方程；（3） 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。4、 能量守恒定理法適用范圍：所有無阻尼的單自由度保守系統(tǒng)的振動。解題步驟：（ 1）對系統(tǒng)進(jìn)行運動分析、選廣義坐標(biāo)、寫出在該坐標(biāo)下系統(tǒng)的動能t 和勢能 u的表達(dá)式；進(jìn)一步寫出機(jī)械能守恒定理的表達(dá)式t+u=const（2） 將能量守恒

3、定理t+u=const對時間求導(dǎo)得零, 即統(tǒng)的運動微分方程；d(tu )dt0 ，進(jìn)一步得到系（3） 求解該方程所對應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。1.2 敘述用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個：衰減曲線法和共振法。方法一：衰減曲線法。求解步驟：（ 1）利用試驗測得單自由度系統(tǒng)的衰減振動曲線，并測得周期和相鄰波峰和波谷的幅值ai 、 ai 1 。（2）由對數(shù)衰減率定義ln(aiai 1) ，進(jìn)一步推導(dǎo)有2，12因為較小，所以有。2方法二：共振法求單自由度系統(tǒng)的阻尼比。（ 1）通過實驗，繪出系統(tǒng)的幅頻曲線，如下圖：單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線

4、（ 2）分析以上幅頻曲線圖，得到：1,2max /22/ 4 ；于是12(122)n；2進(jìn)一步22(12)n ；最后21/ 2n/ 2n ；1.3 敘述用正選弦激勵求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用正選弦激勵求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個：幅頻（相頻）曲線法和功率法。方法一：幅頻（相頻）曲線法當(dāng)單自由度系統(tǒng)在正弦激勵f0 sint 作用下其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：22其中：af0xa sin(tx st) ,；(1)mn04n 2212422arctan 2/ 12(2)從實驗所得的幅頻曲線和相頻曲線圖上查的相關(guān)差數(shù)，由上述（1），（ 2）式求得阻尼比。方法二：功率法：（ 1）單自由度系統(tǒng)在f0 si

5、nt 作用下的振動過程中，在一個周期內(nèi)，彈性力作功為阻尼力做功為wc0 、w dc a 2 、激振力做作功為w ff 0 sin；（ 2）由機(jī)械能守恒定理得，彈性力、阻尼力和激振力在一個周期內(nèi)所作功為零，即：wc +wd +w f0 ；于是f0 sin-2c a0進(jìn)一步得：af0sinc；（ 3）當(dāng)n時， sin1，則amaxxst2，得max1 2,2max 。1.4 求圖 1-35 中標(biāo)出參數(shù)的系統(tǒng)的固有頻率。（ 1）此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個彈簧串聯(lián)，彈簧剛度為k 1、簡支梁剛度為k48ei2l3； 等效剛度為k; 有 1k11 ；mk1k 2148 eikk3l/2l/21148eik1lk1k

6、 2則固有頻率為：k48eil 33；圖 1-33 （a）m48eik1lm（ 2）此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個彈簧串聯(lián),等效剛度為 :mkk148eil 3;l/2l/2k 1則固有頻率為:kk1 l3m48eiml 3圖 1-33 （b）(3) 系統(tǒng)的等效剛度為kk13eil 33 eik1l 3mk1k11則系統(tǒng)的固有頻率為kk l 33ei3圖 1-33 （ c）mml（ 4）由動量距定理m0 fi 0得：m（ 1 l2k1 l1 l122k1 l12） = 1 ml 22k1k1得：k10，2mk1則。2m圖 1-33 （ d）1.5 求下圖所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中勻質(zhì)輪a 半徑 r,重物 b

7、的重量為p/2, 彈簧剛度為k.解：以為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的動能為tt重物t輪子1m）x 212（i220ak1p211(p r2 )xp x 2px222g22gr4 g4 g2（）xp x2 2g圖 1-34b0系統(tǒng)的勢能能為：拉格朗日函數(shù)為uu 重物u 彈簧xpx1 kx 2；2由拉格朗日方程(l )dtxl0得xl=t-u ;p xkx0 g則，kg0 =p所以：系統(tǒng)的固有頻率為kgp1.6 求圖 1-35 所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中磙子半徑為r，質(zhì)量為m，作純滾動。彈簧剛度為 k。解：磙子作平面運動，k其動能 t=t平動 +t 轉(zhuǎn)動 。xr mt平動1 mx&2 ;2圖 1-35

