2022年2022年拋物線及其性質(zhì)知識點大全2

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載拋物線及其性質(zhì)1 拋物線定義 ： 平面內(nèi)到肯定點f 和一條定直線l 的距離相等的點的軌跡稱為拋物線2 拋物線四種標準方程的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù) p 幾何意義參數(shù) p 表示焦點到準線的距離,p 越大,開口越闊.2y2 px p0y22 px p20x2 py p20x2 py p0焦 點 位置x 正x 負y 正y 負開口方向右左上下標 準方程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載焦 點坐標準 線方程 p 、02pp 、02p0、 p 0、p22pp精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載xxyy2222x0、 yrx0、 yry0、 xry0、 xr

2、對 稱 軸x 軸x 軸y 軸y 軸范 圍頂 點坐標（ 0、0 ）離心率e1通 徑2p精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載焦半徑a x1 、 y1pafx12pafx12pafy12pafy12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載焦點弦長ab x1x2 px1x2 p y1y2 p y1y2 p精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載焦點弦長ab以 ab 為直徑的圓必與準線l 相切精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的補充ax1、 y1 如 ab 的傾斜角為,ab2 p

3、sin 22x xp如 ab 的傾斜角為,就 aby yp22 p cos2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1212b x2 、 y2 411afbfab2afbfaf. bfaf . bfp精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3拋物線y22 px p0 的幾何性質(zhì)：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(1) 范疇：由于p>0,由方程可知x 0,所以拋物線在y 軸的右側(cè),當 x 的值增大時,| y | 也增大,說明拋物線向右上方和右下方無限延長1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 對稱性：對稱軸要看一次項,符號打算開口方向精品學習資料精

4、選學習資料 - - - 歡迎下載3 頂點（ 0, 0）,離心率：e1,焦點f p 、0 ,準線 x 2p,焦準距p2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4焦點弦：拋物線y 22 px p0 的焦點弦ab ,ax1 、y1 、b x2、 y2 、 就 |ab |x1x2p 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載弦長 |ab|=x 1+x2+p、 當 x 1=x2 時,通徑最短為2p；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4焦點弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點弦 ab ,a x1、 y1 、b x2 、 y2 ,焦點f p 、0 2p2精品

5、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(1) 如 ab 為拋物線y22pxp0的焦點弦（過焦點的弦）,且 ax1、 y1 , bx2 、 y2 ,就：x1x2,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 2y yp2 ；(2) 如 ab為拋物線y22 pxp0的焦點弦,且直線ab的傾斜角為,就ab22 psin4（ 0）；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(3) 已知直線 ab為過拋物線y22 px p0 焦點 f 、11afbfab2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載afbfaf. bfaf. bfp精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(4) 焦點

6、弦中通徑最短長為2p；通徑：過焦點垂直于焦點所在的軸的焦點弦叫做通徑(5) 兩個相切： 1 以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切. 2 過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線,以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5弦長公式：ax1 、y1 、b x2 、 y2 為拋物線上兩點,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab xx 2 yy 21k 2 | xx|11| yy|精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載121212k 212精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6. 直線與拋物線的位置關(guān)系直線,拋物線,消 y 得：（ 1）

7、當 k=0 時,直線 l 與拋物線的對稱軸平行,有一個交點；（ 2）當 k0 時, 0,直線 l 與拋物線相交,兩個不同交點；=0, 直線 l 與拋物線相切,一個切點； 0,直線 l 與拋物線相離,無公共點；（ 3）如直線與拋物線只有一個公共點、 就直線與拋物線必相切嗎.（不肯定）7. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載直線 l ： ykxb拋物線, p0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載聯(lián)立方程法：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ykxbk 2 x22kbp xb 20精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下

8、載y 22 px2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè) 交 點 坐 標 為ax1、 y1 、b x2 、 y2 , 就 有0 、 以 及 x1x2 、 x1 x2, 仍 可 進 一 步 求 出精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載y1y2kx1bkx2bk x1x2 2b ,y1 y2kx1b kx2b k 2 x xkb x1x2 b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載122在涉及弦長,中點,對稱,面積等問題時,常用此法,比如22a. 相交弦 ab的弦長精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab1kx1x21

