2016第十六屆中環(huán)杯四年級決賽詳解

1、第十六屆“中環(huán)杯”中小學生思維能力訓練活動 四年級決賽 一、填空題 【第 1 題】 計算：_ 【分析與解】 計算：提取公因數(shù) 【第 2 題】 一個質數(shù)比一個完全平方數(shù)小 10，則的最小值為_（說明：完全平方數(shù)是指能表示為一個整數(shù)的平方數(shù)的和，比如，所以 4、9 都是完全平方數(shù)） 【分析與解】 數(shù)論，質數(shù)，完全平方數(shù) 若，則不是完全平方數(shù) 故是奇數(shù)，則也是奇數(shù)，為奇數(shù)的平方根 比 10 大的奇完全平方數(shù)從小到達依次為 是合數(shù) 是合數(shù) 是質數(shù) 故最小是 71 【第 3 題】 如圖，三點共線，則的面積為_ 【分析與解】 幾何，等積變形 聯(lián)結 因為 所以 因為 所以 所以 【第 4 題】 三支蠟燭分別

2、能燃燒 30、40、50 分鐘（但是不是同時點燃的） 。已知這三支蠟燭同時處于燃燒狀態(tài)的時間有 10 分鐘， 只有一支蠟燭處于燃燒狀態(tài)的時間有 20 分鐘。 那么正好有兩支蠟燭同時處于燃燒狀態(tài)的時間有_分鐘 【分析與解】 正好有兩支蠟燭同時處于燃燒狀態(tài)的時間有分鐘 【第 5 題】 將一個的立方體的三個面染紅色， 三個面染藍色 （要求任意三個有公共頂點的面不能全都染同一種顏色） ， 然后將其切割成 512 個的小立方體。 這 512 個小立方體中， 有_個小立方體上既有紅色面又有藍色面 【分析與解】 由題意，任意三個有公共頂點的面不能全都染同一種顏色 故不妨設上、下、前染紅色，左、右、后染藍色

3、即在正方體中， 面染紅色， 面染藍色 則紅面與藍面公共的棱上的小立方體上既有紅色面又有藍色面 即這8條棱上的小立方體上既有紅色面又有藍色面 注意到每個頂點的小立方體都被計算了 2 次，即多計算了 1 次 故有個小立方體上既有紅色面又有藍色面 【第 6 題】 在的所有因數(shù)中，可以表示為（其中為自然數(shù)）的最大因數(shù)為_ 【分析與解】 數(shù)論，分解質因數(shù)，同余 將分解質因數(shù)：設 ， ， ， ， 故 因為既不是 2 的倍數(shù)又不是 3 的倍數(shù) 故所求的數(shù)既不含質因數(shù) 2 又不含質因數(shù) 3 相當于求的所有因數(shù)中， 可以表示為（其中為自然數(shù)） 的最大因數(shù)為幾？ 而 于是我們考慮 故在的所有因數(shù)中，可以表示為（其

4、中為自然數(shù)）的最大因數(shù)為 385 【第 7 題】 在某次數(shù)學比賽中， 一共有 6 道題目， 每道題目的分值均為 7 分 （最后每題的得分都是整數(shù)，最低為 0 分，最高為 7 分） ，每個參賽者的總分就是 6 道題目得分的乘積，如果兩個人的得分相同，就計算 6 道題目得分之和，從而評定名次高低。如果還相同，就算兩人并列。在這次比賽中， 一共有位參賽者， 這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列， 排名為的參賽者的得分為_分 【說明】 此題為錯題此題為錯題 若兩個人 6 道題每題得分完全相同 則 6 道題目得分的乘積相同，6 道題目得分的和也相同 則這兩個人的排名相同，即這兩個人并列 由題意，這位參賽者中沒有出現(xiàn)

5、并列 則這位參賽者每題得分均不完全相同 而每題的得分為 07 的整數(shù)，由乘法原理一共有種得分情況 若甲第 16 題得分為，乙第 16 題得分為 甲、乙兩人 6 道題目得分的乘積為 0,6 道題目得分的和為 1 則甲、乙兩人排名相同，即這兩個人并列 這與“這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列”矛盾 故此題為錯題 若將原題中“這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列”改為“這些參賽者中，任意兩人這若將原題中“這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列”改為“這些參賽者中，任意兩人這 6 題的各題的各題得分不完全相同”題得分不完全相同” ，則排名為，則排名為的參賽者的得分為的參賽者的得分為 1 分分 理由如下： 若 6 題中，至少有一題得分為