8、t轉(zhuǎn)動21x&i1mr 22x&2r22r而勢能t 1 mx 221 m x243 m x2 ；4系統(tǒng)機(jī)械能u 1 kx 2 ；2由 dtu d ttu0 得系統(tǒng)運動微分方程3 m x 241 kx 2c ;2得系統(tǒng)的固有頻率3 mx2nkx0 ；2 k；3m1.7 求圖 1-36 所示齒輪系統(tǒng)的固有頻率。已知齒輪a 的質(zhì)量為ma，半徑為 r a，齒輪 b 的質(zhì)量為 mb，半徑為r b, 桿 ac的扭轉(zhuǎn)剛度為ka, , 桿 bd的扭轉(zhuǎn)剛度為kb,解：由齒輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系ar ab rb得角速度ra；轉(zhuǎn)角r arrba；babb系統(tǒng)的動能為：ttatb12j aa212j bb2

9、ca2t1mar a21mb br2ab 2mamb ra 22a ；bd122224系統(tǒng)的勢能為：121212圖 1-3621r a22uk aa222系統(tǒng)的機(jī)械能為k bb2k aa2k bbk ak ba;b2r2tu1 m4amb raa2aa1 kkr ab2 b r22c ；由 dtu d t0得系統(tǒng)運動微分方程12m am br aa22r ak ak b2r ba0 ；因此系統(tǒng)的固有頻率為：2kr ar2 k ab2b2kr ar2 k ab21bnm ambr a 2r a；m am b1.8 已知圖所示振動系統(tǒng)中，勻質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為 m，兩彈簧剛度皆為k，阻尼系數(shù)為 c，

10、求當(dāng)初始條件000 時（）f (t)f sint 的穩(wěn)態(tài)解；cf(t)（）f (t)(t )t 的解；l/2l/2解：利用動量矩定理建立系統(tǒng)運動微分方程22jclkl222f ( t) lkl22；kkl 2而jr 2 dml 2l 2r 2 m drll2ml2 12；圖得ml23cl26kl 26lf( t) ；化簡得（）求f (t)f sin3c6kmmt 的穩(wěn)態(tài)解；6f (t ) ml(1)將 f (t )f sint 代入方程（ 1）得3c6 kmm6f sint ml(2)令 2n3c ;2mn6k ; hm6f ;得ml2nn 2h sint（3）設(shè)方程（ 3）的穩(wěn)態(tài)解為將（ 4

11、）式代入方程（3）可以求得：ahxa sin(t)6f（ 4）；22 2n4n22l6km2 29c 22arctg2narctg223c6km2；n（）求f (t)(t)的解；將 f (t )(t)代入方程（ 1）得3c6kmm6(t)ml（5）令 2n3c2;nm6k ; h6;得mml2nn 2h( t)（ 6）方程（ 6）成為求有阻尼的單自由度系統(tǒng)對于脈沖激勵初始加速度h( t ) 的響應(yīng)。由方程（6）可以得到0h( t) ；然后積分求初始速度再積分求初位移000 d t00h( t) d t00h( t) d th；0000 d t00h)d t0 ；0這樣方程（ 6）的解就是系統(tǒng)對

12、于初始條件0 、0 和0 的瞬態(tài)響應(yīng)xaen t sint；d將其代入方程（6）可以求得：最后得ah;0 ;mdxaen t sind the n tmdsind t1.9 圖所示盒內(nèi)有一彈簧振子，其質(zhì)量為m，阻尼為c，剛度為 k，處于靜止?fàn)顟B(tài)， 方盒距地面高度為h，求方盒自由落下與地面粘住后彈簧振子的振動歷程及振動頻率。解：因為在自由落體過程中彈簧無變形，所以振子與盒子之間無相對位移。在粘地瞬間，由機(jī)械能守恒定理mgh1 mv202的振子的初速度v02 gh；底版與地面粘住后，彈簧振子的振動是對于初速度v02gh的主動隔振m系統(tǒng)的運動微分方程為：mxcxkx0或xc xk x0 ;mm；k/