9、k 2 x1x 24 x1 x21k 22a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載或ab112y1y2 k112 y1ky 24 y1 y21 k 2a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b. 中點m x0、 y0 、x0x1x2 ,y 2y1y22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0點差法：設(shè)交點坐標為a x1 、 y1 , b x2 、 y2 ,代入拋物線方程,得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2y12 px12y22 px2精品學習資料精選學習資料 -

10、- - 歡迎下載將兩式相減,可得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 y1y2 y1y2 2 p x1x2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載y1y2x1x22 py1y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a. 在涉及斜率問題時,k ab2 py1y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b. 在涉及中點軌跡問題時,設(shè)線段 ab 的中點為m x0 、yy2 p12y0 ,2 pp,精品學習資料精選學習資料 - - -

11、 歡迎下載p即 kab,y0x1x2y1y22 y0y0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載同理,對于拋物線 x22 py p0 ,如直線 l 與拋物線相交于a.b 兩點,點m x0、 y0 為弦精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab 的中點,就有k abx1x2 2 p2x0x02 pp精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（留意能用這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點,2）直線的斜率存在,且不等于零）3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【經(jīng)典例題

12、】（ 1）拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法,可拋物線只有一種：到一個定點和一條定直線的距離相等的全部 點的集合 . 其離心率e=1,這使它既與橢圓.雙曲線相依相伴,又鼎立在圓錐曲線之中. 由于這個美好的 1,既使它享盡和諧之美,又生出多少華麗的篇章.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 1】p 為拋物線y22 px上任一點, f 為焦點,就以pf 為直徑的圓與y 軸（）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a. 相交b.相切c.相離d.位置由 p 確定精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料

13、精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】如圖,拋物線的焦點為fp 、02,準線為yhqp精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載l : x. 作 ph l 于 h,交 y 軸于 q,那么pfph ,nmp2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載且 qhofp. 作 mny 軸于 n就 mn為梯形 pqof的2f、0xop2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載中位線,mn1ofpq1 ph1 pf . 故以p精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載222pf 為直徑的圓與y 軸相切,選b.【評注】相像的問題對于橢圓和雙曲線來說,其結(jié)論就分別為相離或相交的.l :

14、x = -2y2 = 2 px精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）焦點弦?？汲Ｐ碌牧咙c弦有關(guān)拋物線的試題,很多都與它的焦點弦有關(guān). 懂得并把握這個焦點弦的性質(zhì),對破解這些試題為大有幫忙的 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 2】 過拋物線y 22 px p0 的焦點 f 作直線交拋物線于a x 、 y、 bx、 y兩點, 求證：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 1）1abx1x2p（ 2）af12bfp1122精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【證明】（ 1）如圖設(shè)拋物線的準線為l ,作aala 、 bbl于b,就 afaaxp

15、,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2111111pyaax、1y1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bfbb1x2. 兩式相加即得：1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2abx1x2pfxb 1 bx、2y精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）當 ab x 軸時,有afbfp,2112afbfpl成立；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當 ab 與 x 軸不垂直時,設(shè)焦點弦ab的方程為：ykxp. 代入拋物線方程：2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4精品學習資料精選學習

16、資料 - - - 歡迎下載2k2xp222 px . 化簡得： k x2p k2xp22k01精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載24精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載方程（ 1）之二根為x1, x2,k 21xx2.4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載111111x1x2p精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載afbfaabbpppp2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載11x1x2x1x2x1x2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2224x1x2px1x2p2p2pp2pp .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x1

17、x242x1x2p42精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故不論弦ab與 x 軸為否垂直,恒有1af12bfp成立 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的很多試題,又與它的切線有關(guān). 懂得并把握拋物線的切線方程,為解題者不行或缺的基本功 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 3】證明：過拋物線y22 px 上一點 m（x 0, y 0）的切線方程為：y 0y=p （ x+x0）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【證明】對方程y22 px 兩邊取導數(shù)：2 yy2 p, yp.切線的斜率y精品學習資料精選學習資