6、0，則 6 道題目得分的乘積為 0 若 6 題中，沒有一題得分為 0，則 6 道題目得分的乘積不為 0 這種情況下，每題的得分為 17 的整數(shù)，由乘法原理一共有種得分情況 故排名為的參賽者的得分為乘積最小的正整數(shù) 而第 16 題得分為的參賽者，得分為 1 故排名為的參賽者的得分為 1 分 【第 8 題】 如圖所示，兩條直線與兩個圓交于 9 個點，從這 9 個點中選出 4 個點，要求這 4 個點的任意3 個點既不在一條直線上，也不在一個圓圈上，不同的選法有_種 【分析與解】 計數(shù)，乘法原理和加法原理 因為這 4 個點中的任意 3 個點不在一條直線上 所以這 4 個點都不是中心點 故這個 4 個點

7、均在這兩個圓上 又因為這 4 個點中的任意 3 個點不在一個圓圈上 所以在這 4 個點中，有 2 個點在小圓上，另外 2 個點在大圓上 如果小圓上的 2 個點在一條直線上，有 2 種可能：或 此時，每種情況下對應大圓上的 2 個點有 1 種可能 例如：當小圓上的 2 個點為時，大圓上的 2 個點只能為 如果小圓上的 2 個點不在一條直線上，有 4 種可能：或或或 此時，每種情況下對應大圓上的 2 個點有種可能 例如： 當小圓上的 2 個點為時， 大圓上的 2 個點可能為或或或 綜上所述，不同的選法有種 二、填空題 【第 9 題】 四人參加了一個會議， 他們都獲得一個相同的正整數(shù)， 接下來每人對

8、這個正整數(shù)進行描述，每人都說了三句話，其中至少有一句是真話，至少有一句是假話，他們說的話如下： ：這個數(shù)小于 12 7 不能整除這個數(shù) 5 乘以這個數(shù)的結果小于 70 12 乘以這個數(shù)的結果大于 1000 10 能整除這個數(shù) 這個數(shù)大于 100 4 能整除這個數(shù) 11 乘以這個數(shù)的結果小于 1000 9 能整除這個數(shù) 這個數(shù)小于 20 這個數(shù)是一個質數(shù) 7 能整除這個數(shù) 這個數(shù)是_ 【分析與解】 設這個數(shù)為 我們把條件整理一下： ；，即 ，即； 是一個質數(shù)； 首先，我們注意到與完全相反 若是真話，是假話；即 與中至少有一個是真話 但不可能為是真話，是假話 則是真話；則 故是真話 故是假話 注意

9、到，符合且的正整數(shù)只有，而 7 是質數(shù)，與“是一個質數(shù)”是假話矛盾 故若是假話，是真話；即 7 不能整除 與中至少有一個是假話 但不可能為是真話，是假話 則是假話；則 再對是假話，則 再對進行討論 若是真話，即 故與都是假話 則是真話；則 但不存在既滿足，又滿足的正整數(shù) 故是假話，即 則是真話，即是一個質數(shù) 故、均是假話 則是真話，即 故是假話 則是真話，即 注意到，符合且為質數(shù)的只有，即這個數(shù)是 89 【第 10 題】 如圖，是一個等邊三角形，在邊上取點，使得，作等邊，聯(lián) 結， 作平 行于 點， 作平 行交 邊于 點， 作。若的面積為 45，的面積為 30，則_ 【分析與解】 幾何，等積變形

10、，燕尾模型 延長交于點，分別聯(lián)結 由共邊模型，得 又因為 所以 所以 因為 所以 所以 所以 因為 所以 所以 所以 因為 所以 根據(jù)燕尾模型， 而注意到， 故 即 【第 11 題】 一個的方格由 25 個的小方格組成，每個小方格都被分成四個相同的等腰三角形，其中三個被涂成了黑色（如圖所示） 。小正方形的邊如果位于黑色部分，就稱為黑邊，反之就是白邊，在的方格內，相鄰（有公共邊）小方格的公共邊必須是同色的，那么方格的四條邊長（如圖所示）上最少有_條黑邊 【分析與解】 角上的小方格，每個有 2 條邊在外面，故其中至少有 1 條是黑邊 這樣方格的四條長邊上，黑邊不少于條 每個小方格有 3 條黑邊，個