13、2ck/2或x2nxn 2 x0 ;h系統(tǒng)的運動方程是對于初始條件的響應(yīng)：xae n tsind t；2ax02x0n x 0x 0dd2gh；darctgxx02ghdd x 00；n x0sind t ;1.10 汽車以速度v 在水平路面行使。其單自由度模型如圖。設(shè)m、k、c 已知。路面波動情況可以用正弦函數(shù)y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽車上下振動的數(shù)學(xué)模型；（ 2）汽車振動的穩(wěn)態(tài)解。解：（ 1）建立汽車上下振動的數(shù)學(xué)模型；由題意可以列出其運動方程：myk( yy1 )c( yy1 )ym1其中： y 表示路面波動情況；y 1 表示汽車上下波動位移。k/2ck/2將其整理為：m

14、ycykyky1cy1(1) y(t)將 yh sin( at ) 代入得mycykyach cos(at )khsin( at )圖(2) 汽車振動的穩(wěn)態(tài)解:設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：yasin(ta)代入系統(tǒng)運動微分方程（1）可解得：a(kk 2mc 2222)c22 h ；aacr tan(k(kmc3m)2c22 ) ；1.11. 若電磁激振力可寫為f( t )h sin 20t ，求將其作用在參數(shù)為m、 k 、 c 的彈簧振子上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：首先將此激振力按照傅里葉級數(shù)展開：f (t )a02(ai cos(it )bi sin( it)i 1其中：ai2t0tf (t ) cos(it )d

15、t ；bi2t0tf (t) sin(it )dt因為 f (t )h sin 2 (0t) 是偶函數(shù)，所以bi0 。于是f (t)h2h cos(2 20t)而x(t )h2kasin(2t0a/ 2) ；式中ha(2n42m20)16n22；0aarctan2n22；n40nc,2kn2mm1.12. 若流體的阻尼力可寫為fdbx 3 , 求其等效粘性阻尼。解：（ 1）流體的阻尼力為fdbx3；（ 2）設(shè)位移為xa cos(t) ，而dxxd t ；（ 3）流體的阻尼力的元功為dwdfd dx(bx 3 xd t) ；（ 4）流體的阻尼力在一個振動周期之內(nèi)所消耗的能量為：wf dxdbx3

16、dxbx 4 dt4bacos( ta) dt34b3 a4（ 5）粘性阻尼力在一個振動周期之內(nèi)所消耗的能量為：ca 2（ 6）等效粘性阻尼：取n，令3 b4n3 a 4neqca2可得： ceq3 bn22a4第二章兩個自由度系統(tǒng)2.1 求如圖 2-11 所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出振型。解：（ 1）系統(tǒng)的振動微分方程mx1kx1k( x1x2 ) ;x1x2mx2k (x2x1 )kx2 ;kmmkk即mx1mx22kx1kx1kx22 kx20 ；0 ； （ 1）圖 2-11（ 2）系統(tǒng)的特征方程根據(jù)微分方程理論，設(shè)方程組（1）的解為：x1a1 sin(t) ； x 2a2 si

17、n(t)（2）將表達(dá)式（ 2）代入方程組（1）得：a2(m12ka1ka2) sin(t)02(m2 aka12ka2 ) sin(t)0（ 3）因為 sin(t) 不可能總為零，所以只有前面的系數(shù)為零：( 2km2 ) aka0;12；ka1(2km2 ) a20;即2km2kka12km2a20；（ 4）0（）系統(tǒng)的頻率方程若系統(tǒng)振動，則方程有非零解，那么方程組的系數(shù)行列式等于零，即：展開得系統(tǒng)的固有頻率為：2km km 2422k4mk2km23k 20；0；（ 5）1k / m；23k / m;（ 6）（） 系統(tǒng)的固有振型將1 ，2 代入系統(tǒng)的特征方程（4）式中的任一式，得系統(tǒng)的固有振