18、料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載kyx x0p.由點斜式方程：y0yy0pxxy ypxpxy 210000y0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載y2q02 px0,代入（）1 即得：y 0y=p（ x+x0）（ 4）定點與定值拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在很多不不易發(fā)覺,卻簡潔為人疏忽的定點和定值.把握它們,在解題中常會有意想不到的收成 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例如： 1.一動圓的圓心在拋物線y28x 上,且動圓恒與直線x20 相切,就此動圓必過定點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（）精品學習資料精選學

19、習資料 - - - 歡迎下載a. 4、0b. 2、0c. 0、2d. 0、 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載明顯 . 此題為例1 的翻版,該圓必過拋物線的焦點,選b.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2. 拋物線y22 px 的通徑長為2p；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3. 設(shè)拋物線y22 px 過焦點的弦兩端分別為ax 、 y、 bx、 y,那么：y yp2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載112212精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載以下再舉一例【例 4】設(shè)拋物線y22 px 的焦點弦 ab 在其準線上的射影為a1b1,

20、證明：以a1b1 為直徑的圓必過精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載肯定點【分析】假定這條焦點弦就為拋物線的通徑,那么a1b1=ab=2p,而 a1b1 與 ab的距離為p,可知該圓必過拋物線的焦點. 由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點. 以下我們對ab的一般情形給于證明.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【證明】如圖設(shè)焦點兩端分別為a x1、 y1、 bx2 、 y2,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載那么：y yp2cacbyyp2.精品學習資料精選學習資

21、料 - - - 歡迎下載121112aya精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè)拋物線的準線交x 軸于 c,那么cfp.1 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2a1fb1 中 cfca1cb1 . 故a1 fb190 .m精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載這就說明：以a1b1 為直徑的圓必過該拋物線的焦點. 通 法 特法妙法（ 1）解析法為對稱問題解困排難cfx b1b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解析幾何為用代數(shù)的方法去討論幾何,所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等） .【例 5】（ 10. 四川文科卷 .10 題）已知拋

22、物線y=-x 2+3 上存在關(guān)于直線x+y=0 對稱的相異兩點ya .b ,就 |ab| 等于（）ba.3b.4c.32d.42【分析】直線ab必與直線x+y=0 垂直,且線段mxab 的中點必在直線x+y=0 上,因得解法如下.o【解析】點a.b 關(guān)于直線x+y=0對稱,設(shè)直線ab的方程為：a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載yxm .由yxm2xxm301l. x +y = 0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載yx23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè)方程（ 1）之兩根為x1, x2,就 x1x21 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè)

23、ab的中點為m（ x0, y 0）,就 x0x1x211. 代入 x+y=0： y 0=. 故有 m1 、 1.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22222精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載從而 myx1. 直線 ab的方程為：yx1 .方程（ 1）成為： x2x20 .解得：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2、1 ,從而 y1、2 ,故得： a（ -2 ,-1 ）, b（1, 2） .ab32 ,選 c.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）幾何法為解析法添彩揚威雖然解析法使幾何學得到長足的進展,但伴之而來的卻為難以防止的紛雜運算,這又

24、使得很多考生對解析幾何習題望而生畏. 針對這種現(xiàn)狀,人們討論出多種使運算量ya大幅度削減的優(yōu)秀方法,其中最有成效的就為幾何法.k精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 6】（ 11.全國 1 卷.11 題） 拋物線y24x的焦點為f ,準線為 l ,經(jīng)過 f 且斜率60 °精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載=m o f1、0x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載y6l:x=-12 2px精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載為3 的直線與拋物線在x 軸上方的部分相交于點a , akl ,垂足為k ,就 akf的面積（）a 4b 33c 43d

