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1、倍長中線法證三角形全等(教師版)例 1 、如下圖所示,已知 abc 中, ac=bc ,acb=9°0求證: ab=bc+cd.,bd 平分 abc,【分析】要證 ab=bc+cd ,由 bd平分 abc ,我們想到翻折 bcd,使得bc 與 ab 重合,如上圖,翻折了以后再證明aede 就可以了 .證明: bd 平分 abc ,將 bcd 沿 bd 翻折 180°,點 c 落在 ba 上的 e點,則有 bc=be,在 bcd 和bed 中, bcdbed(sas) de=acb=9°0 de=90°,cd=de,(全等三角形對應邊,對應角相等) abc
2、 中, acb=9°0 , ac=bc , a=45°, eda= a=45°, de=ea, ab=be+ea=bc+cd , 即 ab=bc+cd.例 2、 如下圖所示, abc 中, c=2b, 1=2, 求證: ab=ac+cd.【分析】 本題要證的結(jié)論也是兩條線段長度之和等于一條線段的長度,與前面例 2 的思路相同,我們想到使不共線兩條線段 ac、cd 組合成一條線段,延長ac 是必然的(如上圖) .由于有條件 1 2,然后再證明 abd aed 就輕而易舉 .證明:延長 ac 至 e,使 ae=ab ,連接 de, 在 abd 和aed 中, abd
3、aed. b=e. acd= e+cde, acd=2 b, acd=2 e. e=cde. cd=ce. ab=ac+cd.【小結(jié)】 本例中用到的方法叫 “補短法”,是將較短的線段 ac 補長,構造全等三角形,從而達到求解目的 .也可采用 “截長法 ”,即在 ab 上截取 af=ac ,連接 df,構造三角形全等,這兩種方法通常適合于證明一條線段等于兩條線段的和 .例 3、 如下圖所示,在 abc 中, ad 為 bc 邊上的高, b=2 c.求證: cd=ab+bd.【分析】在 dc 上截取 de=db 后顯然 ade adb ,然后再證明aeec就可以了 .證明:在 dc 上截取 de=
4、db ,連接 ae, 則 ade adb. ae=ab , aeb= b, aeb= c+ cae, b=2c, ed=bd , aeb=2c. c=cae ,故 ce=ae=ab. cd=ce+ed=ae+ed=ab+bd.例 4、 如下圖所示,在 def 中, de=df ,過 ef 上一點 a 作直線分別與 de、df 的延長線交于點b、c,且 be=cf.求證: ab=ac.【分析】要證 ab=ac ,我們很自然想到過點b 做 cd 的平行線,然后再證 agb afc. 條件 de=df 和 be=cf 結(jié)合所作的平行線可得出bgcf,有了邊的相等關系證 agb afc 就容易多了 .
5、證明:過 b 作 bgcd 交 ef 于 g. bgcd, egb=efd. de=df, e=efd, e=egb, be=bg. be=cf, bg=cf. bgcd. gba= acf,agb= afc.在 agb 和afc 中, agb afc. ab=ac.例 5、 如圖所示,ad 是abc 的中線,be 交 ac 于 e,交 ad 于 f,且 ae=ef。求證: ac=bf 。證明:延長 fd 至 h,使得 dh=fd ,連結(jié) hc。 d 為 bc 中點 bd=cd在 bfd 和 chd 中 bfd chd(sas) h=bfh ae=fe hac= afe 又 afe= bfh
6、h=hac ch=ca bf=ac例 6、 如圖,adbc,ea,eb分別平分 dab, cba,cd過點 e,求證;ab ad+bc.adebc例 7、 正方形 abcd中, e 為 bc上的一點, f 為 cd上的一點, be+df=e,f求 eaf的度數(shù) .adfbec例 8、 如圖,abc 中,ab<ac , ad 是中線求證:dac <dab a【解析】 延長 ad 到e ,使 adde ,連結(jié) be 在adc 和edb 中aadedbdcadcedb dcdbadc edbbdc aceb ,cadbea在abe 中, ab<ac , abebaeb<eab
7、 , dac<dab e例 9、 如圖,在abc 中, ad 交bc 于點 d ,點 e 是bc 中點, ef ad 交 ca 的延長線于點 f ,交 ef 于點 g ,若 bgcf ,求證: ad 為abc 的角平分線f【解析】 延長 fe 到點 h ,使 hefe ,連結(jié) bh a g在cef 和beh 中cebecefbeh fehebedc facef behgefcehb , cfbhbgehbbge ,而bgeagfafgagf又 ef adafgcad ,agfbadcadbad ad 為abc 的角平分線bedch例 10、已知,ab=ac,e、f 分別為 ab和 ac延
8、長線上的點, be=cf,ef交 bc于 g求證: eg=gfaecbgfc例 11、已知 abc 中, ab=ac, bd 為 ab 的延長線,且bd=ab, ce 為abc 的 ab 邊上的中線求證cd=2ce【解析】(等邊、中點、線段倍數(shù) )(一)延長 ce 到 k,使 ce=ek,連接 bkaeeb12ecek aec bekac=bk=bda=3ab=ac 5=acb kbc=3+5= a+acb=4 bc=bc ckb cdbck=cd 2ce=cdaebdc154ae23 bdka例 12、 如圖,abc 中, abac,bac90 , d 是 bc 中點, edfd , ed與ab 交于 e , fd 與 ac交于 f 求證: beaf , aecf fe【解析】 方法一:連結(jié) ad abac ,bac90bdcbc45 d 是 bc 中點abad45且 adbc eddffedaadf90eadeedb90bdeadf在bde 與adf 中,bdcadbd ,bde dafb adf45 ,bdeadf
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