18、型，即各階振幅比為：1(1)(1)a11;a(1)21( 2)(2)a1a(2)21; （ 7）系統(tǒng)各階振型如圖所示：其中（a）是一階振型， （ b）是二階振型。+1+1+1（）系統(tǒng)的主振動 系統(tǒng)的第一主振動為（ a）(b)-1x(1)1(1)a1sin( 1 t1 )(1)a1sin(k t m1 ) ;系統(tǒng)的第一主振動為(1)x2(1)a2sin( 1 t1 )(1) a(1) sin(k t)11mx(2 )1( 2)a1sin(2 t1 )(2)a1sin(3k t m1 ) ;x(2 )2( 2)a2sin(2 t1 )( 2)( 2)a1sin(3k t)m12.2 確定圖 2-1

19、2 所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：（ 1）系統(tǒng)的動能t1 (2m)u 21 (m)u 2mu 21 mu 2uu212212212（ 2）系統(tǒng)的勢能a2mbm因為彈簧上端a、 b 兩點的位移u a2u1u1u 22; u bu1u2 ;kk2所以系統(tǒng)的勢能為kv(2u12u1u 2 ) 22k ( u1 2u 2 ) 22lll1k ( 5u 242u1 u2u 2 );圖 2-122(3) 系統(tǒng)的 lagrange 函數(shù)ltvmu 21 mu 222k (5u2142u1u 2u2 )12（ 4）系統(tǒng)的運動微分方程由 lagrange 方程dld tu jl0j u j1,2可得2mu1

20、5 ku12k u 20;2mu 2即k ku1 2k u 20;22mu1mu 25kk22u10;kku 2022（）系統(tǒng)的特征方程設(shè)系統(tǒng)的運動微分方程的解為u1a1 sin(t) , u2a2 sin(t)代入系統(tǒng)的運動微分方程得系統(tǒng)的特征方程2m25 ka12k a20; 2k 2即2m2k 2ka15 k2m2ka20;2k2a10;m2ka202（ 7）系統(tǒng)的頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零2m2k 2即4m 245 k27kmk20;m2k222 k 20;解得系統(tǒng)的固有頻率k10.6mk;21.18；m（）系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特

21、征方程中的任何一個可得系統(tǒng)的固有振型（ 8）系統(tǒng)的主振動(1)a1a(1)21(1)0.28 ;( 2)a1a( 2)21( 2)1.67 ;u(1)1(1)a1sin(1 t1 )(1)a1sin(0.6k t1m1) ;u(1)2(1)a2sin(1 t1 )0.28a(1)sin(0.6k t1 )mu( 2)1(2)a1sin( 1 t)a (2) sin(1.18k t11m1 ) ;u( 2)2(2)a2sin( 1 t1 )1.67a( 2)sin(1.18k t1 )m12.3 一均質(zhì)細(xì)桿在其端點由兩個線性彈簧支撐（圖2-13 ），桿的質(zhì)量為m，兩彈簧的剛度分別為 2k 和 k

22、。（ 1）寫出用桿端鉛直位移u1 和 u2 表示的運動方程；u1cmu2（ 2）寫出它的兩個固有頻率；（ 3）畫出它的兩個固有振型；解：(1)均質(zhì)桿的運動微分方程2kk以均質(zhì)桿的靜平衡位置為坐標(biāo)原點，均質(zhì)桿的質(zhì)心c 的位移為u1uu;lc212均質(zhì)桿繞質(zhì)心c的轉(zhuǎn)角為sin1 u2u lu 2u1 ; l圖 2-13均質(zhì)桿的運動微分方程mu ck (2u1u2 ) ;kl即m(u1u 2 ) 2k (2u1u2 ) ;j cku 1lu2 ;2ml2 u1u 212lklku1 lu 22即m( u1u2 )2k ( 2u1u 2 ) ;即mu1mu24ku 12 ku 20 ;（ 1）m u1

23、u26k 2u1u2;mu1mu212 ku16ku 20 ;（ 2）系統(tǒng)的特征方程設(shè)運動微分方程 （ 1）的解為u1a1 sin(t)、 u 2a2 sin(t) ，代入方程 （ 1）a2m1m2 a1m2a2m2 a24ka 112 ka12 ka 20 ;6ka 20 ;即4km22 km2a10m212 k;6km2a20（ 4）系統(tǒng)的頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零4km222km220;m12 k6km即m 2412 km224 k 20;解得系統(tǒng)的兩個固有頻率11.612;23.066；（ 5）系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何