11、小方格一共有條黑邊 而在的方格內，相鄰（有公共邊）小方格的公共邊必須是同色的 故內部的黑邊的條數(shù)為偶數(shù) 則四條長邊上的黑邊的條數(shù)為奇數(shù) 所以方格的四條長邊上，黑邊不少于 5 條 如圖所示為方格的四條長邊上有 5 條黑邊的例子 綜上所述，方格的四條長邊上至少有 5 條黑邊 【第 12 題】 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，兩點處各有一只臭蟲（點處的臭蟲我們稱其為臭蟲，點處的臭蟲我們稱其為臭蟲） 。臭蟲每次走 1 格（向上、向下、向左、向右這四個方向選中一個方向走） 。若臭蟲走兩個，臭蟲走三格，最后臭蟲與點的距離小于等于臭蟲與點距離的走法有_種 【分析與解】 計數(shù)，乘法原理，加法原理，排列，組合 臭蟲走

12、2 格 ，最后臭蟲距離點 3 格 ，最后臭蟲距離點 1 格 或，最后臭蟲距離點格（長方形的對角線） 或以及其排列，最后臭蟲距離點 1 格 或以及其排列，最后臭沖距離點 1 格 以及其排列，最后臭蟲距離點 1 格 最后臭蟲距離點 1 格，有種走法 最后臭蟲距離點格（長發(fā)形的對角線） ，有種走法 最后臭蟲距離點 3 格，有 1 種走法 臭蟲走 3 格 或或或，最后臭蟲距離點 3 格 或或或以及其排列的，最后臭蟲距離點 1 格 或或或或或或或以及其排列 最后臭蟲距離點格（長方形的對角線） 或或或以及其排列，最后臭蟲距離點 1 格 最后臭出距離點 1 格，有種走法 最后臭出距離點格（長方形的對角線）

13、，有種走法 最后抽出距離點 3 格，有 4 種走法 最后臭蟲與點的距離小于等于臭蟲與點距離 當最后臭出距離點 1 格 則最后臭出距離點 1 格或格（長方形的對角線）或 3 格 有種 當最后臭出距離點格（長方形的對角線） 則最后臭出距離點格（長方形的對角線）或 3 格 有種 當最后臭出距離點的 3 格 則最后臭蟲距離點 3 格 有種 綜 上 所 述 ， 最 后臭 蟲 與點 的 距 離 小 于 等 于臭 蟲 與點 的 距 離 的 走 法有種 三、動手動腦題 【第 13 題】 甲、乙兩車分別從兩地同時出發(fā)（甲從地出發(fā)） ，相向而行。甲、乙兩車速度分別為 40 千米/時和 50 千米/時，兩地相距 9

14、00 千米。當甲車到達地后立刻調頭開回地，速度變?yōu)?50 千米/時。當乙車到達地后立刻調頭開回地，速度變?yōu)?40 千米/時。當甲車到達地后立刻調頭開回地， 速度恢復為 40 千米/時。 當乙車到達地后立刻調頭開回地，速度恢復為 50 千米/時。依次類推，兩車在兩地間不斷地開來開去，速度也在 40 千米/時與 50 千米/時之間不斷地切換。當兩車第 2016 次相遇時，甲車一共行駛了多少千米？ 【分析與解】 行程問題，多次相遇 甲以 40 千米/時的速度從到，再以 50 千米/時的速度從到 乙以 50 千米/時的速度從到，再以 40 千米/時的速度從到 故甲、乙各走了一個來回用時相等 在甲、乙各走了一個來回的過程中，甲、乙相遇了 2 次 ，若甲、乙各走了 1008 個來回的過程中，甲、乙相遇了 2016 次 從第 2016 次相遇到最后甲、乙同時回到兩地這個過程中 甲的速度為 50 千米/時，乙的速度為 40 千米/時 則甲、乙的速度比為 甲、乙的路程比也為 其中甲行駛了 故當兩車第 2016 次相遇時，甲車行駛的路程相等于 1008 個來回再去掉這 500 千米，即為 【第 14 題】 老師腦子里想了兩個正整數(shù)，然后他將的值告訴了，將的值告訴了，接下來，有如下的對話（都知道） 說：我不知道的值 說：給你一個提示