倍長中線法證三角形全等(教師版)（精編版）

1、倍長中線法證三角形全等（教師版）例 1 、如下圖所示，已知 abc 中， ac=bc ，acb=9°0求證： ab=bc+cd.，bd 平分 abc，【分析】要證 ab=bc+cd ，由 bd平分 abc ，我們想到翻折 bcd，使得bc 與 ab 重合，如上圖，翻折了以后再證明aede 就可以了 .證明： bd 平分 abc ，將 bcd 沿 bd 翻折 180°，點 c 落在 ba 上的 e點，則有 bc=be，在 bcd 和bed 中， bcdbed（sas） de=acb=9°0 de=90°，cd=de，（全等三角形對應邊，對應角相等） abc

2、 中， acb=9°0 ， ac=bc ， a=45°， eda= a=45°， de=ea， ab=be+ea=bc+cd ， 即 ab=bc+cd.例 2、 如下圖所示， abc 中， c=2b， 1=2， 求證： ab=ac+cd.【分析】 本題要證的結(jié)論也是兩條線段長度之和等于一條線段的長度，與前面例 2 的思路相同，我們想到使不共線兩條線段 ac、cd 組合成一條線段，延長ac 是必然的（如上圖） .由于有條件 1 2，然后再證明 abd aed 就輕而易舉 .證明：延長 ac 至 e，使 ae=ab ，連接 de， 在 abd 和aed 中， abd

3、aed. b=e. acd= e+cde， acd=2 b， acd=2 e. e=cde. cd=ce. ab=ac+cd.【小結(jié)】 本例中用到的方法叫 “補短法”，是將較短的線段 ac 補長，構造全等三角形，從而達到求解目的 .也可采用 “截長法 ”，即在 ab 上截取 af=ac ，連接 df，構造三角形全等，這兩種方法通常適合于證明一條線段等于兩條線段的和 .例 3、 如下圖所示，在 abc 中， ad 為 bc 邊上的高， b=2 c.求證： cd=ab+bd.【分析】在 dc 上截取 de=db 后顯然 ade adb ，然后再證明aeec就可以了 .證明：在 dc 上截取 de=

4、db ，連接 ae， 則 ade adb. ae=ab ， aeb= b， aeb= c+ cae， b=2c， ed=bd ， aeb=2c. c=cae ，故 ce=ae=ab. cd=ce+ed=ae+ed=ab+bd.例 4、 如下圖所示，在 def 中， de=df ，過 ef 上一點 a 作直線分別與 de、df 的延長線交于點b、c，且 be=cf.求證： ab=ac.【分析】要證 ab=ac ，我們很自然想到過點b 做 cd 的平行線，然后再證 agb afc. 條件 de=df 和 be=cf 結(jié)合所作的平行線可得出bgcf，有了邊的相等關系證 agb afc 就容易多了 .

5、證明：過 b 作 bgcd 交 ef 于 g. bgcd， egb=efd. de=df， e=efd， e=egb， be=bg. be=cf， bg=cf. bgcd. gba= acf，agb= afc.在 agb 和afc 中， agb afc. ab=ac.例 5、 如圖所示，ad 是abc 的中線，be 交 ac 于 e，交 ad 于 f，且 ae=ef。求證： ac=bf 。證明：延長 fd 至 h，使得 dh=fd ，連結(jié) hc。 d 為 bc 中點 bd=cd在 bfd 和 chd 中 bfd chd(sas) h=bfh ae=fe hac= afe 又 afe= bfh

6、h=hac ch=ca bf=ac例 6、 如圖，adbc，ea,eb分別平分 dab, cba，cd過點 e，求證;ab ad+bc.adebc例 7、 正方形 abcd中， e 為 bc上的一點， f 為 cd上的一點， be+df=e，f求 eaf的度數(shù) .adfbec例 8、 如圖，abc 中，ab<ac ， ad 是中線求證：dac <dab a【解析】 延長 ad 到e ，使 adde ，連結(jié) be 在adc 和edb 中aadedbdcadcedb dcdbadc edbbdc aceb ，cadbea在abe 中， ab<ac ， abebaeb<eab

7、 ， dac<dab e例 9、 如圖，在abc 中， ad 交bc 于點 d ，點 e 是bc 中點， ef ad 交 ca 的延長線于點 f ，交 ef 于點 g ，若 bgcf ，求證： ad 為abc 的角平分線f【解析】 延長 fe 到點 h ，使 hefe ，連結(jié) bh a g在cef 和beh 中cebecefbeh fehebedc facef behgefcehb ， cfbhbgehbbge ，而bgeagfafgagf又 ef adafgcad ，agfbadcadbad ad 為abc 的角平分線bedch例 10、已知，ab=ac，e、f 分別為 ab和 ac延

8、長線上的點， be=cf，ef交 bc于 g求證： eg=gfaecbgfc例 11、已知 abc 中， ab=ac， bd 為 ab 的延長線，且bd=ab， ce 為abc 的 ab 邊上的中線求證cd=2ce【解析】(等邊、中點、線段倍數(shù) )(一)延長 ce 到 k，使 ce=ek，連接 bkaeeb12ecek aec bekac=bk=bda=3ab=ac 5=acb kbc=3+5= a+acb=4 bc=bc ckb cdbck=cd 2ce=cdaebdc154ae23 bdka例 12、 如圖，abc 中， abac，bac90 ， d 是 bc 中點， edfd ， ed與ab 交于 e ， fd 與 ac交于 f 求證： beaf ， aecf fe【解析】 方法一：連結(jié) ad abac ，bac90bdcbc45 d 是 bc 中點abad45且 adbc eddffedaadf90eadeedb90bdeadf在bde 與adf 中，bdcadbd ，bde dafb adf45 ，bdeadf