24、一個可得系統(tǒng)的兩階固有振型（ 8）系統(tǒng)的兩階主振動(1)a1a(1)21(1)( 2)3a1a7 ;( 2)21(2 )37 ;67u(1)11(1)a1sin(1 t1 )(1)a1sin(1.612t1 ) ;u1(1)2(1)a2sin(1 t)2.33a(1)sin(1.612t1 )u( 2)1(2)a1sin(1 t)a(2 ) sin(3.066t1 ) ;1u1( 2)2(2)a2sin(1 t1 )1.81a( 2)sin(3.066t1 )12.4 確定圖 2-14 所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出固有振型。解：（ 1）系統(tǒng)運動微分方程2mu1 mu 22k ( u22

25、k( u2u1 );u1 );即u1u22mu1mu22ku 12kku 12ku 20;2ku 20;2k（ 1）2mm（ 2）系統(tǒng)特征方程圖 2-14設(shè)運動微分方程（1）的解為和u1u 2a1 sin(a2 sin(tt) ，代入方程（ 1）km2 a1ka 20 ;2ka12km2 a20 ;即km22 kka10 ; 2km2a20（ 3）系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零km22kk0 ;2km2即m43k20;解得3k10;2;m（ 4）系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個可得系統(tǒng)的兩階固有振型a(1)1a(1)21(1)(

26、2)aa11 ;( 2)211 ;( 2)2+1+1+1-1/22.5 圖 2-15 所示的均質(zhì)細(xì)桿懸掛成一擺，桿的質(zhì)量為m，長為 l，懸線長為l/2 ，求該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：（ 1）求均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心的坐標(biāo)和質(zhì)心的速度xl sinc21sin2 , y cl cos21cos2；1l/2lxc12cos12 cos2 , y cl1 sin122 sin2 ；2c（ 2）求系統(tǒng)的lagrange 函數(shù)ltvml21 m x 2c222212yjcc221 mgl2ml2cos21 cos21；圖 2-15122 182 cos122242mglcos 1cos 2；（ 3）求系統(tǒng)的運

27、動微分方程由 lagrange 方程dld tjl0jj1,2可得ml214ml241ml224ml232mg l0; 21mg l0; 22即（ 4）系統(tǒng)特征方程ml 24ml 24ml241ml223mgl 2010;0mgl202設(shè)運動微分方程 （ 1）的解為(mg l21ml2 4a1 sin(2 )a1t)ml2 4和2 a22a2 sin(t0 ;) ，代入方程 （ 1）ml2 4l2a1(mg2ml2 32)a20 ;(mg l即2ml22)42ml2242a10 ;（ 3）系統(tǒng)頻率方程ml24( mg lml232 )a20系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零

28、2(mglml22 )ml22440;2ml2(mglml22 )423即l 2414 g212 g 20;解得系統(tǒng)的兩個固有頻率g1;2l3.6g ; ； l（ 4）系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個可得系統(tǒng)的兩階固有振型a(1)1a(1)21(1)(2 )a1 ;1a(2 )21( 2)13 ;11+1+1+1-13/112.6 兩層樓用集中質(zhì)量表示如圖2-16 所示的系統(tǒng)。其中m1； k1k；證明該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型為： 解： (1) 系統(tǒng)振動微分方程k11;22m12k1 ;m1m(1)x1x(1)2122122x(2 )；2;11x(2 )2m1 x1

29、 m2x2k11x1 k12 x1k12 x20k22 x20（1）（ 2）系統(tǒng)特征方程設(shè)方程組的解為x1a1 sintx2a2sint代入方程組（1）式得m2系統(tǒng)特征方程k111 a1k12 a20m2（ 2）k21 a1k222 a20（ 3）系統(tǒng)頻率方程因為考慮系統(tǒng)振動的情況，所以要求方程（2）有非零解。而方程（2）有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零：x1m1k 1122k 122 m1m1k 22k 120k12 m2即 k112）（ k2m2）k12k210(3)x2m2（ 4）系統(tǒng)固有頻率k2根據(jù)已知條件k11k1 ， k21k12k1 ，k22k1k23k1 ， m11m2，