25、 8【解析】如圖直線af的斜率為3 時 afx=60 ° . afk為正三角形 . 設(shè)準線 l 交 x 軸于 m,就 fmp2、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載且 kfm=60°,kf4、 sakf342443 . 選 c.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【評注】（ 1）平面幾何學問：邊長為a 的正三角形的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載面積用公式s3 a2 運算 .4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）此題假如用解析法,需先列方程組求點a 的坐標,再運算正三角形的邊長和面積. 雖不為很難,但決沒有如上的幾何法簡潔

26、.（ 3）定義法追本求真的簡潔一著很多解析幾何習題咋看起來很難. 但假如返樸歸真,用最原始的定義去做,反而特殊簡潔.【例 7】（ 07. 湖北卷 .7 題）雙曲線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2c1 :2a2y1a b20, b0 的左準線為 l ,左焦點和右焦點分別為f1 和 f2 ；拋物線c2 的線為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載l ,焦點為f2； c1 與 c2 的一個交點為m ,就f1 f2 mf1mf1 mf21等于（）1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 1b 1cd 22【分析】這道題假

27、如用解析法去做,運算會特殊紛雜,而平面幾何學問又一時用不上,那么就從最原始的定義方面去查找出路吧.如圖,我們先做必要的預備工作：設(shè)雙曲線的半焦距 c,離心率為e,作mhl于h ,令y精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載mf1r1、mf2r2 .點 m 在拋物線上,hr 2mx、y精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載mhmf2r2、 故mf1mf1r1e,r 1r 2x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載mhmf2r2f1 -c 、 0of2 c、0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1| mf |這就為說：|

28、 mf2 |的實質(zhì)為離心率e.a2l : x = -c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其次,| f1 f2 |與離心率 e 有什么關(guān)系？留意到：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載| mf1 |7精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f1f2 mf12ce 2a r1r1e r1r2 r1e 11 ee1 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載這樣,最終的答案就自然浮出水面了：由于| f1 f2 | mf1 |e1e1 .選a.精品學習資料精選學習資料 - -

29、- 歡迎下載| mf1 | mf 2 |（ 4）三角法本身也為一種解析三角學隱藏著豐富的解題資源. 利用三角手段,可以比較簡潔地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù),然后依據(jù)各種三角關(guān)系實施“九九歸一”達到解題目的.因此,在解析幾何解題中,恰當?shù)匾肴琴Y源,?？梢詳[脫困境,簡化運算.a【例 8】（09. 重慶文科 .21 題） 如圖, 傾斜角為a 的直線經(jīng)過拋精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載物線 y 28x 的焦點 f,且與拋物線交于a.b 兩點；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（）求拋物線的焦點f 的坐標及準線l 的方程；（）如a 為銳角,作線段ab 的

30、垂直平分線m 交mx 軸于點 p,證明 |fp|-|fp|cos2a 為定值,并求此定值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】（）焦點f（ 2, 0）,準線l; x2 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（）直線ab ： ytanx21 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2xy代入（ 1）,整理得：y2 tan8 y16tan028yy8精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè)方程（ 2）之二根為y1, y2,就12y1y2yy1y2tan.1644cot精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎

31、下載設(shè) ab中點為mx 、 y、 就02tan精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載00xcoty24cot 22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab 的垂直平分線方程為：0022y4cotcotx4cot 22 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載令 y=0 ,就 x4cot6,有p4cot6,0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故 fpopof4cot 2624 cot214cos2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為 |fp|-|fp|cos2a= 4csc21cos24csc22sin 28 ,故為定值 .精品學習資料精選學習

32、資料 - - - 歡迎下載（ 5）消去法合理減負的常用方法.防止解析幾何中的紛雜運算,為革新.創(chuàng)新的永恒課題. 其中最值得舉薦的優(yōu)秀方法之一便為設(shè)而不求,它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 9】 為否存在同時滿意以下兩條件的直線l ：（ 1） l 與拋物線y28 x 有兩個不同的交點a 和精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載8精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b；（ 2）線段 ab被直線l1 ： x+5y-5=0 垂直平分 . 如不存在,說明理由,如存在,求出直線l 的方程 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】假定在拋物線y 28 x 上存在這樣的兩點a x ,y,bx ,y.就有：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