30、 k1211k2;圖 2-1621k22k1k23k1 ， m1m2 ， k12k 2 ;2代入（ 3）式得45k122m12k10，m1（ 6）系統(tǒng)固有振型：2k11,2m122k12；m1k將系統(tǒng)固有頻率代入系統(tǒng)特征方程（2）得系統(tǒng)固有振型a(1)1k12k12 ；a(1)2a( 2)11 m122k12k111k12k11 ；（ 7）系統(tǒng)的主振動：( 2)a22 m1k112k1k1(1)x1x(1)2( 2)x1x( 2)2(1)2；a1a(1)2(2)a1a(2)1 ；2證畢。2 7 如圖 2-17 所示的系統(tǒng)，設(shè)激振力為簡諧形式，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。m1x1m2x2k1k2m圖 2-

31、17解: (1)建立系統(tǒng)運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，分別對m1和m2列出振動微分方程：m1x1 m2 x2即：k1 x1 k2 (x2k2 ( x1x1 )x2 )0f (t )（ 1-1 ）m1x1m 2 x2( k1k2 x1k 2 ) x1k2 x2k 2 x 20m2 esint )（ 1-2 ）(2 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x1a1 sin(t1)（ 1-3 ）x 2a2 sin(ta2 )即x1c1 sinx2d1 sintc 2td2costcost（1-4 ）將表達(dá)式（ 1-4 ）代入式（1-2 ），根據(jù)兩個方程中包含的系數(shù)和為零，可得如下方程組：sint 的系數(shù)

32、和為零及包含cost2(m1k1k 2)c1k2 d1m2e ;(m12k1k 2 )c 2k 2 d 20 ;即k 2c1(m22k 2 ) d10 ;（ 1-5 ）k 2c 2k2 d 20 ;求解方程組（ 1-5 ）得：c1m1 m2c 2d 2mm k41 202 e(k 2m k22 12 m2 )k k21 22 ;m2 k 2d1m1 m24c 2d 20 ;m1 k2m2 ek22m2 k12k1 k2;m2 k 22（ 1-6 ）所以在公式x1a1 sin(t1 ) , x 2a2 sin(ta2 ) 中有a14m1m2m m1 k 22e(k 2m k22 12 m2 )k

33、 k21 22 ;m2 k 2a2m2 ek42222;m1m2m1k 2m2 k1k1k 2m2 k2 120 ;（ 1-7 ）2.8 在如圖 2-18 所示的系統(tǒng)中， 一水平力fsin( t) 作用于質(zhì)量塊m上，求使 m不動的條件。解：（ 1）系統(tǒng)有兩個自由度，選廣義坐標(biāo)為x, （ 2）系統(tǒng)的動能t1 mx 221 mx 221 m(l) 221 2mlx2cosx（ 3）系統(tǒng)的勢能kmku1 2kx22mgl(lcos)（ 4）lagrange 函數(shù)lltu圖 2-18ml1 (m2m)x 21 ml 222mlxcoskx2mglmgl cos（ 5）對 lagrange 函數(shù)求導(dǎo)l(

34、 mxm) xmlcos; d (l )( mdtxm) xmlcos;l x2kx;lml 2mlx cos; d (l )dtml 2mlx cos;lmlxsinmgl sin;（ 6） lagrange 方程d (l )dtxd (l )dtlf sint xl0得( mml 2m) xmlmlxcoscosmlx2kxsinf sintmgl sin0因為振動為微幅振動，所以cos21,sin（ 8）解方程：設(shè) xasint ，b sint 代入方程并整理得：a2 (mm)b2 ml (12 )2 akf2 bml 2aml2mlab 22bmgl0因為 m不動，所以a=0。而 b 不能等于零，故，mgl2 ml 20 ，解得g；l2.9 在圖 2-19 所示的系統(tǒng)中，軸的彎曲剛度為ej，圓盤質(zhì)量為m，它對其一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量為 i=mr 2/4，其中 r=l/4 。設(shè)軸在它的靜平衡位置時是水平的，且忽略軸的質(zhì)量。求系統(tǒng)的運動微分方程和固有頻率。l解：（ 1）系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)：圖 2-19 所示的系統(tǒng)自由度n=2 ，選 y 、為廣義坐標(biāo)。rv（ 2）系統(tǒng)運動微分方程y11my 12 myl3l2